第一章流体力学基础——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学
粉体工程研究所
质量传递——连续性方程动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程
流体运
动微分方程组
所有流体运动传递过程的通解
质量守恒定律
动量定理能量守恒定律
1.3流体运动的微分方程
?质量守恒定律——连续性方程?动量定理——纳维-斯托克斯方程?能量守恒定律——能量方程
?定解条件
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
?质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。
?质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体的质量速率
流出控制体的质量速率
控制体内的质量累计速率
=
A
B
τ时刻A 点流体密度为，速度沿x ，y ，z 三坐标轴的分量为1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元
)ρ(x,y,z,
τ)(x,y,z,u τ
z
y x ,u ,u u 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
x 方向
dydz
ρu x 通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
dydz dx x )(ρρu x x ??
????
??+u dxdydz
x
)
(ρx ??-u
A ：流入与流出微元控制体的质量速率之差x 方向dxdydz
x )(ρx ??-u y 方向z 方向
dxdydz
y
)(ρ??-y u dxdydz
z
)(ρ??-z u dxdydz
z )(ρy )(ρx
)(ρ????????+??+??-z y x u u u B ：微元控制体内的质量累计速率
τ时刻
ρdxdydz
ρ
密度
质量
τ＋d τ时刻dxdydz d ρρ??
? ??
??+τττ
τ
d ρ
ρ??+dxdydz ρd ρdxdydz dxdydz d ρρτ
τ
ττ??=-??
? ??
??+
dxdydz z )(ρy )(ρx
)(ρdxdydz ρ
????????+??+??-=??z y x u u u τ0u u u z y x =??+??+??+??z
)
(ρy )(ρx )(ρρτ本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
散度
0=+u ρdiv d τ
dp
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
?对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。
雷诺输运定理
系统内物理量的变化率控制容积内物
理量的变化率
物理量通过控制
面的净流出速率
C A +
=
作用在控制体中流体的合外力
动量通量通过控
制面的净变化率控制体内流体动量
对时间的变化率
=+
B
A:控制体内流体动量对时间的变化率
τ时刻A 点流体密度为，速度沿x ，y ，z 三坐
标轴的分量为边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元
ρ(x,y,z,)τu(x,y,z,)τ
z
y x ,u ,u u τ时刻τ＋d τ时刻
动量
dxdydz
u ρ
(ρu )dxdydz τ
??
Δρudxdydz (ρudxdydz)τ
τ
?+?
B:动量通量的净变化率
ABCD 面，时间内流入的动量
Δτx ρu udydz Δτ
EFGH 面，时间内流出的动量
Δτ[]x x ρu udydz Δρu udydz Δdx
x
ττ?+?
(Δx ρu u )dydzdx x
τ??
时间经此两相对面元的动量净流出量为
Δτ同理
(Δy ρu u )dzdxdy y τ??
(Δρu u )dxdydz τ?
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
()()()()()()()()x y z y x z x y z u u u u u u dxdydz x y z u u u u u u u u u u u u dxdydz
x
y z x y z u u u u dxdydz ρρρρρρρρρρρ??
???++???????????????=+++++??????????=??+?????? ()d
ρu ρudivu dxdydz d d ρdu u ρρudivu dxdydz
d d τττ??=+????
??=++????
u u d iv u d ρd ρρd x d y d z d d τ
τ????=++ ???????
微元流体系统的动量变化率为：
du ρdxdydz A+B
(ρu )dxdydz
τ
?? +应用连续性方程
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力
质量力：设A 点单位质量力为，则微元上的质量力为
b F
dxdydz
b F
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a 和b ）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x 方向应力
作用于ABCD 、AEHD 、AEFB 面上的应力分别为
作用于EFGH 、BFGC 、DHGC 面上的应力分别为
.
)(,
)(,
)(dz k P j P i P z
k P j P i P dx P z P dy k P j P i P y
k P j P i P dx P y P dx k P j P i P x
k P j P i P dx P x P zz zy zx zz zy zx z z yz yy yx yz yy yx y y xz xy xx xz xy xx x x ++??+++=??
+++??+++=??
+++??+++=??
+()()()
k
P j P i P P P k
P j P i P P P k
P j P i P P P zz zy zx z z yz yy yx y y xz xy xx x x
++-=-=++-=-=++-=-=---
所有这六个面上的力在x ，y ，z 轴上的投影分别是
yx xx zx yx yy yz zy zx zz P P P dxdydz,x
y z P P P dxdydz,x
y z P P P dxdydz.x
y z ???
??++ ???????????
++ ?????????
??++ ??????dxdydz x y z y x z P P P ??
???++ ? ??????
作用在微元六面体
上的全部表面力
作用在微元六面体上的力
=
dxdydz
b F
ρ+
dxdydz x y z y x z P P P ??
???++ ? ??????
根据动量定理
b ()x y z
y x z P P P du
ρdxdydz dxdydz d ρτ???=+++???F 约去，得
dxdydz yx x xx zx
y
yx yy yz zy z
zx zz P du P P d x y z du P P P d x y z P du P P d x y z bx by bz F F F ρρτρ
ρτ
ρ
ρτ
????=+++??????????=+++?????????=+++??????运动方程的
微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
222y x x x x x z 222222
y y y y y x z 222222
z 222u du u u u u u P
d x x
y z 3x x y z du u u u u u u P
μd y x
y z 3y x y z du P
d z bx by z z z bz F F u u u F x
y z μρρμτρρμτρρμτ????????????=-++++++ ? ?????????????????????????=-++++++ ? ? ???????????????????=-+++ ??????y x z u u u 3z x y z μ??????+++ ????????或
()
2d 1P d 3
b u F u u ρρμμτ=-?+?+??? 纳维—斯托克斯（Navier —Stokes ）方程上式中粘性系
数为常数
N-S 方程的化简()2d 1P d 3
b u F u u ρρμμτ=-?+?+??? 当流体不可压，且无粘性：()2d 1P d 3
b u F u u ρρμμτ=-?+?+??? 222x x x x 222222
y y y y 2222
2
2
z 222du u u u P
d x x
y z du u u u P
d y x y z du P
d z bx by z z z bz F F u u u F x y z ρρμτρρμτρρμτ??????=-+++ ?????????????=-+++ ?
???????
??????=-+++ ???????
0d u d ρρρτ
=+?= 常数，
u ?=
当流体不可压：
1.3.3 能量守恒定律——能量方程
?对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流体的能量增加值相等。
对于任意选定的控制体
流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：流入控制体的净能量速率
控制体对环境的做功速
率
控制体内的能量累计速率
A D
环境输入的热量速
率
B C
t x E ρu dydz
u t x t x
(E ρ)E ρu dx dydz x ??
?+?????
τ时刻A 点流体密度为，速度，沿x ，y ，z
三坐标轴的分量为，温度为能量方程的推导
对于边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元，采用欧拉法推导
ρ(x,y,z,)τu(x,y,z,)τ
z y x ,u ,u u 单位质量流体的能量为，则单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的能量
A 项.流入控制体净能量速率：x 方向
t x E ρu dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率
u t x t x (E ρ)E ρu dx dydz x ??
?+?????
u t x (E ρ)
dxdydz
x
?-?T(x,y,z,)τ2
/2t E e u =+
u t x (E ρ)dxdydz
x
?-?同理可得其它两个方向的方程x 方向
y 方向
z 方向
u t y (E ρ)
dxdydz
y
?-
?u t z (E ρ)dxdydz
z
?-?流入控制体的净能量速率，A 项为
u u u t y t x t z (E ρ)(E ρ)(E ρ)dxdydz
?????-++??u t (E ρ)dxdydz -?
微分形式的连续性方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。 重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。 设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。 先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。 在x 轴方向流出与流入质量之差 ()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x x ρρρρ??+-=??
用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入 质量之差分别为 ()y u dxdydzdt y ρ??() z u dxdydzdt z ρ??这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为： ()()()[]y x z u u u dxdydzdt x x x ρρρ???++???
在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量 ()dxdydzdt t ρ?-?()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z t ρρρρ ????++=-????()()()0y x z u u u x y z t ρρρρ ????+++=????这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 代表单位时间内，单位体积的质量变化 代表单位时间内，单位体积内质量的净流出
《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式 1．流体力学常用准数： (1) 雷诺准数 μρl u = Re (2) 欧拉准数 2Eu u p ρ= (3) 牛顿准数 2 2Ne l u F ρ= (4) 付鲁德准数 l g u 2 Fr = (5) 马赫准数 a u =M (6) 斯特罗哈准数 l u τ=St (7) 阿基米德准数 T T u l g ?=2Ar (8) 格拉晓夫准数2 3Gr νβt l g ?= (9) 韦伯准数 σρl u 2We = 2．气体等压比热和等容比热计算式：1p -=k R k C ； 1 v -=k R C 3．完全气体比焓定义式：T C RT e p e i p =+=+ =ρ 4．完全气体状态方程式：T R p ρ= 状态方程微分式： T T p p d d d + =ρρ 5．完全气体等熵过程方程式： C p =k ρ 等熵过程方程微分式： ρ ρ d d k p p = 气体压力p 、密度ρ和温度T 之间的等熵关系：1k k 12k 1212)()(-==T T p p ρρ 6．气体熵增计算式：)]()ln[(ln ln 2 11k k 121212p 12p p T T R p p R T T C s s -=-=- 7．热力学第一定律的能量方程式：w e u z g p q e u z g p ++++=++++22 2 222121111 2 2ρρ 可压缩理想流体绝热流动能量方程式： 02 2 22112 2i u i u i =+=+ 以温度和流速表述： 0p 2 2 2p 211p 2 2T C u T C u T C =+=+ 以温度和流速表述： 02 222111 2121T R k k u T R k k u T R k k -=+-=+-