课时分层训练(十七) 角的概念的推广、弧
度制与任意角的三角函数
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( )
【导学号：57962135】
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π
3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]
2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
【导学号：57962136】
A ．2
B ．sin 2 C.2
sin 1
D ．2sin 1
C [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin 1.] 3．(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点P (cos α，t an α)在第三象限，则角α的终边在( )
【导学号：57962137】
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
B [由题意可得??? cos α＜0，t an α＜0，则?
??
sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，
故选B.]
4．(2017·河北石家庄质检)已知点P ? ????
32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，
则θ的值为( )
A.5π
6 B ．2π3 C.11π6
D ．5π3
C [因为点P ? ????
32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知t an θ＝－12
3
2＝
－33，则θ＝116π.]
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35
D ．45
B [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]
二、填空题
6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π
3，则扇形的弧长等于________． π
3 [设扇形半径为r ，弧长为l ，则?????
l r ＝π
6，
12lr ＝π
3，
解得?????
l ＝π3
，
r ＝2.
]
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝________.
－8 [因为sin θ＝
y 42＋y
2＝－25
5， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.]
8．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为
________．
? ????
π4，5π4 [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－2
2.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈? ??
??
π4，5π4.]
三、解答题
9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .
【导学号：57962138】
[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则?????
12lr ＝1，
l ＋2r ＝4，
解得?
??
r ＝1，
l ＝2.
4分
∴圆心角α＝l
r ＝2.
如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. 8分
∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.
12分 10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且t an θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.
[解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴t an θ＝－1x ， 2分
又t an θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.
4分
当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝2
2， 因此sin θ＋cos θ＝0；
8分
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－2
2， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.
12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2016·河北衡水二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ? ??
??
π4的值为( )
A.35 B ．45 C ．－35
D ．－45
D [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－4
5.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π
2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ? ????π4＝sin ? ??
??
π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D.]
2．函数y ＝sin x ＋
1
2－cos x 的定义域是________．
??????
π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [由题意知?????
sin x ≥0，12－cos x ≥0，即?
????
sin x ≥0，cos x ≤12，
∴x 的取值范围为π
3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .] 3．已知sin α＜0，t an α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α
2终边所在的象限；
(3)试判断t an α2sin α2cos α
2的符号．