初二数学第一学期期末几何总复习
编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟
知识网络
全等三角形
知识结构图
地位和作用
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．
轴对称
知识结构图
地位和作用
本章的图形与几何内容是继全等三角形之后的进一步推理论证内容，也是继平移变换后的第二种合同变换(保距变换)，即要用轴对称的观点分析现实生活中的几何图形，又要深入挖掘一些特殊图形的性质，为后续学习如四边形、圆等做好充分的准备，同时培养学生的美学观．
知识要点梳理
知识点一：全等三角形概念
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．
2．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．3．全等三角形对应边相等，对应角相等．
知识点二：三角形全等的判定
1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
知识点三：作轴对称图形
1．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形．
2．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
知识点四：轴对称变换
1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．
2．新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点．
3．连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
4．用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)．
知识点五：等腰三角形
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，这些特殊性质，都和它是轴对称图形有关，因此，把这部分内容安排在轴对称之后，从轴对称的角度，得出“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质等内容．1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．
2．等腰三角形的性质：
(1) 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)．
(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合(三线合一)．
3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．知识点六：等边三角形
1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形．
2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．等边三角形的判定：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点七：其它常用的三角形性质
1．30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．三角形中边与角之间的不等关系：
(1) 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大(大边对大角)．
(2) 在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大(大角对大边)．经典例题精析
类型一：由角平分线想到构造全等
不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点(此点作为顶点)组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称(全等)，从而把角、线段转移达到解题目的．
1．如图1，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CD于D，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．
图 1 图 2
解析：在AB取一点E，使AE=AC，连接ED，如图2
显然，△ADC≌△ADE，
∴∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，
又∵ AB=AC+CD，
∴ ED=EB，
∴∠EDB=∠B，∴∠AED=2∠B ∴∠C=2∠B．
2．如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，求证：BC=BD+AD．
图 3 图 4
解析：在BC上取点E、F，使BE=BD，BF=BA．如图4
∵ BD平分∠ABC，∠A=100°，
∴△ABD≌△FBD，FD=AD，∠BFD=100°，
∴∠DFE=180°-100°=80°
∵ AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴
∴∠DBE=20°
∴∠DEF=(180°-20°)÷2=80°
∴∠DFE=∠DEF
∴ DE=DF=AD,
∵∠C=(180°-100°) ÷2=40°, ∠EDC=∠DEF-∠C=80°-40°=40°,
∴ DE=EC,
∴ AD=EC,
∴ BC=BE+EC=BD+AD．
3．如图5，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB，PC。求证：
．
图 5 图 6
解析：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，如图6
由AD平分∠BAC，得∠BAP=∠CAP，
又∵ AE=AB，AP=AP，
∴△APE≌△APB，
∴ PE=PB，
在△EPC中，PC-PE 即PC-PB ∴ PC-PB 4．如图7，D为等边△ABC内的一点，DB=DA，BE=AB，∠DEB=∠DBC，求∠BED的度数． 图 7 图 8 解析：连结DC，如图8 由△ABC是等边三角形且BE=AB，可得 BE=BC， 又∵∠DBE=∠DBC，BD=BD， ∴△DBE≌△DBC， ∴∠BED=∠BCD， ∵ DB=DA，DC=DC，BC=AC， ∴△CBD≌△CAD， ∴， ∴． 类型二：由轴对称图形想到构造全等 5．如图9，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD=PE，求证：AC=AB． 图 9 图 10 解析：连结AP，如图10 ∵∠PDA=∠PEA=90°，PD=PE，PA=PA， ∴ Rt△PDA≌Rt△PEA， ∴ AD=AE， 又∵∠CAB=∠BAD， ∴ Rt△ACE≌Rt△ABD， ∴ AC=AB． 6．如图11，在△ABC中，AB>AC，E、F是AC、AB上的点，并且，求证：CE=BF． 图 11 图 12 解析：作射线CG，使∠GCB=∠FBC，CG交BE于G，如图12 由已知，显然△BCF≌△CBG， ∴ BF=CG，且∠FBM=∠GCM， ∵∠CEG=∠A+∠ABE，∠CGE=∠GBC+∠BCF+∠MCG， ∴∠CEG=∠CGE， ∴ CE=CG， ∴ CE=BF． 7．如图13，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AE，∠BAE=30°，求证：BE=CE． 图 13 图 14 解析：作正方形ABCF，连结EF，如图14 由作图知，∠FAE=60°， 又∵ AE=AB=AF， ∴△AEF为等边三角形， ∴ AE=FE， 显然，△ABE≌△FCE， ∴ BE=CE． 8．小明家门前一长度为的直围墙AB，小明家现决定修建面积为的三角形形状的花坛，其中以 围墙为一边，新修建两边，如果要使建设费用最省，请问如何修建，并说明理由． 思路点拨：如图15，作直线CD∥AB且两平行线的距离为，点P为CD上的动点，，要使费用最省，就得使AP+BP的值最小，作点A关于CD的对称点，交CD于E，，当 共线时，即点P为与直线CD的交点，由两点间线段最短，得最小，故最小，显然， ，所以，从而为AB的中垂线，那么费用最省．解析：作墙所在线段AB的中垂线，垂足为O，在中垂线上取一点P，使，沿着△ABP的边AP、BP 修建即可，如图16． 图 15 图 16 类型三：特殊三角形的线段关系 9．如图17，已知在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD+PE是一个定值． 图 17 图 18 解析：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，如图18 由，， ，， 得：， 即，(定值)． 总结升华：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高．【变式1】如图19，如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE 之间又有怎样的关系呢？ 【答案】连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，如图19 由，， ，，得：， 即，(定值)． 即，当点P在BC延长线上时，PD与 PE之差为一定值． 图 19 【变式2】如图20，若△ABC为等边三角形，边长为，在△ABC内部任取一点O，记O 到三边的距离依次为、、．求证：为定值． 图 20 图 21 【答案】如图21，连接PA、PB、PC． ， 故是一个常数． 【变式3】若△ABC为等边三角形，边长为，在△ABC外，且∠C内部任取一点O，记O到AB、AC、BC 的距离依次为、、．求、、、之间的数量关系． 【答案】如图22，连接OA、OB、OC， 则有如下面积关系： 即：， 化简为．图 22 10．如图23，在等边三角形△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE=BD，求证：CE=DE． 图 23 图 24 图 25 解析： （法一）过E作EF⊥CD于点F，如图24 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BEF=30°， ∴ BE=2BF，则BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF) ∴ CD=2CF， ∴ CF=DF， 在△CEF和△DEF中，CF=DF，∠CFE=∠DFE=90°，EF=EF， ∴△CEF≌△DEF， ∴ CE=DE． （法二）如图25，延长CD到G，使DG=BC，则CG=AE， 所以△EBG为等边三角形，可证明△ECB≌△EDG． 11．如图26，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABD内部，求证： 图 26 图 27 解析：作点P关于AD的对称点，连接并延长交PC于点Q，连接，如图27． 因为AB=AC，AD是BC边上的高， 易得 因为，， 故 【变式1】如图28，△ABC的边AB和BC上的高线不短于其对应边的边长，试求该三角形的各个角的度数． 图 28 图 29 【答案】如图28，设AD、CE分别是BC和AB上的高线，则，． 但由题设知，， 所以， 从而D、B、E重合，如图29． 所以△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，因此∠B=90°，∠A=∠C=45°． 类型四：特殊三角形与几何变换 12．如图30，设O是等边△ABC内的一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，求以线段OA、OB、OC 为边构成的三角形的各角的大小． 图 30 图 31 解析：将△BOC绕B点顺时针旋转60°，使BC与AB重合，此时O点位于点P处．连接OP，如图31．易知△BOC≌△BPA，故OB=BP，OC=PA，∠BPA=∠BOC=125°． ∵∠PBO=60°，PB=BO， ∴ OP=OB．故△OPA是以线段OA、OB、OC为边构成的三角形， ∵∠BOC=125°， ∴∠PAO=360°-125°-115°-60°=60°，∠POA=115°-60°=55°，∠OPA=65°． 13． (1) 如图32，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC． (2) 如图33，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，∠APD=120°， 证明：． 图 32 图 33 解析： (1)连接AC，延长CD至F，使得DF=BC，如图34． 易证△ABC≌△ADF，△ACF为正三角形，故BC+CD=CD＋DF=CF=AC． (2)以AD为边做正三角形△ADE，连接AC、PE、CE，如图35． 由上可知，PE=PA+PD 易证△BAD≌△CAE，故CE=BD．在△PCE中，PE+PC>CE 当C、P、E 三点共线时，PE+PC=CE．故，即 图 34 图 35 14．如图36，在等腰直角三角形△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形． 图 36 图 37 解析： (法一)如图37，将△CBN绕点C顺时针旋转90°，得到△CAD． 连接MD，则AD=BN=，CD=CN，∠ACD=∠BCN， 故∠MCD=∠ACM+∠ACD=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°=∠MCN， 从而△MDC≌△MNC， 则MD=MN=． 而∠DAM=45°+45°=90°， 故在直角三角形△AMD中有． (法二)用“对称变换”也得到解答． 如图38，以CM为对称轴将△CMA翻折到△CMP的位置． 易证△CPN和△CBN关于CN对称， 且△PMN为直角三角形， 并且可得PM=AM=m ，PN=NB=n ，．图 38 八年级上学期期末考试数学试题3 一、单项选择题。每小题3分，共24分） 1.在下列的计算中正确的是（ ） ＋3y ＝5xy ； B.（a ＋2）（a －2）＝a 2 ＋4； ab ＝a 3b ； D.（x －3）2＝x 2 ＋6x ＋9 2．已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ． 1，2，3 B ． 2，5，8 C ． 3，4，5 D ． 4，5，10 3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD 和△ACD 全等的条件是（ ） A ． AB ＝AC B ． ∠B ＝∠C C ．∠BDA ＝∠CDA D ． BD ＝CD 5．如图，在直角三角形ABC 中，AC≠AB，AD 是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C（∠C 除外）相等的角的个数是（ ） 个 个 个 个 6.下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7.若 0414=----x x x m 无解，则m 的值是（ ） A.－2 B.2 D.－3 8.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然 后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ） =(a ＋b)(a －b) B.(a ＋b)2 =a 2 ＋2ab ＋b 2 C.(a －b)2 =a 2 －2ab ＋b 2 －b 2 =(a －b)2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.当x 时，分式51 -x 有意义；当x 时，分式11x 2+-x 的值为零 10．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是 ． 11.若a 2 ＋b 2 ＝5，ab ＝2，则(a ＋b)2 ＝ 。 12．如图,在ABC ?中,16AB AC cm ==,AB 的垂直平分线交AC 于点D ,如果10BC cm =,那么BCD ?的周 长是 cm ． 13.计算：20132 －2014×2012=______ ___． 14．如图，△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD = 40，则∠C = ． 15.计算： =+-+3 9 32a a a __________。16．如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC．若∠ABD=30°，∠BD C=90°，CD=2， 12题 A B D C C A B D 16题 8题 【必考题】初二数学上期末试题(附答案) 一、选择题 1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ） A ． 15151 12 x x -=+ B ． 1515112 x x -=+ C ． 15151 12 x x -=- D ． 1515112 x x -=- 2．下列因式分解正确的是( ) A ．()2 211x x +=+ B ．()2 2211x x x +-=- C ．()()2 2x 22x 1x 1=-+- D ．()2 212x x x x -+=-+ 3．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3 C ．a=-2，b=3 D ．a=2，b=-3 4．已知关于x 的分式方程213 x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 5．在平面直角坐标系中，点A 坐标为（2，2），点P 在x 轴上运动，当以点A ，P 、O 为顶点的三角形为等腰三角形时，点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6．如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b (b D C B A 21D C B A （一)三角形部分 一、知识点汇总 1. 三角形的定义定义:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内 角，简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ＡBC 用符号表示为△A ＢＣ.三角形AB Ｃ的顶点C 所对的边ＡB 可用c 表示，顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点Ａ所对的边BC 可用a 表示. 注意：（1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一个封闭的图形； (３)△ABC 是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义． 2、(１)三角形按边分类: （2 3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。 注意： （1)三边关系的依据是：两点之间线段最短; (2）围成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边. 4、和三角形有关的线段： （１）三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法：１、AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2、BD=D Ｃ=0.５BC. 3、AD 是 ABC 的中线； 注意:①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 D C B A 21B A C M D 表示法：1、AD 是△ABC 的∠BA Ｃ的平分线．2、∠1=∠2=0.5∠BAC. 3、ＡD 平分∠B ＡC,交ＢC 于D 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； (3）三角形的高 三角形的高:从三角形的一顶点向它的对边作垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高, 表示法：1、ＡD 是△ＡB Ｃ的BC 上的高。 2、AD ⊥BC 于D 。 ３、∠ＡDB ＝∠ADC=9０°。 4、AD 是△ABC 的高。 注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在三角形外; ③三角形三条高所在直线交于一点.(而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．直角．．三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ４、三角形的内角和定理 定理:三角形的内角和等于１80°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形内角外角的关系: (1)三角形三个内角的和等于180?; (２)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角． 如:∠ＡCD 、∠BCE 都是△AB Ｃ的外角,且∠ACD=∠ＢC Ｅ, 所以说一个三角形有六 个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了. 7. 三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角. 注意:（１）它不相邻的内角不容忽视; （2）作CM ∥ＡB 由于B 、C 、Ｄ共线 ∴∠A=∠1，∠Ｂ＝∠２. 即∠ACD ＝∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠Ａ.∠ＡCD>∠B 。 8、(１）多边形的定义:在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2)·180° 多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 【必考题】初二数学上期末试题(带答案) 一、选择题 1．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ； ③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧； 所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ） A ．①②③④ B ．④③①② C ．②④③① D ．④③②① 2．如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C ，使△ABC 为等腰三角形，则这样的顶点C 有（ ） A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 3．如果2 220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +? ?+? ?+?? 的值是()n n A ．2- B ．1- C ．2 D ．3 4．如图，ABC ?是等边三角形，0 ,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 5．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±1 6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则 ∠CBD 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．75° 7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3 cm ，则 AB 的长度是( ) A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm 8．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是（ ） A ．40° B ．60° C ．80° D ．100° 9．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ) A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D ．已知三角形的三边的长度 10．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( ) A ．10cm B ．6cm C ．4cm D ．2cm 11．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．下列计算中，结果正确的是（ ） A ．236a a a ?= B ．(2)(3)6a a a ?= C ．236()a a = D ．623a a a ÷= 二、填空题 13．把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作_____． 14．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n ），且x+1=2128，则n=______． 15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，若AB=20，则BD 的长是 ． 16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______． 新人教版八年级数学上学 期期末复习 Prepared on 22 November 2020 八年级数学期末复习题四 班级___ ____ 姓名_ ______ 总分__ _____ 一．选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）。 A 、a (x + y) =a x + a y B 、x 2－4x+4=x(x －4)+4 C 、10x 2－5x=5x(2x －1) D 、x 2－16+3x=(x －4)(x+4)+3x 2．下列运算中，正确的是（ ）。 A 、x 3·x 3=x 6 B 、3x 2÷2x=x C 、(x 2)3=x 5 D 、(x+y 2)2=x 2+y 4 3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。 4．已知△ABC 的周长是24，且AB=AC ，又AD ⊥BC ，D 为垂足，若△ABD 的周长是20，则AD 的长为（ ）。 A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 5．8．已知m 6x =，3n x =，则2m n x -的值为（ ）。 A 、9 B 、 43 C 、12 D 、34 6. 一次函数y ＝－3x ＋5的图象经过（ ） A 、第一、三、四象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、三象限 D 、第一、二、四象限 7．已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）。 A 、14 B 、16 C 、10 D 、14或16 8．已知m 6x =，3n x =，则2m n x -的值为（ ）。 A 、9 B 、 43 C 、12 D 、34 9．已知正比例函数y kx = (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数 A B C D 习 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．在101001 .0 -, 7, 4 1 , 2 π -, 0中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） A．B．C．D．3．下列说法正确的是 A．0的平方根是0 B．1的平方根是1 C．－1的平方根是－1 D．()21-的平方根是－1 4．有一组数据：10、20、80、40、30、90、50、40、50、40，它们的中位数是A．30 B．90 C．60 D．40 5．如果点P(m，1-2m)在第四象限，那么m的取值范围是 A． 1 2 m < 习 9．如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD +PE +PF 等于 A B ． C ． D ．无法确定 10．如图所示，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有 A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．无数多个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．正九边形绕它的旋转中心至少旋转 后才能与原图形重合. 12．直角三角形三边长分别为2，3，m ，则m ＝ . 13．－27的立方根是 ． 14．已知5个数据的和为485，其中一个数据为85，那么另4个数据的平均数是 ． 15．已知点A （a ，2a －3）在一次函数y =x +1的图象上，则a = ． 16．已知等腰三角形ABC 的周长为8cm ，AB =3cm ．若BC 是该等腰三角形的底边，则BC = cm ． 17．如图所示，点A 、B 在直线l 的同侧，AB =4cm ，点C 是点B 关于直线l 的对称点，AC 交直线l 于点D ，AC =5cm ，则△ABD 的周长为 cm ． 18．如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠A =36°，BC =2 ，BD 是△ABC 的角平分线，则AD = ． （第17题） C B A D l （第18题） C D B A 5、解方程组 ??3x + y = 8 学习必备 欢迎下载 八年级第一学期数学期末试卷 亲爱的同学： 祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，答 题要仔细哦。祝你成功！（答题时间为九十分钟，满分为 100 分） 一、选择题看谁的命中率高（每题 3 分，共 30 分） 1、若直角三角形的三边长是三个连续偶数，那么三边长是（ ） （A ）２,４,６ （B ）４,６,８ （C ）6，8，10 （D ）8，10，12 2、在下列各数中：1.414， 2 ，3.14， 2.52 ， 4 ， π ， 3 16 ，0.303003003 无理数有（ ）个 （A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）4 个 3、估算 3 2100 ，误差最小的是（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 4、下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是( ) ① ?2x - y = 7 ② 时，最简便的方法是（ ） （A ）①×2＋②×3 （B ）①×2－②×3 （C ）①＋② （D ）①得 y ＝－3x ＋8 代入② 6、下面性质中，等腰梯形和平行四边形共有的性质是（ ） ①对角互补; ②邻角互补; ③对角相等; ④内角和是 360° （A ）②④ （B ）② （C ）①③ （D ）④ 7、下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重复覆盖的地砖是（ ） （A ）正三角形;（B ）正方形;（B ）正五边形;（D ）长方形 8、如右图，将一张矩形纸按图（1）所示对折，得图（2）， 剪去图中阴影部分，请你想象把剪去阴影部分后的图形 展开后的图形象下列中哪个字（ ） （A ）古 （B ）吉 （C ）占 （D ）杳 9、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多可以作 （ ） 图（1） 图（2） （A ）4 个 （B ）3 个 （C ）2 个 （D ）1 个 10、已知正比例函数 y = kx （ k ≠ 0 ）的函数值 y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y = x + k 的 图象大致是（ ） D C A B 数学部分 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4??? 的解集是( ) A 、3 （第10题） 初二数学（上）期末复习题 （本试卷满分：120分，考试时间：100分钟） 姓名： 学号： 班级： 分数： 一、选择题（每小题3分，总计30分）： 1、有六个数:0.125125…, 0.3030003000003, -π, 711-, 25.2，3 5 其中无理数有 ( )个 A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列说法中正确的是…………………………………………（ ） A ．矩形的对角线互相垂直 B ．菱形的对角线相等 C ．正方形的对角线相等且互相平分 D ．等腰梯形的对角线互相平分 3、如下左图，所列图形是旋转对称图形的有( )个. A ．3个 B ．4个 C ．5 D ．6个 第8题图 4、下列语句正确的有（ ）个 ① -1是1的平方根 ② 带根号的数都是无理数 ③ -1的立方根是-1 ④4的算术平方根是2 A 1 B 2 C 3 D 4 5、在平行四边形ABCD 中，∠B-∠A=30°,则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数分别是（ ） A. 95°,85°,95°,85° B. 85°,95°,85°, 95° C. 105°,75°,105°,75° D. 75°,105°,75°,105 6、下列运算正确的是（ ） A.1243x x x =? B.12 4 3)(x x = C.326x x x =÷ D.743x x x =+ 7、把多项式)2()2(2 a m a m -+-分解因式等于（ ） A 、))(2(2 m m a +- B 、))(2(2 m m a --C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 8、在5×5方格纸中将图①中的图形N 平移后的位置如图②所示，如上图，那么下面平移中正确的是（ ） A.先向下移动1格，再向左移动1格 B.先向下移动1格，再向左移动2格 C.先向下移动2格，再向左移动1格 D.先向下移动2格，再向左移动2格 9、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 10、右图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家 赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13， 小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，那么（a +b ）2 的值是 （ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169 二、填空题（每小题3分，总计15分）： 11、81的平方根是 ；27的立方根是 12、若，482 2 =-y x x+y=6，则3x-3y=__________ 13、已知，如图2，网格中每个小正方形的边长为1，则四边形ABCD 的面积为 ； 14、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那 么它所行的最短路线的长是 15、如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后， 点D 、C 分别在D ′、C ′位置，若∠EFB=65°， 则∠AED ′=_________. （第14题图） 三、解答题（本大题总计75分）： 16、计算（每小题3分）： （1）48532+- （2）x 2?(x 3)3÷x 5 （3）()()y x y x 44--+- （4）(x+3)(x-4)-(x-1)2 17、因式分解（每小题3分）： （1）4x 4－4x 3＋x 2 （2）4x 3－16xy 2 （3） 2224)1(a a -+ A B 第15题 D C B A 、 B 、 C 、 D 、 博瑞教育数学模拟试卷（一） 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4 ???的解集是( ) A 、3 八年级（上）期末复习水平测试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1，下列计算，正确的是（ ） A.x 2·x 3＝x 6 B.x 3·x 2＝x 5 C.(x 3)2＝x 9 D.(2x 2)·(3x 3)＝5x 5 2，(－9)2的平方根是（ ） A.±9 B.±3 C.9 D.3 3，若多项式36x 2+mx +25是完全平方式，则 m 的值是（ ） A.60 B.－60 C.30 D.±60 4，若m ，n 满足2(1)0m -= 的平方根是（ ） A.±4 B.±2 C.4 D.2 5，若x +5、x －3是二次三项式x 2－kx －15的因式，则k 的值为（ ） A.2 B.－2 C.8 D.－8 6，如图1，梯形ABCD 的周长为28 cm ，AE ∥CD 交BC 于E ，△ABE 的周长为18 cm ， 则AD 的长等于（ ） A.5cm B.8 cm C.10 cm D.不能确定 7，用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； ⑤等腰三角形；⑥等边三角形.一定可以拼成的图形是（ ） A.①④⑤ B 、.②⑤⑥ C.①②③ D.①②⑤ 8，在下列说法中是错误的（ ） A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A －∠ B ，则△AB C 为直角三角形. B ．在△AB C 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三角形. C ．在△ABC 中，若a ＝5 3 c ，b ＝ 5 4 c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶2∶4，则△ABC 为直角三角形. 9，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝14cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） 图1 2020-2021初二第一学期数学期末试卷 姓名：班级：学号： 一、填空题： 1、(x-y) 2+(y-x)3=(x-y)2 2、因式分解ab3-a3b=。 3、4a2-12ab+()=(2a-3b)2 4、因式分解a2b2-a2-b2+1=。 5、因式分解m2-3m-10=。 6、多项式a2-ab-3a+3b有一因式是a-3，则另一个因式为。 7、多项式a3-3a2+2a经分解因式，所得结果中含有因式个。 8、多项式因式分解的一般步骤是：。 9、当x时，分式有意义。 10、当x时，分式的值是正的。 11、如图：图中共有个三角形。 A B D C 17、如图：ABC≌ △O EFC，AB=EF，∠ABC=∠EFC， D C 以∠C为内角的三角形有。 12、如果三角形的三条高线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是角三角形。 13、一个三角形的两条边的长分别为2和9，第三边为奇数，则第三边的长是。 14、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的 周长是。A F 15、已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，则这个三角 B C E 形三个内角的度数为。 16、△ABC中，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分 线，∠BDC=110°，则∠A的度数为A。 E D 则对应边，对应角B。C 18、如图AO平分∠BAC，AB=AC，图中有对三角形全等。A 19、“对顶角相等”的逆命题是， B 逆命题为（真、假）。 20、△ABC中，AB=4，BC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是。 二、选择题 1、下列因式分解变形中，正确的是（） A.ab(a-b)-a(b-a)=-a(b-a)(b+1) B.6(m+n)2-2(m+n)=(2m+n)(3m+n+1) C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)2-(x+y)=(x+y)2(2x+y) 2、下列多项式不能用平方差公式分解的是（） A.a2b2-1 B.4-0.25y4 C.1+a2 D.-x4+1 3、下列多项式能用完全平方公式进行分解的是（） A.m2-mn+n2 B.(a-b)(b-a)-4ab C.x2+2x+ D.x2+2x-1 4、在一边长为12.75cm的正方形内，挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填 入下表相应的空格 ） 1．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既 是中心对称图形又是轴对称图形的是 2．如图，小手盖住的点的坐标可能为 A (46)--， B (63)-， C (52)， D (34)-， 3．下列各式中正确的是 A 416±= B 9273 -=- C 3) 3(2 -=- D 2 11 4 12 = 4． 下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 5．顺次连结对角线互相垂直的等腰梯形四边中点得到的四边形是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 6．若点),(1y a 、),1(2y a +在直线1+=kx y 上，且21y y >，则该直线所经过的象限是 A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第二、三、四象限 D 第一、三、四象限 7．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是 8． 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成， 晴 C 冰雹 A 雷阵雨 B 大雪 D 第8题 第2题 x y A B C D 已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为 A 142 B 143 C 144 D 145 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题目中的横线上） 9．平方根等于本身的数是 ． 10．把1.952取近似数并保留两个有效数字是 ． 11．已知：如图，E （－4，2），F （－1，－1），以O 为中心，把△EFO 旋转180°， 则点E 的对应点 E ′的坐标为 ． 12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 13．已知点),(11y x 、),(22y x 、……、),(n n y x 都在直线53-=x y 上，若这n 个 点的横坐标的平均数为a ，则这n 个点的纵坐标的平均数为 ． 14.等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60 ，则等腰梯形的腰长 是 cm ． 15．如图，已知函数y a x b =+和y kx =的图象交于点P ，则二元一次方程组 , y a x b y k x =+?? =? 的解是 ． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =15，且BD ∶DC =3∶2，则D 到边AB 的距离是 ． A C 第16题 第18题 勾股定理全章复 一、复习要求： 1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。 3．会用勾股定理解决有关的实际问题。 二、知识网络： 三、知识梳理： 1、勾股定理 (1)重视勾股定理的三种叙述形式： ①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)． ②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积． ③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和． 从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为的线段。 勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为 ，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。 (3)勾股定理的证明： 经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。 (4)勾股定理的应用： 勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。 (2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 (3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。 运用勾股定理的逆定理的步骤： ①首先确定最大的边②验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 当时，△ABC是锐角三角形；当时，△ABC是钝角三角形。(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15， 八年级（上）数学期末综合测试（1） 资料由小程序：家教资料库整理 班级姓名得分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．下列各式成立的是（） A．a-b+c=a-（b+c）B．a+b-c=a-（b-c） C．a-b-c=a-（b+c）D．a-b+c-d=（a+c）-（b-d）2．直线y=kx+2过点（-1，0），则k的值是（） A．2 B．-2 C．-1 D．1 3．和三角形三个顶点的距离相等的点是（） A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点4．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，?则对这个三角形最准确的判断是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．正三角形D．等腰直角三角形 5．下图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A? 表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母 两人的生日，D表示都不知道．?若该班有40名学生，则知道母 亲生日的人数有（） A．25% B．10% C．22% D．12% 6．下列式子一定成立的是（） A．x2+x3=x5; B．（-a）2·（-a3）=-a5 C．a0=1 D．（-m3）2=m5 7．黄瑶拿一张正方形的纸按右图所示沿虚 线连续对折后剪去带直角的部分，然后 打开后的形状是（） 8．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是 （） A．8 B．±8 C．16 D．±16 9．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，则第2005个数是（） A．22005B．22004C．22006D．22003 10．已知（x+a）（x+b）=x2-13x+36，则a+b的值分别是 （） A．13 B．-13 C．36 D．-36 11．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交EF于F，若BF=AC，则∠ABC等于（） A．45° B．48° C．50° D．60° (11题) （12题） 【压轴题】初二数学上期末试卷带答案 一、选择题 1．若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．8 2．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．18018032x x -=+ B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x -=- 3．如图，在ABC ?中，90?∠=C ，8AC =，13DC AD = ，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠BDE+∠DEC =（ ） A ．335° B ．135° C ．255° D ．150° 5．如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b (b A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 7．已知关于x 的分式方程12111m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4且m ≠3 B ．m ＜4 C ．m ≤4且m ≠3 D ．m ＞5且m ≠6 8．若代数式 4x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x =0 B ．x =4 C ．x ≠0 D ．x ≠4 9．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A ．6 B ．12 C ．16 D ．18 10．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ) A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D ．已知三角形的三边的长度 11．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条高的交点 C ．三边的垂直平分线的交点 D ．三条中线的交点 12．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2（∠1+∠2） 二、填空题 13．若一个多边形的内角和是900o，则这个多边形是 边形． 14．如图ABC V ，24AB AC ==厘米，B C ∠=∠，16BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当BPD △与CQP V 全等时，v 的值为_____厘米/秒． 15．若实数，满足，则______. D C B A 21 D C B A (一）三角形部分 一、知识点汇总 1． 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC 用符号表示为△AB Ｃ.三角形AB Ｃ的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点Ａ所对的边B Ｃ可用a 表示. 注意:（1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接；(2)三角形是一个封闭的图形； (3）△AB Ｃ是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义. 2、（1)三角形按边分类： （２): 3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。 注意： （１）三边关系的依据是：两点之间线段最短; (2)围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边． ４、和三角形有关的线段: （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法:1、AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2、BD=DC=０.5BC. ３、AD 是 ABC 的中线; 注意:①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 D C B A 2 1B A C M D 表示法：1、AD 是△AB Ｃ的∠ＢA Ｃ的平分线.2、∠1=∠2＝0.5∠B ＡＣ. 3、AD 平分∠BAC ，交BC 于D 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; (3)三角形的高 三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高， 表示法：1、ＡD 是△ＡB Ｃ的BC 上的高。 ２、ＡD ⊥BC 于D 。 3、∠ADB ＝∠ＡD Ｃ=９０°。 4、AD 是△A ＢC 的高。 注意:①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段,垂线是直线。 ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．(而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角三角形三条高的交战在角直角顶点．．．．．．．．．．．．．．．．,．钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4、三角形的内角和定理 定理:三角形的内角和等于18０°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形内角外角的关系： （1)三角形三个内角的和等于１8０?； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (４)直角三角形的两个锐角互余． 6、三角形的外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:∠A ＣD 、∠BCE 都是△ＡＢC 的外角,且∠ＡＣＤ=∠BCE, 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了． 7． 三角形外角的性质 (1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和. （2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意:（1)它不相邻的内角不容忽视; (2）作ＣM ∥A Ｂ由于Ｂ、Ｃ、D 共线 ∴∠Ａ＝∠1,∠B=∠２． 即∠ＡC Ｄ=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ＡＣD>∠A ．∠ＡC Ｄ>∠B 。 8、(１）多边形的定义:在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-２)·1８0° 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。八年级数学上学期期末考试试题
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