例1、比较353的大小。
(2)、平方法
当0,0a b >>时,①如果2
2
a b >,则a b >;②如果2
2
a b <,则a b <。 例2、比较3223
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例331-21
-的大小。
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。
(5)、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。
(6)、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较73+与873-的大小。
(7)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①0a b a b ->?>;②0a b a b -< 例7、比较2131++与2
3
的大小。
(8)、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①
1a a b b
>?>; ②
1a a b b
<
例8、比较53-与23+的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程:
, 验证:
;
验证:.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4
4
15
的变形结果,并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n ≥2,且n 是整数)表示的等式,并给出验证过程. 例2. 已知,则a _________
发展:已知,则a ______。
例3、化简下列各式:
(1)423+ (2)526-
例4、已知a>b>0,a+b=6ab ,则
a b
a b
-+的值为( )
A .
22 B .2 C .2 D .12
例5、甲、乙两个同学化简
时,分别作了如下变形:
甲:==;
乙:=。 其中,( )。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
【基础训练】
1.化简:(1)72=__ __; (2)222524-=___ __; (3)61218??=___ _;
(4)3
2
75(0,0)x y x y ≥≥=___ _; (5)_______420
=-
。
2.(08,安徽)化简
()
2
4-=_________。
3.(08,武汉)计算4的结果是
A.2 B.±2 C.-2 D.4 4. 化简:
(1)(08,泰安)9的结果是 ; (2)123-的结果是 ; (3)(08,宁夏)825-= ; (4)(08,黄冈)5x -2x =_____ _; (5)(08,宜昌)3+(5-3)=_________; (6) ;
(7)(08,荆门)
=________;(8)
.
5.(08,重庆)计算28-的结果是
A 、6
B 、6
C 、2
D 、2 6.(08,广州)3的倒数是 。 7. (08,聊城)下列计算正确的是 A .
B .
C .
D .
8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、
()5.15.12
-=- C 、39=- D 、
3
2
94= 9.(08,中山)已知等边三角形ABC 的边长为33+,则ΔABC 的周长是____________;
10. 比较大小:3 10。
11.(08,嘉兴)使
2x -有意义的x 的取值范围是 .
12.(08,常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13. (08,黑龙江)函数中,自变量的取值范围是 .
14.下列二次根式中,x 的取值范围是x ≥2的是
A 、2-x
B 、x+2
C 、x -2
D 、1x -2
15.(08,荆州)下列根式中属最简二次根式的是
A.21a +
B.
1
2
C.8
D.27 16.(08,中山)下列根式中不是最简二次根式的是
A .10
B .8
C .6
D .2
17.(08,常德)下列各式中与
是同类二次根式的是
A .2
B .
C .
D .
18.下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A .2112与
B .2718与
C .3
13与 D .5445与 19.(08,乐山)已知二次根式
与
是同类二次根式,则的α值可以是
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8 20.(08,大连)若b a y b a x +=-=
,,则xy 的值为
A .a 2
B .b 2
C .b a +
D .b a - 21.(08,遵义)若230a b -+-=,则2
a b -= . 22.(08,遵义)如图,在数轴上表示实数15的点可能是
A .点P
B .点Q
C .点M
D .点N
23.计算: (1) (2)
(3)(08,上海). (4)(08,庆阳)
.
(5)27124148÷??
?
??
+
24.先将
2
2
x
x
-
-
÷
32
2
x
x x
-
化简,然后自选一个合适的x值,代入化简后的式子求值。
25.( 08,济宁)若,则的取值范围是
A.B.C.D.
26.(08,济宁)如图,数轴上两点表示的数分别为1和,点关于点的对称点
为点,则点所表示的数是
A.B.C.D.
过关测试
一、选择题:
1. 若在实数范围内有意义,则m的取值范围是()。
A. m≥2
B. m>2
C. m≤2
D. m<2
2. 若=3,则x的取值范围是()。A. x=0 B. -1≤x≤2 C. x≥2 D. x≤-1
3. 二次根式、、的大小关系是()。
A. <<
B. <<
C. <<
D. <<
4. 下列式子中,正确的是()。
A. (-3)(+3)=2
B. 5÷×=5
C. 2×(=2-1
D. (2-
)(2+)2=-2-
5. 使等式成立的实数a的取值范围是()。A. a≠3 B. a≥,且a≠3 C. a>3 D. a≥
6. 下列各组二次根式(a>0)中,属于同类二次根式的是()。
A. C.
7. 当0A.
8.下列运算正确的是()
A .3273
-=B.0
(π 3.14)1
-=C.1
1
2
2
-
??
=-
?
??
D .93
=±
9.估计1
83
2
?+
的运算结果应在()
A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间
二、填空题:
1. 已知a、b在数轴上的位置如图所示,-│b-a│的化简结果是______。
2 若x≠0,y≠0,则成立的条件是__________。
3. 已知m是小于10的正整数,且可化为同类二次根式,m可取的值有_______。
4. 如果xy=,x-y=5-1,那么(x+1)(x-1)的值为________。
5. 已知x=12,x=________。
6. 若a<-2,的化简结果是________。
三、解答题
1.已知2,求(
22
1
21
x x
x x x x
+
-
--+
)÷
1
x
的值.
2.对于题目“化简求值:
1
a
2
2
1
2
a
a
+-,其中a=
1
5
”,甲、乙两个学生的解答不同.甲的解答是:
1
a
2
2
1
2
a
a
+-
1
a
2
1
()a
a
-
1
a
+
1
a
-a=
249
5
a
a
-=乙的解答是:
1
a
2
2
1
2
a
a
+-
1
a
2
1
()a
a
-
1
a
+a-
1
a
=a=
1
5
谁的解答是错误的?为什么?
3. 已知a、b、c均为实数,且=c。
化简。
二次根式单元测试题经典3套
二次根式单元测试题一 一、 填空题(每题2分,共20分) 1、当a 时, 有意义 2、计算: 3、计算: 4、计算: (a >0,b >0,c >0) 5、计算: = = 6、 7、 则 2006个3 2006个4 8、 9、观察以下各式: 利用以上规律计算: 10、已知 二、 选择题(每题3分,共30分) 11、若32+x 有意义,则 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 12、化简 的结果是 ( ) A 、0 B 、2a -4 C 、4 D 、4-2a 13、能使等式 成立的条件是 ( ) A 、x ≥0 B 、x ≥3 C 、x >3 D 、x >3或x <0 14、下列各式中,是最简二次根式的是 ( ) A 、x 8 B 、b a 25 C 、2294b a + D 、 15、已知 ,那么 的值是 ( ) A 、1 B 、-1 C 、±1 D 、4 16、如果 ,则a 和b 的关系是 ( ) A 、a ≤b B 、a b 17、已知xy >0,化简二次根式 的正确结果为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 18、如图,Rt △AMC 中,∠C=90°, ∠AMC=30°,AM ∥BN ,MN=2 cm , BC=1cm ,则AC 的长度为 ( ) A 、23cm B 、3cm C 、3.2cm D 、 ()=-2 31)(a -1()=2232)(=??? ? ????? ??--2511)(==-?)()(273 11=73)1(a 38)2(=->2,0xy xy 化简如果=+=+= +222222444333443343,,= +22444333 =+-20062005)12()12(343412323112121-=+-=+-=+,,()= +??? ??++++++++120062005200613412311 21 = ??? ? ?-???? ??+-=+=x y y x 11111313,则,2 3-≥x 23-≤x 32-≥x 32-≤x 2)2 (2-+-a a 3 3-=-x x x x 2 y 51 =+x x x x 1-1212 2-=+-?-b ab a b a 2 x y x -y y -y -y --3M A N B C cm 32 3
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )
A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+?
由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1);2-x (2)121+-x (3)x x -++21 (4)45++x x (5)1 213-+-x x (6)若1)1(-=-x x x x ,则x 的取值范围是 (7)若 1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=,则22004a -=_____________. 7.若433+-+-=x x y ,则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--,求m 的值. 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ,当0>y 时,m 的取值范围是( ) A 、10<初中数学知识点精讲精析 二次根式知识讲解
21·1 二次根式 1. 二次根式的定义 一般地,式子(a ≥0)叫做二次根式,a 叫被开方数,a 可以是数可以是单项式或 多项式,如,,判断一个式子是否为二次根式;要看它是否具备两个特征: 一是根指数是2,二是被开方数为非负数,二者缺一不可. 2.二次根式的性质1 (Ⅰ)文字语言是:非负数的算术平方根是一个非负数. (Ⅱ)数学语言为:≥0(a ≥0),它的用途非常大,例如:若2+=0, 则a =0,b =0,若+|b|=0,则a =0,b =0,若+b 2=0,则a =0,b =0 思考:当a<0时,有意义吗?当a ≥0时,可能为负数吗? 3.二次根式的性质2 (Ⅰ)文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. (Ⅱ)数学语言为:()2≥0(a ≥0) (Ⅲ)证明:∵( a ≥0)是a 的算术平方根 ∴()2=a (Ⅳ)作用()2=3,()2=,()2=x (x ≥0) 反过来:若a ≥0则a = ,如:2=,=()2 4.二次根式的性质3 (Ⅰ)文字语言:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. (Ⅱ)数学符号: =|a| (Ⅲ)说明: ①a 的取值范围是任意实数. ②=a 的前提是a ≥0,=-a 的前提是a ≤0 5.()2与的异同点 a 3xy 12+x a a 3 1 b a a a a a a a 33131 x ()2 a () 2 221 212a 2 a 2 a a 2 a
(Ⅰ)区别:中a 必须取非负数即a ≥0,而 中的a 可以取任何实数. (Ⅱ)相同点: 当被开方数都是非负数,即a ≥0时,=()2 a<0时,()2无意义而=-a 典型例题 例1. 当a 为实数时下列各式中哪些是二次根式. , ,,,, 解:,,,是二次根式. 例2. x 为何实数时,式子在实数范围内有意义? 解:由x -2≥0得x ≥2,当x ≥2时在实数范围内有意义. 例3. 计算: (1)()2;(2)(3)2; (3)(-2)2;(4)()2 解:(1)()2= (2)(3)2=32×()2=9×2=18 (3)(-2)2 =(-2)2×()2=4×= (4)()2=x 2+y 2 例4. 计算: (1); (2) ; (3)(a<3); (4)(x<) ()2 a 2a 2 a a a 2a 10+a a 2a 12-a 12+a 2)1(-a a 2a 12+a 2)1(-a 2-x 2-x 52 231 22y x +52252 22313131342 2y x +252 )5.1(-2 ) 3(-a 2 )32(-x 23
二次根式知识点及典型例题练习
第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算(提高)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根 式加减运算; 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘 除运算; 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 要点诠释: (1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤: 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变, 只把被开方数相乘. 要点诠释: (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0). (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2.积的算术平方根: (a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数,把含有形式的a移到根号外面.
初中数学二次根式经典测试题
初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1.5 x+有意义,那么x的取值范围是() A.x≥5B.x>-5 C.x≥-5 D.x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可. 【详解】 Q式子5 x+有意义, ∴x+5≥0,解得x≥-5. 故答案选:C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2.二次根式2 a+在实数范围内有意义,则a的取值范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a<﹣2 D.a>﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a+在实数范围内有意义,则其被开方数大于等于0;分析已知和所求,要使二次根式2 易得a+2≥0,解不等式a+2≥0,即得答案. 【详解】 a+在实数范围内有意义, 解:∵二次根式2 ∴a+2≥0,解得a≥-2. 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目,应熟练掌握二次根式有意义的条件; 3.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.下列式子为最简二次根式的是() A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A符合题意;选项B,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B不符合题意; 选项C,被开方数含能开得尽方的因数或因式, C不符合题意; 选项D,被开方数含分母, D不符合题意, 故选A. 5.2 (21)12 a a -=-,则a的取值范围是() A. 1 2 a≥B. 1 2 a>C. 1 2 a≤D.无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|,则|2a-1|=1-2a,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a, ∴2a-1≤0, ∴ 1 2 a≤. 故选:C.
人教版初中数学二次根式经典测试题及答案
人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1.下列各式中,不能化简的二次根式是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数;D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9;因此这三个选项都不是最简二次根式.所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求. 【详解】 解:A =,被开方数含有分母,不是最简二次根式; B = ,被开方数含有小数,不是最简二次根式; D =,被开方数含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式; 所以,这三个选项都不是最简二次根式. 故选:C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式. 2.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误;
B 、原式=49?=49?=2×3=6,所以B 选项错误; C 、原式=1336=136 ,所以C 选项错误; D 、原式255164=- =-,所以D 选项正确. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 3.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+2(a b )-的结果是( ) A .2a+b B .-2a+b C .b D .2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <,0a b -<,然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简. 【详解】 解:由数轴可知:0a <,0b >, ∴0a b -<, ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+, 故选:B . 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质,根据数轴得出0a <,0a b -<是解题的关键. 4.已知实数a 满足20062007a a a --=,那么22006a -的值是( ) A .2005 B .2006 C .2007 D .2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围,然后去绝对值符号化简,再两边平方求出22006a -的值. 【详解】 ∵a-2007≥0,
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算
例1. 化简a a 1-的结果是( ) A .a - B .a C .-a - D .-a 分析:本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单, 所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本 题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并 且被开方数必须为非负值. 解:C. 理由如下: { ∵二次根式有意义的条件是1 0a -≥,即0a <, ∴原式= 211 ()()()a a a a a ---=--?-=--.故选C. 例2. 把(a -b )-1 a - b 化成最简二次根式 解: — 例3、先化简,再求值: 11()b a b b a a b ++++,其中a=51+,b=51 -. 3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。(1); (2) ! 4、比较数值 (1)、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >a b >a b 二次根式知识讲解
二次根式(基础) 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论: a ≥0,(a ≥0), (a ≥0),(a ≥0),并利用它们进行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0,(a ≥0); 2. (a ≥0); 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1).a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1(2015春?潍坊期中)下列各式中 ,一定是二次根式的有( )个. .3 C 【答案】 B 【解析】2231x +-,B . 【总结升华】0.
举一反三: 【变式】下列式子中二次根式的个数有( ). (1)13;(2)3-; (3)21x -+;(4)38; (5)21()3 -;(6)1x -(1x >) A .2 .3 C 【答案】B. 2. x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义 (1)1y x = -; (2)y=2+x -x 23-; 【答案与解析】 (1)1x -Q ≥0,所以x ≥1. (2)2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ; 【总结升华】重点考查二次根式的概念:被开方数是正数或零. 举一反三: 【变式】下列格式中,一定是二次根式的是( ). A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式: (1)23 2()4 --2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42 ?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三: 【变式】(1)2)2 52(-=_____________. (2)2)2(2a a ---=_____________. 【答案】(1) 10;(2) 0.
人教版初中数学二次根式经典测试题附答案
人教版初中数学二次根式经典测试题附答案 一、选择题 1.下列各式成立的是() A.2332 -=B.63 -=3 C. 2 22 33 ?? -=- ? ? ?? D.2 (3) -=3 【答案】D 【解析】 分析:各项分别计算得到结果,即可做出判断.详解:A.原式=3,不符合题意; B.原式不能合并,不符合题意; C.原式=2 3 ,不符合题意; D.原式=|﹣3|=3,符合题意. 故选D. 点睛:本题考查了二次根式的加减法,以及二次根式的性质与化简,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 2.二次根式2 a+在实数范围内有意义,则a的取值范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a<﹣2 D.a>﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 分析已知和所求,要使二次根式2 a+在实数范围内有意义,则其被开方数大于等于0;易得a+2≥0,解不等式a+2≥0,即得答案. 【详解】 解:∵二次根式2 a+在实数范围内有意义, ∴a+2≥0,解得a≥-2. 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目,应熟练掌握二次根式有意义的条件; 3.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断;根据二次根式的乘法法则对C 进行判断;根据二次根式的除法法则对D 进行判断. 【详解】 解:A 、B 与不能合并,所以A 、B 选项错误; C 、原式= ×=,所以C 选项错误; D 、原式= =3,所以D 选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.下列各式中计算正确的是() A 268+= B .233+= C 3515= D 42= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项,分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算,选出正确答案. 【详解】 解:26不是同类二次根式,不能合并,故本选项错误; B.23 3515= 4,原式计算错误,故本选项错误. 故选: C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法,在进行此类运算时,掌握运算法则是解题的关键. 5.已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4,故选 A.
二次根式经典练习题汇总
二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数),下列等式总能成立的是(8. )1.下列式子一定是二次根式的是( 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. .AD. B . C . ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. )m有意义,则2能取的最小整数值是(.若 m=3 .m=0 A.Bm=1 .DC.m=2 29x?),以下说法中不正确的是( 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是()3.若x<0,则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 .—C.0D.2 或—B 0 A.227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是()A. ?? B. ( 4.下列说法错误的是)28?649a?6a?是二次根式B.A.是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是.C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5.是整数,则正整数的最小值是();②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12.化简:计算= ________13.的结果为().化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14.化简:的结果是113033030.B .A .C .D3030 2?? _____________??1x?5x?时,。5x1 15.当≤<1?????20012000.把.7a 根号外的因式移入根号内的结果是()______________33???22a.16。
二次根式知识点归纳及题型知识讲解
一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 题型一:判断二次根式 (1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x 、x (x>0)、0、42、-2、1x y +、x y +(x≥0,y ≥0). (2)在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中,二次根式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二:判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: (1)43-x (2)a 83 1- (3)42+m (4)x 1- 2、21 x x --有意义,则 ;3、若x x x x --=--32 32成立,则x 满足_____________。 练习:1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、 x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3) . (5)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (6)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是
二次根式典型例题复习
二次根式的复习代数式知识结构图:
二次根式典型习题 一、二次根式的定义 1、下列代数式中,属于二次根式的为( ) A 、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是( ) A 7- B 32m C 、12+x D 3b a 二、二次根式下有关字母的取值范围 3、 4、下列各组二次根式中,x 的取值范围相同的是( ) A 、 与 B 、( )2与 C 、 与 D 、 与 5、如果 2 1 2 1--= --x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、1≤x ≤2 B 、1<x ≤2 C 、x ≥2 D 、x >2 61 1x -是二次根式,则x 的取值范围是 7、式子 3 23+-x x 中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-= x x y ,则xy = _______ 9、已知a 为实数,下列四个命题错误的是( ) A .若a a 2 =1,则a>0 B.若a<0,则 2a —a= —2a C. 若— 21a = —a 1,则a>0 D.若a ≥—2,则12++a a 有意义 10、化简1 a - ) A a B 、a C 、a - D a - 4-3x - 1-a 2-x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x 1
四、2 a a =的理解 11、 12、化简2 )21(-的结果是( ) A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-± 13、若2)3(-a =3—a ,则a 的取值范围是______________ 14、若2x +1+|y +3|=0,则(x +y)2 的值为( ) A .52 B .-52 C .72 D .-72 五、实数范围因式分解 15、把下列各式写成平方差的形式,再分解因式: 16、在实数范围分解因式:x 2—23x+3=___________________ 2x 2-4=_______________ 六、最简二次根式 17、 18、下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A 、a 16 B 、b 3 C 、 a b D 、45 19、二次根式 2 1,12,2 22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中,能合并的是( ) A .xy 和 2xy B. 3a a 与 a 1 C.xy 与2x D. a 与3a 七、二次根式的计算 21、若 b a b a =成立,则————————————————( ) 0. 0. ;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b a D b a C b a B b a A
人教版九年级上册二次根式典型例题
【典型例题】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1);2-x (2)1 21+-x (3)x x -++21 (4) 4 5++x x (5)1 213-+ -x x (6)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (7)若1 31 3++= ++x x x x ,则x 的取值范围是 。 书写格式(4)由5+x ≥0且x +4≠0得x ≥-5且x ≠-4∴当x ≥-5且x ≠-4时代数式 4 5++x x 在实数范围内有意 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 4. 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 6. 若2004a a -+=,则2 2004a -=_____________. 7.若433+-+ -= x x y ,则= +y x 8. 设m 、n 满足3 2 992 2 -+-+ -= m m m n ,则mn = 。 9. 若m 适合关系式=m 的值. 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ,当0>y 时,m 的取值范围是( ) A 、10<)0()0(0) (a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知2 33x x +=-x 3+x ,则( )A.x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤0 2..已知a二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理; 2.二次根式的加减运算先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.等式2)1(-x =1-x 成立的条件是_____________. 3.当x ____________时,二次根式32-x 有意义. 4.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (4)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (5)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 6.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 7.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 8. 若20042005a a a -+-=,则22004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 9.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 10. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10<)0() 0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +=-x 3+x ,则( ) A.x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤0 2..已知a