考点六 二次函数与函数的最值
知识梳理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质
解析式
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象
定义域 (－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
???
?4ac －b 24a ，＋∞ ?
???－∞，4ac －b 24a
单调性
在x ∈????－∞，－b
2a 上单调递减； 在x ∈???
?－b
2a ，＋∞上单调递增 在x ∈????－∞，－b
2a 上单调递增； 在x ∈???
?－b
2a ，＋∞上单调递减 对称性
函数的图象关于x ＝－b
2a
对称
① 二次函数f (x )的顶点坐标为(a ,b )，则对称轴为x =a ； ② 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (x )=f (a )，则对称轴为x ； ③ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (a )，则对称轴为x a ；
④ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (b )，则对称轴为x
.
2．函数的最值
前提 函数y ＝f (x )的定义域为D
条件 (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .
(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .
结论
M 为最大值
M 为最小值
说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
典例剖析
题型一 二次函数的解析式
例1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 答案 f (x )＝1
2
(x －2)2－1
解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝1
2.
∴f (x )＝1
2
(x －2)2－1.
变式训练 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3
解析 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．
又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.
解题要点 二次函数解析式的求法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型二 二次函数的图象和性质
例2 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是________．(填序号)
①
② ③
④
答案 ④
解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b
2a 与－
a
2b
同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有④满足． 变式训练 如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 答案 5
解析 由题意知?????
－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，
得?????
a ＝－4，
b ＝6.
则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. ∴ f (x )的最小值为5.
题型三 闭区间上二次函数最值
例3 函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式． 解析 当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a
2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2
时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g (a )＝f ????a 2＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对
称轴x ＝a
2>1，则g (a )＝f (1) ＝5－2a .
综上所述，g (a )＝?????2a ＋5（a <－2），3－a
2
2（－2≤a ≤2），5－2a （a >2）.
变式训练 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，
当－21时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.
综上，g (a )＝?
????a 2－2a ，－2 －1，a >1. 解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 题型四 二次函数恒成立问题 例4 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4) 解析 由题意可得? ???? 5－a ＞0，36－4(5－a )(a ＋5)＜0， 解得－4＜a ＜4. 变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围． 解析 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合； 当x ≠0时，a ＜32????1x －132－16， 因为1 x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜1 2. 综上，实数a 的取值范围是? ???－∞，12. 解题要点 1.二次函数在R 上恒成立的两个常见结论：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则对于x ∈R ， 二次函数f (x )>0恒成立， 二次函数f (x )<0恒成立 . 2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a > f (x )恒成立，则a > f (x )max ，a 当堂练习 1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为______________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1 解析 设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得??? ?? c ＝1， a (x ＋1)2＋ b (x ＋1)＋ c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x . 故???? ? 2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1， 解得???? ? a ＝1， b ＝－1， c ＝1， 则f (x )＝x 2－x ＋1. 2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则f (－3)、c 、f (5 2) 的大小关系是______________． 答案 c ＜f (5 2 )＜f (－3) 解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (5 2)＞f (2)＝f (0)＝c . 3. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案 [－6，12] 解析 y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12. 4．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2] 5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴? ????2a ＝2，a ＋b ＝0.∴?????a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 课后作业 一、 填空题 1．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 答案 －1 解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3 2＞1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1] 上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1. 2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①a >0,4a ＋b ＝0 ②a <0,4a ＋b ＝0 ③a >0,2a ＋b ＝0 ④a <0,2a ＋b ＝0 答案 ① 解析 由f (0)＝f (4)可知x ＝－b 2a ＝2，∴b ＋4a ＝0，又f (0)>f (1)知f (x )先减后增，即a >0. 3．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是________． 答案 －4 解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0； 当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴? ??? ?