高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题一 导数概念
一．填空题 1．若)(0x f '存在，则x
x f x x f x ?-?-→?)()(lim
000
= ,
2．若)(0x f '存在，h h x f h x f h )()(lim
000
--+→= .000(3)()lim x f x x f x x
?→+?-?= .
3．设0()2f x '=-, 则=--→)()2(lim )
000x f x x f x
x
4．已知物体的运动规律为2
t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为
5．曲线x y cos =在3
x π
=处的切线方程为
，法线方程为
6．用箭头?或?表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系， 极限存在 ? 连续 ? 可导。 二、选择题
1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x
x f x )
(lim
0→= [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2
1
)0(f
2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x
x b x f x a x f x ??--?+→?)
()(lim 0 = [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2
b
a +)(x f '
3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22
-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
5．设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。
0()
f x '-02()
f x '03()f x '145/m s 1)223y x π-=--1()233y x π
-=-??
(C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。
三、设函数??
?>+≤=1
1)(2
x b
ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什么值。
四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
而因为)0(f '存在,故(0)(0)(0)f f f -+'''==,所以)0(f '=0.
五、 证明：双曲线2
a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
证: 设双曲线上的任意一点为00(,)x y ,则2
00x y a =,又因0y xy '+=, 所以双曲线在该点的切线方程为0
000
()y y x x y x =-
-+, 故它与两坐标轴的交点分别为0(0,2)y 和0(2,0)x , 所以三角形的面积200001
(2)(2)222
S x y x y a =??==为定值. 000:(),()(),()(0)()(0)()(0)
(0)lim lim lim (0)
x x x f x f x f x f x f f x f f x f f f x x x -++-+?→?→?→=-?--?-?-''===-=-?-??证因为为偶函数所以又因为
21
111()1(1)(1)(1),(1)lim 1(1),(1)lim(),1()1(1)(1)(1)lim 22,(1)lim ,
2,1
x x x x f x x f f f f x f f ax b a b a b f x x f f f x f a a a b -+
-+-+-+
→→-+-+→→=======+=++=''==''======-解：因为在处连续，所以所以因为在处可导,所以所以
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班级 姓名 学号
习题二 求导法则（一）
一、填空题
1．x x y sin )sec 2(+=, y '= ; x
e
y sin -=, y '= .
2．)2cos(x
e y =，y '= ; y =x
x 2sin ，y '= .
3．=r 2ln log 2+x x , r '= 2tan ln θ
ρ=，ρ'= ;
4. )tan ln(sec t t w +=, w '= . 2
arccos()y x x =+，y '
5.
'+)1(2
x
( )'=2
1x
x + . 6. [ln('+x ; ( )'=211x
+ . 二、选择题
1．已知y=
x
x
sin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2
sin sin x x x x - (D)x x x x sin cos 2
3- 2. 已知y=x x
cos 1sin + ，则 y '= [ C ]
（A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x
x cos 11cos 2+-
3. 已知x
e y sec =，则 y '= [ A ] （A ）x x x e e e tan sec (B) x x
e
e tan sec
(C) x e tan (D)x x e e cot
4. 已知)1ln(2
x x y ++=，则 y '= [ A ] （A ）
2
11x + (B)
21x + (C)
2
1x x + (D)
12-x
2tan 2cos 1x x ++sin cos x
xe --2sin(2)x
x
e e -22cos 2sin 2x x x
x -csc θ21
log ln 2x +2x +sec t C
ln(x C ++
5. 已知x y cot ln ==，则 4
|
π
=
'x y = [ D ]
（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6. 已知 x
x
y +-=11，则 y '= [ B ] （A ）
2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2
)
1(2+-x x
三、计算下列函数的导数：
(1) y =+ (2) )tan(ln x y =
(3) v
e u 1sin 2
-= (4 ) )(ln sec 3
x y =
(5) ln(y x =+ (6) 1arctan 1x
y x
-=+
四、设)(x f 可导，求下列函数y 的导数
dx
dy 2313sec (ln )sec(ln )tan(ln )3
sec (ln )tan(ln )y x x x x
x x x
'=??=22
11sec (ln )
sec (ln )y x x x x
'==2
21sin 21sin 2111
(2sin cos ())
12sin v
v u e
v v v
e v v
--'=?-??-
=y x ''
=
+==
22332
3111(ln )3
31
(1(ln ))3y x x x x x ---'=+?=+22
21(1)(1)1
1(1)11()1x x y x x x x
-+--'=
?=--++++
（1）)](sin[)(sin x f x f y += (2))(cos )(sin 2
2x f x f y +=
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班级 姓名 学号
习题三 求导法则（二）
一、填空题： 1．x e y x
3cos 2
-=，='y ； x y 2
ln 1+=，='y
2．x
y 1arccos =，='y
x
arx tan ， 'y
3．x
x y sin 21
sin 2arcsin ++=4．设1ln arctan 22--=x x x
e e e y ，则
==1
x dx
dy
5．设3
22
)(x
e x y -+=，则='=0|x y
6．设)(x f 有连续的导数，0)0(=f ，且b f =')0(，若函数??
???=≠+=0,0
,sin )()(x A x x
x a x f x F 在0=x 处连续，则常数A =
二、选择题：
1．设)(x f y -=，则='y [ D ] （A ）)(x f ' （B ）)(x f '- （C ）)(x f -' （D ）)(x f -'- 2．设周期函数)(x f 在),(∞+∞-可导，周期为4, 又 12)
1()1(lim
-=--→x
x f f x , 则曲线
)(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为 [ D ]
（A ）
2
1
（B ）0 （C ）1- （D ）2- 3. 已知 2
12arctan 21x x
y -=，则 y '= [ C ] 1212
(sin )cos cos(())()cos (sin )()cos(())y f x x f x f x x f x f x f x '''=+?''=?+2222(sin )2sin cos (cos )(2cos (sin ))sin 2((sin )(cos ))y f x x x f x x x x f x f x '''=+?-''=-2
1
(cos33sin 3)2x
e x x --+1221
11
e e e ++-1
3a b
+
4. 已知)ln arcsin(x x y =，则 y '= [ C ] （A ）x ln (B)
2
)
ln (1ln x x x x - (C)
2
)
ln (1ln 1x x x -+ (D)
1
ln )ln (12
--x x x
三、已知2
arctan )(,2323x x f x x f y ='??
? ??+-=，求：0|=x dx dy
四、设0>x 时，可导函数)(x f 满足：x
x f x f 3
)1(2)(=+，求)(x f ' )0(>x
五、已知)
(2)(x f a
x =ψ，且)
(ln 1
)(x f a x f ?=
'，证明：)(2)(x x ψψ='
六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。 22032323212
(
)()arctan()323232(32)3|344x x x x y f x x x x y ππ
=---'''=?=?++++'∴=?=
213
()2()1
()2()31
()21
()2(0)
f x f x x
f f x x
x
f x x x f x x x
+=
∴+=∴=-
'∴=+> 22
22()
()()()
()()ln 2()()1ln 2()22()ln ()
f x f x f x f x x a
x a a f x f x a a f x a x a f x ψψψ=''∴=??=??==?
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题四 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
1．设y
xe y +=1，则y '= ,
2. 设)tan(r r +=θ，则r '= ,
3. 设x
y y x arctan ln 2
2=+,则y '= ,
4．设???==t e y t e x t
t
cos sin ，则dx dy = ，3|π=t dx dy =
。 二、选择题
1. 由方程0sin =+y
xe y 所确定的曲线)(x y y =在（0，0）点处的切线斜率为 [ A ]
（A ）1- （B ）1 （C ）21 （D ）21
- 2. 设由方程22
=xy 所确定的隐函数为)(x y y =，则dx
dy = [ A ]
（A ）x y 2- （B ）x y 2 （C ）x y - （D ）x
y
3. 设由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数为)(x y y =，则dx
dy
= [ A ]
（A ）
y cos 22- （B ）y sin 22+ （C ）y cos 22+ （D ）x
cos 22-
4. 设由方程???-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数为)(x y y =，则在2π=t 处的导数为 [ B ]
（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2
1
-
5.设由方程ln arctan x y t
??=?=??)(x y y =，则=dx dy [
B ] 21y y
y e e y xe =--2
csc (
)r θ-+x y
x y +-cos sin sin cos t t t t y x
x y -+-=
+2
（A
（B ）1
t
（C ）12t ； （D ）t .
三、求下列函数的导数
dy dx
1．2223
3
3
x y a += ， 2. 33
cos sin x a t
y a t ?=?=?
3．2310x
y x y ye +++= 4. x e x x y -=1sin
四、求曲线???=--=+-0
20
1sin 3
θθθy e x x 在0=θ处的切线方程，法线方程
11332203
3x x y y y --'+='∴=方程两边同时对求导得22d d /d 3sin cos sin d d /d 3cos (sin )cos y y t a t t t x x t a t t t
===-?-322322230213x x x
x x y xy x y y y e ye xy ye
y x y e '''++++=+'∴=-++方程两边同时对
求导得111
ln ln ln sin ln(1)
22411cos 22sin 4(1)
1cos ()22sin 4(1)
x x x x x
y x x e x x e y y x x e x e y x x e =++-'?=+--'∴=+--方程两边同时取对数得
方程两边同时对求导得32sin 10d d sin cos 0,d d d cos d 1sin 20d 32d x x x x x x e x x e e x e e y y
θθθθθθθθθ
θθθθθ
-+=-??-=∴=
---==+方程两边同时对求导得方程两边同时对求导得
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题五 高阶导数
一、填空题
１．设φφcos =r ，则r '= , r ''= .
2. 设)1ln(2x x y ++=,则y '
y ''＝ ．
3. 若)(2
t f y =, 且)(t f '' 存在，则dt dy ＝ ，22dt y d =
4. 设y
xe y +=1，则y '＝ ，y ''＝
． 5．设()arctan x f t y t t
=??=-?，且2t dx dy =，则22dx y d = 。 6. 设1
2-+=x n
e
x y ,则)
(n y
= .
7. 设)2001()2)(1()(---=x x x x x f ，则)0(f '＝ ． 二、选择题
1．若x x y ln 2
=, 则y ''= [ D ] （A ）x ln 2 （B ）1ln 2+x （C ）2ln 2+x （D ）3ln 2+x
2.设)(u f y =，x
e u =,则2
2dx y
d = [ B ]
（A ）)(2u f e
x
'' （B ）)()(2u f u u f u '+'' （C ）)(2u f e '' （D ）)()(u uf u f u +''
3．设x y 2
sin =则=)
(n y [ A ]
（A ）]2)1(2sin[21
π-+-n x n （B ）]2)1(2cos[21π
-+-n x n
（C ）]2)1(2sin[2
1
π-++n x n （D ）]2
)1(2sin[2π
-+n x n cos sin φφφ-2sin cos φφφ
--23/2(1)x x -
+22'()
tf t 2222'()4''()f t t f t +2y e y -22333(3)2(2)(1)y
y y
y e y e xe y xe --=--21
!2n x n e -+2001!
-2
14
t t +
4. 设x xe y =，则=)
(n y
[ A ]
（A ）)(n x e x
+ （B ）)(n x e x
- （C ）)(2n x e x
+ （D ）nx
xe
三、设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数2
2dx
y
d 1．)(x
e f y = 2．)](ln[x f y =
四、求下列函数y 的二阶导数2
2dx y
d
1. cos sin x a t y b t
=??=?
2. arctan y x = 或
五、设123
y x =
-，求)
(n y 222
d ()d d ()()d x x x x x x
y
f e e x y f e e f e e
x '=?'''=?+?22
22
d 1()()d ()()d ()()[()]d [()]y f x f x x f x f x y f x f x f x x f x ''=?='''-=22222222242223
2
223
d cos d sin d d d ()()d d d d d cos d()/d d d cos sin ()d d sin d /d sin y b t b x
x a t a y
y b x b x
x x a y a x y
y
y x b b x a y a y b t
t y b t a t x x a t x t
b a t
=-=-=-=--=-?=--=-==
-222223
1(22)1()(1)()()(1)22()()x y x y x yy y x x
x y y x y
y x y x y y x y y x y x y '-'?=+++'∴=
-''+--+-+''∴==--两边同时对求导得()1
1!2(1)
23(23)n n n
n n y y x x +==---当时，
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题六 函数的微分
一． 已知x x y -=2
，计算在2=x 处
（1）当1.0=?x 时，=?y ，dy = （2）当001.0=?x 时,y ?= , dy
。
二．（1）函数21arcsin x y -=在
2
1-=x 处的近似表达式为
（2）函数)1cos(-=-x e y x
在0=x 处的近似表达式为
（3≈
三．填空（求函数的微分）
1、)sin 2(2
θθd = 2、))(ln(cos x d = d x
3、))1((ln 2
x d -=
4、)tan sec (ln x x d +=
5、))1
(arctan (x
f d =
6、(sin )(cos )
d x d x =
7、2sin d x x dx ?? ???
= 8、369
3(2)d x x x dx
-+=
四．将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。 0.31
3d 0.3
x 或0.0030013d 0.003
x 或1)323x π
++(sin1cos1)cos1y x =-+2(2sin cos )d θθθθθ+-2ln(1)
d 1x x x --
-2
(tan sec )d x x x +211(arctan )d 1f x x x '-+cos sin x
x -
3
cos sin 2x x x
x -36143x x -+13 3.018554+≈
(1). dx x d =( );
(2). dx x )23sin(-d =( -3
1
cos(3x-2) +C );
(3). 2
(32)x x dx +d =( ); (4). dx e x
2-d =( ); (5). dx x
a 2
21+d =( ); (6). 123dx x +d =( ); (7). )(2
2x d e x d =( ); （8）cos(2)x dx d =( )
(9).
d ( ) ; (10).
ln x dx x d =( ); 五．求下列函数或隐函数的微分
(1). 122
22=+b
y a x , 求dy
(2). y x y arctan +=，求dy
(3).x
x
y sin =，求dy
3
223
x C
+212
x e C --+32x x C
++1arctan x C a a +1ln(23)2x C ++2x e C +1sin(2
)2
x C +2
1ln
2
x C +arcsin arccos x C
x C
+-+2222
2d 2d 0d x x y y a b b xdx y a y
+=∴=-解：方程两边同时求微分，得22
2
d d d 11d y y x y y y dx y =+++∴=
解：方程两边同时求微分，得sin ln x x
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题七 综合练习（一）
一、填空题
1．设)(x f '存在，0≠a 为常数，则h
a h
x f a h x f h )
()(lim 0--+→= 。 2．若抛物线c bx x y ++=2
在点（1，1）处的切线平行于直线01=+-x y , 则=b ，=c . 3.若)(x f 可导，且)sin (??
+=-e
f y ，则y '= .
4.若???+==)
1ln()(2
t y t f x , 且t dx dy
2=, 则22dx y d = . 5.若02
=-+x e xy y ，则=dy .
6. 若u ue y -=则)100(y = .
二、选择题
1．若)(x f -=)(x f ，且在（0，∞）内)(x f '>0，)(x f ''< 0,则)(x f 在（-∞，0）内 [ A ] （A ）)(x f '< 0，)(x f ''< 0
（B ）)(x f '< 0，)(x f ''> 0
（C ）)(x f '>0，)(x f ''< 0 （D ）)(x f '>0，)(x f ''> 0
2．设函数)(u f 可导，)(2
x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应地函数增量y ?的线性主部为0.1，则=')1(f [ D ] （A ） 1- （B ）0.1 （C ）1 （D ）0.5 3．设1
arcsin
)1()(+-=x x
x x f ，则 [ C ] （A ）0)1(='f （B ）1)1(='f （C ）4
)1(π
='f （D ）)1(f '不存在
4．设x x x
y tan ln cos 2
tan
ln ?-=， 则y '= [ B ] 2'()f x a 1-1(cos )'(sin )
e f e ????---+222t +21d 2y y
x x ye -+(100)u u e --
三、设函数)(x y y =由方程e xy e y
=+所确定，求)0(y ''.
四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy
及二阶导数2
2dx
y d . 1.?????=+=t
y t x arctan 1ln 2
2.???==θθ33sin cos a y a x
五、设x
e x y =，用对数求导法求dx
dy 223
21101320(1).0(2)()22()()121(0)1
0,1|.
(0)y y y y y y y y y x y
x e y y xy y e x
x e y y e y y y xy e y y y e y e x y e x e x e e x y y e e
='''++=---∴=-+''''''''??+?+++=---''+-+''=-=-++-??+''===-=+解：方程两边同时对求导得：，方程(1)两边再对求导得：，所以，，当时，所以22
22222
3
1d d 11d d 111
d()d d d d ()d d d d d 11t y t t x t t t t y y t t x x x x t
t t t +==+-===++=-解：22
22224d 3sin cos d sin tan d 3cos (sin )d cos d d d d(tan )sec d ()d d d d 3cos (sin )d 1
3cos sin y a x a y y x x x x a a θθθθθθθθθθθθ
θθθ
θθ
==-=----===-=
解：
ln ln 111ln (ln )1
(ln )
x x x x x e x y e x
x y e x e e x y x x
y x e x ='=+?=+'∴=?+解：两边同时取对数得两边同时对求导，得
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号
习题八 综合练习（二）
一.填空题
1.设)(x f '存在，则 )]()1
([lim x f h x f h h -+
∞→= .
2．当=a 时，两曲线2
ax y =，x y ln =相切，切线方程是
3．若)(x f 在（∞-，∞+）内有一阶连续导数且0)0(=f ，当=A 时，
g(x)=?????=≠0
0)
(x A
x x
x f 在（∞-，∞+）内连续。
4． ()()()x
a
b
a b x y b
x
a
=??，dy =
5．d ( ) =dx x
)3ln 32(-， d( ) = )(ln x f 'x
dx
. 6． 若 uv e
v
u =+，则du dv = ， dv
du = 。 二．选择题
1．设x
x x f =)(，则其导数为 [ C ] （A ）x
x x f =')( （B ）x x x f x
ln )(=' （C ）)1(ln )(+='x x x f x
（D ）1
)(-='x x
x f
2. ≠')(a f [ C ]
a x a f x f A a x --→)()(lim
)(； x
x a f a f B x ??--→?)
()(lim ).(0；
t a f a t f C t )()(lim ).(0--→； s
s a f s a f D S )
2()2(lim ).(0--+→ 3. 设))(cos()(cos x f x f y ?=，且f 可导 则y '= [ C ] （A ）)())(sin(sin )(cos x f x f x x f '??' （B ）+?'))(cos()(cos x f x f ))](sin([)(cos x f x f -? （C ）-??'-))(cos(sin )(cos x f x x f )())(sin()(cos x f x f x f '?? ()f x '1
2e 12y =-()()()[ln ]d x a b a b x a b a x b x a b x
-??+23x x C -+(ln )f x C +u v u v e v
u e ++--
u v u v
e u v e ++--(0)
f '
4. 设)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，当，=)()
(x f n [ A ]
(A)1
)]
([!+n x f n (B) 1
)]
([+?n x f n ( C) n
x f 2)]([ (D) n
x f n 2)]
([!
5．设函数?????
=≠=,00
,
0,1sin )(x x x
x x f 则)(x f 在0=x 处 [ B ] (A) 不连续 (B) 连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 (D)可导，且导数也连续。 三．计算题
1．设()
x x
x
a a a y arccos 12-+= （其中
，1
≠为常数），试求dy
．
2．已知 y
x x y =，用对数求导法求dx
dy 。
4．已知ln(32)y x =+ , 求)
(n y
.
22d (ln 'arccos())')d (ln 2ln arccos ln )d d x x x x x x x x x y a a a a x a a a a a a a x
a x =++=??+=22
ln ln 1ln ln ln ln x y y x
x y y x y y x y x y xy y
y x xy x
=''+?=+-'∴=-解：方程两边同时取对数，得两边同时对求导，得()1()1ln ,(1)(1)!ln(32)(1)(1)!3(32)n n n n n n n y x y n x y x y n x ----==--=+=--+解：若则所以当时，
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题九 微分中值定理
一．选择题
1． 在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ] (A)()2321
f x x =
+ （B ）()2
11f x x
=
- （C ）(
)f x = （D ）()2
132f x x x =-+ 2． 若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）； （B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）； （C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）； （D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）
3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）2
12)(x
x
x f +=
,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(2
3
-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2
x x f +=,[0,3]
4． 若)(x f 和)(x g 对于区间内每一点都有)()(x g x f '=', 则在),(b a 内必有 [ B ] （A ）)()(x g x f = （B ）C x g x f +=)()( （C ）1)()(=+x g x f （D ）C x g x f =+)()( 二．填空题
1． 对函数r qx px x f ++=2
)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结
论中的ξ，总是等于 .
2． 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得 =-)
()
(a f b f e
e
成立
3．设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x x f ,则()0f x '=有 4 个根,它们分别位于区 间 内.
2a b
+()'()()
f e f b a ξξ?-(0,1),(1
,2),(2,3),(3,4)
三．证明题
1． 当0a b <<，试证：ln b a b b a
b a a
--<<
2． 证明：arcsin arccos 2
x x π
+=
3． 证明方程5
10x x +-=只有一个正根.
'()ln ,()[,](,)(,)1
()()()ln ln ln 111
(,)()0
ln f x x f x a b a b a b b f b a b a b a a
a b b a b a
b a b b a b a a ξξξξξ=?∈-=
-=-=∈<<->--<<证明：设则在内连续，在内可导，故由拉格朗日中值定理知，，使得，又因为，所以，且所以
，证毕。
()arcsin arccos ,()[1,1]()0,()[1,1],(0)0,,
222
arcsin arccos 2
f x x x f x f x f x C x f C x x πππ
π
=+-'=-=≡∈-=+==+=证明：令则在上可导，且所以，又因为所以故。
51111412()1()R (1)10,(0)10(0,1),()0.()00()00,()[,](,)(,),()0,()510f x x x f x f f f f x f x f x f f x x ξξξξξξξξξξξξξ=+-=>=-=<<''?∈==+>2证明：令，则在上连续，且，所以由零点定理知，使即是的正根。又假设另外还有也是的根，不妨设则在内连续，在内可导，由罗尔定理可知，
使但与矛盾，故假设不成立。
所以方程只有一个正根。
高等数学(Ⅰ)练习 第二章 一元函数微分学
系 专业 班 姓名 学号
习题十 洛比达法则
一．填空题
1．0lim sin x x
x e e x -→-= 2．a
x a x a x --→33
lim =
3．323211lim 231x x x x x x →--+-+= 4．0ln tan 3lim ln tan 5x x
x
+→= 5．1
lim(1)tan
2
x x
x π→-= 6．1
lim x
x xe +
→= 6．下列极限能够使用洛必达法则的是 C ：
（A ）bx x
x sin 11lim 1--→； （B ）
lim x →+∞；
（C ）)arctan 2
(
lim x x x -+∞
→π
； （D ）x
x x x sin 1
sin
lim
20
→的值，
二、判断题：（正确的括号内打“√”，错误的在括号内打“×”） 1．sin 1cos lim
lim sin 1cos x x x x x
x x x
→∞→∞++==--（不存在） [ × ]
2．2000cos sin cos lim lim lim 122
x x x x x x e x e x e x
x x →→→-++=== [ × ] 三．计算题
1．cos 0lim 1sin cos x x xe x x →-- 2．30arcsin lim sin x x x
x
→-
2231
2
π+∞
cos cos 0sin lim cos sin x x x e x x e x x e →-?=-+=
-3003
22
0arcsin lim 1(1)(2)
12lim 66
x x x x x x x x x →→-→-==--==-
3．11lim 1ln x x
x x →??-
?-?
? 4．22011lim()sin x x x →-
5．)21ln(arctan lim 30x x x x +-→ 6．x x x ln 1
)(cot lim +→
7．2
lim (
arctan )x x x π→+∞
8．10234lim 3x x
x
x
x →??
++ ???
111ln (1)ln lim lim
(1)ln ln 1ln 11lim ln 22x x x x x x x x x x
x x x x x →→→--==-+-+==+2222
224
0032
000sin sin lim lim sin sin 222cos 22lim lim 4122sin 21lim 123
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→--==--==-==-322
2113
1
1(12)11lim lim 666(1)12x x x x x x x →→--++===-++1ln 00202
011
ln 0
(cot )ln cot lim ln lim ln tan (csc )lim 1tan lim 1sin lim (cot )
x
x x x x x
x y x x y x x x x x x x x e ++++→→→→-→+===-===--∴= 令22
22
22(arctan )2ln(arctan )lim ln lim 111arctan 1lim 112lim arctan 12lim (arctan )x x x x x x
x y x x y x x x x x x x x e πππππ→+∞→+∞→+∞→+∞-→+∞==?+=-=-?=-+∴=
令
10001
02343234ln
3lim ln lim
32ln 23ln 34ln 4
2343lim 11
ln 24ln 3234lim 3 x
x
x
x
x x x x x x x x x x x
x x
x
x
x
x y y x
e →→→→??
++= ?
??
++=++?++===??++∴== ???
令
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
1 2006级 微积分《一元函数积分学》检测题（三） 班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________ (3,15) 1.()()arcsin _________________________________. 一、填空题每小题分共分设则f x f x xdx '==? 2._____________________________.= 4 1 3.____________________.-=? 740 4.sin 2__________________.xdx π =? ()2 05. sin ____________________.x d x t dt dx -=? ()()()()()()()()()()( )()()()()15sin 000 (3,15) sin 1.,1,0,. ;; ; 2.(),(),. ; ;; 二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小. 设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数. x x t s t t x dt x t dt x x x t A B C D f x I t f tx dx A I s t B I s C I t D I αβαβ==+→=??? ( )( )()()()5 226 0023.. cos ;0;11111 (2)();()22下列运算正确的是. x A xdx B dx x C f x dx f x C D d C x x x π π +∞ -∞ ==+'=+=+????? 884 4444 444 tan 4.(),sin ln(,1(tan cos cos ),,,( ).() () () ()设则的大小关系是x x x M x dx N x x dx x P x e x e x dx M N P A M N P B N M P C P M N D M P N π π πππ π----??=+=++??+=+->>>>>>>>??? 2sin 5.()sin ,() ( ). () () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数. x t x F x e tdt F x A B C D π +=?
[考研类试卷]考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (2011年试题，一)设则I，J，K的大小关系是( )． （A）I
（D）I213 4 (2008年试题，1)设函数则f'(x)的零点个数是( )．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5 (1998年试题，二)设f(x)连续，则tf(x2一t2)dt=( )． （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 6 (1997年试题，二)设则F(x)( )． （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数
7 (2010年试题，一)设m，n为正整数，则反常积分的收敛性( )． （A）仅与m有关 （B）仅于n有关 （C）与m，n都有关 （D）与m，n都无关 8 (2009年试题，3)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1一3—3所示，则函数435的图形为( )．436 （A）
（B） （C） （D） 9 (2007年试题，一)如图1一3—4，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直 径为2的上、下半圆周，设则下列结沦正确的是( )。 （A）
[考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加
（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( )
8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a)
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x
练习题 一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数 （1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =
一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1
11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）