教案（章、节备课）
图 空间任一点的坐标表示
备注
教案（课时备课）
课目、课题
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第一节 位姿描述
1. 齐次坐标
2. 动系的位姿表示
教学目的和要求
掌握齐次坐标及动系位姿表示 重点 难点
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重点: 齐次坐标和动系位姿表示 难点：动系位姿表示
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计）
一、复习 二、讲授新课
位姿描述
2.1.1齐次坐标
一、空间任意点的坐标表示
{
在选定的直角坐标系{A }中，空间任一点P 的位置可以用31的位置矢量A P 表示，其左上标表示选定的坐标系{A }，此时
A P =[P X P Y P Z ]T
式中：P X 、P Y 、P Z 是点P 在坐标系{A }中的
三个位置坐标分量，如图所示。
二、齐次坐标表示
将一个n 维空间的点用n +1维坐标表示，则该n +1维坐标即为n 维坐标的齐次坐标。一般情况下w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w =1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即 P =[P X P Y P Z 1]T
三、坐标轴的方向表示
图坐标轴及矢量的方向表示
i 、j 、k 分别表示直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量，用齐次坐标表示之，则有 X =[1 000]T
—
Y =[0 1 00]T Z =[001 0]T
由上述可知，若规定：41列阵[abcw ]T 中第四个元素为零，且满足
a 2+
b 2+
c 2=1，则[abc 0]T 中a 、b 、c 的表示某轴的方向；41列阵[abcw ]T 中第四个元素不为零，则[abcw ]T 表示空间某点的位置。 四、矢量的方向表示
图中所示的矢量u 的方向用41列阵可表达为： u =[abc 0]T
a =cos ，
b =cos ，
c =cos
图中所示的矢量u 的起点O 为坐标原点，用41列阵可表达为：
O =[0001]T
例用齐次坐标表示图中所示的矢量u 、v 、w 的坐标方向。
！
图用不同方向角表示方向矢量u 、v 、w
2.1.2位姿描述
在机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。
一、连杆的位姿描述
设有一个机器人的连杆，若给定了连杆PQ 上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全确定的。
如图所示，O 为连杆上任一点，OXYZ 为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。连杆PQ 在固定坐标系OXYZ 中的位置可用一齐次坐标表示为
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来
表示。令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的
单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量
为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形
式分别表示为
<
由此可知，连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：
显然，连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系位姿表示。
例图表示固连于连杆的坐标系{B}位于O B点，X B=2，Y B=1，Z B=0。在XOY 平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的44矩阵表达式。
图动坐标系{B}的位姿表示
二、手部的位姿描述
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图所示。坐标系{B}可以这样来确定；取手部的中心点为原点O B；关节轴为Z B轴，Z B轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为Y B轴，Y B轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；X B轴与Y B 轴及Z B轴垂直，X B轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n=oa，指向符合右手法则。
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图抓握物体Q的手部图手部的位姿表示
手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的位姿可用44矩阵表示为
例图表示手部抓握物体Q，物体是边长为
2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的
矩阵表达式。
三、目标物齐次矩阵表示
如图所示，楔块Q在图(a)所示位置，其
位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为
若让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot(Z，–90°)表示，再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，则楔块成为图(b)所示的情况。此时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为
'
图楔块Q的齐次矩阵表示三、小结
