2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷
2019.1
一、填空题：
1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________； 答案：平行或异面
2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____； 答案：49
3、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____； 答案：
2
π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；
答案：2π
5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 答案：
163
6、若增广矩阵1111a a -??
?-??
对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；
答案：-1
7、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，1
2
为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞
++
+=__________；
答案：
87
8、已知ABC ?，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ?，若'''A B C ?是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ?是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）. 答案：直角
9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________； 答案：
3
π
10的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为
AB CD AD BC AC BD ======_______；
答案：2
11、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________； 答案：14π 12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，
如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；
二、选择题
13、“直线l 垂直于ABC ?的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ?的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件
答案：A
14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ?内，那么O 是ABC ?的（）
A 、外心
B 、内心
C 、垂心
D 、重心 答案：B
15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）
A 、一点时增三棱锥
B 、一定是正四面体
C 、不是斜三棱锥
D 、可能是斜三棱锥 答案：D
16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（）
A. 0
B.3
C.4
D.6 答案：B
三、解答题：
17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积； （2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.
解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，12
1224
A DE
a a S
a ==，并且1AB A DE ⊥平面， 所以1123
1133412
D A B
E A DE a a V a S a -=?==
（2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD
所成角，即BED ∠，因为2
a BE =
，BD ==，所以
32
a BE ==
，所以1
2332
a
COS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1
arccos()3
.
18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径
为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。 （1）这种蛋筒的表面积；
（2）若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到0.1L ）
解：（1）由题意可知圆锥的母线10l =，所以2
1=205
S rl l πππ=
=侧 并且2r =，所以2
=28S r ππ=半圆，所以=+=20+8=28S S S πππ表侧半圆 （2）由（1
）知圆锥的高度为h =，所以该蛋筒冰淇淋
的体积为2211141657.83233
V r h r πππ=
+?=≈ 所以3
150050057.82890029.0V V cm L ==?=≈
19、如图，已知O 为四面体1234A A A A 内一点，且满足：点O 与四面体任一顶点的连线均垂直其余三个顶点所确定的平面，设()1,2,3,4i i OA a i ==. （1）求证：1213a a a a ?=?；
（2）若1234OA OA OA OA ===，求证：1234A A A A ，为正四面体，并求直线2OA 与平面234A A A 所成角的大小.
解：（1）要证1213a a a a ?=?，即证12130a a a a ?-?=，123()0a a a ?-=，
即证1320OA A A ?=.因为1OA 垂直平面234A A A ，32234A A A A A ?平面，
所以132OA A A ⊥，故等式得证
.
（2）根据（1）的证明可证2324a a a a ?=?，即23232424cos cos OA OA A OA OA OA A OA ∠=∠， 因为1234OA OA OA OA ===，所以2324cos cos A OA A OA ∠=∠，所以2324OA A OA A ?， 所以2324A A A A =.同理可得3234A A A A =.所以底边是等边三角形.同理可得
12131434A A A A A A A A ===，即四面体的每条棱都相等，所以1234A A A A 为正四面体.
设122A A =，延长1A O 交平面234A A A 于H 点，所以2OA H ∠即为直线2OA 与平面234A A A 所成的角.连接2A H 与34A A 交于E 点，因为1234A A A A 为正四面体，所以31A E =
，所以
2A E =
，进而2A H =
1A H ==
2Rt OA H 中，
2
2
2
33OH OH ???-=+ ? ? ????
，解
得OH =，所
以2OA =，所以221sin()3OH OA H OA ∠==，所以21
arcsin()3OA H ∠=，即直线2OA 与平面234A A A 所成角的
大小为1
arcsin()3
.
20、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA 垂直于底
面1,,1,2,ABCD AB AC AB AC AA AD CD ⊥=====，且点M 和点N 分别为1B C 和1DD 的
中点.
（1）求证：MN //平面ABCD ； （2）求二面角1D AC B --的大小；
（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1
3
，求线段1A E 的
长度.
解：以A 为原点，AC ，AB ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意可()0,1,0B 得，()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()11,2,2D -，又因为M,N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ??
???
，()1,2,1N - （1） 证明：依题意可得，()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量.
50,,02MN ?
?=- ??
?
由此可得0MN n =，又因为直线MN ABCD ?平面，所以//MN
ABCD 平面
（2）()11,2,2AD =-,()2,0,0AC =,设()1,,n x y z =为平面1ACB 的法向量，
11100
n AD n AC ?=??=??，即可得(10,1,1n =向量为()0,0,1n =1112,2
n n n n n n
==
，34
π
（2） 依题意可设11A B λ，期中[0,1]λ∈，则
()1,2,1NE λ=-+.又因为()0,0,1n =2,(1)(2)NE n NE n NE n
λ=
=
-++又因为[0,1]λ，解得72
λ=-.所以线段21、如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对：“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱，圆柱的表面积与高分别记为12,S S 与12,h h . （1）若1211,16h h S ===，求2S 的值. （2）若12h h =，求证：12S S >
；
（3）求实数λ的取值范围，使得存在一对“等积四棱圆柱”，满足12S S =与
1
2
h h λ=
解：
（1）设正四棱柱的底面边长为a ，圆柱底面半径为r
，则22
12a h r h π=，
21124S a ah =+，2
2222S r rh ππ=+，因为1211,16
h h S ===，所以22416a a +=，解
得2a =，所以2
141r π=，即r =
.所以24
22184S π
π
ππ
π
=+=+(2)证明：因为12h h =,所以22a r π=
，(
)
2
2
121211242242S S a ah r rh ah rh πππ-=+-+=-
)
120h r
π=>. 所以12S S >.
(3)因为
2
1
h h λ=，得21h h λ=，则22,a r a r λπλπ==， 又因为12S S =，所以()111r h λππλ-=-，
()1
2
1r λπ
=
-，因为0r >，所以
2
01
λ>-，得
12λ>??>或者02
λ
∈+∞ ???