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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分分）共40（选择题
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
????,2,3,2,41BA??0,1AB?（，则，（1）若集合）
????????3,20,40,1,2,3,41（D）（B）（A）（C）
R且为增函数的是（）（2）下列函数中，定义域是
?x xy?e?yxlny?xy?（C））（A）（D （B）
开始??????b2a,1b?1a??2,4）（3）已知向量（，则，
=0，Sk=0????????3,95,95,73,7）（B））（（C）D （A
否<3k S）值为（（4）执行如图所示的程序框图，输出的是S输出15731D）（C）（（A）（B）+2=SS k 结束22b?ab ab?a）、是实数，则“”是“（5）设”的（+1kk= 必要而不必要条件(A) 充分而不必要条件(B)
(C) 充分必要条件既不充分不必要条件(D)
6????xf x??fxlog零点的区间是（，在下列区间中，包含）6（）已知函数??????????0,12,44,1,2(D)(C) (B) (A)
2x
??????22????C0A?m,0?Bm,0m1?y?:C3x?4?P，使得，若圆上存在点和两点）已知圆（7，m90?APB?的最大值为（，则）
7654 D ）（ B ）（ A （） C （）
p与加工时间）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率（82ac b cbtp?at??t是常数）（单位：分钟）满足的函数关系、、（，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）p
3.753.50）分钟（（A）B分钟0.0.7
4.254.00（D）（C）分钟分钟
0.5
O5t43
第二部分分）110 共（非选择题
30分。6小题，每小题5分，共二、填空题共2?????x R?i??1?2ix?ix. 9）若，则（12侧（左）视图正（主）视图??????C,012,02,0?（10）设双曲线，一
个顶点是，的两个焦点为，11C. 则的方程为
俯视图. ）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（11
1?c?A21ABC?a?b?sin?Ccos. ；（12）在中，，，则，4
1y???x01??x?y yx?z?3y.
，则的最小值为（13）若, 满足??0?x?y?1?BA两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件、（14）顾客请一位工艺师把颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
. 则最短交货期为工作日
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
????ba b?124b?20a?3a?，，数列（本小题（15）13分）已知，，且是等差数列，满足满足4141nn????????n bbaab?的通项公式；和（Ⅱ）求数列为等比数列.的前（Ⅰ）求数列项和. nnnnn
??????xx?3sin2f的部分图象如图所示13分）函数. ）（16（本小题??6????y xf xy的值；、
（Ⅰ）写出的最小正周期及图中
??xf,??上的最大值和最小值在区间. （Ⅱ）求??212??
00y0????
xxO0
BCAB?2AC?AAABC?ABC?，（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，1111BC CAFE.
的中点、、分别为11EAC BCCB?ABE平面（Ⅰ）求证：平面；1111B1//FC ABE（Ⅱ）求证：平面；1ABCE?.
（Ⅲ）求三棱锥的体积
AC FB
名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，14分）从某校随机抽取100（18）（本小题整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号频数分组频数??2，0 6 1 组距?? 4，2
8 2 b??6，4 17 3 ?? 8，622 4 a??，10825 5
??，1210 12 6
??，12146 7
??，1614 2 8
1810642O8161412??，1816 2 9
阅读时间
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
224y?x?2（本小题14分）已知椭圆C：的离心率；.（Ⅰ）求椭圆C（19）OB?OA2y?.B，点在椭圆C上，且O（Ⅱ）设为原点，若点A在直线，求线段AB长度的最小值
3?3xx(x)?2f. （本小题）13分）已知函数（20f(x)[?2,1]上的最大值；在区间（Ⅰ）求
P(1,t)y?f(x)相切，求存在t的取值范围；（Ⅱ）若过点3条直线与曲线
y?f(x)(0,2)C1A(?,2),B(2,10),相切？（只需写出结论）分别存在几条直线与曲线（Ⅲ）问过点
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数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）A （4）C
（5）D （6）C （7）B （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
22221?x?y）（9（）2 （10）11152）42
13）（12）1
（14（8三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
a?a12?3??a设等差数列的公差为，由题意得解：（Ⅰ）14d3??d?n33????，
n2n?1a?a?1n?，d?3．所以1n??ab?设等比数列的公比为，q
nn ab?12?20344由题意得．，解得
8q???2?q3?ba4?11??n?1n?12?b?aqb?a?．所以11nn??1n?从而，，2nb?3n?2?1n??1n?（Ⅱ）
由⑴知．n?1，，b?3n?22n n21?3??
????1n?n n321?2?1×的前的前项和为项和为数列，数列．nn1?nn21?23????n b．项和为所以，数列的前12n?1?n?n n27π??xf．的最小正周期为（16）（共13分）解：（Ⅰ）3?y?xπ006πππ5π????．，所以因为（Ⅱ）0???x??，，2x?????21266????ππ??xf取得最大值，即时，0；
于是当?x?02x??612πππ??xf取得最小值．时，，即当3???xx???2623（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．ABC?BABC?ACBB1111所以．ABBB?1又因为．BC?AB．
．所以平面?ABBCCB11．所以平面平面?ABEBCCB11．中点，连结，（Ⅱ）取ABFGGEG E分别是，的中点，因为，FEBCCA CA1111B11，且．所以AC∥FGACFG?2，因为，且ACAC∥AC?AC1111．所以，且ECFG∥EC?FG11ACGF为平行四边形．所以四边形FGEC B1所以．EGCF