导数及其求法
在学习过极限概念的基础上，现在来我们学习微积分的基本问题中非常重要的一个部分──微分学. 在这一部分将给出导数（微分）的概念、法则、定理及其主要求法.
§1一元函数导数及求法
【知识点】
一、基本概念
1、 导数定义：设函数
()
y f x =在点0x
的某一邻域内有定义，自变量
x 在0x 处取得一增量x ?（0x x
+?仍在邻域内），函数
y 相应取得增量()()00y f x x f x ?=+?-，如果极限
()()
000
lim
lim
x x f
x x f
x y x
x
?→?→+?-?=?? 存在，
()
0f x '
则称此极限值为函数
()y f x =在点0x
的导数，记为
()
()()
000
lim
x f
x x f
x f x x
?→+?-'=?
此时也称函数
()
f x 在点0x
处可导，若上式不存在，则称函数
()
f x 在点0x
处不可导或导数不存在.
2、 左导数与右导数定义：设函数
()
y f x =在点0x 的左侧（右侧）包含0x
某一邻域内有定义，在
x 处给
x
增量0x
?<（0x ?>），0x x +?仍在邻域内，函数
y 相应取得增量()()00y f x x f x ?=+?-，如果
极限
()()
000
lim lim x x f
x x f x y x
x
-
-
?→?→+?-?=??（()()
000
lim lim x x f x x f
x y x
x
+
+
?→?→+?-?=??） 存在，则称此极限值为函数
()
y f x =在
点0x
的左（右）导数，记为()0f x -
'
（
()0f x +'
）
()
()()
0000
lim x f
x x f x f x x
-
-?→+?-'=?
（()
()()
000
lim x f x x f
x f x x
+
+?→+?-'=?）
3、
可导的充分必要条件：函数
()
y f x =在一点可导的充分必要条件
()
f x 是在点0x
处的左、右导数存在
且相等，即
()()
00f x f x -+''=
4、导数的几何意义：函数()
y f x =在点0x
处导数
()
0f x '表示曲线
()
y f x =在点（0x
，
()
f x ）处
切线的斜率. 曲线
()
y f x =在点（0x
，
()
f x ）处的切线方程为
()()()
000y f x f x x x '-=-，法线
方程为()()
()()00001(0)
y f
x x x f x f x '-=
-
-≠'.（
()00
0,f x x x '==则为）
若函数
()
y f x =在点0x
处导数为无穷大，则曲线
()
y f x =在点（
x ，
()
f x ）处的切线垂直于
x 轴，切
线方程为
x x =，法线方程为
()0y f
x =.
5、导函数：若函数
()
y f x =在区间
I
上每一点处可导，则任一
x I
∈有导数值，由此定义了一个新函数，称为
()
f x 的导函数，简称导函数，记为
()
,,,
,
x d y d f
f x y y d x
d x '
'
'
6、可导与连续关系：在点0x
处
()()()()f x f x f x f x ''→若存在连续，反之连续则不一定存在
.
7、导数的四则运算法则与导数公式见教材. 8、高阶导数的概念：若函数
()
f x '的导数
()()()
l i m
x f
x x f x f x x
?→+?-
''=? 存在，该导数称为的二阶导数，记为
()
2
2
2
2
,,
,
d y
d f
f x y d x
d x
''''.
类推有三阶、四阶,n 阶导数，记为
()
()()
,
,
n
n n n
d
y
f
x y
d x
.
9、微分的定义：设函数()
y f x =在点
x 的某一邻域内有定义，如果对自变量在点x 处的改变量x ?（x x
+?仍
在邻域内），函数
y 的改变量
()()
y f x x f x ?=+?-可以表示为
()
(0)
y A x x x ο?=??+??→
其中A 与x ?无关，则称函数
()
y f x =在点
x 处的可微，并称A x
??为函数
()
y f x =在点
x 处的微分，
记为
()
()dy
df x dy x
df x x
??=??或即＝A 或A
注：① 称函数的微分dy
是改变量
y
?的主要部分，或称为线性主部. ② 几何意义是曲线
()
y f x =在点（0x
，
()
0f x ）处的切线，当
x 取得增量x
?时，纵坐标对应的增量.
10、微分与导数的关系：
()
y f x =可微??→←??()y f x =可导.（充要条件）
11、微分的四则运算法则与微分公式见教材. 12、一阶微分形式不变性：设函数
()
y f u =，
()
u x ?=构成复合函数，若
()
y f u =关于
u
可微，
()
u x ?=关于
x
可微，则复合函数
()y f x ?
=
????
关于
x
的微分有
：
()()()dy f u x dx
dy f u du
?'''==或其中d u 是
()
u x 关于
x 的微分. （无论是u
自变量还是
中间变量，总有
()dy f u du
'=）
二、定理
定理1、（反函数求导法则）若函数
()x y ?
=在某区间内单调、
可导且()0y ?'≠，则它的本义反函数
()y f x =在对应区间内也可导，且
()()
()()
1
1f x y y f x ??''=
=
''或
定理2、（复合函数求导公式）若函数
()
u x ?=在x 处有导数()x ?'，函数()
y f u =在
x 的对应点u 处有导
数
()
f u '，则复合函数
()y f x ?=????
在
x 处可导，且
(){}()()f x f u x
??'
''=
?????
即： x u x d y
d y
d u
y y u d x d u d x '''
=?
=?或
【方法与例题】一元函数的导数（微分）计算问题，只要熟练掌握求导（微分）公式，以及若干常规方法都可顺利解决.求导（微）方法除了从定义出发直接求函数导数外（解题时几乎不用），一般可归纳为以下几种.
1、公式法：利用导数（微分）公式及法则，求函数的导数（微分）.
2、复合函数求导法（连锁规则）：利用复合函数求导公式及常用的导数公式求函数的导数.（涉及到中间变量的选择）
3、隐函数求导法：由方程
()
,0
F x y=
确定的隐函数
()
y y x
=
，将
()
y y x
=
带入方程得恒等式
()
,0
F x y x≡
??
??，利用复合函数求导法，对上式两边同时求导，求导时把y
视为中间变量，解出x
y'
得表达式.
4、对数求导法：对函数两边取对数，再利用隐函数求导法求出导数.
5、一阶微分形式不变性：利用微分形式不变性及微分公式求导数（微分）.
6、高阶导数求法：利用导数公式，数学归纳法或递推
注：要求熟记导数（微分）公式，熟练掌握求导（微）方法，并能综合运用. 例题选讲：
例1、设
3
33sin
x
y x x
=++
求导数
y'
解：（公式法）
32
(3)()(3sin)3ln333cos
x x
y x x x x ''''
=++=++
例2、设
y x
=
求导数
解：（公式法）
sin)
y x x x '''
=+=+
例3、设
cos ln
y x x x
=+?
求导数
y'
解：（公式法）
)(cos ln)
sin)(cos)ln cos(ln)
1
ln sin cos
y x x x
x x x x x x
x x x
x
''
=+
'''' =+++
???
=-+ ?
?
??
?
例4、设
ln sin
y x
=
求导数
y'
解：（复合函数求导法）设
ln
y u
=
，
sin
u x
=则
1c o s
(l n)(s i n)c o s c o t
s i n
u x
x
y u x x x
u x
''
'====
注：①在熟练了之后，计算时不必将中间变量写出
②连锁规则是非常重要的法则，必须熟练掌握.
例5、设
21
n
x
y
x
??
= ?
+
??
求导数
y'
解：（复合函数求导法）
()()
111
21
212
2121212121
n n n
n x x x x x nx
y n n
x x x x x
---
+
'+-
??????
'===
? ? ?
+++
??????++
例6、设
(ln
y x
=+
求导数
y'
解：（复合函数求导法）
(
(
22[ln ]11y x x x a '
''=+
=+
??
'+??
=+=+ ? ?=
=
例7、
设
2x y = 求导数
y ' 解：
（复合函数求导法）
))2
2
2
211[[]
2
2
1]
212]2
y x x x a
x
x ''''==
'=+
-=
+
-=
注：①为防止计算过程中出错误，最好是一层一层的求导.
②注意选择好中间变量，他关系到计算得是否成功与繁简. ③复合函数求导法是重点和难点，要多多练习.
例
8、 设3
y = 求导数
y '
解：（复合函数求导法）
(
)
()(arcsin
(3
3
arcsin u
v u
x
y v '
'
'
''=
=
arcsin arcsin 1
13
ln 3
3
ln 3==
()可不写中间变量
例9、 设
220xy
xy e
-+= 求由方程确定的隐函数的导数y '
解：（隐函数求导法）利用隐函数求导法，两端对
x 求导
()2
20
xy
x x
y xyy e
y xy ''+-+=
解出
()
()
2x y
x y
y e
y d y
d x
x
y
e
-=
- （导数中可含有
y
）
例10、 设 2
2
4
x xy y ++=， 求由方程确定的隐函数在其曲线点（2，－2）上的导数y '值.
解：（隐函数求导法）利用隐函数求导法，求出导数后带入该点值. 将方程两边对
x 求导有
220
x y xy yy ''+++=
解出
y '得
()
2,221
2x y y y x y
-+''
=-
=+
例11、 设
()1
sin 1x
y x =+， 求导数
y '.
解：（对数求导法）两端取对数有()
ln 1ln sin x y x
+=
两边对
x 求导有
()2
1
sin ln 1co s 11sin
x x x
x
y y
x
-+?+'=
()()()()()()()2
1
sin 2sin 1ln 1c o s 1sin
sin 1ln 1c o s 11sin x x x x x
x x
x x x x
y x x x
-++?=
+
-+?+?'=
+
+?
例12、 设
y =
， 求导数
y '.
解：（对数求导法）两端取对数有
()()()()1ln
1ln 2ln 3ln 43
y x x x x =
-+--+--????
两边对
x 求导有
()
()()()
1
11
1
1
1
31234111113
1
234y y x x x x y x x x x ??
'=+--??
--+-???'∴
=
+--?--+-?
例13、 设
(0)
x
y x
x =>， 求导数
y '.
解：（对数求导法）两端取对数有ln ln y x x
=
两边对
x 求导有
1
1ln ln 1
y x x x y
x
'=+?
=+
(ln 1)(ln 1)
x
y y x x x '=+=+
注：对数求导法往往能化简求导的计算或者能解决常用求导公式无法解决的问题，因而大家要熟练掌握.
例14、 设 2
ax bx
y e
+=， 求导数
y '.
解：（一阶微分形式不变性）
2
2
2
2()()()(2)(2)
ax bx
u
ax bx
u ax bx
x dy d e
e d ax bx e a bx dx
y e a bx +++'==+=+'∴
=+
注：也可以用其它方法求之如直接求导.
例15、 设 (
)
arctan
ln y y f x x
==有方程所确定
，求导数
y '.
解：（一阶微分形式不变性）直接对方程微分有
a rc ta n
ln y d d x
=
()
2
2
2
2
2
2
2
22
2211
1
2112y
d
d
x
y
x
x
y
y x x xd y yd x
xd x yd y x
y
x x y
d y x y d x
x y
=
++??+ ?
??
-+=
+++=
-
化简得
例16、 设 sin y x
=， 求导数()
n y
.
解：（高阶导数求法）逐次求导，运用归纳方法
()sin cos sin ()
2y x x x π??''===+ ?
?
?三角公式
[sin ]cos sin 2222y x x x πππ??????'''=+=+=+? ? ? ???????
[sin 2]cos 2sin 3222y x x x πππ?????
?''''=+?=+?=+? ? ? ?
?????
? 一般的有
()
()
(sin )
sin 2n n y
x x n π?
?==+? ?
?
?
例17、 设 ()
1020121
1214
22x x x x x x x x
f
x -≤<≤+<≤+
， 求导数()
f x '.
解：求解这类问题要注意这是分段函数.把握这一特点，就可以逐段、逐点求导，从而解决求导函数的问题.
当
()()0,1;01,2
x f x x f x ''<=<<=时当时
当
()()112,2;
2,2x f x x x f x ''<<=>=
时当时
()()()()()
()0
0,lim lim 11
lim lim 20lim lim lim x x x x x x x x f
x x f
x x f
x f
x f
x --++-+→→→→→→→==
-=-==≠
在处即不存在
同理
()()122f f ''=不存在
故可得
()10 201 212 1
2
2
x
x
x x
x
f x
<
<≤
<<
<
?
?
'=?
?
?
注：求解这类问题要细心，在处理分段点时要运用可导的充分必要条件. 【思考练习题】
1、求导数
()()
11(,)
b a
y ax bx a b
=++是常数
（公式法）
2、求导数
ln
n
y x x
=
（公式法）
3、求导数
sin ln
y x x x
=
（公式法）
4
、求导数
(ln
y x
=+
（复合函数求导法）
6
、求导数
1
ln
y
+
=
（复合函数求导法）
7
、求导数
y=
（复合函数求导法）
8、求导数
2
2
arctan
1
x
y
x
=
-（复合函数求导法）
9、求导数
1
tan
x
y e
=
（复合函数求导法）
10
、求导数
arcsin
y x
=+
（复合函数求导法）
11、求下列隐函数的导数y x xy
=-
（隐函数求导法）
12、求隐函数的导数
1y
y x e
=+
（隐函数求导法）
13
、求函数的导数
y x
=
（对数求导法）
14
、求函数的导数
2
1
x
y
x
=
-
（对数求导法）
15
、利用一阶微分形式不变性，求函数的导数
a rc sin
y=
16、利用一阶微分形式不变性，求
()
23
ln sin
x y x y x
+=+
的导数.
17、求函数的高阶导数
()
n
y
x
y xe
=求
18、求函数的高阶导数
()
100 2
1
y
56
y
x x
=
++
求
§2二元函数偏导数及求法
【知识点】一、基本概念
1、偏增量：
)
y,
x(f
)
y,x
x(f
z
x
-
?
+
=
?
，
)
y,
x(f
)y
y,
x(f
z
y
-
?
+
=
?
全增量：
)
y ,x (f )y y ,x x (f z 0000-?+?+=?
2、定义：设函数
)y ,x (f z =在
P 0（x 0，y 0）的某邻域
)
,P (U 0δ内有定义.固定
y y =不变，如果一元函数
()
0,z f x y =在
x 处可导，即x
)
y ,x (f )y ,x x (f lim
00000
x ?-?+→?存在，则称此极限值为函数
)y ,x (f z =在P 0（x 0，y 0）点关于x
的偏导数.
记为：
)
y ,x (00x
z
??、
)
y ,x (00x
f
??或者
()
00,x z x y '、
()
00,x f x y '，即：
()
00,x f x y '=
x
y x f y x x f x ?-?+→?)
,(),(lim
00000
同理：
()
00,y f x y '=
y
)
y ,x (f )y y ,x (f lim
00000
y ?-?+→?
3、偏导(函)数：如果函数
)y ,x (f z =在
D 内的每一点（x ，y ）都有偏导数，则称
()
,y f x y '、
()
,x f x y '为
)y ,x (f z =的两个偏导(函)数.
4、几何意义：
()
00,x f x y '表示：曲面
)y ,x (f z =与平面y=y 0相交的曲线C x ，在平面y=y 0内在x=x 0处的切线
斜率.
其中：
()00,tan x x K f x y α
'==，
()00,tan y y K f x y β
'==如图所示：
5、高阶偏导数定义：设有函数
)y ,x (f z =，称)
(
2
2
x
z
x x
z
????
=
??，
)
(
2
2
y
z
y y
z ????
=
??为函数的二阶纯偏导数，
而称
()2
,xy z
z f x y x y y x ?????''== ???????，
()2
,yx z z f x y y x x y ?????''== ???????为函数的二阶混
合偏导数.
注：一般情况下
x
z x z x
z
?????≠??2
2
，
x
z
y z
y
x z
???
??≠
???2
6、全微分定义 ：设
)
,(y x f z =在P （x ，y ）的某邻域U 内有定义，如果函数
)
,(y x f z =在点（
x
，
y
）
处的全增量可以表示为
)
(),(),(0000ρO Y B x A y x f y y x x f z +?+?=-?+?+=?，其中
2
2)(）
（y x ?+?=ρ，A ，B 为与仅点（
x
，
y
）有关，而与
x
?，
y
?无关的常数，则称
)
,(y x f z =在P （x ，y ）点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为dz ，且y
B x A dz ?+?=.
在这里仍规定，x dx
?=，y dy ?=，即：Bdy
Adx dz +=.
二、定理与法则
定理1：若函数
)y ,x (f z =的两个混合偏导数在区域D 内连续，则两者相等.
2
2
z z x y
y x
??=
????
定理2：可微函数一定连续.（不连续的函数一定不可微.）
定理3：可微函数的偏导数一定存在，且x y z z dz dx dy z dx z dy
x
y
??''=
+
=+??
定理4：若函数的偏导数连续，则函数可微分.
定理5：设)(x u φ=，)(x v ?=在点x 处可导，),(v u f z =在x 对应的点（u ，v ）处有连续的偏导数.则一元
函数
))(),((x v x u f z =在点x 处可导，称其为全导数.且 dx
dv
v z dx
du u
z dx
dz ???+???= （dx
dv v
f dx
du u
f dx
dz
?
??+
?
??=
）……公式（A ）
称公式（A ）为全导数公式.
定理6：（复合函数微分法）设函数
),(y x u u =， ),(y x v v =，在点（x ，y ）处有偏导数，函数),(v u f z =在其对应的点处有连续的偏导数，则))
,(),,((y x v y x u f z =在点（x ，y ）处有对关于x 和y 的偏导数，且有下列
公式：
x v v f x u u f x v
v z x u u z x z ???
??+?????=?????+?????=
?? y v
v f y u u f y v v z y u u z y z ?????+?????=?????+?????=??……公式（B ） 记忆方法：如图
注：①连线相乘，分线相加.
②公式（B ）推广到多个中间变量的情形.
三、几个概念的相互关系： 函数在（x ，y ）点的关系
【方法与例题】
偏导数的计算与一元函数的求导是基本类似的，很容易把一元函数的求导方法移植过来.只是在求
)y ,x (f z =偏
导数时，要将y （或x ）视为常数，对x （或y ）求导数.要多做练习提高熟练运用复合函数微分法的能力,同时要注意求偏导数与求一元函数导数的区别.
（另：注意偏导数的符号x z
??、y z ??是一个整体，不像dx dy
可以看成dy 除以dx.）
一、求
)y ,x (f z =在P 0（x 0，y 0）的偏导数的方法：
方法1：先求出偏导函数
(),x f x y '()
,y f x y '，后代入该点的坐标值（x 0，y 0）.
方法2：先代入
y y =，得到)
,(0y x f ，再对x 求导数得
()
0,x f x y '，再代入
x x =.
（或先代入
x x =
，得到
()0,f
x y ，再对y 求导数得()0,y f x y '，再代入0y y =.）
二、求多元函数偏导函数的方法：
1、 复合函数微分法：主要是运用复合函数微分法求二元函数的偏导数，注意中间变量的选取.
2、 隐函数求导法：构造一个方程，对方程两边求偏导数，解出偏导数.
由
(),,0F x y z = 得
,F
F
z
z y x F F x y z z ??????=-=-
??????
3、 高阶偏导数求法：它与一元函数求高阶导数类似，但要注意混合偏导数的计算.
三、例题选讲：
1、设
x
y z =
，则求
x
z ??，
y
x ??，
z
y ??
解：∵
x
y z =
，∴ 视y 为常数，则2
x y x
z
-=??；
又∵
z
y x =
，∴视z 为常数，则z
1y
x
=
??；
又∵
xz y =，∴视x 为常数，则z
z
y
=??.
2、设
3
232y
xy x z +-=，求它在点（1，2）处的偏导数
)
2,1(x
z
??，
)
2,1(y
z
??
解：
()
()
()
1,21,2222
z
x y x
?=-=-?；
()
()(
)
2
1,21,22934
z x y
y
?=-+=?
3、设
?????+=0y
x xy )y ,x (f 2
2，
0y
x 0y x 2
2
22=+≠+.求(),f
x y 在（0，0）处的偏导数.
解：因为函数是分段函数，在整个定义域内表达形式不一样；所以必须根据偏导数定义来求解.
()
0,0x f '=
0lim
)
0,0()0,0(lim
=?=?-?+→?→?x
x
f x f x x
()
0,0y f '=
0lim
)
0,0()0,0(lim
=?=?-?+→?→?y
y
f y f y y
4、设
x
y
y x z =，求
2
2
x
z
??，
y
x z
???2
.
解：将函数变形
e
y
x x y x
y y
x z ln ln +=
=，∴
]
ln .[
ln ln y x
y x
z
e
y
x x y +=
??+.
2
2
x
z ??=
]
)ln (
.[2
2
ln ln y x
y x
y
x
z
e
y
x x y ++-
=
??+；
)
(ln )ln (
]11[
ln ln 2
y
x x y x
y y x y
x
y
x z e
y
x x y x
y +
+++
=???+.
5、设
v
u
y =，x u cos =，x v 2
sin
=，求dx
dy
.
解：由全导数公式，（A ）公式.
1
-?=??v u v u
y ，
u
u v
y
v
ln ?=??
且：
x
dx
du
sin -=，x
x x dx
dv
2sin cos sin 2==
∴ x
x x x x dx
dy
x
x
cos ln )
(cos 2sin )
(cos sin
2
2
sin
cos
3
??+-=-
6、设
v
u
y =，
y x u +=2，2
3y
x v +=，求
x
z
??
解： 由复合函数微分法，（B ）公式.
)2ln()
2()
2)(3(21ln 22
2
31
32
1y x y x y x y x u u vu x
v v z x
u u
z x
z y
x y x v
v +++++=?+?=?????+
???
??=
??+-+-
7、设
()
22
2
35x y
z x y
-=+求
,
z
z x
y
????
解：由复合函数微分法，（B ）公式.
()()
()
()
121
22
2
2
2
2
2
6ln 26235235ln 35v v
x y x y
z
z u z v vu x u u x u x v x x x y x y
x y
x y
----?????=+=+?????=-++++
同理有
()()()
()
()121
22
2
2
2
2
2
10ln 11023535ln 35v v
x y x y
z z u z v vu y u u y
u y v y
y x y x y
x y
x y
----?????=
+=+-?????=-+-++
8、求有方程
2222
2
2
1
x
y z a
b
c
+
+
=所确定的函数
z
的偏导数.
解：由隐函数求导法构造函数方程
()2222
2
2
,,10
x y z F x y z a
b
c
=
+
+
-=
222222,,F x F y F z
x a y b z c ???===???，
2
2
2
222
2
2
22,22y
x
z c x z c y a
b z
z x
a z y
b z c
c
??=
=-==-??
【思考练习题】
1、设
2
ln z u v =，而
,32x u v x y
y
=
=-，求
,
z
z
x y
????
2、设
sin
cos
x y z y
x
= ，求
,
z
z
x y
????
3、
()
22
xy
z x y
=+
，求
,
z z
x y
??
??
（提示：可将表达式变形）
注：本题有多种方法，如复合函数微分法、隐函数求导法等.
4、设
2
y
xe
z
y
=
，求
,,Z
z z
x y
??
??
和的全微分
.
5
、求由
ln arctan
y
x
=
确定的隐函数
()
y f x
=
的导数.
6、设由
2
xy yz zx
++=
确定的函数为
()
,
z f x y
=
，求
,
z z
x y
??
??
.
注：本题可用多种方法求解.
7、设2z xy
z e e
=+，求
,
z z
x y
??
??
8、设
()
arctan
z xy
=
，其中设
x
y e
=
，求
d z
d x
9、设
ln
x z
z y
=
，求
2
,
z z z
x y x y
???
????
及
.
10、设
ln
y x y
z
y x x
-
=
+
，求
z z
x y
x y
??
+
??
.（提示：令
ln
z u v
= ，复合函数微分法）
11、设
22
xy
z f
x y
??
= ?
+
??，其中f可微，求
z z
x y
x y
??
+
??
.
12、设
()()
1
z f xy yf x y
x
=++
，其中
()
,
f x y
二阶可微，求
2z
x y
?
??
.
13、设
()
ln2
x
z y x y
y
?
??
=+-
?
??，其中?有二阶连续导数，求
2z
x y
?
??
.
14、设
()
,,
z f x x z yz
=+
，其中
f
有连续偏导数，求
d z
利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为： （1）求出函数y=f(x)的导函数； （2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析： 求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答： 函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评： （1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数 在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？ 分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值． 解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8． 列表：
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，
然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d .
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1
当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1， 令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值
. .. . 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x 0(可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是 极大值；反之， 那么f(x 0）是极大值 题型一 图像问题 1、函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ） （第二题图） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，的图象如图所示，则函数()f x 在 开区间()a b ，有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）
D. C. B. A. x y O x y O x y O O y x 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（）-1 2 1 O y x D. A. 12 12 1 2 2 1x y O x y O x y O O y x 5、已知函数 () f x的导函数() f x ' 的图象如右图所示，那么函数 () f x的图象最有可能的是（） -1 1 f '(x) y x O 6、() f x '是() f x的导函数，() f x '的图象如图所示，则() f x的图象只可能是（） 2x O
§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a =
（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.
函数的最值与导数 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13 或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227 ；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154 ，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D.12或－32 [答案] C [解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1 () A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 1 函数专题（导数内容为主） 彬县范公中学 张登峰 一、利用导数定义的求解 例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2)()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→? 解：（1）h h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim 2)()3(lim 00--+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2 1)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim 2)()3(lim 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）?? ????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h a f h a f h h 二、利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1． x e x x f -=2)(；2． .6)(2--=x x x f 3. 1ln 2+=x y 解：函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0 含参导数求最值问题（1—2） 编制人：闵小梅审核人：王志刚 【使用说明及学法指导】 1．完成预习案中的相关问题； 2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范； 3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。 【学习目标】 1．掌握利用导数求函数最值的方法 2．会用导数解决含参函数的综合问题 【预习案】 一、知识梳理 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、尝试练习 1．设函数f(x)＝x3－x2 2 －2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实 数a的取值范围是________ (－∞，7 2) 2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞) 【探究案】 一、合作探究： 例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝1 2 二、拓展探究： 例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a x －2)，其中a ＞0且为常数． (1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a 2 (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞) 三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax x e -? (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值 利用导数求函数的极值和最值 上课时间： 上课教师 上课重点：掌握导数与函数极值最值的的关系 上课规划：解题方法和技巧 考点一 函数的单调性与极值 1、函数2 ()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________． 2、函数31()443 f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ． 3、曲线3223y x x =-共有____个极值． 4、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ． 5、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点． 6、求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值． 7、求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值． 8、求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值． 探究：用导数法求函数()(0)b f x x b x =+>的单调区间与极值 6、有下列命题： ①0x =是函数3y x =的极值点； ②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ． 考点二 利用函数的极值求参数或取值范围 例题：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数)(x f 的极小值，并求c b a ,,的值。 (一）定值 1、设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ． 2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283 ，在22x =有极小值是43 -， 则a = ；b = ． 4、若函数322y x x mx =-+，当13 x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23 （二）取值范围 1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ， 有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．e a 1 -< 2、若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞， C ．(0)+∞， D ．102?? ?? ? ， 3、函数3 1()43 f x x a x =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围 是 ． 4、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范 利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 用导数法求函数最值 中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法： 在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求()f x 在(,)a b 内的极值； (2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值 则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。 （3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。 例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。 解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得 121,1x x =-=，列表讨论如下： 又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+ =3 当1x =时5213111y =--+ =1- 而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 32 11232 x x x = --在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。 (2)求函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值。 利用导数研究函数的极值和最值问题 １．利用导数研究函数的极值的一般步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求)(x f '． （３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内） ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解． ２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤： （１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值； （２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值. 例1.(2018北京,18,13分)设函数()[] x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ; (2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围. 解析 (1)因为()[] x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[] x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a . 此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1. (2)由(1)得()[] ()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当?? ? ??∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是?? ? ??∞+，21 。 方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号. (2)已知函数求极值.求f '(x)→求方程f '(x)=0的根→列表检验f '(x)在f '(x)=0的根的附近两侧的符号→下结论. (3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f '(x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反. 例2.(2017北京,19,13分)已知函数x x e x f x -=cos )(. (1)求曲线)(x f y =在点())0(,0f 处的切线方程; (2)求函数)(x f 在区间?? ????2,0π上的最大值和最小值. 解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为x x e x f x -=cos )(, 所以()1sin cos )(--='x x e x f x ,0)0(='f .(完整版)导数与极值、最值练习题.doc
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