相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n
例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质
1.基本性质:
bc ad d
c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c
d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??，
交换内项，交换外项．同时交换内外项
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果)0(≠++++====n f d b n
m f e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
例：已知的值求f
d b
e c a
f d b f e d c b a ++++≠++===),0(54 5.合比性质：
d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变）
． 知识点二：平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。用符号语言表示：
∵AD//BE//CF,
∴AB
BC
=DE
EF
,BC
AC
=EF
DF
,AB
AC
=DE
DF
2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相
交，截得的对应线段成比例。
几何语言：由DE∥BC可得：
AC
AE
AB
AD
EA
EC
AD
BD
EC
AE
DB
AD
=
=
=或
或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AG
GC
=2
3
，则DF
DC
=_______。
知识点三：相似形多边形
1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫
做相似多边形。
2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那
么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）
4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。例1：下列判断正确的是（）
A.两个矩形一定相似。
B.两个平行四边形一定相似。
C.两个正方形一定相似。
D.两个菱形一定相似。
例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出
（1）是“A”字型
（2）是“8”字型
经常考，关键在于找
报纸的长与宽的比吗？
知识点四：黄金分割
(1) 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。618.02
15≈-=AB AC 所以：AB AC 215-=≈0.618AB 。AB BC 2
53-= 例：已知线段AB=10cm,点C 是AB 的 黄
金分割点，且AC ＞BC ，求AC 和BC 的
长。
(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点. 作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使BD =1
2AB ； ②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；
③在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为： .
（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。
（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于√5?12
例：如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 是角平分线．
(1)求证：AD 2=CD ·AC ；
(2)若AC =a ，求AD ．
知识点五：相似三角形
1、 相似三角形
（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形
相似。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。
（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相
交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三角形相似的判定定理：
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
(此定理用的最多)
几何语言：在△ABC 和△DEF 中
如果 判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF F 中 如果 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF 中 如果AB DE =AC DF = BC EF ，那么△ABC ∽△DEF 例1：如图，（1）若 AB AE ________,则△ABC ∽△AEF ；（2）若∠E ＝________，则△ABC ∽△AEF 。 直角三角形相似判定定理: ○ 1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 ○ 2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 3.补充：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理： CD 2=AD ·BD ， AC 2=AD ·AB ， BC2=BD·BA （在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. 例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， (1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA； (2)求证：CD2=AD·AD； (3)求证：AC·BC=AB·CD． 4.相似图形中常见的基本图 形： 5.相 似三 角形 的性 质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比). ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方. ④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根 ⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。 例1：已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，AC DF =3 5 ，EG=10cm，求BD的长。 例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。 例3：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48 求S⊿ADE 相似的应用：位似 （1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为 位似比。 需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形 是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 ②两个位似图形的位似中心只有一个。 ③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 ④位似比就是相似比。 （2）性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。 ②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。 ③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。 ④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。 画位似图形的一般步骤： （1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部 也可能在图形 上） （2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点） （3）确定位似比 （4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。 坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k （k ≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k ∣。 例1：下列说法中正确的有（ ） （1）位似多边形一定是相似多边形。 （2）相似多边形一定是位似多边形 （3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个多边形的面积之比为4︰9。 （4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。 例2：若△ABC 与△DEF 关于点O 位似，其位似比是1:2，AO=5，则对应点A 、Ｄ之间的距离是 。 例3：在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩短后得到线段A 1B 1，则A 1B 1，的长度等于 。 历年中考试题练习 一、选择题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ） A.60° B.70° C.80° D.120° 2、如图， 已知D 、E 分别是的AB 、 AC 边上的点，且 那么等于（ ） ABC ?,DE BC //1ADE DBCE S S :=:8,V 四边形:AE AC C D O A D E 第5题 B C D E A A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 3、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别 是的中点，则与的面积比是（ ） A ． B ． C ． D ． 第3题图 第4题图 4、如上图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 5、如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 7、如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作P E ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ） A. B. C. D. 8、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 9、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） DEF △ABC △O D E F ，，OA OB OC ，，DEF △ABC △1:61:51:41:2ABC ?D E AB AC 6BC =DE ABC DEF △∽△ABC △DEF △35x +45x -7221212525x x -,,a b c ,,a b c b a c =+b ac =222b a c =+22b a c ==91923194（第10题） A ． B ． C ． D ． A B C D E P E H F G C B A 第9题 二、填空题 1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，． 2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的 比是 ． 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 4、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ． 5、如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= 9、如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米． 11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为__ ____米． 三、解答题 1、如图，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ， 点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积. 2、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）； （2） 3、如图，四边形和四边形都是平行 四边形，点为的中点，分别交于点． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求． 4、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与D E ，ABC △AB AC ，DE BC ADE ACB △∽△1:3CG AE =.MN CN DN AN ?=?ABCD ACED R DE BR AC CD ，P Q ，::BP PQ QR D C B A 第3题图 A E C D A B C D E P O R E AD 交于点F ，。 ⑴求证：△ABF ∽△CEB; ⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。 5、如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证： ADE ∽BEF ； （2）设正方形的边长为4， AE =，BF =．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值． CD DE 2 1=??x y x y
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