来自网络，出处见：https://www.doczj.com/doc/9d18022715.html,/p/977577839.
给物体一个力，物体会有一个加速度。
现在的实验现象告诉我们的规律是
F_x = m a_x
F_y = m a_y
F_z = m a_z
如果我们想把上面三个公式写成一个式子，可以写成熟悉的矢量形式：F = ma （F和a是粗体，表示矢量。m则是标量。）
但我们也可以把三个分量式写成矩阵形式：
或者用一个简单的表达式表示同样的公式：
其中F和a都是列矩阵，而m也写成粗体，表示3×3矩阵：
这里的m就不再是标量，而是一个张量。
现在，假设我们这个世界变得奇怪一些：
往一个方向推物体，和往另一个方向推物体的加速度不一样。
三个方向的牛顿第二定律可以写成
F_x = m_x a_x
F_y = m_y a_y
F_z = m_z a_z
这时候，就不能再用一个矢量式子把这三个表达式写在一起了。但张量形式还可以用：
其中，
接下去，让我们这个世界变得更奇怪些：
往x方向推物体，物体不但会在x方向上有加速度，也会在y，z方向上有加速度。
x方向的力与三个方向上的加速度的关系可写成：
F_x = m_{xx} a_x + m_{xy} a_y + m_{xz} a_z
y方向、z方向的力也可以写成类似关系式。
此时，同样无法写出矢量表达式，把三个方向的力和三个方向的加速度用一个公式联系起来，
但仍然可以写出矩阵形式的公式：
或
回到我们熟悉的牛顿第二定律表达式：F = ma，
其中的惯性质量m，是联系a和F的一个系数。因为这个系数和方向无关，所以我们一般不写成张量的形式。（但事实上完全可以这样做。）而如果系数是和方向有关系的，则一定要把m看成是张量。
普遍来讲，张量是这样一个数学工具：
1）一个系数，用来联系两个物理量；
2）可以表示出两个物理量在各个方向的分量之间的关系。
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
?油气藏工程? 裂缝性油藏等效渗透率张量的边界元求解方法 姚 军,李亚军,黄朝琴,王子胜 (中国石油大学(华东)石油工程学院,山东青岛266555) 摘要:等效渗透率张量是裂缝性油藏渗流分析的重要参数,应用边界元算法可计算裂缝性油藏的等效渗透率张量。根据流量等效原理,考虑每条裂缝的空间分布和属性参数对流动的影响,建立了求解裂缝性多孔介质等效渗透率张量的数学模型,并给出了数学模型的边界元求解方法。实例研究表明,边界元法数值计算结果与解析结果较为一致;裂缝对介质的渗透能力有重要影响,忽略渗透率张量的非对角线元素将产生较大误差;等效渗透率张量能够反映裂缝性多孔介质的非均质性和各向异性。 关键词:裂缝性油藏;等效渗透率张量;连续介质;边界元方法;周期边界条件;数学模型 中图分类号:TE344文献标识码:A 文章编号:1009-9603(2009)06-0080-04 裂缝性油藏在中国油气资源中占有重要的地 位[1],由于裂缝性油藏内在的复杂性、模型基本假 设、裂缝识别技术和计算机硬件等因素的限制[2-3], 传统的双重介质模型[4-5]和近年出现的离散裂缝网 络模型[6-7]都有其局限性。等效连续介质模型则结 合了两者的优点,具有广泛的研究前景。等效渗透 率张量用来表征裂缝性油藏的非均质性和各向异 性,是等效连续介质模型的重要参数。 渗透率张量理论由Snow [8]提出,以解决裂缝含 水介质渗透各向异性的问题,这种基于优势节理组 统计特征的渗透率张量计算方法在实际工程中得到 广泛应用,但由于该方法不考虑实际裂缝的连通情 况及空间分布情况,计算结果存在误差。Long [9]利 用连续介质理论计算了裂缝性岩体的等效渗透率张 量,没有考虑基岩的渗透性。Tei m oori 等[10]应用边 界元方法计算裂缝性油藏的等效渗透率张量,将裂 缝假设成一维线形裂缝。 笔者根据等效连续介质模型的原理,建立求解 裂缝性油藏等效渗透率张量的数学模型,利用边界 元方法求解模型,并进行了实例研究。1 渗透率张量 渗透率是岩石的固有属性,是表征油藏非均质 性和各向异性的重要参数,具有二阶张量形式。二维情况下的渗透率张量可表示为k =k xx k xy k yx k (1) 式中:k 为渗透率张量,μm 2;k ζτ(ζ,τ=x,y )为渗透率张量的分量,μm 2;ζ为渗流速度方向;τ为位势梯度方向。为保证渗透率张量具有物理意义,其应为对称张量[11],即k ζτ=k τζ。当渗透率主轴方向与坐标轴方向平行时,k 为对角形式k =k x 00 k (2) 式中:k x 和k y 分别为x 和y 方向的渗透率主值,μm 2。对于裂缝性多孔介质,其等效渗透率张量综合考虑了网格块中基岩和裂缝对整个系统渗透性的影响,可描述任意裂缝分布和几何形态储层的岩石特征。 2 数学模型 2.1 模型假设 实际储层中的裂缝分布极为复杂,研究流体在其中的渗流规律,建立储层的理论模型,须对裂缝系 收稿日期2009-09-09;改回日期2009-10-15。 作者简介:姚军,男,教授,1984年毕业于华东石油学院采油工程专业,从事油气田开发工程的教学与科研工作。联系电话:(0532)86981707,E -mail:yaojunhdpu@https://www.doczj.com/doc/9d18022715.html, 。 基金项目:国家科技重大专项专题“离散裂缝网络油藏数值模拟技术”(2008Z X05014-005-03)和国家“973”项目“碳酸盐岩缝洞型油藏 开发基础研究” (2006CB202404) 第16卷 第6期 油 气 地 质 与 采 收 率 Vol .16,No .6 2009年11月 Petr oleu m Geol ogy and Recovery Efficiency Nov .2009
场论基础 附1 Hamilton 算子? 在直角坐标系中定义Hamilton 算子?为 x y z ???=++???i j k ? （附1.1） 这里，?既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(?)运算。 附1.1 梯度运算grad u u =? 对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为 grad u u u u u x y z ???==++???i j k ? （附1.2） 那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数(,,)u x y z 的方向导数 u n ??，我们有 cos(,)cos(,)cos(,) ()()grad x y z u u x u y u z n x n y n z n u u u n x n y n z x y z u u u n n n u x y y ???????=++??????????=++ ??????=++++=???i j k i j k n （附1.3） 因此有 grad cos(,)u u u n ?=?n ? （附1.4） 从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n ??取到极大值， 而极大值就为grad u 。这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。 附1.2 散度运算div =A A ? 对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为 d S S Φ= ??A n (附1.5) 更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当
第三章 几个基本的张量 §3.1 度量张量 一、 度量张量 j j i i g g δ= j i j i g g δ= 协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为： j ij i g g g = j ij i g g g = ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。 ij g 和ij g 称为度量张量。 ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。 ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。 证明：ij g ， ij g 是二阶张量： ' '''i j i i g g g = 又 ij j j i i j i ij j j i i j i j ij j j i i j j j ij i i j ij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理， 度量张量的混变分量是单位张量，即 i j i j g δ= j i j i g δ= 二、 度量张量的性质和作用 1、 度量张量各分量等于同名基矢量的点积。 ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ ij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ 2、 度量张量是二阶对称张量。 i j j i g g g g ?=? ji ij g g = i j j i g g g g ?=? ji ij g g =
3、 度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。 j i jk ik g g δ= jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ 由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。 4、 度量张量是坐标微分二次型的系数 设坐标微分dx i ，空间线元i i dx g d =，则： j i ij j j i i dx dx g dx g dx g d d =?=? 5、 度量张量确定空间两矢量的夹角 i i g u u = k j kj k k g v g g v == θcos v u =? 又 j i ij k i j i kj v u g g g v u g =?=? v u v u g j i ij = ∴θcos 又 kl l k l l k k g v u g u g u u =?==2 2 1 2 1) ()(cos n m mn l k kl j i ij v u g v u g v u g = ∴θ 6、 度量张量确定矢量的逆变分量 和协变分量之间的关系。 j kj k j kj k k i ij j k i i i ij j j j i i u g u u g u g g g u g g u g g u g u g u u ==??=??=== 即ij g 起着下降某个指标作用，ij g 则上升某个指标。 7、 度量张量的混变分量是单位张量 j i jk ik g g g ?= j i jk ik g g g ?= j i j i j i j i g g g δ===?? 上式在任何参照标架中都成立。 8、 在正交坐标系中度量张量的性质。 正交坐标系中，
大学2007年 博士生入学考试渗流力学试题(A卷) 一、(20分)试简述黑油模型的基本假设并写出其渗流数学模型结构中的运动方程组、连续性方程组和其它所需的辅助方程。 二、(20分)简述下列基本定律所对应的某些实际背景，并写出相应的数学表达式： 1.各向异性地层中的达西公式； 2.变形介质渗流的运动方程； 3.非等温渗流的热传导公式与液体的能量方程； 4.非牛顿液体的指数形式运动方程。 三、(20分)考虑忽略毛管力和重力作用的断面面积不变的一维油水两相渗流问题，假定孔隙介质和流体均不可压缩。 1.建立等饱和度面运动方程(即贝克莱一列维尔特方程)； 2.推导前缘含水饱和度Swf和前缘位置xf的表达式； 3.给出求解Swf的图解法； 4.写出出口端见水后平均含水饱和度的表达式。 四、(20分)设有一水平等厚均质各向异性地层，选择坐标系xoy，使坐标轴方向与渗透率张量主方向一致，x、y方向的渗透率分别为kx、ky，且kx>ky。已知在坐标原点处有一口生产井，井筒半径为rw，产量为q，地层厚度h，地层折算供给半径Re上的压力为Pe。 1.写出稳定渗流的压力所满足的定解问题(渗流方程、边界条件)； 2.求解地层中的压力分布； 3.推导油井的产量公式。 五、(20分)考虑圆形地层中有一口偏心井的平面稳定渗流问题。已知供给边缘半径为R，井筒半径为rw，生产井到圆心的距离为a，地层厚度为h，渗透率为k，原油粘度为μo，供给边缘和井底的势分别为Фe与Фw。 1.求解地层中的等势线和流线方程； 2.推导油井的产量公式； 3.计算圆心处的渗流速度。
一、(20分)试简述黑油模型的基本假设并写出其渗流数学模型结构中的运动方程组、连续性方程组和其它所需的辅助方程。 解: 所谓黑油模型是指简化的碳氢化合物两组分模型,其基本假设条件是:假定水相和其他两相之间不发生质量转移,烃类系统(油-气)中只考虑成两个组分,及油组分和气组分。油组分是经过微分蒸发后留下的大气压力下的残余液体,也称为油罐油,而气组分是蒸发出来的流体。(4分) 黑油模型渗流数学模型结构中的运动方程组为: )(D g P Kk v l l l rl l ?-?-=ρμ , l=o,g,w (4分) 黑油模型的连续性方程组为: 气组分(3分): ] [)]}([)]({[o o so g g Gs G o o o o ro so g g g g rg B S R B S t q D g P B KK R D g P B KK +??=+?-?+?-??φαραρμαρμα油组分(3分): )()]([ o o Os o o o o o ro B S t q D g P B KK φαραρμα??=+?-?? 水组分(3分): )()]([ w w ws w w w w w rw B S t q D g P B KK φαραρμα??=+?-?? 辅助方程(3分): 1=++w g o S S S ，cow w o P P P =-，cgo o g P P P =- 二、(20分)简述下列基本定律所对应的某些实际背景，并写出相应的数学表达式： 1.各向异性地层中的达西公式； 2.变形介质渗流的运动方程； 3.非等温渗流的热传导公式与液体的能量方程； 4.非牛顿液体的指数形式运动方程。 解: (1) 各向异性地层中的达西公式为： gradP u K v - = 其中?? ? ? ??=yy xx k k K 0 0为渗透率张量。(5分) (2) 变形介质渗流的运动方程为：dL dP P P K v o K o )] (1[--- =αμ
升尺度在求解等价渗透率中的研究现状及发展趋势 王克文1,孙建孟1,李文娟2 (1.中国石油大学(华东)地球资源与信息学院,山东东营257061; 2.中国石油大学(华东)数学与计算科学学院,山东东营257061) 摘要:为进一步了解升尺度方法在储层研究中的应用,介绍了单相流中的解析方法、求解压力方法、重正化方法、有效介质方法、流线方法以及两相流中的准静态方法和动态方法等升尺度方法的基本原理及求解思路,结合实际应用分析了不同升尺度方法的适用条件和优缺点,阐述了升尺度研究的发展趋势。综合分析认为,升尺度方法对地质建模和油藏数值模拟具有指导作用。 关键词:渗透率;升尺度;地质模型;数值模拟 中图分类号:TE319文献标识码:A 文章编号:1009-9603(2007)02-0084-05 多孔介质往往呈现出非均质性和各向异性,因 此将微观或局部特性同宏观或大尺度下的特性联系 起来是多孔介质研究的重要问题。升尺度是一种将 局部尺度下的观测参数转化为大尺度模型或数值模 拟输入参数的方法[1],在数值模拟中也称为网格粗 化。升尺度方法广泛应用于地下流体运动、污染物 扩散、溶质运移以及油藏数值模拟中。 在水文、地质和采油工业中,渗透率的空间尺度 效应是一个普遍存在的问题[1-3]。由于岩心实验、 测井分析和精细地质模型所反映的地质体大小具有 显著差异,为了反映精细地质结构对地质体宏观特 性的影响,通过岩心实验和测井分析所获得的渗透 率数值须经过升尺度处理再用到精细地质模型 中[4-6]。升尺度的另一主要应用是将精细地质模型 通过升尺度处理,减小网格数目,转化为计算机可容 许的数值模拟模型[6-8]。关于渗透率的空间尺度效 应和升尺度的研究意义,陈刚等作了综述[1]。笔者 主要介绍升尺度在求解等价渗透率中的研究现状, 并对各种升尺度方法的基本原理、求解步骤、适用条 件以及优缺点等进行了讨论,最后阐述了升尺度方 法的发展趋势。1 研究现状1.1 单相升尺度方法孔隙中只存在单相流时的升尺度称为单相升尺 度,单相升尺度是最简单的升尺度[7]。渗透率升尺度的基本原理是根据粗化网块中各个网格单元渗透率的数值及分布,来求取粗化网块的渗透率,粗化网块的渗透率称为升尺度后的等价渗透率[7]。1.1.1 解析方法一般情况下,升尺度后的渗透率很难获得解析解,但在一些理想情况下,可获得准确的解析解。主要有以下3种情况:①流体流动方向平行于均质薄层;②流体流动方向垂直于均质薄层;③渗透率的空间分布满足特殊的分布函数。根据在相同压差下升尺度前后流量相等的原则,利用达西定律容易得出:第1种情况的等价渗透率为各均质薄层渗透率的算术平均;第2种情况的等价渗透率为各均质薄层渗透率的调和平均;第3种情况的等价渗透率同渗透率场的分布函数有关。当地质体均质薄层既不平行于流体流动方向,也不垂直于流体流动方向,而与流体流动方向呈任意夹角时,将会出现交错流,此时渗透率不能采用简单的矢量形式,而应用张量来描述[6]。1.1.2 求解压力方法由于地下流体的流动过程非常复杂,因此,通常 不能获得等价渗透率的解析解,只能采用数值求解 的方法来求取。Begg 等较早使用了该方法[9],其基 本思想是:在一定边界条件下,首先对被研究网格进 行单相流模拟,求出每个网格的压力,利用达西定律 计算其在某一方向上的流量;然后计算粗化网块的收稿日期2006-12-13;改回日期2007-01-30。 作者简介:王克文,男,2002年毕业于石油大学(华东)应用物理专业,现为中国石油大学(华东)地质资源与地质工程专业在读博士研究生,主要从事储层岩石物理性质理论及应用研究。联系电话:(0546)8391702-800,E -mail:wang_kw@https://www.doczj.com/doc/9d18022715.html, 。 基金项目:国家自然科学基金(40574030)资助 油 气 地 质 与 采 收 率 2007年3月 PETROLE UM GE OLOGY AND RECOVERY EFF I C I E NCY 第14卷 第2期
“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。 所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。 授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。 目前网上给出如下一些教案示例： 1.“第一章矢量与张量” 2.“第二章应变分析” 3.“第三章应力分析 4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5) 5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4) 弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。 弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。 弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。 人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。 弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。 本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。
第五章 张量微分 §5.1 第一型克氏符号 一．定义 在曲线坐标()k x 下,基向量e i 对坐标j x 的偏导数e i j x ?? 与基向量e j 的 点积,称为第一型克雷斯托夫符号,记为,ij k Γ,即 ,e i e j ij k k x ?Γ=?? 二.性质 1.第一型克氏符号,ij k Γ关于指标,i j 对称，即 ,,ij k ji k =ΓΓ 证明:(P.432-1) 2.第一型克氏符号,ij k Γ与k m δ的并,可表成 ,,k m ij m ij k δΓ=Γ. 证明:(P.437-2) 3.度量张量g ij 对坐标k x 的偏导数,可表成: ,,g ij ik j jk i k x ?=Γ+Γ ? 证明:(P.428-2) 三.计算
1.在仿射坐标()k x 下，第一型克氏符号,ij k Γ的计算公式为 1(),2g g g jk ij ik j i ij k k x x x ???Γ=+-??? 证明: (P.428-2) 2.在正交坐标()k x 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 12(),2h ii i i i x ?Γ=? 2.()1(),2k i k h i ii k x ≠?Γ=-? .()12(),2j i j h ij i i x ≠?Γ=? 其余0.,ij k Γ= 证明:(P.328-3). 3.在直角坐标(,,)x y z 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 0.,ij k Γ= 证明:(P.437-3). 4.在园柱面坐标(,,)z ρ?下,第一型克氏符号,ij k Γ为 22,1ρΓ=- 12,221,2ρΓ=Γ=, 其余0.,ij k Γ= 证明:(P.429). 5.在球面坐标(,,)r θ?下,第一型克氏符号,ij k Γ为 22,1r Γ=- 2sin 33,1r θΓ=- 2sin cos 33,2r θθΓ=- 21,212,2r Γ=Γ= 2sin 31,313,3r θ=Γ=Γ 2sin cos 32,323,3r θθ=Γ=Γ
§4 张量算法 一、 张量概念 [张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换 () n i i x x x x ''???=,,1 (i = 1 , ·, n ) 之下，按下面的规律变化： l m m m l l j l m j j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T ??????''' ????????????????????=' 111 111 1 1 式中l m j j i i T ??????1 1是x i 的函数， 1 1l m j j i i T ??????是x i '的函数，则量l m j j i i T ??????11 (共有n N 个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量). 张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是 二阶张量，而三阶张量(例如T jk i )好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达. 下面列出n =2时的张量示意图： [张量举例] 1ο 可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式 i k i k k i i k k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====? ,.,, 确定的都是二阶张量，称为可乘张量.
2ο 克罗内克尔符号 克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是 因为从 i j j i i i x x x x δ=????'' 可得 i j j j i i j i i i i j x x x x x x x x δδ '''''' ????=????= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式 k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,, 则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式 T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,, 则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的. 在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价. 二、 张量代数 [指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法). 任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如 ()()ki ik ki ik ik T T T T T -++= 2 121 [张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算
地震勘探原理复习提纲 一、本课程主要内容 绪论：物探与地震勘探的概念 第一章地震波基础 第二章地震波运动学 第三章地震资料采集：包括观测系统、地震组合法、共反射点叠加 第四章地震资料处理简介 第五章地震数据采集系统 二、主要名词与概念 1.地质年代与地层单位，宙、代、纪、世；宇、界、系、统， 2.油气藏、油气田 3.物探（基本勘探方法） 4.地震勘探（基本勘探方法） 地震勘探是利用地下介质的弹性和密度差异的一种物探方法。 地震勘探可以分为三种基本勘探方法，即反射波法、折射波法和透射波法。 5.费马原理 6.Snell定律 7.地震折射波 8.理想弹性体 弹性理论有个6基本假设，理想弹性体是指满足连续性假设、完全弹性假设、均匀性假设和各向同性假设的弹性体。 9.张量10.面波11.波阻抗12.平面简谐波 13.波型转换14.偏振交换15.发散16.波散（频散，色散） 17.地震波的吸收18.球面扩散19.大地滤波作用 20“滑行波”21视速度定理22.回转波 23.回折波24.动校正 25剩余时差 把某个波按水平界面均匀介质一次反射波做动校正后残存的时差称为剩余时差。 26.静校正 静校正主要包括井深校正、地形校正和低速带校正三部分。 27.偏移 28.时间场 29.时距曲线 30.时间剖面的显示方法 31.振幅恢复 32.反褶积 33.观测系统（包括基本原则） 34.地震组合法，线性组合，面积组合 35.空间方向系数 36.共反射点叠加法 37.动态范围，瞬时动态范围 38纵测线、非纵测线 39.识别全程多次有两个重要标志，一是标志，二是倾角标志。 40.地震勘探中常用的震源有炸药震源、可控震源、重锤、空气枪、电火花等；
一类粘弹性流体模型与数值分析的分析
摘要 粘弹性流体问题一直是流体力学和理论数学研究的一个重要问题．本文主 要研究一类粘弹性流体的数学模型．耳POldroyd—B型流体的数学模型．这类数 学模型一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容，均归结为偏微分方程(组)的求解，因此，研究具有高效率高精度的算法是很有必要的．在本文 中我们提供了几种解决两类偏方程的数学方法．文章主要内容如下j 本文第一章介绍了非牛顿流体力学及相关数值分析综述．第二章着重讨论 了基于Oldroyd随体时间导数的01droyd-B型流体的数学模型的本构方程的 建立、求解，并最终给出了此类方程l级、2级变分一解析解，同时，我们还在 两个特殊情形(常压力梯度和周期性压力梯度)下，讨论了该变分一解析解具体表 达形式． 第三章主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和V循环多重网格 法去解决Oldroyd B型流体流动问题．一方面，我们将混合有限元方法应用于求 解非定常型的服从Oldroyd B型本构律的黏弹性流体流动问题．另一方面，我们将 运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和Y循环多重网格法去逼近 Oldroyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性．其主要 内容如下：讨论用混合有限元方法去研究01droyd B型流体流动问题的解的存在 唯一性，并给出了逼近解的误差估计；介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近01droyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解的收敛性；讨论01droyd B型流体 流动问题的V循环多重网格格式，并给出了迭代解的存在唯一性和误差估计．本文第四章的主要目的就是研究一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限 元方法的超收敛现象．特别是对一般的非自共扼二阶椭圆边值问题，我们讨论了其最小二乘混合元解的存在唯一性及超收敛性．在第五章中，我们分别对半线性反应扩散问题和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元方法给出了几个两层网格方法，并对它们的收敛性进行了分析．关键词：Oldroyd—B型流体，反应扩散方程，有限元，混合有限元，超收敛，误差估计
各章要点 第一章：矢量和张量 指标记法： 哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底： k i k i i x ??==?ξ?ξr g e j j i i ?=δg g i i k k x ?ξ=?g e 123 = ==g g g 张量概念 i i'i'i =βg g i'i'i i =βg g i k i k j j ''''ββ=δ i'i'i i v v =β i i 'i 'i v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g 度量张量 ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g ?=?=?=?=v G G v v T G G T T .j kj i ik T T g = 张量的商法则 lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk ...lm T(i,j,k,l,m)T = 置换符号 312n 1n 123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn ijk .L .m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A = 置换张量
i j k ijk ijk i j k =ε??=ε??εg g g g g g ijk i j k ()e ε=??=g g g ijk ijk i j k ()ε=??=g g g i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()?=ε=ε=?=?a b g g a b εεa b 广义δ符号 i i i r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t e e δδδδδδ==εε=δδδδ ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ ijk k ijt t 2δ=δ ijk ijk 6δ= 性质：是张量 重要矢量等式：()()()??=?-?a b c a c b a b c 第二章： 二阶张量 重要性质：T =T.u u.T 主不变量 i 1.i Tr()T ζ==T i j l m 2l m .i .j 1T T 2 ζ=δ 3det()ζ=T 1()()(())(())()?????????=ζ??T u v w +u T v w +u v T w u v w 2)[)][()(]()[()]()????????????=ξ??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w 标准形 1. 特征值、特征向量 ?=λT v v ()-λ?=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形 i 12 3 i 1122 33=??=λ?+λ?+λ? N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法） 12112233(cos()sin())(sin()cos())=?+??+-?+??+?R e e e e e e e e
张量分析与场论 第一章 张量代数 任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。 由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。 张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。 第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。 1.1点积、矢量分量及记号ij δ 我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如 位移u ρ，力F ρ等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法 法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρρρ+=的运算如右图所 示。 在理论力学中我们还知道，如u ρ表示某一点的位移， F ρ表示作用在该点上的力， 则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢 量F ρ与矢量u ρ之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。 点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ|分别为其大小（也称为模）。θ为这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ的点积为 由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ?v ρ=v ρ?u ρ。可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ，则 或可写为 如果0v u =?ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。 由点积的定义可知，2u u u ρρρ=?。如|u ρ|=1则称u ρ为单位矢量。 以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。 我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在 空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为 （1e ρ,2e ρ,3e ρ ），其大小为1，方向互相垂直，即有如下的性 质：
第八章矢量算法与场论初步·张量 算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分. 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去. 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的. §1矢量算法 一、矢量代数 ［矢量概念］只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量． 在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示. 矢量按其效能可分成三种基本类型： 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度. 在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量. 模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.
第五章 张量分析 在笛卡尔坐标系中已经讨论过矢量的导数和积分，就矢量而言有三个分量，分量相同则矢量相同，分量不同则矢量不同，且矢量分量的变化能够完全描述矢量的变化。 在曲线坐标系中的情况则完全不同。譬如在极坐标系中，图，任意两点的矢量相等，但它们的径向分量和周向分量却不相等。然而在 两点的矢量并不相等，但在极坐标系中却有相同的径向分量和周向分量（为零）。 在曲线坐标系中的空间各点上，可以确定一组协变基矢量i g 和一组对偶的逆变基矢量 i g ，它们一般都是空间点位置即曲线坐标}{i x 的函数，因此空间各点的基矢量构成了局部 的斜角直线坐标系，可称曲线坐标系是空间局部坐标系。由于直线坐标系的基矢量在整个空间各点上处处相同，相应地称直线坐标系为整体坐标系。在曲线坐标系中研究张量在邻近区域各点的变化时，考察基矢量的空间变化情况则是进行张量分析的基础。 第一节 克里斯托夫符号 考察任意一个矢量的导数，则有： ()j i,i i i j ,j ,i i j ,v v v g g g v +== ( ) i j ,i i j i,j ,i i j ,v v v g g g v +== 以上两式中的最后一项是基矢量的导数，注意基矢量的偏导数仍是矢量，也可以分解到基矢量i g 或i g 方向上的分量。首先考察协变基矢量的导数，令： k k ij k ijk j i,g g g Γ=Γ= 这里引进了三指标符号，称ijk Γ为第一类克里斯托夫符号，称k ij Γ为第二类克里斯托夫符号。上式左端包含9项，右端有3项，所以克里斯托夫符号有27个分量。若用另一个基矢量点 乘上式，得： ijk l k ijl k l l ij k j i,Γ=Γ=?Γ=?δg g g g k ij k l l ij k l l ij k j i,Γ=Γ=?Γ=?δg g g g 即克里斯托夫符号的分量都是关于协变基矢量的导数与基矢量的点积构成的。 因为k k ij k ijk g g Γ=Γ，用l g 和l g 点乘等式的两边，可得： kl k ij ijl k l ijk g Γ=Γ=Γδ l ij l k k ij kl ijk Γ=Γ=Γδg 所以，克里斯托夫符号的第三个指标可以象矢量分量的指标一样上升和下降。 另外，联系协变基矢量是矢径对坐标的偏导数： i i x ??= r g 则有：
本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 第一章矢量与张量 §1. 矢量代数 1.1 向量的定义 1.2 Einstein约定求和 1.3 e ijk与d ij 之间的关系 §2. 张量代数 2.1 张量的定义 2.2 张量的运算 2.3 张量与矢量之间的运算 2.4 张量与张量之间的运算 §3. 矢量分析 3.1 Hamilton算子 3.2 无旋场与标量势 3.3 无散场与矢量势 3.4 Helmholtz分解 §4. 张量分析 4.1 矢量的梯度 4.2 张量的散度和旋度 4.3 ▽(A·α)等公式 4.4 两个有关左右旋度的展开式 4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式
§1 向量代数 1.1向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系 ，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成 (1.1) 设在中有另一个坐标系，其标架为，它与 之间的关系为 （1.2） 由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵 (1.3) 将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4）向量在新坐标系中的分解记为 (1.5)
将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6) 公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。 1.2 Einstein约定求和 用求和号，可将(1.1)写成 (1.7) 所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10) (1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得