2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式
课程学习目标
［课程目标］
目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式. 目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导.
［学法关键］
1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标.
2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式
研习点1．空间直角坐标系
为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.
如何理解空间直角坐标系？
1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；
2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；
3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；
4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.
研习点2．空间点的坐标
1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；
这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
已知数组(x，y，z)，如何作出该点？
对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：
（1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别
是x、y、z；
（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.
研习点3．空间点的坐标
1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：
xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数
yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；
xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；
3．坐标轴上点的特征：
x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
研习点4．卦限
在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；
在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；
在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；
八个卦限中点的坐标符号分别为：
I：（+ ，+ ，+ ）；II：（－，+ ，+ ）；III：（－，－，+ ）；
IV：（+ ，－，+ ）；V：（+ ，+ ，－）；VI：（－，+ ，－）；
VII：（－，－，－）；VIII：（+ ，－，－）；
研习点5．空间两点间的距离公式
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 的距离公式是
(,)
d A B=，
d O A=.
特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为(,)
题型1．确定空间任一点的坐标
例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.
解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下A(0，0，0)，
B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，
0，2)，C 1(2，2，2)，D 1(0，2，2)，
题型2．空间中点的对称问题
例2．在空间直角坐标系中，写出点P (x ，y ，z )的对称点的坐标%
（1）关于x 轴的对称点是P 1 ；
（2）关于y 轴的对称点是P 2 ；
（3）关于z 轴的对称点是P 3 ；
（4）关于原点的对称点是P 4 ；
（5）关于xOy 坐标平面的对称点是P 5 ；；
（6）关于yOz 坐标平面的对称点是P 6 ；
（7）关于xOz 坐标平面的对称点是P 7 .
解：（1）P 1(x ，－y ，－z )；（2）P 2(－x ，y ，－z )；（3）P 3(－x ，－y ，z )；
（4）P 4(－x ，－y ，－z )；（5）P 5(x ，y ，－z )；（6）P 6(－x ，y ，z )；
（7）P 7(x ，－y ，z )；
此题要类比平面直角坐标系弄清楚对称关系，而不是死记硬背，要掌握对称点的坐标的变化规律，来帮助记忆
题型3．求两点间的距离
例3．（1）点P ()236
到原点的距离是
（A ）6 （B ）1 （C ）6 （D ）6
（2） 134123(,,),(,,)3456310
A B -两点间的距离是 .
【研析】（1）点P 到原点的距离是||1OP ==，选B .
（2）由两点间的距离公式得||AB ==.
【教考动向·演练】
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，0）；
②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标一定可以写成（0，b ，c ）； ③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记为（0，0，c ）；