《运筹学》复习资料
一、问答题（5选1）：
1、运筹学的主要内容有哪些？运筹学为什么在美国被称为管理科学，此名称合理吗？
答：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有决策依据的最优方案，以实现最有效的管理。运筹学的研究内容包括规划论、图与网络分析、存贮论、排队论、对策论、决策论。规划论主要解决两大问题：如何有效利用现有的人力、物力去完成更多的任务；对于给定的任务或者目标。用最少的人力或物力如何去完成。图与网络分析主要解决生产组织、计划管理以及工程施工中的工序安排、工期控制、资源合理调配问题。决策论研究决策过程中方案的选择、度量和概率值选取问题。最终获得最优策略、最优方案。
定量分析技术作为管理工具，在美国的许多企业得到广泛的应用，量化管理或者精确管理是美国企业管理的重点，运筹学在美国被称为管理科学。此名称合理。
2、运筹学解决实际问题的过程可分为哪几个阶段?
答：运筹学解决实际问题的过程可分为5个阶段：（1）提出并形成问题。要解问题，首先需要提出问题，明确问题的实质及关键所在，这就要求对系统进行深入的调查和分析，确定问题的界限，选准问题的目标。（2）建立模型。运筹学模型是一个能有效地达到一定目标（或多个目标）行动的系统，因此，目标一经认定，就要用数学语言描述问题，建立目标函数，分析问题所处的环境，确定约束条件，探求与问题有关的决策变量等，并选用合适的方法，建立运筹学模型。（3）分析并求解模型。根据所建模型的性质及其数学特征，选择适当的求解方法。（4）检验并评价模型。模型分析和计算得到结果以后，尚需按照它能否解决实际问题，主要考虑达成目标的情况，选择合适的标准，并通过一定的方法对模型结构和一些基本参数进行评价，以检验它们是否准确无误，否则就要考虑改换或修正模型，增减计算过程中所用到的资料或数据。（5）应用或实施模型的解。经过反复检查以后，最终应用或实施模型的解，就是供给决策者一套有科学依据的并为解决问题所需要的数据、信息或方案，以辅助决策者在处理问题时作出正确的决策和行动方案。
3、试述线性规划模型建模的基本步骤及线性规划模型的构成要素的特征。
答：①建模基本步骤：确定决策变量、确定目标函数、确定约束条件。②线性规划模型的构成要素及特征：决策变量，是规划问题中要确定的未知量,用来表示规划问题中用数量表示的方案\措施，可以由决策者决定和控制。目标函数，是决策变量的函数，反映决策者对于规划规划问题结果的要求。约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,通常表达为含决策变量的等式或者不等式。
4、试述线性规划与对偶规划之间存在的关系。
答：线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。如果把其中一个叫做原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这互相联系的两个问题为一对对偶问题。根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等有价值的信息。
5、什么是资源的影子价格，它同相应的市场价格之间有何区别？
答：在一对对偶问题（P）和（D）中，若（P）的某个约束条件的右端常数bi增加1个单位时，所引起的目标函数最优值Z﹡的改变量yi﹡成为第i个约束条件的影子价格。如果原规划模型属于在一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并寻求总体效益（如利润）目标函数最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价以便得出与最优生产计划相一致的一个企业的最低总价值。该对偶模型中资源的估价表现为相应的资源的影子价格。
影子价格不是市场价格，它是根据企业本身的资源情况bi、消耗系数aij和产品的利润cj计算出来的一种价格，是新增资源所创造的价值，是边际价格。不同的企业，即使是相同的资源，其影子价格也不一定相同。就是同一个企业，在不同的生产周期，资源的影子价格也不完全一样。企业决策者可以将企业资源的影子价格与市场价格相比较，买卖这种资源，使企业获利或降低成本，此时该资源的影子价格也将发生变化，直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。影子价格是一种机会成本。
二、建模题（只要求建立模型）
1、资源的合理利用问题。P7
一般提法：某厂计划在下一生产周期内生产B1,B2, … Bn 种产品，要消耗A1,A2, … Am 种资源，已知每件产品所消耗的资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如表所示，问如何安排生产计划，才能充分利用现有的资源，使获得的总利润最大？
设决策变量x j 表示下一个周期产品Bj(j=1,2,…n)的产量，则此问题的数学模型可归结为： 求x j ，使得
2、生产组织与计划问题。P8
一般提法：某工厂用机床A1,A2, … Am 加工B1,B2, … Bn 种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时），工厂必须完成各种零件的数量、各机床加工每个零件的时间（机时/个）和加工每个零件的成本（元/个）如表所示，问如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成本最低？
3、合理配料问题。P11
一般提法：某饲养场用n 种饲料B1,B2, … Bn 配置成含有m 种营养成分A1,A2, … Am 的混合饲料，其余资料如表所示。问应如何配料，才能既满足需要，又使混合饲料的总成本最低？
4、运输问题。P175
设x ij 表示由产地A i 运往销地Bj(i=1,2,…m;j=1,2,….n)的运量，则当产销平衡时，其模型如下：
00 )( )( (min) max 122111
12121112211≥≥≥?=≤+++≥?=≤++++++=n m
n mn m m n n n
n x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c Z
?????≥≥≤=∑
∑∑∑
==
min ( 11ij
j ij i
ij ij m i n
j ij
ij ij j i ij x b x a x a x c Z x B A x 一组变量）使得数学模型为：求的数量，则这一问题的在一生产周期加工零件为机床设?????≥=≥==∑
∑
== 0 m)1,2(i min ),,.....2,1( 11j n
j i j
ij n
j j
j j j x b x a x c Z n j x j x 使得问题的数学模型为，求种饲料所用的数量则此表示第设 0 ) ( min 11
???
??≥====∑
∑∑
∑∑∑
==ij j i j ij i ij m i n j ij ij x b a b x a x x c Z
当产大于销时，其模型是：
当产小于销时，其模型是：
5、合理下料问题。P247
一般提法：设用某型号的圆钢下零件A1, A2,…,Am 的毛坯。在一根圆钢上下料的方式有B1,B2, … Bn 种，每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
设：xj 表示用Bj (j =1.2…n) 种方式下料的圆钢根数，则这一问题的数学模型为：求xj ，使得：
6、0-1整数规划问题。P267例1
一般模型
n
maxZ = ∑c i x i ；
i=1
n
∑a ij x j ≤b i （i=1，2，…，m ）；
j=1
s.t. x j =0 ,1 （j=1，2，…， n ）。
7、目标规划 P228例2 课件：例三 一般形式
0 ) ( min 11
???
??≥>
=≤=∑
∑∑
∑∑∑
==ij j i j ij i ij m i n j ij ij x b a b x a x x c Z 0,0,0)(0 min ≥≥≥<
????
???≥≤==∑∑
∑
∑∑∑
ij j ij j i ij j ij i ij ij ij c b a b a x b x a x x c Z 并假设：?????=≥=≥=∑
∑
==且为整数n)1.2(j 0)
2.1( min 11
j
n j i j ij n j j x m i b x a x Z ???????????=≥=≥=≥=≤==-++=-+==+
-==++--∑∑∑∑)
2.1( 0 .n)1.2(j 0)2.1( ).()2.1( )
(min 1
11
1
L l d d x m i b x a L l q d d x c d d P Z l l j n j i j ij n j l l l j kj K k L
l l kl l kl k ωω
课本例二：已知一个生产计划的线性规划模型为：
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A 、B 产量。现有下列目标：1、要求总利润必须超过 2500 元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A 、B 的生产量不超过 60 件和 100 件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。 解：以产品 A 、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
x 2
⑴
x 1
14012010080604020
20 40 60 80 100
⑵
⑶
⑷
-
2
d
+2
d -1
d +1
d -
3
d +3
d -4
d +4
d A
B
C
D
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。
作图：
?????????=≥≥=-+=-+=-++=-+++++=-+-+
-+
-+
-+
-+
++-)4.3.2.1(0,,010060140225001230)5.2(m i n 21442331222111212
343211l d d x d d x d d x d d x x d d x x d P d d P d P Z l l
检验：将上述结果带入模型，因＝＝0；
＝＝0；＝0，存在；＝0，存在。所以，有下式：minZ=P 3-2d +2d -
1d +1d -3d +3d -
4
d +4d +
2
d 将x 1＝60，x 2＝58.3 带入约束条件，得
30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3 > 140；1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100
由上可知：若A 、B 的计划产量为60件和58.3件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A 、B 产品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，58.3）成为可行方案。
?????
?
?≥≤≤≤++=-0
)( 100
)( 60 )( 140
21230m ax 21212121x x x x x x x Z 丙资源乙资源甲资源??
??
?
????=≥≥=-+=-+=-++=-+++++=-+-+-+-+
-+-+
++-)4.3.2.1( 0,,0100 60
140 2 25001230)5.2(min 21442331222111212
343211l d d x d d x d d x d d x x d d x x d P d d P d P Z l l
三、计算题：
1、单纯形法。P51例1。例1：将线性规划问题化为典式,并列初始单纯形表
解：先引入松驰变量x 1、x 2、x 3，将问题化为典式
取初始可行基
此时问题已是关于基 的典式，故可直接作初始单纯形表，由表Ⅰ可知， 初始基可行解（0，0，170，100，150），初始目标函数值 再进行第二步迭代，由表Ⅱ可知，新的基可行解（0，30，110,10,0），相应的目标函数 再进行第三步迭代，由表Ⅲ可知，检验数已全部非正，于是判定已求得最优解 （50/7，200/7，540/7，0,,0），相应的目标函数最优值
2
(1) 试建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划。
(2) 原材料增加1个单位,能够使最优目标函数值增加或减少多少?
???????≥≤+≤+≤++=0,15051003217025..1810max 2121212121x x x x x x x x t s x x Z ???????=≥=++=++=+++=)5,,2,1(015051003217025..1810max 52142
13
212
1 j x x x x x x x x x x t s x x Z j I P P P B ==),,(54300B 0)0(=Z 540
)1(=Z 7/4100=*Z
解：（1）设决策变量
321,,x x x 分别表示A 、B 、C 三种产品的产量，则此问题的数学模型为:
?????≥≤++≤++++=0,,3054345536..54max 3213213213
21x x x x x x x x x t s x x x Z 引入松驰变量
54,x x 将问题化为标准型??
?
??=≥=+++=+++++=)5,4,3,2,1(03054345536..54max 532143213
21j x x x x x x x x x t s x x x Z j 选初始可行基),(540p p B =。令非基变量0321===x x x 得初始基可行解T X )30,45,0,0,0()0(=。列单纯形表
A 产品生产5单位，C 产品生产3单位，
B 产品生产0单位。
（2）写出此问题线性规划的对偶规划，
???????≥≥+≥+≥++=0
,555143436..3045min 212121
212
1y y y y y y y y t s y y W
由上表可知对偶规划的最优解为Y*=（1/3，2/3）。根据对偶理论，对偶规划的最优解就是原规划中
变量的影子价格，劳动力和原材料的影子价格分别为1/3，2/3。因此，原材料增加1个单位，按最优生产计划安排生产可以多获利2/3个单位。
3、某公司在计划期内要安排生产A 、B 两种产品（假设市场销路很好）。生产单位产品的利润以及所需
的劳动力、设备台时以及原材料的消耗资料由下表给出。
⑴ 试求使该公司获利最大的生产方案。
⑵ 设备增加1台时，能够使最优目标函数增加或减少多少？
解：⑴设A 、B 两种产品的产量分别是X 1、X 2，此生产问题的线性规划模型是：
???
???
?≥≤+≤+≤++=0,3001032005436049.12070max 212121212
1x x x x x x x x t
s x x Z 用单纯形法求解，首先引入松驰变量x 3、x 4、x 5，将线性规划化成标准型，取松驰变量x 3、x 4、x 5为基变量，求得初始基可行解X=（0，0，360，200，300）。列出单纯形表，根据规则在表中求解。
由于最终表中所有的检验数都已经成为负数或者零,于是得到最优解:
)0,0,84,24,20(=*X 目标函数最优值4280=*Z
（2）写出此问题的线性规划的对偶规划，求出对偶规划的最优解，根据对偶理论，对偶规划的最优解就是原规划中变量的影子价格，劳动工时、设备台时和原材料的影子价格分别为0，13.6，5.2。因此，设备每增加1台时，按最优计划安排生产可以多获利13.6元。 4、对偶问题。作业P136（9）（10）（11） （9）已知线性规划问题 32132m a x x x x Z ++=
t s .. ???
??=≥=++≤++)3,2,1(0;12432;
52321321j x x x x x x x j
①写出其对偶问题；②已知原问题的最优解为=*
X (3，2，0T
)，试根据互补松弛定理，直接求出对偶问题的最优解；（3）如果上述规划中的第一个约束为资源约束，写出这种资源的影子价格。 解：①原问题的对偶问题为
2
1125min y y W += ..t s ?????
?
?≥≥+≥+≥+无约束
21212121,03421322y y y y y y y y
②由于
*1
x ＞0，*
2x ＞0，由互补松驰定理得其对应的对偶问题的约束条件为0， 即 ???=+=+****13222121y y y y ???-==?*
*1
4
21y y 所以对偶问题的最优解为)1,4(-=*y
③8=*
W ，第一种资源的影子价格为4
（10）已知线性规划问题
??
?
??=≥≤+++≤++++++=)4,3,2,1(02023220
322..432max 432143214
321j x x x x x x x x x t s x x x x Z j 其对偶问题的最优解为2.0,
2.121==**
y y ，试根据对偶理论求出原问题的最优解。
解：此LP 问题的对偶问题为????
?
????≥≥+≥+≥+≥++=0,)
4(4
23)3(332)
2(2
2)1(1
2..2020min 212
1212
1212
1y y y y y y y y y y t s y y Z 将2.0,
2.121==*
*
y y 代入对偶问题的约束条件（1）
（2）为严格不等式，由互补松驰定理推知，021==**
x x 。又因0,02
1>>**y y 。故原问题的两个约束条件应取等式，有???=+=+*
*
*
*202320
3243
43x x x x 解得443==*
*x x ，故原问题的最优解为=*X （0，0，4，4）
，目标函数最优值为min max 28W Z == （11）已知线性规划问题 43216368min x x x x Z +++=
..t s ?????
????=≥≥+≥+≥+++≥++)
4,3,2,1(,022633
231434321421j x x x x x x x x x x x x j
①写出其对偶问题；②已知原问题的最优解为(=*X 1，1，2，0T )试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：①对偶规划为?????
????=≥≤++≤++≤+≤+++++=)
4,3,2,1(06
36
283..2263max 3
214322
14214
321j y y y y y y y y y y y y t s y y y y W j
②将X*=（1，1，2，0）T
代入原方程的约束条件???????>=+==++=+0
3212262133
21
则最后一个约束为松约束，所以0*
4=y
又由于01>*x ，02>*x ，03>*
x ，由互补松驰定理知，其对偶问题的约束方程必为等式，即?????=+=+=+******36283322
121y y y y y y 所以有?????===***1223
21y y y 即对偶问题的最优解为=*
Y （2，2，1，0） 5、运输问题。P177例1。作业P213。2（1） ⑴P177例1。
⑵作业P213。2（1）已知运输问题的产销平衡表与单位运价表如表所示，试用表上作业法分别求最
（x22,x12,x11,x21）为一个闭回路，σ22=（4+3）-（7+2）=-2＜0
（x23,x13,x11,x21）为一个闭回路，σ23=（3+3）-（6+2）=-2＜0
（x24,x14,x11,x21）为一个闭回路，σ24=（2+3）-（4+2）=-1＜0
（x31,x11,x12,x32）为一个闭回路，σ31=（4+7）-（3+3）=5＞0
（x33,x13,x12,x32）为一个闭回路，σ33=（8+7）-（6+3）=7＞0
（x34,x14,x12,x32）为一个闭回路，σ34=（5+7）-（4+3）=5＞0
X11=3, X12=0, X13=0, X14=2, X21=0, X23=2, X32=3,其余X ij=0，目标函数的最优值为
Z*=3×3+0×7+0×6+2×4+0×2+2×3+3×3=32.
6、用匈牙利法求解分配问题。P285、7（1）（2）
（1）已知效益矩阵为
7 9 10 12
13 12 16 17
（cij）= 15 16 14 15
11 12 15 16
解：
7 9 10 12 －0 2 3 5 0 2 3 4 （cij）= 13 12 16 17 － 1 0 4 5 1 0 4 4
15 16 14 15 － 1 2 0 1 1 2 0 0
11 12 15 16 －0 1 4 5 0 1 4 4
－1
◎ 2 3 4 √◎ 1 2 3
1 ◎ 4 4
2 ◎ 0 0
4 2 ◎? 3〈4 2 2 ◎?
? 1 4 4 2 √? 0 3 3
√
◎ 1 3 4 √0 1 0 1
2 ◎ 4 4 √ 2 0 2 2
2 2 ◎? 3〈 4 4 0 0
? ? 3 3√0 0 1 1
√√
? 1 ◎ 1
2 ◎ 2 2
4 4 ? ◎
◎? 1 1
此时，独立零元素的个数m＝4。于是已求得最优解
X13=X22*=X34*=X41*=1，其余X ij*=0。目标函数最优值
Z﹡＝10×1+12×1+15×1+11×1＝48
(2)
已知效益矩阵为
3 8 2 10 3
8 7 2 9 7
（cij）= 6 4 2 7 5
8 4 2 3 5
9 10 6 9 10
解：
3 8 2 10 3 －2
1 6 0 8 0 4
0 7 0 8 7 2 9 7 －2 6 5 0 7 5 3 0 6 4
（cij ）= 6 4 2 7 5 －2 4 2 0 5 3 0 0 4 2
8 4 2 3 5 －2 6 2 0 1 5 0 0 0 2 9 10 6 9 10 －6 3 4 0 3 2 2 0 2 3
－1－2 －1 －
◎ 4 ? 7 ? 0 4 2 7 0 5 3 ◎ 6 4 √ 3 1 0 4 2 3 ◎ ? 4 2 3 0 2 4 2 5 ? ? ◎ 2 5 0 2 0 2
2 2 ? 2
3 √ 0 0 0 0 1 √
? 4 2 7 ◎ 3 1 ◎ 4 2 3 ◎ 2 4 2 5 ? 2 ◎ 2 ◎ ? ? ? 1
此时，独立零元素的个数m ＝5。于是已求得最优解
X 15*=X 23*=X 32*=X 44*=X 51*=1，其余X ij *=0。目标函数最优值 Z ﹡
＝3×1+2×1+4×1+3×1+9×1＝21 7、最短路径问题。
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始， 第一阶段（C →D ）： C 有三条路线到终点D
f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4 第二阶段（B →C ）： B 到C 有六条路线。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 4
f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 = min 6 = 4 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 5
最短路线为B1→C1 →D 路长4
d( B2,C1 ) + f1 (C1 ) 2+1 3
f2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 = min 6 = 3 d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 5 最短路线为B2→C1 →D 路长3 第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。
d(A , B1 )＋ f2 ( B1 ) 2+4
f3 (A) = min = min = min｛6,7｝=6
d(A, B2 )＋f2 ( B2 ) 4+3
所以：最短路线为A→B1→C1→D。路长6
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始，
第一阶段（D →E）：D 有两条路线到终点E。
显然有f1 (D1 ) = 5 ；f1(D2 ) = 2
第二阶段（C →D）：C 到D有三条路线。
d( C1,D1 ) + f1 (D1 ) 3+5 8
f2 ( C1 ) = min d( C1,D2 ) + f1 (D2 ) = min 9+2 = min 11 = 8 C2,D1 ) + f1 (D1 ) 6+5 11
f2 (C2 ) = min d( C2,D2 ) + f1 (D2 ) = min 5+2 = min 7 = 7
d( C3,D1 ) + f1 (D1 ) 8+5 13
f2 ( C3 ) = min d( C3,D2 ) + f1 (D2 ) = min 10+2 = min 12 = 12 第三阶段（B →C）：B 到C 有三条路线。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 12+8 19
f3 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 14+7 = min 21 = 19 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 10+12 22
d( B2,C1 ) + f1 (C1 ) 6+8 14
f3 ( B2) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 ) = min 10+7 = min 17 = 14 d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 4+12 16
d( B3,C1 ) + f1 (C1 ) 13+8 21
f3 ( B3) = min d( B3,C2 ) + f1 (C2 ) = min 12+7 = min 19 = 19 d( B3,C3 ) + f1 (C3 ) 11+12 23
第四阶段（A →B）：A 到B 有三条路线。
f 4(A)1 = d(A, B1 )＋f2 ( B1 ) ＝2＋19＝21
f 4 (A)2= d(A, B2 )＋f2 ( B2 ) ＝5＋14＝19
f 4 (A)3= d(A, B3 )＋f2 ( B3 ) ＝1＋19＝20
d(A, B1 )＋f2 ( B1 ) = min｛21,19,20｝=19
∴f4(A) = min d(A, B2 )＋f2 ( B2 )
d(A, B3)＋f2 ( B3 )
路线为A→B2→C1 →D1 →E ，最短路径为19
皮革厂租用厂库安排 刘梦瑶 12211222 一、研究目的及问题表述 （一）研究目的：在生活中，厂商通常面临货物存储问题，有时便需要租借仓库进行货物存储，而租金也会随着租借时间的长短而有所改变。这时我们就可以运用运筹学算出最优的租借方案，使租金最小，减少存储成本。 （二）1、问题表述：广东黄埔区的某皮革代理商需要寻租可存储采购到的皮革的仓库，并在广州58同城网上找到了位于黄埔区中心地带的具有6000平方米的高标准仓库。出租商原定价1.2元/平方米/天，后经协商，双方同意如下：租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。 2、皮革代理商根据经验预测租赁期间所需仓库大小，其预测结果如下： 第一个月2000平方米；第二个月3000平方米 第三个月2500平方米；第四个月3500平方米 第五个月1600平方米 将租赁合同设为每月初办理，每月签订合同份数不限，每份所选租期不限。 求租金最小。 3、将各方条件汇表如下 （三）数据来源：在58同城网上找到相关的仓库租赁信息，其中发现位于黄埔区中心地带，107国道旁有高标准仓库招租，并标明其有6000平方米的仓库可供出租，1.2元/平方米/天。经过在网上联系该出租商，了解到其出租价格为按天数算的短期出租，若存储时间长，可另外折扣。于是我便假定租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。而由于能力有限，尚未查出有公司或厂商具体需要租借仓库并有具体租借时长与租借大小的数据资料，于是按照课本题目例子，假定了如上的皮革代理商与其的租借要求。 二、方法选择及结果分析 （一）方法选择：该问题的目标能为求租金最小，可用线性函数描述该目标的要求，且有多个方案可选。达到目标具有一定的约束条件，且这些条件可用
四 川 大 学 网 络 教 育 学 院 模 拟 试 题( A ) 《管理运筹学》 一、 单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标 函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2. 下列说法中正确的是（ ）。 Ａ．基本解一定是可行解 Ｂ．基本可行解的每个分量一定非负 Ｃ．若B 是基，则B 一定是可逆 Ｄ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） 多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 Ａ．多重解 Ｂ．无解 Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验 但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 Ａ．多余变量 Ｂ．自由变量 Ｃ．松弛变量 Ｄ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8. 树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（ ）。 Ａ．边 Ｂ．初等链 Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G 中不存在流f 增流链，则f 为G 的 （ ）。 A ．最小流 B ．最大流 C ．最小费用流 D ．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（ ） Ａ．等式约束 Ｂ．“≤”型约束 Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有 （ ） A ．松弛变量 B ．剩余变量 C ．非负变量 D ．非正变量 E ．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有 （ ） A ．画出可行域 B ．求出顶点坐标 C ．求最优目标值 D ．选基本解 E ．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有 （ ） A ．判断检验数是否都非负 B ．选最大检验数 C ．确定换出变量 D ．选最小检验数 E ．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有 （ ） A ．人工变量 B ．松弛变量 C. 负变量 D ．剩余变量 E ．稳态 变量 5．线性规划问题的主要特征有 （ ）
^ 高等教育《运筹学》模拟试题及答案 一、名词解释 运筹学：运筹学主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案。为决策者提供科学的决策依据 线性规划：一般地，如果我们要求出一组变量的值，使之满足一组约束条件，这组约束条件只含有线性不等式或线性方程，同时这组变量的值使某个线性的目标函数取得最优值（最大值或最小值）。这样的数学问题就是线性规划问题 可行解：在线性规划问题的一般模型中，满足约束条件的一组 12,,.........n x x x 值称为此线性规 划问题的可行解， 最优解：在线性规划问题的一般模型中，使目标函数f 达到最优值的可行解称为线性规划问题的最优解。 运输问题：将一批物资从若干仓库（简称为发点）运往若干目的地（简称为收点），通过组织运输，使花费的费用最少，这类问题就是运输问题 闭回路：如果在某一平衡表上已求得一个调运方案，从一个空格出发，沿水平方向或垂直方向前进，遇到某个适当的填有调运量的格子就转向前进。如此继续下去，经过若干次，就一定能回到原来出发的空格。这样就形成了一个由水平线段和垂直线段所组成的封闭折线，我们称之为闭回路 二、单项选择 1、最早运用运筹学理论的是（ A ） A 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 2、下列哪些不是运筹学的研究范围（ D ） A 质量控制 B 动态规划 C 排队论 D 系统设计 3、对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D 上述说法都正确 4、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（ C ） A 所有的变量必须是非负的 B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D 求目标函数的最小值 5、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（ D ） A 西北角法 B 位势法 C 闭回路法 D 以上都是 6、在用单纯形法求解线性规划问题时，下列说法错误的是（ D ）
秋季流行服饰与衣料的准备（五人） 目从办公室的十层大楼里，凯瑟琳·拉里俯视着下面忙忙碌碌的人流，在充塞着黄色出租车的街道以及乱放着一些买热狗的摊位的人行道上，成群的纽约人来来往往，好不热闹。在这闷热的暑天里，她注视着各类女性的穿衣时尚，心里想的却是这些人在秋季将会选择怎样的款式。这并非是她的一时的灵感，而是她工作的重要的一部分因为她拥有并经营着一家妇女精品时装公司――时尚隧道（TrendLines）公司。 今天对她来说是很重要的，因为她将与生产部经理泰德·罗森碰面，一起商讨下一个月秋季生产线的生产计划，特别是在一定的生产能力的基础上确定要各种服装的生产量。制定下个月的周密的生产计划对于秋季的销售是至关重要的，因为这些产品在9 月份将会上市，而妇女们通常在服装一上市时就会购买大部分的秋天的服饰。 凯瑟琳回转身，走到宽大的玻璃台旁去看铺上面的大量的资料及设计图。她扫视着6个月以前就设计出来的服装图样，各种样式所需要的材料，以及在时装展上通过消费者调研取得的各种样式的需求预测。现在，她还记得当时是如何设汁图样并将样品在纽约，米兰和巴黎的服装展上展出，那些天可真是既兴奋而又痛苦。最后，她付给六个设计者的总酬金为$860,000。除此外，每次时装展的费用为$2,700,000，包括雇用职业模特、发型师、化妆师，以及衣服的裁制与缝纫、展台背景的设计、模特的走步与排练、会场的租用。 她研究着衣服的样式和所需的材料。秋季的服装包括职业装和休闲装，而每种服装的价格是由衣服的质量、材料的成本、人工成本、机器成本，以及对该产品的需求与品牌的知名度等因素来确定的。
她知道已经为下个月采购了下面的这些材料：羊毛45,000码、开司米28,000码、丝绸18,000码、人造纤维30,000码、天鹅绒20,000码、棉布30,000码。各种材料的价格如下图所示： 多余的材料（不包括下脚料）可以运回给衣料供应商，并得到全额的偿还。 凯瑟琳知道生产丝绸上衣和棉汗衫会产生相当的多余边料。每件丝绸上衣和每件棉汗衫分别需要2 码的丝绸和棉布，而其中分别有0.5 码的边料。她不希望浪费这些衣料，因此打算利用矩形的丝绸和棉布的边料来生产丝绸女背心和棉的迷你裙。这样，每生产一件丝绸上衣就可以生产一件丝绸女背心。同样，每生产一件棉汗衫就可以生产一件迷你裙。要注意的是，生产背心和迷你裙并不一定需要首先生产相应数量的丝绸上衣和棉汗衫。 需求的预测表明其中一些产品的需有限的。天鹅绒的裤子和衬衫因为是一时的流行，预测分别只能销售5,500 和6,000件。公司不会生产超过预计需求的产品数量，因为，一旦该式样不再流行，就很难再卖出去。并且，因为公司并不需要满足所有的需求，所以，公司可以生产少于需求数量的产品。开司米汗衫因为价格较高，预计也只能销出4,000。丝绸上衣和背心的需求也是有限的，因为很多女性认为丝绸较难护理。公司预计大约可销出12,000的丝绸上衣和15,000丝绸背心。 预测表明羊毛裤，剪裁考究的衬衫，羊毛夹克的需很大的，因为这些是职业行头的必需品。羊毛裤和羊毛夹克的需求分别为7,000和5,000。凯瑟琳认为必须满足该部分60%的需求，以保持客户的品牌忠诚度，为以后的业务考虑。尽管剪裁考究的衬衫的需无法预测的，凯瑟琳认为必须至少生产2 , 800件。 a ．泰德打算说服凯瑟琳不生产天鹅绒衬衫，因为，这种流行服装的需很少的。而它的固定设计费用和其他成本高达$ 500,000，销售该样式的净贡献（售价－材料成本－人工成本）必须能够抵消总成本，他认为，即便是满足了最大的需求，该产品也不能产生一点的利润。你认为泰德的观点如何？ 解：净贡献=6000×（200－1.5×12－160）=132000<500000 由上式得，泰德的观点正确的，因为根据软件求解的结果，最优生产计划中X10的最优解为0，因此最好不要生产天鹅绒衬衫。
模拟试题一 一、单项选择题：(共7题，35分) 1、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（C） A. 多余变量 B. 松弛变量 C. 自由变量 D. 人工变量 2、约束条件为AX=b，X≥0的线性规划问题的可行解集是（B ） A. 补集 B. 凸集 C. 交集 D. 凹集 3、线性规划的图解法适用于( B ) A. 只含有一个变量的线性规划问题 B. 只含有2～3个变量的线性规划问题 C. 含有多个变量的线性规划问题 D. 任何情况 4、单纯形法作为一种常用解法,适合于求解线性规划(A ) A. 多变量模型 B. 两变量模型 C. 最大化模型 D. 最小化模型 5、在单纯性法计算中，如果检验数都小于等于零，而且非基变量的检验数全为负数，则表明此问题有（D ）。 A. 无穷多组最优解 B. 无最优解?? C. 无可行解 D. 唯一最优解 6、在线性规划中,设约束方程的个数为m,变量个数为n,m＜n时,可以把变量分为基变量和非基变量两部分,基变量的个数为m个,非基变量的个数为(C ) A. m个 B. n个 C. n-m个 D. 0个 7、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题(D ) A. 有唯一的最优解 B. 有无穷多最优解 C. 为无界解 D. 无可行解 二、填空题：(共5题，25分) 1、运筹学是一门研究如何有效地组织和管理决策的科学. 2、线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法,其基本特点是模型中的目标函数和约束方程都是线性表达式. 3、线性规划模型由三个要素构成：决策变量、目标函数、约束条件。 4、可行域中任意两点间联结线段上的点均在可行域内，这样的点集叫凸集。 5、线形规划的标准形式有如下四个特点：目标函数的最大化、约束条件为等式、决策变量费非负、右端常数项非负。 三、简答题：(共3题，40分) 1、简述线性规划模型的三个基本特征。 （1）每一个问题都有一个极大或极小的目标且能用有一组线性函数表示出来。 （2）问题中有若干约束条件且可用线性等式或不等式表示。 （3）问题中用一组决策变量来表示一科方案。 2、简述单纯型法的基本思想。 （1）确定初始基可行解（2）检验是否最优，由一个基可行解变换到另一个基可行基，直至找到最优解。 3、简述如何在单纯型表上判别问题有无界解。 答：如果存在一个非基变量的检验数为正数，但此变量当前系数中无正系数存在即可证明。 模拟试题二 一、单项选择题：(共5题，30分) 1、对偶问题的对偶是（D ）
《运筹学》课程考试试卷( A卷) 专业：管理大类年级：2007考试方式：闭卷学分：3 考试时间：120 分钟
二、已知如下的运输问题（20分） 用表上作业法求该运输问题的最优调运方案 三、已知线性规划问题（15分） max z ＝3x1＋4x2 －x1＋2x2≤8 x1＋2x2≤12 2x1＋ x2≤16 x1, x2≥0 （1）写出其对偶问题 (2)若其该问题的最优解为，x 1*=20/3, x 2 *=8/3，试用对偶问题的性质，求对偶问题的最优解。 四、求如下图网络的最大流，并找出最小截集和截量。每弧旁的数字是（C ij ,f ij）(15分) v1（7，4）v3 （8，8）（3，1）（8，6） v s（3，3）（3，0）v t （9，4）（2，2）（9，6） v2（5，5）v4 五、用动态规划方法求解下列非线性规划问题(15分) max z ＝x1 x22x3 x1＋x2＋x3 =8 x j≥0 （j＝1,2,3）
六、用匈牙利法求解下列指派问题（10分） 有四份工作，分别记作A 、B 、C 、D 。现有甲、乙、丙、丁四人，他们每人做各项工作所需时间如下表所示，问若每份工作只能一人完成，每人只能完成一份工作，如 何分派任务，可使总时间最少？ 《运筹学》A 卷标准答案 一、解：(1)单纯形法 （10分） 建立模型：max z = 3x 1+4x 2 2x 1+x 2 ≤ 40 x 1 +3x 2≤30 xj ≥ 0 j = 1,2 首先，将问题化为标准型。加松弛变量x 3，x 4，得 ??? ??=≥=++=+++=4,...,1,030340 243max 42132121j x x x x x x x st x x z j 其次，列出初始单纯形表，计算最优值。 任务 人员 A B C D 甲 4 5 9 8 乙 7 8 11 2 丙 5 9 8 2 丁 3 1 11 4
案例四监理公司人员配置问题 某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。通常标准施工期需求的人数教容易确定。但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点： （1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。 （2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。 因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。 标准施工期所需监理工程师如表1所示。 表1 另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下： 第1和第2工地的总人数不少于14人； 第2和第3工地的总人数不少于13人； 第3和第4工地的总人数不少于11人； 第4和第5工地的总人数不少于10人； 第5和第6工地的总人数不少于9人； 第6和第7工地的总人数不少于7人； 第7和第1工地的总人数不少于14人。 问题： （1）高峰施工期公司最好配置多少个监理工程师 （2）监理工程师年耗费的总成本是多少
二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、 下面哪一个表达式可以作为目标规划的目标函数 A 、{}-++11min d d B 、{} -++11max d d C 、{}-+-11min d d D 、{} -+-11max d d 2、 线性规划问题可行域的每一个顶点，对应的是一个 。 A 、基本可行解 B 、非可行解 C 、最优解 D 、基 本解 3、 在整数规划割平面方法最终单纯形表中得到的一个各变量之间关系式为 5 8 4154321=+-x x x ，则其确定的割平面方程为 。
A 、53415132-≤+-x x B 、53435132-≤+-x x C 、53415132-≥--x x D 、53415132-≤--x x 4、 已知某个含10个节点的树，其中9个节点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，另一个节点的次为 。 A 、1 B 、4 C 、3 D 、2 5、 用标号法寻找网络最大流时，发生标号中断（没有增广链），这时若用V 表 示已标号的节点的集合，用V 表示未标号的节点集合，则在网络中所有V → V 方向上的弧有 。（f 为当前流，c 为弧的容量） A 、 f c ≥ B 、c f ≤ C 、c f = D 、0=f 三、已知线性规划问题（第一问8分，第二问7分，共15分） ??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3 21321321,0,064 22min x x x x x x x x x x x x z （1） 写出其对偶问题。 （2） 其原问题的最优解为1,0,5321-==-=x x x ，根据对偶性质直接求解 对偶问题的最优解。 四、（共20分，其中第1、3问各7分，第2问6分） 某厂用两种原材料生产 两种产品，已知数据见表1，根据该表列出的数学模型如下，加松弛变量，
管理运筹学lindo案例分析 ⑻Lindo的数据分析及习题 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab , 在Dual Computations 列表框中，选择Prices and Ranges 选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 下面我们看一个简单的具体例子。 例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示： 用DESKS TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。 max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; 求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。Global optimal solution found at iteration:3 Objective value:280.0000 Variable Value Reduced Cost DESKS 2.0000000.000000 TABLES0.000000 5.000000 CHAIRS8.0000000.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1280.0000 1.000000 224.000000.000000 30.00000010.00000 40.00000010.00000 5 5.0000000.000000 “ Global optimal solution found at iteration: 3 ”表示 3 次迭代后得到全局最优解。 a Objective value:280.0000 ”表示最优目标值为280。“Value”给出最优解中各变量的值：造2个书桌（desks）, 0 个餐桌（tables ）, 8 个椅子（chairs ）。所以desks、chairs 是基变量（非0）, tables 是非基变量（0 ）。 “ Slack or Surplus ”给出松驰变量的值： 第1行松驰变量=280 （模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束） 第2行松驰变量=24 第3行松驰变量=0 第4行松驰变量=0 第5行松驰变量=5 “ Reduced Cost ”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目 标函数的变化率。其中基变量的reduced cost 值应为0, 对于非基变量X j,相应的reduced cost 值 表示当某个变量X j 增加一个单位时目标函数减少的量（ max 型问题）。本例中：变量tables 对应的
《运筹学》-期末考试-试卷A-答案
《运筹学》试题样卷（一） 题号一二三四五六七八九十总 分 得 分 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1.无孤立点的图一定是连通图。 2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若 其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>jσ对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最 少的无孤立点的图。 10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了
时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷） 20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束为 形式（共8分）
武城万事达酒水批发案例分析 导言：每个企业都是为了赚取利润，想要赚取更多的利润就要想办法节约自己的成本，那怎么节约自己的成本呢？运筹学是一门用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排的学科。运输是配送的必需条件，但是怎么才能让武城万事达酒水批发厂在运输问题是节约运输成本呢？我们就运用运筹学的方法来进行分析。我们对他原来的运输路线进行调查，计算原来需要的运输成本，对它的运输方式我们进行研究然后确定新的运输路线为他节约运输成本。 一、案例描述 武城万事达酒水批发有四个仓库存储啤酒分别为1、2、3、4,有五个销地A、B、C、D、E，各仓库的库存与各销售点的销售量（单位均为t)，以及各仓库到各销售地的单位运价（元/t）。半年中，1、2、3、4仓库中分别有300、400、500、300吨的存量，半年A、B、C、D、E五个销售地的销量分别为170、370、500、340、120吨。且从1仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别为300、350、280、380、310元，从2仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、270、390、320、340元，从3仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别290、320、330、360、300元，从4仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、340、320、350、320元。具体情况于下表所示。求产品如何调运才能使总运费最小？
仓库 A B C D E 存量 销地 1 300 2 400 3 500 4 300 150销量170 370 500 340 120 武城万事达酒水批发原来的运输方案： E销售地的产品从1仓库供给，D销售地的产品全由2仓库供给，C销售地全由3仓库供给，A、B销售地产品全由4仓库供给。 即：产生的运输费用为Z1 Z1=310*120+320*340+330*500+340*370+310*170=489500 二、模型构建 1、决策变量的设置 设所有方案中所需销售量为决策变量X ij（i=1、2、3、4，j=A、B、C、D、E），即： 方案1：是由仓库1到销售地A的运输量X1A 方案2：是由仓库1到销售地B的运输量X1B 方案3：是由仓库1到销售地C的运输量X1C
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1.无孤立点的图一定是连通图。 2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/ 人日，秋冬季收入为20元/ 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。 养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中5 4 ,x x 为松弛变量，问题的约束为?形式（共8分）
(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 的最优单纯形表如下：
运筹学案例 分析 指导老师： 班级： 姓名： 学号：
个人学习时间优化分配 设计总说明（摘要） 合理的安排时间方案，采取最优化的时间组合，有利于我们充分发挥各个时间阶段的学习效益。同时可以使我们的学习符合日常行为及自身特点，不仅使时间得到有效安排，也使得我们的身心得到和谐。此次，研究分配一天中四个阶段四门课程的学习时间，就是根据学生的身心特点，和各阶段对各课程学习的收获程度，采取获得程度量化的方法，设计出一个最优的时间组合方案，从而获得最大的收获效益。即获得学习的最大价值。 在这个过程中要将运筹学的各种理论知识与具体实际情况相结合。首先是确定所要研究的问题，考虑所需要的各种数据，根据实际需求确定所需要的数据和模拟量化的数据。将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。其次对已得模型利用计算机进行求解，得出方程的最优解。最后结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对解的实施与控制提出合理化的建议。 关键词：时间优化，线性规化，最优解，获得效益最大
目录 1．绪论 1.1研究的背景 (3) 1.2研究的主要内容与目的 (3) 1.3研究的意义 (3) 1.4研究的主要方法与思路 (3) 2．理论方法的选择 2.1 所研究的问题的特点 (4) 2.2 拟采用的运筹学理论方法的特点 (4) 2.3 理论方法的适用性及有效性论证 (5) 3．模型的建立 3.1 基础数据的确定 (5) 3.2 变量的设定 (6) 3.3目标函数的建立 (6) 3.4 限制条件的确定 (6) 3.5 模型的建立 (7) 4 .模型的求解及解的分析 4.1 模型的求解 (7) 4.2 解的分析与评价 (9) 5 .结论与建议 5.1 研究结论 (11) 5.2 建议与对策 (11)
楚大 2012---2013上学期 经济信息管理及计算机应用系 《运筹学》期末考试试题及答案 班级： 学号 一、单项选择题： 1、在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（ A ）。 ?????≥-≥-+=0Y ,X 1Y X 2.t .s Y X 3S min .B ?????≥≤+=0Y ,X 3XY . t .s Y X 4S max .A ?? ???≥≤-+=0Y ,X 2Y X .t .s Y X S max .C 22?????≥≥+=0Y ,X 3Y X .t .s XY 2S min .D 2、线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的 （ A ）上 达到。 A ．顶点 B ．内点 C ．外点 D ．几何点 3、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ C ） A ．多余变量 B ．松弛变量 C.自由变量 D ．人工变量 4、若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那 么该线性规划问题最优解为（ C ）。 A.两个 B.零个 C.无穷多个 D.有限多个 5、线性规划具有唯一最优解是指（ B ） A ．最优表中存在常数项为零 B ．最优表中非基变量检验数全部非零 C ．最优表中存在非基变量的检验数为零 D ．可行解集合有界 6、设线性规划的约束条件为
?????≥=++=++0,,422341 421321x x x x x x x x 则基本可行解为（ C ）。 A ．(0, 0, 4, 3) B ． (3, 4, 0, 0) C ．(2, 0, 1, 0) D ． (3, 0, 4, 0) 7、若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部 （ D ） A 、小于或等于零 B ．大于零 C ．小于零 D ．大 于或等于零 8、对于m 个发点、n 个收点的运输问题，叙述错误的是( D ) A ．该问题的系数矩阵有m ×n 列 B ．该问题的系数矩 阵有m+n 行 C ．该问题的系数矩阵的秩必为m+n-1 D ．该问题的最优解必唯一 9、关于动态规划问题的下列命题中错误的是（ A ） A 、动态规划分阶段顺序不同，则结果不同 B 、状态对决策有影响 C 、动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相对独 立性 D 、动态规划的求解过程都可以用列表形式实现 10、若P 为网络G 的一条流量增广链，则P 中所有正向弧都为G 的 （ D ）
管理运筹学模拟试题及 答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
四川大学网络教育学院模拟试题( A ) 《管理运筹学》 一、单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性 规划问题求解，原问题的目标函数值等于（C）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) 2.下列说法中正确的是（B）。 Ａ．基本解一定是可行解Ｂ．基本可行解的每个分量 一定非负 Ｃ．若B是基，则B一定是可逆Ｄ．非基变量的系数列向量一定是 线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（ D ） 多余变量 B．松弛变量 C．人工变量 D．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时， 可求得（A）。 Ａ．多重解Ｂ．无解Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满 足最优检验但不完全满足（ D ）。 A．等式约束 B．“≤”型约束 C．“≥”约束 D．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y是 （B）。 Ａ．多余变量Ｂ．自由变量Ｃ．松弛变量Ｄ．非 负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( C )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8.树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（B）。 Ａ．边Ｂ．初等链Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G中不存在流f增流链，则f为G的（ B ）。 A．最小流 B．最大流 C．最小费用流 D．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满 足最优检验但不完全满足（D） Ａ．等式约束Ｂ．“≤”型约束Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量 B．剩余变量 C．非负变量 D．非正变量E．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有（）
《管理运筹学》期末考试试题 一、单项选择题（共 5小题，每小题3分，共15分） 1. 如果一个线性规划问题有 n 个变量，m 个约束方程（m 3. 写出下面线性规划问题的对偶问题: min z = 2x2 5x3, X i — 2 x? + 5 X3 兰8, 2咅+ 3x2+ x3 = 3, s.t. 4x〔 - x22x3 _ 6, X i,X2,X3 一0. 四、计算下列各题（每题20分，合计40分） 1. 用单纯形法求解下列线性规划的最优解： max X0=X J+2X2 s.t % 兰3 ?x2兰2 % +2x2兰5 、x^0,x2 >0 2. 用割平面法求解整数规划问题。 max z = 7x「9x2 -x-! 3x2 _ 6 / 7% +x2兰35 x1,x2 _0,且为整数 案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团” 是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。 四川大学网络教育学院模拟试题( A ) 《管理运筹学》 一、单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标 函数值等于（）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2.下列说法中正确的是（）。 Ａ．基本解一定是可行解Ｂ．基本可行解的每个分量一 定非负 Ｃ．若B是基，则B一定是可逆Ｄ．非基变量的系数列向量 一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（） 多余变量B．松弛变量C．人工变量D．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得 （）。 Ａ．多重解Ｂ．无解Ｃ．正则解Ｄ．退化解5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（）。 A．等式约束B．“≤”型约束C．“≥”约束D．非负约束 y是（）。 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i Ａ．多余变量Ｂ．自由变量Ｃ．松弛变量Ｄ．非负变 量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8.树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（）。 Ａ．边Ｂ．初等链Ｃ．欧拉圈Ｄ．回路9．若G中不存在流f增流链，则f为G的（）。 A．最小流B．最大流C．最小费用流D．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验 但不完全满足（） Ａ．等式约束Ｂ．“≤”型约束Ｃ．“≥”型约束Ｄ．非负约 束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量B．剩余变量C．非负变量D．非正变量E．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有（） A．画出可行域B．求出顶点坐标C．求最优目标值 D．选基本解E．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有（） A．判断检验数是否都非负B．选最大检验数C．确定换出变量D．选最小检验数E．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有（）A．人工变量B．松弛变量 C. 负变量D．剩余变量E．稳态变量 案例2 解：设工地i在标准施工期需要配备的监理工程师为Xi, 工地j在高峰施工期需要配备的监理工程师为Yi. 7 总成本： minZ=∑ ( 7Xi/3 + 35Yj/12) i=1 x1≥5 X2≥4 X3≥4 X4≥3 X5≥3 X6≥2 X7≥2 Y1+Y2≥14 Y2+Y3≥13 Y3+Y4≥11 Y4+Y5≥10 Y5+Y6≥9 Y6+Y7≥7 Y7+Y1≥14 Yj≥Xi (i=j i,j=1,2,3,4,5,6,7) 结果如下： 解：穷举两种车可能的所有路线。 2吨车： i 求min f = 12(x1+...+x12) + 18(x13+ (x21) 因为50个点属于A，36个点属于B，20个点属于C，所以约束条件是以上所有x i乘上它对应的路线中去各个点的数量的总和分别大于等于实际这些点的数量，因为表达式过于冗长，这里省略。 因为派去的车应该是整数，所以这是整数规划问题，运用软件求解。 最后得出结果： x9=4 x12=3 x19=8 x21=2 其余都等于零。 所以结果是派7辆2吨车，10辆4吨车。 路线如表格，这里不赘述。 解：设x ij表示在i地销售的j规格的东西。其中i=1到6对应福建广东广西四川山东和其他省区，j=1和2对应900-1600和350-800。 求max f= 270x11 + 240x21 + 295x31 +300x41 + 242x51 + 260x61 +63x12 +60 x22 + 60x32 + 64x42 +59x52 +57x62– 1450000 在下图软件操作中，用x1到x12代表以上的未知数。 约束条件如上 运用软件求解，结果为： 由于软件中没有添加– 1450000， 所以最大利润为：5731000元。运筹学经典案例
管理运筹学模拟试题及答案
运筹学实用案例分析过程
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