杨家富《原子物理》
第二章答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章习题
2-1 铯的逸出功为1.9eV ，试求： (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长；
(2)如果要得到能量为1.5eV 的光电子，必须使用多少波长的光照射? 解：（1） ∵ E =hν-W 当hν=W 时，ν为光电效应的最低频率（阈频率），即
ν =W /h =1.9×1.6×10-19/6.626×10-34 =4.59×1014 ∵ hc /λ=w λ=hc /w =6.54×10-7(m) (2) ∵ mv 2/2=h ν-W
∴ 1.5= h ν-1.9 ν=3.4/h λ=c /ν=hc /3.4(m)=3.65×10-7m
2-2 对于氢原子、一次电离的氦离子He +和两次电离的锂离子Li ++，分别计算它们的：
(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度； (2)电子在基态的结合能；
(3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长．
n e
e
πε Z n a
∴H: r 1H =0.053×12/1nm=0.053nm r 2 H =0.053×22/1=0.212nm
V 1H =2.19 ×106×1/1=2.19 ×106(m/s)
V 2H =2.19 ×106×1/2=1.095 ×106(m/s)
∴He+: r 1He+=0.053×12/2nm=0.0265nm
r 2He+=0.053×22/2=0.106nm
V 1 He+=2.19 ×106×2/1=4.38 ×106(m/s)
V 2 He+=2.19 ×106×2/2=2.19 ×106(m/s)
Li ++: r 1 Li++=0.053×12/3nm=0.0181nm
r 2 Li++=0.053×22/3=0.071nm
V 1 Li++=2.19 ×106×3/1=6.57 ×106(m/s)
V 2 Li++=2.19 ×106×3/2=3.28 ×106(m/s)
(2) 结合能：自由电子和原子核结合成基态时所放出来的能量，它
∵基态时n =1
H: E 1H =-13.6eV
He+: E 1He+=-13.6×Z 2=-13.6×22=-54.4eV Li ++: E 1Li+=-13.6×Z 2
2(3) 由里德伯公式Z 2×13.6×
3/4=10.2Z 2
注意H 、He+、Li++的里德伯常数的近似相等就可以算出如下数值。
2-3 欲使电子与处于基态的锂离子Li ++发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能?
要点分析:电子与锂质量差别较小, 可不考虑碰撞的能量损失.可以近似认为电子的能量全部传给锂,使锂激发.
解：要产生非弹性碰撞,即电子能量最小必须达到使锂离子从基态达第一激发态,分析电子至少要使Li ++从基态
n =1激发到第一激发态
n =2.
因为Z n
++ ⊿E =E 2-E 1=Z 2R Li ++hc (1/12-1/22)≈32×13.6×3/4eV=91.8eV
讨论:锂离子激发需要极大的能量
2-4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使氢原子发射出光子，质子至少应以多大的速度运动?
要点分析:质子与氢原子质量相近,要考虑完全非弹性碰撞的能
量损失.计算氢原子获得的实际能量使其能激发到最低的第一激发态. 解：由动量守恒定律得
m p V=(m p+m H)V ' ∵m p=m H
V’=V/2
由能量守恒定律,传递给氢原子使其激发的能量为:
当氢原子由基态n=1跃迁到第一激发态n=2时发射光子需要的能量
最小，由里德伯公式吸收的能量为
⊿E=E2-E1=Rhc(1/12-1/22)=13.6×3/4eV=10.2eV
22
∴V=6.25×104(m/s)
讨论: 此题要考虑能量传递效率,两粒子质量接近,能量传递效率低.
2-5 (1)原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按玻尔兹
曼分布的，即处于能量为En的激发态的原子数为：
式中N1是能量为E1状态的原子数，A为玻尔兹曼常量，g n和g1为相
应能量状态的统计权重．试问：原子态的氢在一个大气压、20℃温
度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态?已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权重分别为g1=2和g2=8．
(2)电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要观察到Hα线，试问电子
的最小动能为多大?
2-6 在波长从95nm 到125nm 的光带范围内，氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线?
要点分析:原子发射谱线和原子吸收谱线对应的能量完全相同,吸收能量激发.
解： ∵
对应于波长为95nm---125nm 光可使氢原子激发到哪些激发态
按公式
最高激发能: ΔE 1
= 1.24/95KeV=13.052eV
解之得n =4.98
∴ 依题意，只有从n =2,3,4的三个激发态向n =1的基态跃迁赖曼系，才能满足.而从n =3,4向n =2跃迁的能差为0.66eV 和2.55eV 较小,所产生的光不在要求范围.
其三条谱线的波长分别为97.3nm, 102.6nm, 121.6nm.
2-7 试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于133.7nm?
要点分析: 只要搞清楚巴耳末系主线n32和赖曼系主线n21的光谱波长差即可.
解:赖曼系m=1,n=2; 巴耳末m=2,n=2
设此种类氢离子的原子序数为Z.依里德伯公式则有
解之 Z= 2(注意波数单位与波长单位的关系,波长取纳米,里德伯常数为0.0109737nm-1,1cm=108nm,即厘米和纳米差十的八次方) Z=2, 它是氦离子.
2-8 一次电离的氦离子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度．
要点分析:光子使原子激发,由于光子质量轻,能使全部能量传递给原子.
+
氢原子的电离逸出功
--=V V =3.09×106(m/s)
2-9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求出：
(1)基态时两电子之间的距离；
(2)基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能； (3)由第一激发态退激到基态所放光子的波长．
要点分析:这个系统类似于氢原子,只不过将正电子取代原子核即可.解： 里德伯常数变为
(1)
因为电子运动是靠电场力作用,与核质量无关,基态时一个
:
2202
0.053n e =
两个电子之间的距离 0.106nm ee r =
(2) 依据能量公式
所以基态时的电离能是氢原子电离能13.6eV 的一半，即6.8eV .
2-10 μ-子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量的207倍外，其余性质与电子都一样．当它运动速度较慢时，被质子俘获形成μ子原子．试计算：
(1)μ子原子的第一玻尔轨道半径； (2) μ子原子的最低能量；
(3) μ子原子赖曼线系中的最短波长．
要点分析:这个系统也类似于氢原子,只不过将μ-取代电子,同时要考虑质量对轨道半径的影响和相对运动的影响,将质子作为原子核即22
02n e
μ 222220022
410.053(nm)207207
e n n n e m e πε==依 2n n hc
R E μ-
=μ
E 1=-2530eV (3) 由12T T ν
=-=
知，赖曼线系最短波长的光线应
是从n 依据： 答：μ子原子的第一玻尔轨道半径为2.85×10-4nm;
μ子原子的最低能量为-2530eV ；
μ子原子赖曼线系中的最短波长为0.49nm. 讨论:同学们做此题,第三问数字错在仅仅考虑了μ子质量,但没有
考虑它与质子的相对运动,里德伯常数 [正确为186.03R ]算错.能级算错进而波长算错.
2-11 已知氢和重氢的里德伯常最之比为0．
999 728，而它们的核质量之比为m H ／m D =0.500 20，试计算质子质量与电子质量之比． 要点分析: .
解：
由得
可得
10 讨论:这是一种测算质子电子质量比的方法.
2-12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时: (1)试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大? (2)试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比．
要点分析:用相对论方式,考虑放出光子的动量,计算原子反冲能量和
解
零,
V M c m 原子光子=
原子
光子M c
m V =
)/(24.3/10272.9382.102
6s m c
c eV eV M c m V =??==原子光子 原子
光子M c m MV 2212
22
=
(2) 82
2
221054.0272.9382eV 2.10eV )2.10(eV 2.102eV 2.102
1
:-?=??===eV
M c m V M E E 原子光子原光氢 讨论: 由于氢原子反冲能量比光子能量小的多,所以可忽略氢核的反冲.
2-13 钠原子的基态为3S ，试问钠原子从4p 激发态向低能级跃迁时，可产生几条谱线 (不考虑精细结构)
要点分析:钠光谱分析要依据实验结果,因为它不同于氢,没有规定里德伯公式.分析同时还应注意
实际能级高低和跃迁条件1±= ?,并非是高能级都能向低能级跃迁的.
解：由碱金属能级的跃迁规则可知，只有两能级的轨道角量子数之差满足1±= ?条件，才能发生跃迁。
由题意可知：从基态3S 到激发态4P 之间还存在3P 、3D 、4S 、4P 四个激发态。
(1)因此从高激发态向低能量态的跃迁，须满足跃迁定则1±= ?: (2)除条件（1）以外，还需注意实际能级的高低。从书上图10.3可以看出。五个能级的相对关系如右图。
直接间接跃迁的有:4P →3S , 4P →3D ，4P →4S ，3D →3P 、 4S →3P ，3P →3S,共6条谱线。如右图。
注：图中3D 能级高于4S,所以做题时，我们应发实验数据为依据，且不可凭空想象能级。可能的跃迁相对应的谱线共6条. 2-14 钠原子光谱的共振线(主线系第一条)的波长λ=589.3nm ，辅线系线系限的波长λ∞= 408.6nm ，试求：(1)3S 、3p 对应的光谱项和能量；(2)钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能.
要点分析：对于氢原子、类氢离子我们都可发用里德伯公式来解决，对于其他原子来说，里德伯常数没给出，因此我们不能直接套用里德伯公式，不能再用确定相对的里德伯常数和光谱项公式直接计算。而应从能级跃迁基本公式，依据碱金属谱线的实验结果分析计算.
解： )()(~m T n T -=ν
m n E E h -=ν
(1) 将原子在无穷远处的能量取为零；钠原子的基态为3S ,主线系第一条谱线3P →3S ;3P ,3P 能级的能量值,按
光谱项公式辅线系线系限 0→∞
T
T 3p =1/λ=1/408.6×10-9(m -1)=2.447×106(m -1)
E3p=-hcT3p=-3.03eV
3S能级的能量从3向3能级跃迁对应于下面的能量关系s
E
其光谱项为
-1 (2)钠原子的电离能
eV
eV
E
E
E
Na
13
5
13
5
0.
)
.
(=
-
-
=
-
=
∞
概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
《传感器与测试技术》作业（1）和（2）答案 按照《传感器与测试技术》课程教学设计方案的要求，本课程的平时作业共布置4次记分作业，每次作业满分2.5分，共10分。 在完成记分作业的前提下，辅导教师还可根据学生学习的实际情况，再布置一些有针对性的作业，作为对记分作业的补充，供学生更好地掌握学习内容。 前2次的记分作业如下： 第1次记分作业：第5周前完成 ．画出测试系统的组成框图，并说明各组成部分的作用。 答： 传感器做为测试系统的第一环节，将被测系统或测试过程中需要
观测的信息转化为人们所熟悉的各种信号。通常，传感器将被测物理量转换成以电量为主要形式的电信号。 信号变换部分是对传感器所送出的信号进行加工，对信号进行放大等。 显示与记录部分将所测信号变为一种能为人们所理解的形式，以供人们观测和分析。 ．为满足测试需要，对传感器的一般要求有哪些？ 答：（1）灵敏度高，线性度好； （2）输出信号信噪比高，这要求其内噪声低，同时不应引入外噪声；（3）滞后、漂移小； （4）特性的复现性好，具有互换性； （5）动态性好； （6）对测量对象的影响小，即“负载效应”较低。 ．传感器的动态特性的评价指标有哪些？ 答：（1）时间常数τ （2）上升时间 t r （3）稳定时间（或响应时间） t W （4）超调量δ ．提高传感器性能的方法有哪些？ 答：（1）非线性校正 （2）温度补偿 （3）零位法、微差法
（4 ）闭环技术 （5 ）平均技术 （6 ）差动技术 （7）采用屏蔽、隔离与抑制干扰措施 ．简述应变式电阻传感器的工作原理。 答：电阻丝在外力作用下发生机械变形时，其电阻值发生变化， 这一现象就是电阻丝的应变效应。 设有一段长为 ，截面为 ，电阻率为 的金属丝，则它的电阻为 当它受到轴向力F 而被拉伸(或压缩)时，其 、 、 均发生变化，因应变而导致金属电阻值的变化，即是应变式电阻传感器的工作原理。 ．《传感器与测试技术》教材P80 第5题。 答： (1) 0/R k R ε?= 021*******R k R εμ?∴=?=?= 200012020000.24R R μμ?==?=Ω (2) 00120005522 R U U mV R ?==??= ．简述压阻式传感器电桥采用恒压源供电和恒流源供电各自的特点。 答：（1）恒压源式供电：电桥输出与电压U 成正比，电桥的输出
《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散； （4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以 5.有一电阻应变片，其灵敏度 ， ，设工作时其应变为1000με，问ΔR 为多少？设将此应变片接成如图所示的电路，试求：(1).无应变时电流表示值；(2).有应变时电流表示值；(3).电流表指示值相对变化量；(4).试分析这个变量能否从表中读出。 解：(1).无应变时，电流的表示值为 (2).根据d =R R x S ε，可得621201000100.24x R SR -?=ε=???Ω=Ω； 则有应变时电流表示值 1.5=12.475120+0.24U V I mA R ==ΩΩ ； (3).电流表指示值相对变化量12.512.475δ1000.212.5I I ?-= =?=％％； (4).电流变化量太小，很难从电流表中读出。如果采用高灵敏度小量程的微安表，则量程不够，无法测量12.5mA 的电流；如果采用毫安表，无法分辨0.025mA 的电流变化。一般需要电桥来测量，将无应变时的零位电流平衡掉，只取有应变时的微小输出量，可根据需要采用放大器放大。 6.以阻值 ，灵敏度 的电阻丝应变片与阻值为120 的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V ，并假定负载电阻为无穷大，当应变片为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。 解：(1).当应变片为2με时，单臂电桥的输出电压为 双臂电桥的输出电压为 (2).当应变片为2000με时，单臂电桥的输出电压为 双臂电桥的输出电压为 根据电桥的灵敏度0/U S R R = ?可知，单臂电桥的灵敏度是双臂电桥的灵敏度的一半。 7.有人在使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片以提高灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提高灵敏度？说明为什么。(1)半桥双臂各串联一片；(2)半桥双臂各并联一片。 第一章 ３.r m ＝2/5０×100%＝4% , 因为 r ｍ=Δx ｍ/ｘ≤a ％*x ｎ/x=5% 所以，合格 5. =１68．4８8mA =0.0８2 ６. =１.5６ σ＝０．1０46 x=x ±3σ=１.56±0.3138 1.24６2<ｘ<１．873８ , 无坏值 9.拟合后:ｙ＝０.49９x+１．０2 =0．04／30×1０0%=0．133% K ＝0.499 第二章 传感器第二章习题参考答案 3. 金属电阻应变片，其灵敏度Ｓ=2.5，R =12０Ω，设工作时其应变为１２０0μe,问ΔR 是多少?若将此应变片与2V 直流电源组成回路,试求无应变时和有应变时回路的电流各是多少? 解: 无应变时 Ｉ=E/R=2／12０=１６．7mA ∑==+?++=n i i n n x n x x x x 1211 1 1 2222 2 1 -= -+?++= ∑=n v n v v v n i i n σ∑==+?++=n i i n n x n x x x x 121%100 )(M ??±=FS ax L L y γ 有应变时: I＝E/（R+ΔＲ)=２/(120+0.3６)=16.6mA 4应变片称重传感器，其弹性体为圆柱体,直径D=10０ｍm,材料弹性模量Ｅ＝２05*10^９N／Ｍ^2,用它称5０0KN的物体，若用电阻丝式应变片,应变片的灵敏系数K=2,R=1２０欧姆,问电阻变化多少? 7 拟在等截面的悬臂梁上粘贴四个完全相同的电阻应变片，并组成差动全桥电路,试问: （ 1 ）四个应变片应怎样粘贴在悬臂梁上？ (2）画出相应的电桥电路图。 答： ①如题图所示等截面悬梁臂,在外力F作用下，悬梁臂产生变形,梁的上表面受到拉应变,而 梁的下表面受压应变。当选用四个完全相同的电阻应变片组成差动全桥电路，则应变片如题图(b)所示粘贴。 图（a) ? ??? 图（b) ②电阻应变片所构成的差动全桥电路接线如图﹙ｃ﹚所示,R1、R4所受应变方向相同,R2、R3 、R4所受应变方向相反。 所受应变方向相同,但与Ｒ １ 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 1 请给出3种家用电器中的传感器及其功能。 洗衣机：水位传感器 冰箱：温度传感器 彩电：亮度传感器 热水器：温度传感器 空调：温度传感器 2 请给出智能手机中用到的测试传感器。 重力传感器、三维陀螺仪、GPS 、温度传感器、亮度传感器、摄像头等。 3 系统地提出（或介绍）你了解的（或设想的）与工程测试相关的某一（小）问题。考虑通过本门课程的学习，你如何来解决这一问题。（注意：本题的给出的答案将于课程最后的综合作业相关联，即通过本课程的学习，给出详细具体可行的解决方案） 第二章 普通作业1 请写出信号的类型 1) 简单周期信号 2) 复杂周期信号 3) 瞬态信号 准周期信号 4) 平稳噪声信号 5) 非平稳噪声信号 第二章 信号分析基础 测试题 1. 设时域信号x(t)的频谱为X(f)，则时域信号（C ）的频谱为X(f ＋fo ）。 A . B. C. D. 2. 周期信号截断后的频谱必是（A ）的。 A. 连续 B. 离散 C. 连续非周期 D. 离散周期 3. 不能用确定的数学公式表达的信号是 (D) 信号。 A 复杂周期 B 非周期 C 瞬态 D 随机 4. 信号的时域描述与频域描述通过 (C) 来建立关联。 A 拉氏变换 B 卷积 C 傅立叶变换 D 相乘 5. 以下 (B) 的频谱为连续频谱。 A 周期矩形脉冲 B 矩形窗函数 C 正弦函数 D 周期方波 6. 单位脉冲函数的采样特性表达式为（A ） 。 A )(d )()(00t x t t t t x =-?∞ ∞-δ B )()(*)(00t t x t t t x -=-δ C )()(*)(t x t t x =δ D 1)(?t δ 思考题 1) 从下面的信号波形图中读出其主要参数。 第2.1章 思考题与习题 1、何为金属的电阻应变效应？怎样利用这种效应制成应变片？ 答：（1）当金属丝在外力作用下发生机械变形时，其电阻值将发生变化，这种现象称为金属的电阻应变效应。（2）应变片是利用金属的电阻应变效应，将金属丝绕成栅形，称为敏感栅。并将其粘贴在绝缘基片上制成。把金属丝绕成栅形相当于多段金属丝的串联是为增大应变片电阻，提高灵敏度， 2、什么是应变片的灵敏系数？它与电阻丝的灵敏系数有何不同？为什么？ 答：（1）应变片的灵敏系数是指应变片安装于试件表面，在其轴线方向的单向应力作用下，应变片的阻值相对变化与试件表面上安装应变片区域的轴向应变之比。 ε R R k /?= （2）实验表明，电阻应变片的灵敏系数恒小于电阻丝的灵敏系数其原因除了粘贴层传递变形失真外，还存在有恒向效应。 3、对于箔式应变片，为什么增加两端各电阻条的截面积便能减小横向灵敏度？ 答：对于箔式应变片，增加两端圆弧部分尺寸较栅丝尺寸大得多（圆弧部分截面积大），其电阻值较小，因而电阻变化量也较小。所以其横向灵敏度便减小。 4、用应变片测量时，为什么必须采用温度补偿措施？ 答：用应变片测量时，由于环境温度变化所引起的电阻变化与试件应变所造成的电阻变化几乎有相同的数量级，从而产生很大的测量误差，所以必须采用温度补偿措施。 5、一应变片的电阻 R=120Ω， k=2.05。用作应变为800μm/m 的传感元件。 ①求△R 和△R/R ；②若电源电压U=3V ，求初始平衡时惠斯登电桥的输出电压U 0。 已知：R=120Ω， k =2.05，ε=800μm/m ； 求：①△R=？，△R/R=？②U=3V 时，U 0=？ 解①： ∵ ε R R k /?= ∴ Ω =??==??=?==?-1968.012080005.21064.180005.2/3 R k R k R R εε 解②：初始时电桥平衡（等臂电桥） ∵ U R R U ???= 410 ∴ mV U R R U 23.131064.14 14130=???=???= - 6、在材料为钢的实心圆柱形试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变 片R 1和R 2，把这两应变片接入差动电桥（参看图2-9a ）。若钢的泊松系数μ=0.285，应变片的灵敏系数k =2，电桥电源电压U=2V ，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R 1的电阻变化值△R =0.48Ω,试求电桥的输出电压U 0。 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 第一章 测试技术基础 1. 用测量范围为-50～150kPa 的压力传感器测量140kPa 压力时，传感器测得示值为+142kPa ，试求该示值的绝对误差、相对误差、标称相对误差和引用误差。 解：绝对误差 2kPa 140142=-=?p 相对误差 1.43%100%140 140 1420=?-=?= p p p δ 标称相对误差 1.41%100%142 140142=?-=?= 'p p p δ 引用误差 1%100%50 150140142m =?+-=?= p p p γ 2．某压力传感器静态标定的结果如下表所示。试求用端点连线拟合法拟合的该传感器输出与输入关系的直线方程，并试计算其非线性误差、灵敏度和迟滞误差。 解： 端点连线拟合法拟合的直线方程 p p U 450 == 非线性误差 0.1%100%200 0.2 100%=?=??= FS Y L max γ 灵敏度 4mV /Pa =??= p U S 迟滞误差 0.3%100%2001.2 21100%21=??=??= FS H Y H max γ 或 0.6%100%200 1.2 100%max =?=??= FS H Y H γ 3. 玻璃水银温度计的热量是通过玻璃温包传导给水银的，其特性可用微分方程 x y dt dy 310123 -?=+表示（式中y 为水银柱高度，单位m ；x 为输入温度，单位℃）。试确定温度计的时间常数τ、静态灵敏度k 和传递函数及其频率响应函数。 解：x y dt dy 310123 -?=+ x y D 3101)23(-?=+ x y D 31021 )123(-?=+ 时间常数 s 51.=τ 静态灵敏度 C m/1050o 3-?=.k 传递函数 1 511050(s)3 +?=-s H .. 频率响应函数 15.1105.0)(j 3+?=-ωωj H 4. 某热电偶测温系统可看作一阶系统，已知其时间常数为0.5s ，静态灵敏度1=k 。试计算其幅频特性误差不大于5%的最高工作频率。(幅频特性误差为A -=1η) 解： 5%1≤-=A η 95%≥A 95%) (1)(2 =+= ωτωk A 而 1=k 0.5s =τ 0.33=ωτ 0.66rad/s =ω 0.10Hz 2π == ω f 5. 某测力传感器可作为二阶振荡系统处理，其传递函数为2 o o 22 o 2)(ωξωω++=s s s H 。已知其固有频率为Hz 1000o =f ，阻尼率7.0=ξ，试问用它测量频率为600Hz 的正弦交变力时，其输出与输入幅值比A(ω)和相位差Ψ(ω)是多少？（注意系统1=k ） 解： 7.0=ξ 1=k 002f πω= Hz 1000o =f f πω2= 600Hz =f 20 2220)(4])( [1)(ωωξωωω+-= k A 0.950.6 0.74](0.6)[11 2 2 2 2=??+-= 2 0)(-1)( 2arctan )(ωωωω ξω-=ψ02 52.70.6-10.6 0.72arctan -=??-= 第二章 工程参数的检测技术（略） 1. 接触式与非接触式测温装置主要有哪些？试比较接触式测温与非接触式测温的优缺点。 2. 试简述光学高温计的原理、电测系统图和使用方法。 3. 试说明真空区域的划分和其物理特征。测量低真空与高真空的真空计主要有哪些？ 《传感器原理与应用》及《传感器与测量技术》习题集与部分参考答案 教材：传感器技术（第3版）贾伯年主编，及其他参考书 第2章 电阻式传感器 2-1 金属应变计与半导体应变计在工作机理上有何异同？试比较应变计各种灵敏系数概念的不同物理意义。 答：（1）相同点：它们都是在外界力作用下产生机械变形，从而导致材料的电阻发生变化所；不同点：金属材料的应变效应以机械形变为主，材料的电阻率相对变化为辅；而半导体材料则正好相反，其应变效应以机械形变导致的电阻率的相对变化为主，而机械形变为辅。 （2）对于金属材料，灵敏系数K0=Km=(1+2μ)+C(1-2μ)。前部分为受力后金属几何尺寸变化，一般μ≈0.3，因此（1+2μ）=1.6；后部分为电阻率随应变而变的部分。金属丝材的应变电阻效应以结构尺寸变化为主。 对于半导体材料，灵敏系数K0=Ks=(1+2μ)+πE 。前部分同样为尺寸变化，后部分为半导体材料的压阻效应所致，而πE>>(1+2μ)，因此K0=Ks=πE 。半导体材料的应变电阻效应主要基于压阻效应。 2-2 从丝绕式应变计的横向效应考虑，应该如何正确选择和使用应变计？在测量应力梯度较大或应力集中的静态应力和动态应力时，还需考虑什么因素？ 2-3 简述电阻应变计产生热输出（温度误差）的原因及其补偿办法。 答：电阻应变计的温度效应及其热输出由两部分组成：前部分为热阻效应所造成；后部分为敏感栅与试件热膨胀失配所引起。在工作温度变化较大时，会产生温度误差。 补偿办法：1、温度自补偿法 （1）单丝自补偿应变计；(2) 双丝自补偿应变计 2、桥路补偿法 （1）双丝半桥式；（2）补偿块法 2-4 试述应变电桥产生非线性的原因及消减非线性误差的措施。 答：原因：)(211)(44 433221144332211R R R R R R R R R R R R R R R R U U ?+?+?+?+?-?+?-?=? 上式分母中含ΔRi/Ri ，是造成输出量的非线性因素。无论是输出电压还是电流，实际上都与ΔRi/Ri 呈非线性关系。 措施：(1) 差动电桥补偿法：差动电桥呈现相对臂“和”，相邻臂“差”的特征，通过应变计合理布片达到补偿目的。常用的有半桥差动电路和全桥差动电路。 (2) 恒流源补偿法：误差主要由于应变电阻ΔRi 的变化引起工作臂电流的变化所致。采用恒流源，可减小误差。 2-5 如何用电阻应变计构成应变式传感器？对其各组成部分有何要求？ 答：一是作为敏感元件，直接用于被测试件的应变测量；另一是作为转换元件，通过弹性敏感元件构成传感器，用以对任何能转变成弹性元件应变的其他物理量作间接测量。 要求：非线性误差要小（<0.05%~0.1%F.S ），力学性能参数受环境温度影响小，并与弹性元件匹配。 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 学习中心：院校学号：姓名 东北大学继续教育学院 传感器与测试技术试卷（作业考核线上2） A 卷（共 5 页） 1.1 按照不确定度从好到差，测量标准的分级层次为（ C ）。 (A) 二级标准，一级标准，工作标准 (B) 原始标准，一级标准，二级标准 (C) 一级标准，二级标准，工作标准 (D) 国际标准，国家标准，地方标准 1.2 周期信号的频谱是（ A ）。 (A) 离散的，只发生在基频整数倍的频率 (B) 连续的，随着频率的增大而减小 (C) 连续的，只在有限区间有非零值 (D) 离散的，取值随着频率的增加而增大 1.3 在测试工作中，通常用（ C ）分别描述系统误差、随机误差以及两者的综合。 (A) 正确度、准确度和精密度(B) 正确度、精密度和准确度 (C) 精密度、正确度和准确度(D) 正确度、准确度和精密度 1.4传感器的线性度表示校准曲线（ B ）的程度。 (A) 接近真值(B) 偏离其拟合直线 (C) 加载和卸载时不重合(D) 在多次测量时的重复 1.5关于测量系统的静态特性，下列描述中只有（C ）是正确的。 (A) 漂移是在不同输入条件下，测量系统的输出随时间变化的现象 (B) 单位输入变化所引起的输出变化称为该装置的分辨力 (C) 关于校准曲线不重合的测量系统静态特性有回差和重复性 (D) 能够引起输出量可测量变化的最小输入量称为该装置的灵敏度 1.6二阶测试装置，其阻尼比ζ为（ A ）左右时，可以获得较好的综合特性。 (A) 0.7 (B) 1.0 (C) 0.1 (D) 0.5 1.7关于随机测量误差的统计分析，（ A ）是错误的说法。 (A) 中位数是测量序列中间的值 (B) 中位数是被测量按升序或降序排列的序列中间的值 (C) 众数是对应于事件发生概率峰值的随机变量的值 (D) 中位数和众数描述测量数据的中心趋势 1.8 关于测量电桥的构成，（ C ）的说法是正确的。 (A) 采用桥臂串联或并联的方法，可以增加电桥的输出 (B) 采用电桥的单臂工作方式，可以消除电桥输出的非线性 (C) 采用桥臂串联或并联的方法，可以在一个桥臂上得到加减特性 (D) 采用半桥接法不能消除电桥输出的非线性 1.9有一1/2倍频程滤波器，其低端、高端截止频率和中心频率分别为f c1、f c2、f n，带宽为B、下面的表述正确的是（ D ）。 课程名称：传感器与测试技术X 1 第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →= （2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续
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