2020年福建省福州XX中学中考数学模拟试卷
一、选择题：共12小题，每题3分，共36分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂．
1．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（）
A．﹣32B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3）D．（﹣3）+（﹣3）
2．近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是（）
A．1.6×104B．0.16×10﹣3C．1.6×10﹣4D．16×10﹣5
3．如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）
A． B． C． D．
5．一元二次方程（x+1）2+2020=0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
6．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
7．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）
A．3 B．4 C．12 D．16
8．函数y=|2x|的图象是（）
A． B． C． D．
9．已知∠MON=36°，先以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交ON于点C，度量∠ACO的度数为（）
A．36°B．72°C．108° D．180°
10．甲、乙两名运动员在六次射击测试中的成绩如表（单位：环）：
甲的成绩678899
乙的成绩596★910
如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为“★”）可以是（）
A．6环 B．7环 C．8环 D．9环
11．已知点N在x轴上，则点M（m，m2﹣2m+3）与点N的距离最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．
12．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AC与BD所夹锐角为60°，则四边形ABCD的面积为（）
A．12 B．12 C．24 D．24
二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．
13．化简：=．
14．使分式有意义的x的取值范围是．
15．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是以上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种，如果第1周使用A种密码，那么第3周也使用A种密码的概率是．
16．已知矩形ABCD中，点A、B、D的坐标分别为（1，0），（2，2），（3，﹣1），则点C的坐标为．
17．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是．
18．如图，双曲线y=在第一象限内的图象与等腰直角三角形OAB相交于C点和D点，∠A=90°，OA=1，OC=2BD，则k的值是．
三、解答题：共9小题，满分90分．
19．计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．
20．化简：．
21．如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．
22．已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？
23．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
24．在平面直角坐标系中，已知A（，1），B（2，0），O（0，0），反比例函数y=的图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，点B 与点D对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB，E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD=2，BE=EO，求BD的长．
26．如图，等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC 交于点M、N．
（1）求证：AM=AN；
（2）当x为何值时，线段BM的长度最大；
（3）当∠BAD=15°时，求x的值．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+2过点B（1，0）．
（1）求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；
（2）以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P、Q两点的坐标；
（3）若点M在抛物线y=ax2﹣x+2的对称轴上，且∠AMC=45°，求点M的坐标．
2020年福建省福州XX中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，每题3分，共36分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂．
1．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（）
A．﹣32B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3）D．（﹣3）+（﹣3）
【考点】有理数的混合运算．
【分析】原式利用乘方的意义计算出结果，即可作出判断．
【解答】解：（﹣3）2=9，
A、原式=﹣9，不相等；
B、原式=﹣6，不相等；
C、原式=9，相等；
D、原式=﹣6，不相等，
故选C
2．近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是（）
A．1.6×104B．0.16×10﹣3C．1.6×10﹣4D．16×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00016=1.6×10﹣4，
故选：C．
3．如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【考点】点到直线的距离．
【分析】首先熟悉点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即为点到直线的距离．
【解答】解：根据点到直线的距离定义，可判断：
AB表示点A到直线BC的距离；
AD表示点A到直线BD的距离；
BD表示点B到直线AC的距离；
CB表示点C到直线AB的距离；
CD表示点C到直线BD的距离．
共5条．故选D．
4．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥﹣3，
A、不等式组的解集为x＞﹣3，故A错误；
B、不等式组的解集为x≥﹣3，故B正确；
C、不等式组的解集为x＜﹣3，故C错误；
D、不等式组的解集为﹣3＜x＜5，故D错误．
故选：B．
5．一元二次方程（x+1）2+2020=0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先将方程整理成一般形式，再求出判别式△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程（x+1）2+2020=0即为x2+2x+2020=0，
∵△=4﹣4×1×2020＜0，
∴原方程无实数根．
故选D．
6．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
【考点】轴对称的性质．
【分析】连结PG、PH，如图，根据轴对称的性质得OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG，BP=BH，于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm．
【解答】解：连结PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP=AG，BP=BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm．
故选B．
7．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）
A．3 B．4 C．12 D．16
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高．
【解答】解：由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3．
则左视图面积=1×3=3，
故选：A．
8．函数y=|2x|的图象是（）
A． B． C． D．
【考点】正比例函数的图象．
【分析】根据绝对值的意义进行讨论判断即可．
【解答】解：函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，
故图象C符合，
故选C
9．已知∠MON=36°，先以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交ON于点C，度量∠ACO的度数为（）
A．36°B．72°C．108° D．180°
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【分析】先根据题意画出图形，再根据根据等腰三角形的性质，求得∠ACB=∠ABC=72°，进而得到∠ACO=180°﹣72°=108°．
【解答】解：如图所示，∵AO=BO，∠AOB=36°，
∴△AOB中，∠ABC=72°，
∵AB=AC，
∴△ABC中，∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠ACO=180°﹣72°=108°．
10．甲、乙两名运动员在六次射击测试中的成绩如表（单位：环）：
甲的成绩678899
乙的成绩596★910
如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为“★”）可以是（）
A．6环 B．7环 C．8环 D．9环
【考点】中位数．
【分析】先求得甲测试成绩的中位数，再设乙第四次射击的成绩为x，根据两人测试成绩的中位数相同，列出关于x的方程进行求解即可．
【解答】解：甲测试成绩的中位数=（8+8）÷2=8，
∵两人测试成绩的中位数相同，
∴乙测试成绩的中位数也是8，
设乙第四次射击的成绩为x，则
（9+x）÷2=8，
解得x=7．
故选（B）
11．已知点N在x轴上，则点M（m，m2﹣2m+3）与点N的距离最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．
【考点】点的坐标．
【分析】先利用二次函数的最值问题求出点M到x轴的最小距离，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵m2﹣2m+3=（m2﹣2m+1）+2=（m﹣1）2+2，
∴点M到x轴的最小距离为2，
∵点N在x轴上，
∴由垂线段最短可知MN的最小值为2．
12．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AC与BD所夹锐角为60°，则四边形ABCD的面积为（）
A．12 B．12 C．24 D．24
【考点】解直角三角形．
【分析】作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA?sinθ，CF=OC?sinθ，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD?AE+BD?CF=BD?（AE+CF ）可以求出面积．
【解答】作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夹角为θ，
所以AE=OA?sin60°，CF=OC?sin60°，
=S△ABD+S△BDC
∴S
四边形ABCD
=BD?AE+BD?CF
=BD?（AE+CF）=×8×6×sin60°=12．
故选：B．
二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．
13．化简：=．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣
=．
故答案为：．
14．使分式有意义的x的取值范围是x≠1．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
15．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是以上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种，如果第1周使用A种密码，那么第3周也使用A种密码的概率是．
【考点】概率公式．
=P n?，得出P2=0，P3=．【分析】由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率P n
+1
【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2=0，第三周使用A的概率P3=；
故答案为：．
16．已知矩形ABCD中，点A、B、D的坐标分别为（1，0），（2，2），（3，﹣1），则点C的坐标为（4，1）．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【分析】先根据题意画出图形，再用待定系数法求出直线AB解析式，进而利用矩形的性质求出直线CD解析式，同理求出直线BC解析式，最后联立解方程组即可．
【解答】解：如图，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∵A（1，0），B（2，2），
∴，
∴，
∴直线AB解析式为y=2x﹣2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴设直线CD解析式为y=2x+b'①
∵D（3，﹣1），
∴6+b'=﹣1，
∴b'=﹣7，
∴直线CD解析式为y=2x﹣7，
同理：直线BC解析式为y=﹣x+3②
联立①②解得，x=4，y=1，
∴C（4，1），
故答案为（4，1）．
17．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD、DC相切，则图中阴影部分的面积是2﹣π．
【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．
【分析】连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt △ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AC、BD、BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AO=，BO=1，
∵tan∠BAO=，tan∠ABO=，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，
∴BE=ABsin60°=，
∴S
菱形﹣S
扇形=×
2×2﹣=2﹣π．
故答案为：2﹣π．
18．如图，双曲线y=在第一象限内的图象与等腰直角三角形OAB相交于C点和D点，∠A=90°，OA=1，OC=2BD，则k的值是．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】作CE⊥OB于E，DP⊥OB于P，设OC=2x，则BD=x，根据等腰直角三角形的性质求得点D、C的坐标，再根据k=xy，列出关于x的方程，从而求得反比例函数的解析式；
【解答】解：作CE⊥OB于E，DP⊥OB于P，
设OC=2x，则BD=x，
∴C（2x?，2x?），D（﹣x，x），
∵C、D都在反比例函数的图象上，
∴（x）2=（﹣x）x，
解得x=，
∴k=（×）2=．
故答案为．
三、解答题：共9小题，满分90分．
19．计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+
=﹣2+4×﹣3+3
=﹣2+2﹣3+3
=0
20．化简：．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣==x．
21．如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE．
22．已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得：
，
解得：，
答：A服装成本为300元，B服装成本200元．
23．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小
小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有200人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由A是36°，A的人数为20人，即可求得这次被调查的学生总人数；（2）由（1），可求得C的人数，即可将条形统计图（2）补充完整；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵A是36°，
∴A占36°÷360=10%，
∵A的人数为20人，
∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200（人），
故答案为：200；
（2）如图，C有：200﹣20﹣80﹣40=60（人），
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：=．
24．在平面直角坐标系中，已知A（，1），B（2，0），O（0，0），反比例函数y=的图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，点B 与点D对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过点A（，1），可以求得k的值；（2）根据题目中信息可以画出旋转后的图形，然后求出点D的坐标，即可判断点D是否在该函数的图象上，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（，1），
∴，得k=，
即k的值是；
（2）∵B（2，0）
∴OB=2
又∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD
∴OD=OB=2，∠BOD=60°，
如右图所示，过点D作DE⊥x轴于点E，
在Rt△DOE中，
OE=OD?cos60°=，DE=OD?sin60°=，
∴D点坐标是（1，），
由（1）知，反比例函数的解析式，
当x=1时，，
∴点D（1，）在该反比例函的图象上．
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB，E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD=2，BE=EO，求BD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；
（2）过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，进而确定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB为△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，CM=CD=，
∴OC=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2．
26．如图，等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC 交于点M、N．
（1）求证：AM=AN；
（2）当x为何值时，线段BM的长度最大；
（3）当∠BAD=15°时，求x的值．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．
（2）首先证得△BPM∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BM=﹣x2+x，继而求得答案．
（3）首先连接DE，分别交AB，AC于点G，H，连接PG，由∠BAD=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO 垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=t，从而求得t的值，即可以求出结论．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵，
∴△ADM≌△APN（ASA），
∴AM=AN．
（2）∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴=，
∵等边△ABC的边长为2，BP=x，
∴CP=2﹣x，CA=2，
∴，
∴BM=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，
∴当x=1时，线段BM的长度最大；
（3）如图，连接DE，分别交AB，AC于点G，H，连接PG，
∵∠BAD=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=t，
∴AG=PG=t，
∴t+t=2，
解得t=﹣1，
∴x=2t=2﹣2．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+2过点B（1，0）．
（1）求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；（2）以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P、Q两点的坐标；