贵州省遵义市求是中学2021学年高二数学下学期期末考试试题 文
（含解析）
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
【答案】A 【解析】
由i 1i z =+得22
(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2
＝±2i；(2)＝i,＝－i.
2.设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分
也不必要条件 【答案】C 【解析】
12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.
3.如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a 的值为（ ） A. 3- B. 6-
C.
32
D.
23
【答案】B 【解析】
试题分析：因为直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，所以66a a -=?=-，故选B ．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
4.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B. 若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D. 若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】
由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.
考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
5.若圆22
240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称，则直线l 在y 轴上的截距为
（ ） A. -l B. l C. 3 D. -3
【答案】A 【解析】 【分析】
圆22
240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,等价于圆心(1,2)-在直线l ：
30x y a ++=上,由此可解出a .然后令0x = ,得1y =-,即为所求.
【详解】因为圆22
240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,
所以圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,即320a -++= ,解得1a =. 所以直线:310l x y ++=,令0x = ,得1y =-. 故直线l 在y 轴上的截距为1-. 故选A .
【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.
6.如图所示的流程图中，输出d 的含义是（ ）
A. 点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离
B. 点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方
C. 点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数
D. 两条平行线间的距离 【答案】A 【解析】 【分析】
将12,z z 代入d 中,结合点到直线距离公式可得.
【详解】因为100z Ax By C =++,22
2z A B =+,
所以002
2
d A B
=+,故d 的含义是表示点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离.
故选A .
【点睛】本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.
7.观察2'
()2x x =，4'
3
()4x x =，'
(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A. ()f x
B. ()f x -
C. ()g x
D. ()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D 。
8.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）
统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为?y
=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ） A. 83% B. 72%
C. 67%
D. 66%
【答案】A 【解析】 【分析】
把y=7.675代入回归直线方程求得x ，再求
y
x
的值． 【详解】当居民人均消费水平为7.675时，
则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262， ∴人均消费额占人均工资收入的百分比为7.675
100%83%9.262
?≈． 故选：A ．
【点睛】本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．
9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体
积为16，则这个球的表面积是（ ） A. 16π B. 20π
C. 24π
D. 32π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:
依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x =++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.
故选C .
【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.
10.已知函数()2
1cos 4
f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除,B D ，再根据02f π??
'< ???
，可排除C ，从而得到结果.
【详解】由题意得：()1
sin 2
f x x x '=
- ()()1
sin 2
f x x x f x ''-=-+=- ()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称
可排除,B D
又当2
x π=
时，1024
f ππ
??'=-<
???，可排除C 本题正确选项：A
【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．
11.我们把离心率为黄金分割系数
51
2
的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为右顶点和是上顶点，则ABF ∠=（ ）
A. 30
B. 45?
C. 60?
D. 90?
【答案】D 【解析】 【分析】
设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F 的坐标，利用向量BF 与向量BA 乘积为0，得到
ABF ∠.
【详解】设椭圆的方程为22
221x y a b
+=，(0)a b >>
由已知，得(,0),(0,),(,0)A a B b F c - 则(,),(,)BF c b BA a b =--=-
离心率5151
c e c a --=
=∴= 即2
2225151
22
b a
c a a a ??
--=-=-=
? ???
20BF BA b ac ∴?=-=
90ABF ?∴∠=
故答案选D
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.
12.已知函数()ln f x a x x x =-+，若存在0x >，使得()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是（ ) A. 3a <
B. 1a ≤
C. 2a >
D. 3a ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
利用参数分离法进行转化,构造函数求出函数的最值即可得到结论. 【详解】解:由()0f x ≤,得:ln a x x x ≤- 令()ln h x x x x =-,(0)x >
()ln h x x '=-
当()0h x '>时，01x << 当()0h x '<时，1x >
()h x ∴在(0,1)递增,在(1,)+∞递减, ()h x ∴的最大值是(1)1h =,
故1a ≤
所以B 选项是正确的.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，关键是
利用参数分离法，构造函数转化为求最值问题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.以双曲线22
1412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】22
11612
x y +=
【解析】
双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：=1+22x y 1612
14.已知,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．
【答案】x ，y 均不大于1（或者1x ≤且1y ≤） 【解析】 【分析】
假设原命题不成立，即找x ，y 中至少有一个大于1的否定即可. 【详解】∵x ，y 中至少有一个大于1， ∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1， 故答案为：x ≤1且y ≤1．
【点睛】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．
15.如图所示，在圆锥SO 中，AB CD ，为底面圆的两条直径，AB
CD O =，且
AB CD ⊥,2SO OB ==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为
__________.
2【解析】 【分析】
由于SA 与PD 是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线SA 与PD 所成角，由此连接OP 再利用中位线的性质得到异面直线SA 与PD 所成角为OPD ∠ ,并求出其正切值。 【详解】连接PO ，则PO SA ，
OPD ∴∠即为异面直线SA 与PD 所成的角，
又SO CD ⊥，AB CD ⊥，SO
AB O =，
CD 平面SAB ，
CD OP ∴⊥，
即DO OP ⊥，
OPD ∴为直角三角形，
tan
OD OPD OP ∴∠=
==. 【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。
16.周长为3cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______3cm . 【答案】
2
π 【解析】 【分析】
由已知中周长为3cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,我们设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,利用导数法,分析出体积取最大值时,自变量的值,代入即可求出圆柱体积的最大值. 【详解】解:
矩形的周长为3cm
设矩形的长为xcm ,则宽为3()2
x cm -
设绕其宽旋转成一个圆柱,则圆柱的底面半径为xcm ,高为3()2
x cm - 则圆柱的体积22
3()2
V R h x x ππ=?=- 则2
3(133)V x x x x πππ'
-+=-=- 当0V '>,则01x << 当0V '<，则1x >
即2
3()2V x x π=-在(0,1)上单调递增，在3(1,)2
上单调递减 故当1x =圆柱体积取最大值 此时3cm 2
V π
=
故答案为:
3cm 2π
【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积,其中根据已知条件,设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;
⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程. 【答案】（1）（2）
【解析】
本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。
首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P 0的坐标，然后利用1l l ⊥，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P 0得到结论。
解：（1）由y=x 3
+x-2，得y′=3x 2
+1， 由已知得3x 2+1=4，解之得x=±1． 当x=1时，y=0； 当x=-1时，y=-4． 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为（-1，-4）； （2）∵直线 l⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为-1/ 4 ，
∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为（-1，-4）
∴直线l 的方程为y+4="-1" /4 （x+1）即x+4y+17=0．
18.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线34x -=相切。
()1求圆O 的方程；
()2若圆O 上有两点,M N 关于直线20x y +=对称，且23MN
=MN 的方程；
【答案】（1）2
2
4x y +=（2）250x y -
+=或250x y --=
【解析】 【分析】
（1）直接利用点到直线 的距离公式求出半径，即可得出答案。
（2）设出直线MN ，求出圆心到直线MN 的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。 【详解】解（1）004
22
r --=
= ，所以圆的方程为224x y += （2）由题意，可设直线MN 的方程为20x y m -+=
则圆心到直线MN 的距离d =则)2
2
4
5
m +
=，即m =
所以直线MN 的方程为20x y -
+=或20x y --=
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。
19.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
附：2K 的观测值()()()()()
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
【答案】（1）14%；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； 【解析】 【分析】
第一问中，利用表格中需要志愿者服务的老年人为70人，总数为500，则比例为0.14
第二问中，利用公式 2500(4027030160)3000 6.63520030070430301
k ??-?==>???，结合表格中的概率
值可以知道，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【详解】（1）调查的
500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
70
14%500
=. （2）随机变量2K 的观测值()2
50040270301609.96720030070430
k ??-?=≈???.由于9.967 6.635>，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于中档题.
20.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在1AD 上移动，点N 在BD 上移动，(
)
102D M DN a a ==<<
，连接MN .
（1）证明：对任意(2a ∈，总有//MN 平面11DCC D ；
（2）当M 为1AD 中点时，求三棱锥C MND -的体积 【答案】（1）证明见解析；（2）1
24
. 【解析】 【
分析】
（1）作MP ∥AD ，交1DD 于点P ，作NQ ∥BC ，交DC 于点Q ，连接PQ ，利用三角形全等证明四边形MNQP 为平行四边形，结合线面平行的判定定理得到//MN 平面11DCC D ； （2）根据体积关系1111
24
C MN
D M CND D CND D CBD V V V V ----===，即可求出三棱锥C MND -的体积.
【详解】（1）如图，作MP ∥AD ，交1DD 于点P ，作NQ ∥BC ，交DC 于点Q ，连接PQ
在1D MP 与DNQ 中 1111
MD P NDQ
D M DN
D MP DNQ D MP DNQ ∠=∠??
=??????∠=∠? MP NQ ∴=，即四边形MNQP 为平行四边形.
∴MN ∥PQ .
又∵PQ ?平面11DCC D MN ?平面11DCC D ，
∴MN ∥平面11DCC D . （2）由（1）知当M 为1AD 的中点时，N 为DB 的中点,
∴()111111111112443224
C MN
D M CND D CND D CBD V V V V ----==
==?????=. 【点睛】线面平行的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中，证明线面平行的关键是找
线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑利用中位线定理找平行关系.
21.已知过抛物线()2
20y px p => 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且9AB = .
（1）求抛物线的方程;
（2）O 为坐位原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+ ，求λ的值. 【答案】（1）y 2＝8x .（2）λ＝0，或λ＝2. 【解析】
试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出12x x +，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式12AB x x p =++，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 试题解析：
(1)直线AB 的方程是y ＝22（x-2），与y 2＝8x 联立，消去y 得x 2－5x ＋4＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝5.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， (2)由x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4，从而A (1，－22)，B (4，42)． 设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y ＝8x 3，即2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.
【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式
12AB x x p =++，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方
程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.
22.设函数()()2
2
ln 0f x a x x ax a =-+>.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当a e ≥时，求所有使()2
1e f x e -≤≤对[]
1,x e ∈恒成立的a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞；（2）a e =. 【解析】 【分析】
（1）利用导数研究函数的单调性即可;
（2）根据题意可求得a e ≥，且()f x 在区间[1,]e 内单调递增，要使2
1()e f x e -≤≤在区间
[1,]e 内成立，只要使()f x 的最小值(1)f 大于等于1e -，使()f x 得最大值()f e 小于等于2e ，
最后求解不等式组即可。
【详解】（1）因为()2
2
ln f x a x x ax =-+，其中0x >，
所以()()()2
22x a x a a f x x a x x
-+'=-+=-
. 当()()()200x a x a f x x a x
-+'>?-
>?<<
当()()()200x a x a f x x a x
-+'
所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞； （2）因a e ≥.由（1）知()f x 在[]1,e 内单调递增，要使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒
成立. 只要()()
222111,,f a e f e a e ae e ?=-≥-?
?
=-+≤??解得
a e =. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则以及导数在研究函数性质中的应用。