新人教版八年级数学下册复习课教案（全册）
二次根式复习课
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相
除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6：
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2
A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2
A．2x B．2a C．-2x D．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：
第十七章 勾股定理
教学目标：
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理
教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图
定理：2
22c b a =+
应用:主要用于计算
直角三角形的性质:勾股定理
222
勾股定理
三、知识点回顾 1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=． 勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c ）
（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系
（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若
2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。
3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2
22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2
<+c b a 22，则三
角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．
例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径． 例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．
分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.
例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且．求
证：△AEF 是直角三角形．
分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证
_________________________________________即可．
例5：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）
分析：将点A与点B展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。”再根据“勾股定理”求出最短路线
五、补充本章注意事项
勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：
1、要注意正确使用勾股定理
例1 在Rt △ABC 中，∠B=Rt ∠，a=1，3b =，求c 。 2、要注意定理存在的条件
例2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC=4，BC=3，求AB 的长。 3、要注意原定理与逆定理的区别
例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2
?=，求证：△ABC 为直角
三角形。
4、要注意防止漏解
例4 在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c 。 5、要注意正逆合用
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。
例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。
6、要注意创造条件应用
例6 如图3，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=
分析 因为EF 、AE 、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED 到G ，使DG=DE ，连结BG 、FG ，则易证明信BG=AE ，GF=EF ，
∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt △FBG 中，由勾股定理有：
222BG BF FG +=，从而222BF AE EF +=。
第17章 勾股定理
教学目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程 一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：
————————————.这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=． 2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．
.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2
22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2
<+c b a 22，则三角
形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二.课堂展示
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
三.随堂练习
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A ．7，24，25
B ．3
21，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，82
1
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A ．1倍
B ．2倍
C ．3倍
D ．4倍 3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）
A ． 6
B ． 36
C ． 64
D ． 8 4.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）
A ．6cm
B ．8．5cm
C ．
13
30cm D ．1360
cm
5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？
四.课后练习
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A ．50cm
B ．100cm
C ．140cm
D ．80cm
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿
4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿
第18章平行四边形
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等；
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。
【教学难点】
平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】
以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺-----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率。
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。
【教学过程】
一、以题代纲，梳理知识
（一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。
（二）诊断练习
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：
（1）AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）
（2）∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形）
（3）AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形）
（4）OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形）
（5）AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？)
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米。
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形。
（三）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（C）
A.对角线相等（距、正）
B. 对角线平分一组对角（菱、正）
C.对角线互相平分
D. 对角线互相垂直（菱、正）（2）正方形具有，矩形也具有的性质是（A）
A.对角线相等且互相平分
B. 对角线相等且互相垂直
C. 对角线互相垂直且互相平分
D.对角线互相垂直平分且相等（3）如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（D）
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形
（4）矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（B）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对边平行且相等
D. 内角和为3600
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
（5）正方形具有而矩形不具有的特征是（D）
A. 内角为3600
B. 四个角都是直角
C. 两组对边分别相等
D. 对角线平分对角
问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
2、集合表示，突出关系
二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题1〗
已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，
EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． 求证：OE=OF ．
证明: ∵
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式2．在图1中，如果过点O 再作GH ，分别交AD 、BC 于G 、H
，你又
B
C
能得到哪些新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式3．在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ，这时仍有OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式4．在图1中，若改为过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形AHCG 是平行四边形， 再由一个直角可得四边形AHCG 是矩形。
变式5．在图1中，若GH ⊥BD ，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形BGDH 是平行四边形， 再由对角线互相垂直可得四边形BGDH 是菱形。
B
B