平面向量的数量积及运算律(1)
教学目的:
1掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4掌握向量垂直的条件
教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律
教学过程:
一、复习引入:
1. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =
λa
2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a
,有且只有一对实数λ1,λ2使a
=λ11e +λ22e
3.平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a = 4.平面向量的坐标运算 若),(11y x a =,),(22y x b =,
则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ= 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --= 5.a
∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
6.线段的定比分点及λ
P 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,
使 P P 1=λ2PP ,λ
叫做点P
分2
1P P 所成的比,有三种情况
:
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7定比分点坐标公式:
若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λ
λλ
λ++++1,
12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比
8点P 的位置与λ的范围的关系:
①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点
②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式:
在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b, 可得OP =
b a b a λ
λ
λ
λ
λ++
+=
++1111
10.力做的功:W = |F |?|s |cos θ,θ是F 与s 的夹角
二、讲解新课:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角 说明:(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=2
π
时,a与b垂直,记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的范围0?≤θ≤180?
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ?b ,即有a ?b = |a ||b |cos θ,
(0≤θ≤π)并规定0与任何向量的数量积为0 ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
C
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定
(2)两个向量的数量积称为内积,写成a ?b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替
(3)在实数中,若a ≠0,且a ?b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ?b =0,不能推出
b =0因为其中cos θ有可能为0
(4)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ? a=c 但是a ?b = b ?c a = c
如右图:a ?b = |a ||b |cos β = |b ||OA|,b ?c = |b ||c |cos α = |b ||OA|
? a ?b = b ?c 但a ≠ c
(5)在实数中,有(a ?b )c = a (b ?c ),但是(a ?b )c ≠ a (b ?c )
显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,
而一般a 与c 不共线
3.“投影”的概念:作图
定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影
投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0?时投影为 |b |;当θ = 180?时投影为 -|b | 4.向量的数量积的几何意义:
数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 5.两个向量的数量积的性质:
设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |cos θ 2?a ⊥b ? a ?b = 0
3?当a 与b 同向时,a ?b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=
||
4?cos θ =|
|||b a b a ?
5?|a ?b | ≤ |a ||b | 三、讲解范例:
例1 判断正误,并简要说明理由
①a·0=0;②0·a=0;③0-AB =BA ;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2 解:上述8个命题中只有③⑧正确;
对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;
对于②:应有0·a=0;
对于④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|,这
里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;
对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0; 对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与с共线,记a=λс 则a·b=(λс)·b=λ(с·b)=λ(b·с),
∴(a·b)·с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a 若a与с不共线,则(a·b)с≠(b·с)a
评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b
解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,
∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,
∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°, ∴a·b=0;
③当a与b的夹角是60°时,有
a·b=|a||b|cos60°=3×6×2
1=9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能
四、课堂练习:
五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记及备用资料:
1概念辨析:正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个向量
所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是
一些易见的错误,如:
1已知△ABC 中,a=5,b=8,C=60°,求BC ·CA
对此题,有同学求解如下:
解:如图,∵|BC |=a=5,|CA |=b=8,C=60°, ∴BC ·CA =|BC |·|CA |cos C=5×8cos60°=20
分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,即上例中BC 与CA 两向量的起点并不同,因此,C并不是它们的夹角,而正确的夹角应当是C 的补角120°
2向量的数量积不满足结合律 分析:若有(a·b)с=a·(b·с),设a、b夹角为α,b、с夹角为β,则(a·b)
с=|a|·|b|cos α·с,
a·(b·с)=a·|b||с|cos β
∴若a=с,α=β,则|a|=|с|,进而有:(a·b)с=a·(b·с)
这是一种特殊情形,一般情况则不成立举反例如下:
已知|a|=1,|b|=1,|с|=2,a与b夹角是60°,b与с夹角是45°,则:
(a·b)·с=(|a|·|b|cos60°)с=
2
1с,
a·(b·с)=(|b|·|с|cos45°)a=a
而
2
1с≠a,故(a·b)·с≠a·(b·с)
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点: 1、重点:平面向量数量积的概念、性质的发现论证; 2、难点:平面向量数量积、向量投影的理解; 二、教学过程: (一)创设问题情景,引出新课 问题:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运 算的结果是什么? 新课引入:本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算:平面向量的数量积的 物理背景及其含义 (二)新课: 1、探究一:数量积的概念 展示物理背景:视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析: 问题:真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少? 答:实际上是力→F 在位移方向上的分力,即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念:作图
定义:|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 2、背景的第二次分析: 问题:你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析:θCOS S F w →→=用文字语言表示即:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢? 平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量→a 与→b ,它们的夹角是θ,则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积,记作→a ·→b ,即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos (0≤θ≤π).并规定→0与任何向量的数量积为0. 注:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义: 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解: 例1 已知|→a |=5,|→b |=4,→a 与→b 的夹角θ=O 60,求→a ·→b 解:由向量的数量积公式得:(先复习特殊角度的余弦值) →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知|→a |=8,|→b |=6,①→a 与→b 的夹角为O 60,②→a 与→b 的夹 角θ=00,求→a ·→ b ;
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题: 1. 若|a |=|b |=1,a ⊥b ,且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直,则k 的值为( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 2.若AP 31 = PB ,AB λ=BP ,则λ的值为 ( ) A .41 B .43 C .34 D .3 4- 3.设a 和b 的长度均为6,夹角为 120?,则-|a b|等于 ( ) A .36 B .12 C .6 D .36 4.若| |=2sin15°,| |=4cos375°、 , 夹角为30°,则 · 为( ) A . 2 3 B .3 C .32 D .21 5.若|a |=|b |=|a -b |,则b 与a +b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .150° D .120° 6.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值,最小值分别( ) A .0,24 B .24,4 C .16,0 D .4,0 7.已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = ( ) A .7 B .10 C .13 D .4 8.已知,,为非零的平面向量. 甲:则乙,:,=?=? ( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件 D .甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b) ⊥a ,(b -2a ) ⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A .6π B .3π C .32π D .6 5π 10.若向量a 与b 的夹角为60,||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为( ) A .2 B .4 C .6 D .12 11.设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ,且,2 0,||π θ<高中数学平面向量公式(精选课件)