《直线与方程》小结与复习
一、【教学目标】
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．
教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．
自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．
易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．
易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1．学法：讲练结合，自主探究
2．教具：多媒体课件，三角板
二、【知识梳理】
直线的方程直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
定义
范围
直线的斜率
定义
公式直线方程的五种形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
k =________，倾斜角是90?的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当12x x ≠时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系
当α为锐角时，α越大?k 越____；当α为钝角时，α越大?k 越____．
2．直线方程的五种基本形式
名称 几何条件
方程 局限性
点斜式
过点()00,x y ，斜率为k
不含__________的直线
两条直线的位置关系
平行与垂直的判定
两直线相交
直线对称问题
点关于直线对称
直线关于直线对称
平行的判定方法
垂直的判定方法
直线关于点对称
三种距离计算
点与点的距离
点与线的距离 平行线的距离
求交点坐标
斜截式 斜率为k ，纵截距为b 不含__________的直线 两点式 过两点()11,x y 和()22,x y （12,x x ≠12y y ≠）
不含__________的直线
截距式 横截距为a ，纵截距为
b ()0ab ≠
不含________和_______的直线 一般式
,,A B C ()220A B +≠
平面直角坐标系内的直线都适用
答案：1．（1） ① 正向，向上，0?
；② 0180α??≤<； （2） ① 正切值，tan α； ②
21
21
y y x x --，不存在． （3）大，大．
2．00()y y k x x -=-，y kx b =+，
112121y y x x y y x x --=--，1x y a b
+=，22
0(0)Ax By C A B ++=+≠．
垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，则有12//l l ?____________．特别地，当直线的斜率1l 、2l 都不存在时，1l 与2l ________． （2）两条直线垂直
如果两条直线斜率1l 、2l 存在，设为1k 、2k ，则12l l ⊥?____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________． 4．两直线相交
交点：直线1l ：1110A x B y C ++=和2l ：2220A x B y C ++=的公共点的坐标与方程组
1112220
A x
B y
C A x B y C ++=??
++=?的解一一对应． 相交?方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组________；
重合?方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点()11,A x y 、()22,B x y 间的距离：
AB = ．
（2）点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：
d = ．
（3）两平行直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++= （12C C ≠）间的距离为d =______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
1、两直线间的平行与垂直问题
例1 （1）已知两直线1l ：2
60x m y ++=，2l ：
()2320m x my m -++=，若12//l l ，求实数m 的值；
（2）已知两直线1l ：260ax y ++=和2l ：()()
2110x a y a +-+-=．若12l l ⊥，求实数a 的值．
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l ，12//l l ?12k k =，12l l ⊥?121k k ?=-．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
（2）①若直线1l 和2l 有斜截式方程1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+，则12l l ⊥?121k k ?=-．
②设1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=．则：12l l ⊥?12120A A B B +=． 【解答】（1）方法一：①当0m =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，12//l l ；
②当0m ≠时， 1l ：22
16y x m m =-
-， 2l ：22
33
m y x m -=-， 由2123m m m --=且2623m -≠-，
∴1m =-．
故所求实数m 的值为0或1-．
方法二:直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=平行的等价条件是： 12210A B A B -=且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠，由所给直线方程可得：
()21320m m m ?--=且()12620m m ?--≠()2230m m m ?--=且3m ≠
0m ?=或1-，故所求实数m 的值为0或1-．
（2）方法一：由直线1l 的方程知其斜率为2
a
-，
当1a =时，直线2l 的斜率不存在，1l 与2l 不垂直；
当1a ≠时，直线2l 的斜率为1
1
a --，
由12
1213
a a a ??-?-=-?= ?
-??． 故所求实数a 的值为2
3
．
方法二: 直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=垂直的等价条件是12120A A B B +=．
由所给直线方程可得：()212103a a a ?+?-=?=，故所求实数a 的值为2
3
．
【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关
系的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论．
变式训练:已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=．试确定m 、n 的值，使
（1） 1l 与2l 相交于点(),1P m -； （2） 12//l l ；
（3） 12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．
答案：（1）由题意得：280
210m n m m ?-+=?--=?
，解得1,7m n ==．
（2）当0m =时，显然1l 不平行于2l ；
当0m ≠时，由821m n m =≠-得()2
820
810m mn ?-?=???--≠??
，
x
y
M
A
B
C
D
O
x
y
M
C
B
D
A
O
∴42m n =??≠-?，或42m n =-??≠?
．
即4,2m n =≠-时或4,2m n =-≠时，12//l l ．
（3）当且仅当280m m ?+?=，即0m =时，12l l ⊥，又18
n
-=-，∴8n =．
即0m =，8n =时，12l l ⊥且1l 在y 轴上的截距为1-． 2、点到直线距离问题
例 2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是10,340,x y x y +-=-+=且它的对角线的交点是
(3,3),M 求这个平行四边形其他两边所在直线方程．
【分析】因为斜率相等,所以其他两条直线可以设为
120,30,x y c x y c ++=-+=然后利用点到直线的距离公式．
【解答】ABCD 四边形是平行四边形 //AB CD ∴ 设直线CD 的方程为10x y c ++= 由点M 到直线,AB CD 的距离相等，得：
12
2
2
2
|33||331|11
11
c +++-=
++
解得11111c c =-=-或（舍去） 111c ∴=-
同理，由点M 到直线,AD BC 的距离相等，得：
()
()
22
2
2
2
|333||3334|3131c ?-+?-+=
+-+- 22164c c ∴=-=或（舍去）
216c ∴=- 因此，其他两边所在直线的方程是
110,3160x y x y +-=--=．
【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法
简化运算．
变式训练：已知正方形的中心为点(1,0)M -，一条边所在
的直线的方程是350,x y +-=求正方形其他三边所在直线的方程． 【分析】本题先设与已知直线平行的直线为130,x y c ++= 另两条都与已知直线垂直，设为230,x y c -+= 然后利用点到直线的距离公式．
【解答】ABCD 四边形是正方形 //AD BC ∴
x
y
M
C
A H
B
O
由点M 到直线,AD BC 的距离相等，得：
12
2
2
2
|(1)30|
|(1)305|
1313
c -+?+-+?-=
++ 1175c c ∴=-=或（舍去）
17c ∴=-
AD AB ∴⊥ AB ∴直线的方程可设为230,x y c -+=
由点M 到直线,AD AB 的距离相等
22
2
2
2
|3(1)0|
|(1)305|
13
31
c ?--+-+?-=
++ 2293c c ∴=-=或
综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是390,310,330x y x y x y -+=++=--=．
3、三角形问题
例3. 已知ABC ?的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250,x y AC --=边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．求：
（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．
【分析】第一问主要是考查设、求直线AC ， 熟练解答过程，先设直线AC 为：20x y c ++= 然后代入点(5,1)A ；第二问考查用先设、求点B ，
然后与点C 求出直线BC ，或者设直线BC 的点斜式方程， 再结合中点坐标公式求出斜率k ．
【解答】(1)由题意，得直线AC 的方程为2110x y +-=．
解方程组250
,2110x y x y --=??
+-=? 得点C 的坐标为（4，3）．
（2）解法一：设00(,),B x y 则0051
(,)22
x y M ++．于是有
001
550,2
y x ++--=即00210x y --=．与00250x y --=B 联立，解得点的坐标为(-1,-3)．
于是直线BC 的方程为6590x y --=．
解法二：设直线BC 的方程为y 3(4)k x -=-，即340kx y k -+-=．
解方程组250
,(43)0
x y kx y k --=??---=?得8113,2121k k x y k k ---==--． 因为点M 是线段AB 的中点，所以点M 的坐标是984
(
,)212(21)
k k k k ----． 把点M 的坐标代入直线CM 的方程，得
1816450212(21)k k k k ----=--．解得6
5
k =． 所以直线BC 的方程为6590x y --=． 解法三：设(,)M x y ，则(25,21)B x y --．
因为点B 在直线BH 上，所以有252(21)50,x y ----=即240x y --=．
x
y
l
P'
N
P
M'
M
O
x
y
C
B
A
O
解方程组240
,250
x y x y --=??
--=?得点M 的坐标为(2,1)-，点B 的坐标为(1,3)--．
所以直线BC 的方程为6590x y --=．
【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点B ，就避免了考虑斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础．
变式训练：
在ABC ?中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，角A 的平分线所在的直线方程为0y =， 若点B 的坐标为(1,2)，求AC 边上的垂直平分线．
【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点B 关于0y =对称的点(1,2)-，也易求直线AC ． 【解答】A 点在直线BC 的高线上，又在角A 的平分线上
由210
,0x y y -+=??
=?
得A (1,0)-
所以1,AB k =而直线0y =是角A 的平分线，所以1,AC k =- 所以AC 边所在的直线方程为(1)y x =-+
又2,BC k =-所以BC 边所在直线方程为22(1)y x -=-- 由AC 与BC 的直线方程联立可得(5,6)C -
所以AC 边上的垂直平分线所在的直线方程为50x y --=．
4、最值问题
例4．已知点M (3,5)-，(2,15)N .在直线l :3440x y -+=
上找一点P ,使||||PM PN +最小，并求出最小值．
【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点M 关于l 对称的点'M ，连结'NM ，直线'NM 与直线l 的交点P 即为所求．事实上,若点'P 是l 上异于P 的点，则
|'||'||''||'||'|||||P M P N P M P N NM PM PN +=+>=+． 【解答】设与(3,5)M -关于l 对称的点是'M ．
3,4l k = '4,3
MM k ∴=-
'MM ∴的方程为4
5(3)3
y x -=-+，即4330x y +-=．
解方程组3440,4330x y x y -+=??+-=?得0
,1x y =??=?
∴线段'
MM 交直线l 于Q (0,1)．
∴Q 是'MM 的中点，∴'M 的坐标为(3,3)-．
连结'
NM 的直线方程为18510x y +-=．
解方程组18510,3440x y x y +-=??-+=?得8,
33.
x y ?=???=?
∴点P 坐标为8
(,3)3
．此时，|||||'||||'|PM PN PM PN NM +=+=22(32)(153)513=-++=．
x
y
P
A'
B
A
O
【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使||||||PM PN -最大．
变式训练：
函数22148y x x x =
++-+的最小值为_______________．
【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用， 把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题， 把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是 把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反， 体现了数形结合的重要的数学思想． 【解答】把22
148y x x x =
++-+变形为
2222(1)(01)(2)(02)y x x =-+-+-+- 2222(1)(01)(2)(02)x x -+-+-+-表示动点P (,0)x 到两定点A (1,1)、B (2,2)的距离之和．
作点A (1,1)关于x 轴的称点'A (1,1)-
|||||'||||'|PA PB PA PB BA +=+≥ ∴22(21)(21)10y ≥-++= 10∴函数y 有最小值为．
四、【解法小结】
1．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
2．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 、2l ，
12//l l ?12k k =，12l l ⊥?121k k ?=-．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么
一定要特别注意．
3．在运用两平行直线间的距离公式122
2
C C d A B
-=+时，一定要注意将两方程中的x ，y 项系数化为分别
相等的系数．
4．两直线平行时，直线可设为120,0ax by c ax by c ++=++=，两直线垂直时，直线可设为
120,0ax by c bx ay c ++=-+=，可以简化运算．
五、【布置作业】
必做题：
1．已知直线1l ：()()3410k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是 ． 2．若直线1l ：()4y k x =-与直线2l 关于点()2,1对称，则直线2l 恒过定点是 ．
3. 已知250x y ++=，则
22x y +的最小值是 ．
4．设直线l 经过点()1,1-，则当点()2,1-与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为 ． 答案：1 ．3或5；2．()0,2；3．5； 4．3250x y -+= 选做题：
1．已知直线():120l kx y k k -++=∈R ． （1）证明直线l 过定点；
（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使AOB 面积最小时直线l 的方程．
2.已知直线l ：2310x y -+=，点()1,2A --．求： （1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；
（2）直线m ：3260x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程； （3）直线l 关于点()1,2A --对称的直线l '的方程．
答案：
1．（1）定点
()2,1-；（2）[)0,+∞；（3）240x y -+=．
2. 【解答】（1）设(),A x y '，由已知22113
12231022y x x y +?
?=-??+?--??-?+=??，解得：3313413x y ?=-????=??
，
∴334,1313A ??
'- ??
? （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上．设对称点
(),M a b '，则20231022021
23a b b a ?++?????-?+= ? ????????-??=-?-?
，得630,1313M ??' ???，
设直线m 与直线l 的交点为N ，则由2310
3260
x y x y -+=??--=?得()4,3N ．
又∵m '经过点()4,3N ，，∴由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=．
（3）方法一 在l ：2310x y -+=上任取两点，如()1,1M ，()4,3N ，则,M N 关于点()1,2A -- 的对称点,M N ''均在直线l '上，易得()3,5M '--，()6,7N '--，再由两点式可得l '的方程为
2390x y --=．
方法二 ∵//l l '，∴设l '的方程为()2301x y C C -+=≠，
∵点()1,2A --到两直线l ，l '的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：2
2
2
2
2626123
23
C -++-++=
++，解
得9C =-，∴l '的方程为2390x y --=．
方法三 设(),P x y 为l '上任意一点，则(),P x y 关于点()1,2A --的对称点为()2,4P x y '----， ∵点P '在直线l 上，∴()()223410x y -----+=，即2390x y --=．
【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点： （1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．
六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：
在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换．教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别．渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法．
2．本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．
第三章《直线与方程》单元检测试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° [答案] C 2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32 D ．23 [答案] B 4．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b [答案] B 5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C 6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1
[答案] C 8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________. [答案] －2 3 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 2 ＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又 x 1＋x 2 2＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝ －3－1 4－－2
直线与方程练习题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当1 0k 2 << 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y= 2 1 x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 二.解答题(10分×4+15分×2=70分)
必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤
注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.
第三章《直线与方程》单元检测试题 时间12０分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共1２个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．已知点A（1，错误!)，B（－１，3错误!),则直线AB的倾斜角是( ) Ａ.60°?B.3０° Ｃ．1２0°D．150° [答案] C 2．直线l过点P(-1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为（ ) A.x-y+1＝0 B.ｘ-ｙ－1＝0 C．ｘ－y-3=０?Ｄ.x－y＋3=0 [答案］D 3．如果直线aｘ+2ｙ＋2=0与直线3x－y－2＝0平行，则ａ的值为（ ) A.-3 ?B．-６ C.错误!?Ｄ.错误! [答案] B 4.直线错误!－错误!=１在y轴上的截距为( ） A.|b| B.－b2 Ｃ．ｂ2 D.±b [答案] B 5．已知点A(3，2)，B(-2，ａ)，C(8,1２)在同一条直线上，则ａ的值是( ) Ａ．0 ?B．-4 C．－8 D．4 ［答案］ C 6.如果ＡB<0，BC<0,那么直线Ax＋By＋Ｃ＝０不经过( ) A.第一象限?B．第二象限 Ｃ.第三象限Ｄ．第四象限 [答案］D 7.已知点A(１,-2)，B(ｍ，2)，且线段AＢ的垂直平分线的方程是x＋2y-2＝0,则实数m的值是( ) A．－２?B．-7 Ｃ．3 D．1 [答案] C
8.经过直线l 1：ｘ－3y +4=0和l 2：2ｘ+y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A.１9x －9ｙ=0 ?B ．9ｘ+1９y ＝0 C.3x +19ｙ=０ ?D ．19x -３y =0 ［答案] C 9.已知直线(3ｋ－1)ｘ＋(k +2)ｙ-k ＝0,则当ｋ变化时,所有直线都通过定点( ) Ａ．(０,０） Ｂ．(＼f(1，7),错误!) Ｃ.(＼f(2,7)，1 7) ?D ．(错误!，错误!） ［答案] C 10．直线x -2y +1=0关于直线ｘ＝１对称的直线方程是( ) Ａ.x ＋2y －1=0 B ．2x +y －１＝0 C ．2ｘ+ｙ－３=0 Ｄ．x ＋2y －3=0 ［答案] D 1１.已知直线l 的倾斜角为1３5°，直线l 1经过点A (3,２）,B （ａ，－1),且ｌ1与l 垂直，直线l ２：２x +by +1=0与直线l 1平行，则a +b 等于（ ） A ．－４ B ．－2 C ．0 D.２ ［答案] B 12.等腰直角三角形AB Ｃ中,∠C =90°，若点Ａ，C 的坐标分别为(0,４)，(3,3)，则点 Ｂ的坐标可能是（ ） Ａ．(2，０)或（4,6) B.(2,0)或(6，４) C ．(4,6) ?D.(0，2) ［答案］ A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上) １3.直线l 与直线ｙ＝１，x －y -7=0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Ｍ(1,－1),则直线l 的斜率为____＿___＿. [答案] －错误! ［解析] 设A (ｘ1,y 1)，B （x 2，y 2),则 ｙ1+y ２ 2 ＝-１,又ｙ1=1，∴y ２=-3，代入方程x -y － 7=０,得x 2=4,即B (4,－3),又错误!=1，∴x １=－2，即A (－2,１)，∴k AB ＝错误!=－错误!． １４.点Ａ(３,－4)与点B （5，8)关于直线ｌ对称，则直线l 的方程为＿_______＿. [答案] x ＋6y －１6=0 [解析］ 直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4，2),k AB =6,所以 k l =-＼f(1,６），所以直线l 的方程为ｙ－2＝－＼f(１,6)（x －4)，即ｘ+6ｙ-１6＝0．
（数学2必修）第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;
直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞 知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞 ． 知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程 为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
必修2第三章《直线与方程》单元测试题 （时间：90 满分：120分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3， 则必有 A. k 1 必修2直线与方程知识点总 结与题型 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 一选择题（共５5分,每题5分) 1． 已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（ ） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ． 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３． 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０ Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x 专题复习 直线与方程 【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定 （1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一 条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 . 总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值围。 变式：若0 3.1知识表 直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率 （1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． （2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°． （3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2， y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当 090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 数学必修二——直线与方程 （一）直线的斜率 1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。 2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为 练习：直线都经过点P（2,3），又分别经过试计算的斜率。 （1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜 （2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。 （3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合 说明： 1、如果，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率） 2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。 3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。 当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。 4、直线倾斜角与斜率的关系： 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有 概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°； D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。 辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是： A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在； B.举反例说明， C. 平行于轴的直线的倾斜角为0； D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等. 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是； ③倾斜角是90°的直线没有斜率。 （二）直线方程 1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？ 因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于。 所以，要把它变成方程. 因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程. 2. 直线的点斜式方程 已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式。 直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。 问题二：已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为，求直线的方程？ 3. 直线的斜截式方程 已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式。 说明： （1）斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式。 （2）斜截式中，表示直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。 4. 直线方程的两点式 已知直线上两点，B（，求直线方程。 首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为： 由可以导出，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。 注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。 5. 直线方程的截距式 定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距。 叫做直线方程的截距式。，表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用截距式。 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，；当时，不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式： 直线斜率k，且过点 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：（ ）直线两点， ④截矩式： 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 ⑤一般式：（A，B不全为0） ⑤一般式：（A，B不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x轴的直线： （b为常数）；平行于y轴的直线： （a为常数）； （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点； （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。 （5）两直线平行与垂直 当，时，； 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （6）两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （8）点到直线距离公式：一点到直线的距离 （9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 第三章《直线与方程》单元测试题 一、选择题 1. 直线l 经过原点和点（ 1，1），则它的倾斜角是（） Ａ．3Ｂ．5Ｃ．或5Ｄ． 4 4 4 4 4 2. 斜率为2的直线过（3，5），（ a，7），（－1，b）三点，则a，b的值是（） Ａ． a 4 ， b 0 Ｂ． a 4 ， b 3 Ｃ． a 4 ， b 3 Ｄ． a 4 ， b 3 3. 设点A（2，3），B（ 3，2），直线过P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取 值范围是（） 3 3 3 Ａ．k≥ 3或k≤ 4 Ｂ．4≤ k≤ 3Ｃ．3≤k≤4 Ｄ．以上都不对 4 4 4 4. 直线（a 2）x （1 a）y 3 0与直线（a 1）x （2a 3）y 2 0互相垂直，则 a （） 3 Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 2 5. 直线l过点A 1，2 ，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（） Ａ．0，2 Ｂ．0，1 Ｃ．0，1Ｄ．0，1 22 6. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P（ x，y）必定满足方程（） Ａ．x 4y 4 0 Ｂ．7x 4y 0 Ｃ．x 4y 4 0或4x 8y 9 0 Ｄ．7x 4y 0 或32x 56y 65 0 7. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0 互相平行，则它们之间的距离是（） Ａ． 4 Ｂ． 2 13Ｃ．5 13 Ｄ．7 13 13 26 26 8. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0 ，直角顶点是C（3，2），则两条 直角边AC，BC 的方程是（） Ａ．3x y 5 0，x 2y 7 0 Ｂ．2x y 4 0，x 2y 7 0 Ｃ．2x y 4 0，2x y 7 0 Ｄ．3x 2y 2 0，2x y 2 0 9. 入射光线线在直线l1：2x y 3 0 上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线 Ａ．x 2y 3 0 Ｂ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 6 0 l3上，则直线l3 的方程为（） 直线与方程的知识点与练习 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(2 2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3． 若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2 2 x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD Y 的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。 2020年黑龙江省鸡西市第一中学高一下学期数学人教版必修二 直线与方程试题含答案 一、单选题 1．直线x ﹣2y +1＝0的斜率是（） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣12 D ．12 2．直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．52 - B ．16 C ．56 D ．72 3．过点P （2，-2）且平行于直线2x +y +1=0的直线方程为（） A ．2x +y -2=0 B ．2x -y -2=0 C ．2x +y -6=0 D ．2x +y +2=0 4．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是（ ） A ．12 B ．35 C ．1 D ． 310 5．已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线l ：10ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于（ ） A ．79 B ．13 - C ．79-或13 - D ．79或13 6．直线x-2y+3=0关于X 轴对称的直线的方程是 ( ) A ．x+2y-3=0 B ．x+2y+3=0 C ．2x-y-3=0 D ．2x-y+3=0 7．过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（） A ．210x y --= B ．230x y +-= C ．20x y -= D ．240x y +-= 8．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．()(),15,-∞-+∞U B ．(][),15,-∞-?+∞ C ．()1,5- D ．[]1,5- 9．方程 14232140k x k y k +--+-=（）（）所确定的直线必经过点( ) A ．22（，） B ．22（，）- C ．62-（，） D ．36-（，） 10．过直线3230x y -+=与40x y +-=的交点，与直线210x y +-=平行的直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．210x y -+= C ．270x y +-= D ．250x y -+= 11．点()5,0A ，(1,B -到直线的距离都是4，满足条件的直线有（） A ．一条 B ．两条 C ．三条 D ．四条 12已知A （﹣1，1），B （3，1），C （1，3），则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（ ） A ．x+y+2=0 B ．x+y=0 C ．x ﹣y+2=0 D ．x ﹣y=0 13．若直线0ax by c ++=在第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0ab bc >< B ．0,0ab bc >> C ．0,0ab bc << D ．0,0ab bc <> 14．已知直线:2l y x =和点()3,4P ，在直线l 上求一点Q ，使过P 、Q 的直线与l 以及x 轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则 Q 坐标为（） A ．()2,4 B ．()3,6 C ．()4,8 D ．()5,10 15．点()2,0关于直线4y x =--的对称点是（ ） A ．()4,6-- B ．()6,4-- C ．()5,7-- D ．()7,5--必修2直线与方程知识点总结与题型
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