《高等数学》课程单元教学设计(1) 教案头
单元名称：参数的点估计学时：2
项目数理统计
学习型工作任务估计参数与假设检验
教学目标
知识目标能力目标
1.掌握点估计的数字特征法；
2.了解点估计的顺序统计量法；
3.掌握总体参数的无偏估计；
4.了解总体参数的有效性。
分析实际问题中的参数的点估
计。
能力训练任务及案例任务一给出一些例子, 让学生理解参数的点估计；
任务二给合实例, 让学生理解数字特征法、顺序统计量法；任务三总体参数的无偏估计与有效。
案例：1.用数字特征法估计μ和2
σ；
2.用顺序统计量法估计μ和2
σ；
3. 求2
σ无偏估计量。
教学重点教学难点重点：点估计的数字特征法；难点：估计量的评选标准。
教学组织1．先让学生联系实例, 然后引出参数的点估计;
2．介绍点估计的数字特征法;
3．介绍点估计的顺序统计量法及总体参数的无偏估计与有效性; 4．归纳总结相关知识。
作业习题11-2 备注
(2) 主要教学过程
步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟
告知(教学内容、目的) 本次课要学的主要内容:
1．点估计的数字特征法；
2．点估计的顺序统计量法；
3．总体参数的无偏估计与有效。
目的: 分析实际问题中的参数
的点估计.
讲授(口
述)
5
引入(任务项目) 1．写出一些现象，启发学生理
解参数的点估计；
2．说明本次课的任务: 学会参
数的点估计。
讲授板书15
操练（掌握初步或基本能力）总体方案：
1．介绍点估计的数字特征法；
2．介绍点估计的顺序统计量法；
3．介绍总体参数的无偏估计与
有效。
教师讲解
教师讲
解，学生
思考并记
忆
25
深化
（加深对基本能力的体会）
再次强调参数的点估计的重
要性，加深理解。
启发、诱导
重点讲解
教师讲
解，学生
思考并记
忆
请学生归
纳总结
20
归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力.
知识点 1.点估计的数字特征
法；
知识点2：点估计的顺序统计量
法；
知识点3：参数的无偏估计与有
效性.
教师归纳板书15
训练
（巩固、拓展、检
验）举出一个例子，计算参数的点估
计。
启发、诱导
学生练习
解题，教
师指导
个别提问15
总结教师讲授 2 作业习题11-2 3 后记
第二节 参数的点估计
在实际问题中，总体的分布类型往往可以由经验确定，但有时我们只关心总体的某些数字特征，特别是均值和方差，一般可以通过样本观察值所组成的统计量对总体的参数进行估计，这类问题就是参数估计．参数估计的类型一般有两种：点估计、区间估计．
例如，工厂生产一批铆钉，铆钉头的直径ξ是一个随机变量，现在要问这批铆钉头部的平均直径是多少？根据经验知道，ξ服从正态分布),(2σμN ，但参数μ和2
σ未知，而铆钉头部的平均直径就是参数μξ=)(E ，因此需设法估计μ的值．通常我们从中抽取若干铆钉进行直径的测定，以这些测定量的平均值作为整批铆钉头部直径的平均值的近似值．
一、点估计的方法 1. 数字特征法
用样本的数字特征来估计相应总体的数字特征的方法称为数字特征法．在实际问题中常需要对总体的数学期望)(ξE 和方差
)(ξD 进行点估计．
设),,,(21n x x x 是来自总体),(~2
σμξN 的一个样本，若总体),(~2
σμξN ，那么)(~2
n
N x σμ，．就是说，统计量x 较
每一个分量i x 更集中于均值μ附近，用x 来反映总体均值μ是合
理的，所以正态总体均值μ的估计量?μ就可选择x ，即x =μ?．同样用样本的方差2
S 作为正态总体方差2
σ的估计量2
?σ，即22?S =σ
． ∑===n
i i x n x 1
1?μ
（4）
2
2
21
1?()n
i i S x x n σ
===-∑ （5）
例1 某厂生产一批铆钉，现在检验铆钉头部的直径，从产品中抽取12只，测得直径（单位：mm ）分别为：
13.30，13.38，13.40，13.32，13.43，13.48 13.51，13.31，13.34，13.47，13.44，13.50
设铆钉头部直径总体),(~2σμξN ，其中μ和2
σ未知，用数字特征法估计μ和2
σ．
解 μ和2
σ的估计量分别为
.
41.13)50.1344.1347.1334.1331.1351.1348.1343.1332.1340.1338.1330.13(12
1
?=+++++++++++==x μ
0053
.0])41.1350.13()41.1344.13()41.1347.13()41.1334.13()41.1331.13()41.1351.13()41.1348.13()41.1343.13()41.1332.13()41.1340.13()41.1338.13()41.1330.13[(12
1
?22222
222222222≈-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-==s σ
2. 顺序统计量法
估计总体参数除数字特征法之外，还有顺序统计量法．
将样本的一组观察值),,,(21n x x x ，按大小顺序排列为
**2*1n
x x x ≤≤≤ ，取最大值*
n x 与最小值*1x 之差为R ，则称R 为样本的极差；取居中的一个数（若n 为偶数，则取居中两数的平均
值）为x ~
，则称x ~为样本的中位数，记作
?????=++==++)2()(2
1)12(~*
1**1k n x x k n x x k k k ． 统计量x ~
和R 称为顺序统计量，构成顺序统计量的方法称为顺序统计量法．
对于正态总体，用x ~
来估计μ，用R 来估计σ是较适宜的，这时，x ~
与μ?，R 和σ?有以下关系： x ~?=μ （6）
R d n
1
?=σ
（7）
其中
2
111-≈n n d n （2≤n ≤10） 例2 设某种灯泡寿命总体服从),(2σμN ，其中2,σμ未知，今随机取得6只灯泡，测得寿命（单位：h ）为
1400，1502 ，1453，1367，1650，1660
用顺序统计量法估计μ和2
σ的值．
解 按顺序排列为1367<1400<1453<1502<1650<1660，所以
5.1477)15021453(2
1
~?=+==x μ（h ）
166********R =-=
11111160.39086262
n d ≈-=≈ ?0.3908293114.52()h σ
=?= 在例2中，同样可以用数字特征法来估计μ和2
σ．
?1505.3()x h μ
== ?113.89()h σ
= 这样，对同一正态总体的均值μ和方差2
σ，用不同的方法就得到不同的估计值，这就要求我们选一种较好的估计方法．
二、估计量的评选标准 估计量是随机变量，对不同的样本观察值它有不同的估计值，这些估计值在未知参数θ的真值附近波动．我们希望估计值θ?的数学期望等于未知参数θ的真值，并且希望θ?的方差越小越好．下面给出估计量的两个评选标准． 1. 无偏性
设θ?为未知参数θ的估计量，若θθ
=)?(E ，则称θ?为θ的无偏估计量，否则就称θ?为θ的有偏估计量．
例3 证明x 是均值μ的无偏估计量． 证明 因为
111
()()n i i E x E x n n n
μμ===?=∑
所以x 为μ的无偏估计量． 例4 证明2
S 是2
σ的有偏估计量．
证明 因为 ])(1[)(1
22
∑=-=n
i i x x n E S E
n
2
i=1
1{[()()]}i E x x n μμ=---∑
∑∑==-+----=n i n
i i i x n x x x E n 11
22
])())((2)([1μμμμ }])[()({1122∑=---=n
i i x nE x E n μμ 22
211()n n n n n n
σσσ-=-?= 即 22)(σ≠S E ，所以2
S 是2
σ的有偏估计量．
在例4中，如果我们把2
S 换成2
20
1
1()1n
i i S x x n ==--∑，则220)(σ=S E ，
所以20S 为2σ的无偏估计量．今后，我们将用2
0S 代替2
S 表示样本方差．
例5 求例1中2
σ的无偏估计量． 解 2
σ的无偏估计量为
∑=--=n
i i x x n S 1
220
)(11 0058.0])41.1350.13()41.1331.13[(11
1
22=-++-=
2. 有效性
设θ的两个无偏估计量为,?,?2
1θθ如果)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2
?θ有效． 例 6 若总体2
12~(,),(,,)n N x x x ξμσ 是来自总体的一个
样本，试评价μ的两个估计量)2(11
>=∑=n x n x n
i i 与)
(2121x x +的有效性．
解
因
为
,)(μ=x E
μ=+=+)]()([2
1
]2[
2121x E x E x x E 所以x 和
2
2
1x x +都是μ的无偏估计量． 又因为 2
1)(σn
x D =
， 2)(221)]()([21]2[2221221σξ=?=+=+D x D x D x x D ，
2>n 时，2221
1σσ 21x x +有效． 一般在正态总体中，μ的估计量是用2,σx 的估计量是用2 0S ． 三、小结知识 学生练习 习题11-2 四、布置作业 习题11-2 《高等数学》课程单元教学设计(1) 教案头 单元名称：参数的区间估计学时：2 项目数理统计 学习型工作任务估计参数与假设检验 教学目标 知识目标能力目标 1.了解置信区间的概念； 2.掌握均值的区间估计； 3.掌握方差的区间估计。 分析实际问题中的参数的区间估 计。 能力训练任务及案例任务一给出一些例子, 让学生理解参数的区间估计；任务二给合实例, 让学生理解均值的区间估计； 任务三总体参数的方差的区间估计。 案例: 1.求均值的置信区间； 2.求方差的置信区间。 教学重点教学难点重点：均值的区间估计；难点：置信区间的概念。 教学组织1．先让学生联系例子, 然后引出参数的区间估计；2．介绍均值的区间估计； 3．介绍方差的区间估计； 4．归纳总结相关知识。 作业习题11-3 备注 (2) 主要教学过程 步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟 告知(教学内容、目的) 本次课要学的主要内容: 1．参数的区间估计； 2．介绍均值的区间估计； 3．介绍方差的区间估计. 目的: 分析实际问题中的参数 的区间估计。 讲授(口 述) 5 引入(任务项目) 1．写出一些现象，启发学生理 解参数的区间估计； 2．说明本次课的任务: 学会参 数的区间估计。 讲授板书15 操练（掌握初步或基本能力）总体方案： 1．介绍参数的区间估计； 2．介绍均值的区间估计； 3．介绍方差的区间估计。 教师讲解 观察图 形，教师 讲解，学 生思考并 记忆 25 深化 （加深对基本能力的体会）再次强调参数的区间估计的重 要性，加深理解。 启发、诱导 重点讲解 教师讲 解，学生 思考并记 忆 请学生归 纳总结 20 归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力. 知识点1.参数的区间估计； 知识点2：均值的区间估计； 知识点3：方差的区间估计。 教师归纳板书15 训练 （巩固、拓展、检 验）举出一个例子，计算参数的区间 估计。 启发、诱导 学生练习 解题，教 师指导 个别提问15 总结教师讲授 2 作业习题11-3 3 后记 讲稿 第三节 参数的区间估计 在点估计中，用θ?去估计θ时，其误差情况并未考虑．通常我们希望估计出θ真值所在的一个范围，并希望知道这个范围包含θ真值的概率，这种范围常用区间的形式给出，这种形式的估计称为区间估计． 一、置信区间 设θ为总体的未知参数，由样本),,,(21n x x x 确定两个统计量：),,,(2111n x x x θθ=和 ),,,(2122n x x x θθ=，使得总体参数位于区间12[,]θθ内的概率等于给定的数α-1，即 αθθθ-=≤≤1)(21P （8） 则区间12[,]θθ称为θ的α-1置信区间，1θ为置信下限，2θ为置信上限，α-1为置信水平．在 一般情况中，α取01.0，05.0，10.0等． 说明：式（8）的意义是区间12[,]θθ包含θ真值的概率为α-1．即如果我们反复抽取大小为n 的样本，对每一个样本可求得一个区间，在这些区间中约有(1)100%α-的区间包含θ的真值． 在许多实际问题中，总体都服从正态分布),(2σμN ．因此下面只介绍总体服从正态分布的参数2 ,σμ的区间估计方法． 二、均值μ的区间估计 1. 已知2 σ，对μ进行区间估计 设),,,(21n x x x 是来自正态分布),(2 σμN 的一个样本，2 σ为已知，试求μ的α-1的置信区间． 分析：给定05.0=α，问题是怎样由样本确定12θθ和，使其满足 95.01)(21=-=≤≤αθμθP （9） 根据不等式的性质，得 2 110.95x x x P n n n θμθασσσ?? ?---≤≤=-= ? ? ? ?? 令2 1 12,,x x x U n n n θθμ λλσ σ σ ---= = = ，式（9）可变为 图 11-4 95.01)(21=-=≤≤αλλU P （10） 其中 ~(0,1)U N ． 不难想到满足式（10）的21,λλ有无穷多对，我们通常选择21,λλ满足 2 )()(21α λλ= ≥=≤U P U P （11） 由于)1,0(~N U ，其密度函数图形关于纵轴对称，故满足式（11）的1λ和2λ是绝对值相等，符号相反的两个数，分别记为λ-和λ,如图11-4,则式（10）可写为 95.01)(=-=≤≤-αλλU P 即 975.02 1)(=-=≤α λU P 查标准正态分布表，得12 1.96U α λ- == ． 由 2 1 1.96x n θλλσ -= =-=-，1 2 1.96x n θλλσ -= ==, 得 n x n x σ θσ θ96 .1,96 .121+=-= 故μ的α-1的置信区间12[,]θθ为]96 .1,96 .1[n x n x σ σ +-． （12） 一般地，若),,,(21n x x x 为来自总体),(2 σμN 的一个样本，其中2 σ为已知，则确定μ的α-1的置信区间步骤如下： （1）对给定的置信水平α-1，由αλ-=≤1)(U P ，查附表1确定2 1α λ- =U ． （2）计算∑==n i i x n x 1 1，则μ的α-1的置信区间为 ],[n x n x σ λ σ λ +- （13） 例1 某车间生产的滚珠，其直径服从正态分布),(2 σμN ，06.02 =σ，从某天生产的滚 图 11-5 珠中随机抽取6个，测得直径（单位：mm ）为 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1， 分别求平均直径当05.0=α和01.0=α时，α-1的置信区间． 解 依题意，总体分布为)06.0,(μN ， 06.0, 6==σn ． 95.14)1.152.158.149.141.156.14(6 1 =+++++= x （1）当05.0=α时，查附表1得96.1975.02 1===-U U αλ，代入式（13），得μ的 95.01=-α的置信区间为]146.15,754.14[． （2）当01.0=α时，查附表1得58.2995.02 1===- U U α λ，代入式（13） ，得μ的0.99的置信区间为]208.15,692.14[． 可见，置信水平越高，置信区间就越大． 2. 未知2 σ，对μ进行区间估计 在很多实际问题中，如新产品的试制、新工艺的实施等，根本无法知道σ的值，在估计正态总体的均值μ时，不能直接用式（13）．这时可以采用以下方法： 首先用无偏估计量0S 来代替σ，可以证明统计量0 x T n S μ -= 服从自由度为1n -的(1)t n -分布，即 )1(~0 --= n t n S x T μ （14） 根据置信区间的定义，对于给定的10<<α，有 αα-=-≤1)}1({2 n t T P 即 2 {(1)}P T t n αα≥-=． 查附表2得到α-2 (1)t n ，记αλ= -2 (1)t n ，如图11-5，因此有 αλ μλ -=+≤≤-1)(00n S x n S x P 得出正态总体方差σ未知时，均值μ的 α-1的置信区间为 ],[00n S x n S x λ λ +- （15） 例2 对某种型号的飞机的飞行速 图11-6 度进行15次试验，测得最大飞行速度（m/s ）为 422.2，417.2，425.6，420.3，425.8，423.1，418.7，428.2，438.3，434.0，412.3，431.5，413.5，441.3，423.0．根据长期实践经验，最大飞行速度可以认为服从正态分布，试对最大飞行速度的均值进行区间估计（05.0=α）． 解 依题意，总体服从),(2σμN ，这时2,σμ均未知，而15=n ，141=-n ． .425)0.4233.4415.4135.4313.4120.4343.4382 .4287.4181.4238.4253.4206.4252.4172.422(15 1 =++++++++++++++= x 049 .72)23.165.115.67.1293.132.33.69.18.07.46.08.78.2(14 1 2222222 2222222220=++++++++++++++= S 488.80=S 则． 给定05.0=α，查附表2得λ== 0.052 (14) 2.145t ，代入式（15）得出μ的0.95的置 信区间为[420.3,429.7]． 三、方差2 σ的区间估计 设总体),(~2σμξN ，且μ未知，现通过样本),,,(21n x x x ，求2 σ的α-1的置信区间． 解决此类问题与求μ的置信区间的方法基本相同． （1）先找一个仅含2 σ的样本函数2 2 02 )1(σ χS n -= ，可以证明)1(~22-n χχ． （1） 根据置信区间的定义，对于给定的10<<α，有 αθσθ-=≤≤1)(221P 由不等式的性质得 αθσθ-=??? ???-≤-≤-1)1()1()1(1202 202 20S n S n S n P （16） 记 1 2 22 2 1)1(,)1(θλθλS n S n -= -= ，则式（16）可写为 λχλα≤≤=-212()1P （3）如图11-6，由于2 χ分布密度函数图像是不对称的，通常我们选择21,λλ满足 χλχλα = < >=2 221() () 2 P P 即 α χλ≥=- 21()12 P α χλ≥= 22()2 P ． 查附表3 确定)1()1(2 2 222 11-=-=-n n ααχλχλ及的值．所以2 σ的α-1的置信区间为 ?? ? ???--120220)1(,)1(λλS n S n （17） 例3 就例2中所给条件，求总体方差2 σ的α-1的置信区间（α-=10.95）． 解 2072.049,114,10.95S n α=-=-=，查附表3得 119.26)14(,629.5)14(2 025.022975.01====χλχλ， 代入公式（17）得2 σ的95.0的置信区间为[]195.179,619.38． 四、小结知识 学生练习 习题10-3 五、布置作业 习题10-3 《高等数学》课程单元教学设计 (1) 教案头 单元名称：参数的假设检验 学时：2 项目 数理统计 学习型工作任务 估计参数与假设检验 教学目标 知识目标能力目标 1.理解参数的假设检验的基本概念； 2.掌握正态总体均值的假设检验法； 3.了解正态总体方差的假设检验法。 使学生理解假设检验的基本思想，掌 握假设检验的基本方法，提高学生利 用数理统计的思想方法解决实际问 题的能力。 能力训练任务及案例任务一给出一些现象, 让学生理解参数的假设检验的基本概念；任务二给合例子, 让学生理解正态总体均值的假设检验法； 任务三了解正态总体方差的假设检验法。 案例: 1．U检验法；2.t检验法；3. 2 检验法。 教学重点教学难点重点：正态总体均值的假设检验法； 难点：对假设检验的基本思想和方法的理解。 教学组织1．先让学生联系实例, 然后分析参数的假设检验的基本概念；2．介绍正态总体均值的假设检验法； 3．介绍正态总体方差的假设检验法； 4．归纳总结相关知识。 作业习题11-4 备注 (2) 主要教学过程 步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟 告知(教学内容、目的) 本次课要学的主要内容: 1．假设检验的基本概念； 2．正态总体均值和方差的假设 检验法； 目的: 学会假设检验的计算。 讲授(口 述) 5 引入(任务项目) 1．写出一些现象，启发学生理 解假设检验的基本概念； 2．说明本次课的任务: 学会学 会假设检验的计算. 讲授板书15 操练（掌握初步或基本能力）总体方案： 1．介绍假设检验的基本概念； 2．介绍正态总体均值的假设检 验法； 3．介绍正态总体方差的假设检 验法。 教师讲解 教师讲 解，学生 思考并记 忆 25 深化 （加深对基本能力的体会） 再次强调假设检验的基本概 念的重要性，加深理解。 启发、诱导 重点讲解 教师讲 解，学生 思考并记 忆 请学生归 纳总结 20 归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力. 知识点1：假设检验的基本概 念； 知识点2：正态总体均值的假设 检验法； 知识点3：正态总体方差的假设 检验法。 教师归纳板书15 训练 （巩固、拓展、检 验）举出一个例子，计算正态总体均 值的假设检验. 启发、诱导 学生练习 解题，教 师指导 个别提问15 总结教师讲授 2 作业习题11-4 3 后记 （3）讲稿 第四节 参数的假设检验 前面我们介绍了参数估计，本节将介绍另一类重要问题——假设检验． 一、假设检验的基本思想和方法 1. 假设检验问题 例如，按国家标准，某产品的次品率不得超过1%，今从批量为200件一批的这种产品中，任取5件，发现5件中有一件次品．问这批产品的次品率P 是否符合国家标准，即我们关心的问题是01.0≤P 是否成立． 再如，某车间用包装机包装商品，额定标准净重0.5kg ．设包装机称得商品重量服从正态分布)015.0,5.0(2N ．某天随机抽取它所包装的商品9袋，称得净重为 0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512 问这天包装机的工作是否正常？在该例中我们关心的问题是：是否有kg 5.00==μμ， 22 02015.0==σσ． 假设检验进行统计推断的过程是：先对关心的问题提出一个看法，称之为统计假设，并记为0H ，然后根据样本信息，对假设的合理性进行推断． 如在第二例中，假设包装机工作正常，商品每袋重量的均值kg 5.0=μ（22 015.0=σ）， 即5.0:0=μH ．然后根据样本信息推断0H 的合理性． 2. 小概率原理 在一次试验中，如果事件A 的概率α=)(A P 很小时，A 称为小概率事件． 一般地，概率小于0.05的事件，称为小概率事件．但如果事件的发生关系到生命、财产的安全时，α要取得更小． 在生活实践中，“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”．我们把它称为小概率原理． 在假设检验过程中，若在一次试验中小概率事件发生了，我们就认为是不合理的． 3. 假设检验的方法 在上例中，我们知道即使机器正常工作，机器所包装商品每袋的净重也不会都是0.5kg ．也就是说，假设在总体中任取一个样本),,,(21n x x x 它的均值x 和0.5的差异总存在，但不会太大．若给一个适当的常数k ，k x >-5.0是不大可能出现的事件，即α=>-)5.0(k x P ，α一定很小，所以k x >-5.0是小概率事件． 如果抽取一个样本),,,(21n x x x ，恰出现了k x >-5.0的结果，则依据小概率原理，可以断言，这台机器工作不正常；反之，若出现k x <-5.0的结果，就可以断言，机器工作正常． 综上所述，得到假设检验的方法如下： （1）对需检验的问题提出原假设0H （如上例中，5.0)(:0==μξE H ）． （2）按照考察的问题要求选定一个小的正数)10(<<αα，并由下式确定k 值 α=>-)5.0(k x P （18） 其中，α为均值0.5出现显著差异的概率，称α为显著性水平； （3）通过样本值),,,(21n x x x ，计算出5.0-x ，并与k 比较，得出统计推断结论：若 k x <-5.0，接受原假设0H ；若k x >-5.0，拒绝原假设0H ． 二、一个正态总体均值的假设检验法 1. U 检验法 利用统计量)1,0(~N n x U σμ -= 来检验已知方差2σ的正态总体),(2σμN 的均值0 μμ=（已知常数）的方法称为U 检验法． 利用U 检验法检验正态总体),(2 σμN 的均值0μμ=（2σ已知）的步骤如下： （1）提出原假设00:μμ=H （0μ已知）； （2）确定显著性水平α，并通过下式确定k 值： (0.5)P x k α->= 将上式变形得 0x k n P n μασσ?? ?- ?>= ? ??? ，即k n P U ασ??>= ? ???． 令 σ αn k u = - 2 1，得12P U u αα- ?? >= ??? ，查附表1，确定12u αλ-=． （3）计算x ，比较 12 x u n αμσ - -与，得出统计推断： 若 12 x u n αμσ - -<，则接受原假设00:μμ=H ； 若 12 x u n αμσ - ->，则拒绝原假设00:μμ=H ． 也可以说，当 x n μσ-的值落入区间112 2 (,)(,)u u α α - - -∞-+∞ 内时，则拒绝原假设0H ．我 们称112 2 (,)(,)u u α α - - -∞-+∞ 为拒绝域． 例1 在第二例中，取α=0.05时，问这天包装机的工作是否正常？ 解 （1）5.0:0=μH （表示假设包装机工作正常）；则统计量9015 .05 .0-= x U ． （2）由α=0.05有120.530.050.015x P u α- ?? -?>= ??? ，查附表１得0.97512 1.96u u α-==． （3）515.0510.0511.0488.0524.0518.0506.0497.0(9 1 +++++++= x 509.0)512.0=+ 96.18.13015 .05 .0509.03015.05.0<=?-=?-= x u 所以接受5.0:0=μH ，即这天包装机工作正常． 2. t 检验法 在很多实际问题中，正态总体的方差往往是不知道的，这样上面介绍的U 检验法就失效了， 我们以2 σ的无偏估计量20S 代替2 σ，便得到新的统计量0 0x T S n μ-= ． 利用统计量00x T S n μ-= 的分布)1(-n t 来检验未知方差正态总体),(2 σμN 的均值0 μμ=（0μ为常数）的方法称为t 检验法． t 检验法的步骤与U 检验法相仿： （1）提出原假设00:μμ=H （0μ已知）． （2）确定显著性水平α，并通过() 0P x k μα->=确定k 值， 图 11-7 将上式变形得 00x k n P S S n μα?? ?-? ?> = ? ??? 即 0k n P T S α?? ?>= ? ??? 令02 2,k n t T t S ααα??= = ??? 得P >，查附表２确定2t αλ=． （3）计算x ，比较 2 (1)x t n S n αμ--与，得出统计推断： 若 2 (1)x t n S n αμ-<-，则接受原假设00:μμ=H ； 若 2 (1)x t n S n αμ->-，则拒绝原假设 00:μμ=H ． 即 拒绝 域为 2 2 (,(1))((1),)t n t n αα-∞---+∞ ，如图 11-7中阴影部分． 例2 某种零件，经测定其强度原均值为48（kg/mm 2），现由于原材料采购困难，使用了某种代用材料，抽取五个零件进行测定，其强度如下（单位：kg/mm 2）： 47.7，46.8，47.5，48.1，47.9 问零件的强度是否满足要求？（05.0=α） 解 依题意待检验假设是σμ,48=未知． （1）假设48:0=μH ． 授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 信息技术学科教学设计模板（参考） 信息技术课程教学设计案例课程名称：信息技术课程教学论 学院及系：教育科学与技术学院教育技术系 班级：06级教本二班 姓名：赵国杰 提交日期：2008年11月20日 题目：自己选择一节信息技术课程内容依据系统的教学设计理论和过程模式对其进行教学设计。 《计算机硬件组成》教学设计 一、前端分析 （一）教材内容分析 这节课是高中信息技术教材第一册基础知识中的一节，在教材中这一节叫“微型计算机系统”。是对整个计算机硬件系统和软件系统的介绍，它是针对高中学生的知识接受能力，对计算机的本质进行介绍，使学生充分了解计算机的组成和简单的工作原理，以便在学习后续知识时对知识的理解更为深刻。本节课是其中的硬件系统这一部分，主要介绍计算机由哪些硬件组成，及其各部件的功能。 （二）学习者特征分析 本节课授课对象是高一年级学生，在这之前学生已经对计算机了有一定的了解，他们认识鼠标、键盘等硬件设备，还掌握了常用的应用软件操作。但学生对计算机的系统组成、计算机内部结构认识不是很清晰，经过本课学习之后，对学生进一步了解计算机主机的外观及内部组成，及了解存储设备和输入、输出设备有很大帮助。这个年龄段的学生对电脑有着很强的好奇心，并且对学习电脑有很大的兴趣。学生的计算机水平有差距，水平高的学生和一般学生的认知能力、思维能力的不同会对教学效果有影响，所以学生通过交流互相学习。教学实施规划 二、教学目标设计 （一）知识与技能： 1．在观察实物及动手实践的基础上使学生对计算机硬件系统有直观的认识，了解计算机的硬件组成，并简单的了解其功能。? ? ? ? ? 2．培养学生自主学习、自主探索、合作学习、观察、以及总结归纳的能力。 3. 培养学生的动手实践能力，实现概念和实物的对接。 （二）过程与方法： 通过课件演示、学生交流、师生交流、人机交流等形式，培养学生利用信息技术和概括表达的能力。 _____________高等数学_______________课程教案 授课类型 理 论 课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求： 理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义 ()()∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 ,lim ,σηξσλ 几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ ?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D D D 其中:α β,是常数。 2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则 f x y d f x y d f x y d D D D (,)(,)(,)σσσ =+??????2 1 3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则： σσσ ==????1d d D D 几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 教学设计万能模板(各科均适用) 一、教学目标： 根据新课改的要求和学生已有的知识基础和认知能力，我确定的教学目标是： （1）知识与技能目标：通过自主学习____，学生能够____ （2）过程与方法目标：通过合作学习____，学生能够____ （3）情感、态度、价值观：通过探究学习____，学生能够____ 二、教学的重点和难点： 本课的教学重点：通过____学生能够掌握____ 本课的教学难点：通过____发展/提高学生____ 三、教学方法： 主要采取的教学方法：引导启发法。 在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。 四、教学过程： （一）导入新课 本课主要采用：故事导入/直接导入/游戏导入/情境导入等等 （具体怎么导入，需要简单阐述） 这种方法，不仅能引起学生的兴趣，而且能够引导学生思考，并且引出新课题。 （二）讲授新课 在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对基本的概念和知识初步感知，学习完成后，会对重要生词（语文，其他科目视具体情况而定）进行讲解，具体过程如下： （讲授第一维目标） 通过这种方法，既体现了新课改中以学生为主体的思想，又调动了学生学习的积极性。 这部分讲授完成后，开始讲解本节课的难点，也就是第二维过程与方法目标，引导学生进行探究学习，学生先进行探究学习，能够用自己的话语总结____方法。然后，结合实例，对____方法进行详细讲解，具体过程如下： （讲授第二维目标） 通过这种方法，既让学生能够深入理解这种方法，也可以增进学生之间相互帮助的情感。 （三）巩固练习 根据各科目自行设计 （四）小结 （五）作业布置 布置课后作业，包括必做题和选做题，必做题主要以基础算式为主，选做题会选用一些开放性较高，需要学生进行发散思考的问题，以满足那些学有余力的同学。 五、板书设计 板书设计采用图文并茂的形式，清晰展示全文整体结构，突出重点，彰显文章主题。 万用模板讲解 一、教学目标 1、知识与技能（专业能力） 2、过程与方法（方法能力） 3、感情态度与价值观（社会能力) A 必须具备的四个基本要素： 行为主体行为主体必须是学生而不是老师，人们判断教学有没有效益的直接依据是学生有没有获得具体的进步，而不是教师有没有完成任务。一般在写教学目标的时候行为主体可以省略，但格式必须注意如一般可以采取以下的表达：“通过……学习，能说出……”，“通过……学习，能分析归纳……”，而不是“使 高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配 第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的 教学设计模板及案例 教学设计模板（参考） 信息技术课程教学设计案例 《计算机硬件组成》教学设计 一、前端分析 （一）教材内容分析 这节课是高中信息技术教材第一册基础知识中的一节，在教材中这一节叫“微型计算机系统”。是对整个计算机硬件系统和软件系统的介绍，它是针对高中学生的知识接受能力，对计算机的本质进行介绍，使学生充分了解计算机的组成和简单的工作原理，以便在学习后续知识时对知识的理解更为深刻。本节课是其中的硬件系统这一部分，主要介绍计算机由哪些硬件组成，及其各部件的功能。 （二）学习者特征分析 本节课授课对象是高一年级学生，在这之前学生已经对计算机了有一定的了解，他们认识鼠标、键盘等硬件设备，还掌握了常用的应用软件操作。但学生对计算机的系统组成、计算机内部结构认识不是很清晰，经过本课学习之后，对学生进一步了解计算机主机的外观及内部组成，及了解存储设备和输入、输出设备有很大帮助。这个年龄段的学生对电脑有着很强的好奇心，并且对学习电脑有很大的兴趣。学生的计算机水平有差距，水平高的学生和一般学生的认知能力、思维能力的不同会对教学效果有影响，所以学生通过交流互相学习。教学实施规划 二、教学目标设计 （一）知识与技能： 1．在观察实物及动手实践的基础上使学生对计算机硬件系统有直观的认识，了解计算机的硬 件组成，并简单的了解其功能。 2．培养学生自主学习、自主探索、合作学习、观察、以及总结归纳的能力。 3. 培养学生的动手实践能力，实现概念和实物的对接。 （二）过程与方法： 通过课件演示、学生交流、师生交流、人机交流等形式，培养学生利用信息技术和概括表达的能力。 （三）情感与价值观： 1．让学生在自主解决问题的过程中培养成就感，为今后学会自主学习打下良好的基础。2．通过小组协作活动，培养学生合作学习的意识、竞争参与意识和研究探索的精神，从而调动学生的积极性，激发学生对计算机硬件的兴趣。 三、教学内容设计 教学重点：计算机的硬件系统由几大部分组成，分别包括哪些硬件，基本功能是什么？ 确定依据：根据高中生现有的接受能力以及应考要求，当给出硬件实物或图片时学生能指出名称和它们的基本作用。 教学难点：存储设备和运算设备都包括那些硬件以及它们的功能。 确定依据：这两大部件包括的硬件较多，又是计算机的核心部件，但由于这些部件大多集中于主机箱内部，学生平时很难见到学生主机箱内部部件，所以不太容易掌握，故为本节的难点。 四、教学策略分析 （一）教学方法 1. 任务驱动法 让学生在具体任务的驱动下进行学习，在完成任务的过程中掌握应掌握的知识点。本节课的教 同济大学《高等数学》 授课教案 2015年3月2日（修改稿） 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：) y （说明表达式的含义） (x f 《高等数学》课程教学大纲 授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期 适用对象：通信工程专业学生 一、课程性质与任务 本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求 通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。 三、课程教学内容 高等数学（上） 第一章函数、极限与连续（10学时） 第二章导数和微分（12学时） 第三章微分中值定理与导数的应用（12学时） 第四章函数的积分（16学时） 第五章定积分的应用（8学时） 第六章无穷级数（10学时） 高等数学（下） 第七章向量与空间解析几何（6学时） 第八章多元函数微分学（14学时） 第九章多元函数微分学的应用（10学时） 第十章多元函数积分学（I）（16学时） 第十一章多元函数积分学（II）（10学时） 第十二章常微分方程（12学时） 四、教学重点、难点 重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。 难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。 五、教学时数分配：教学时数136学时，其中理论讲授136学时，实践教学0学时。（具体安排见附表） 六、教学方式： 本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 《第二次工业革命》教学案例 【教学重点、难点】 教学重点：第二次工业革命的成就、影响；教学难点：垄断组织的评价 【教学方法】问题教学法 【教学课时】1 【教学资源】全日制普通高级中学教科书（选修）《第二次工业革命》上册课本及教参。自制教学课件 PPT3 PPT4 PPT5 PPT6 PPT7 PPT8 板书设计 一、第二次工业革命兴起的背景 1、资本主义制度在世界范围内的确立 2、资本主义经济的发展，资本主义世界市场初步形成和发展 3、19世纪自然科学的重大发展 二、第二次工业革命的主要成就和发明 三、第二次工业革命的特点 1自然科学的新发明同工业生产紧密结合 2、新技术、发明超出一国的范围,规模广泛，发展迅速 3、有的国家两次工业革命交叉进行，经济发展速度较快 四、第二次工业革命的影响 1、经济方面：促进了生产力的发展，产生了垄断组织，资本主义过渡到帝国主义阶 段 2、政治方面：资本主义国家成为垄断资产阶级利益的代表者，列强加紧对外侵略扩 张 3、社会生活：丰富了人们的生活，加剧了环境的污染 附：教学详案 创设情境，导入新课： 师生相互问好 师：同学们，我来自历史名城——鄂州市，坐公共汽车来到美丽的育才高中，公共汽车以什么作动力。（汽油，它是由石油炼成的）同学是怎样上学的？（骑自行车、坐电车）自行车的关键部件是钢制成的（有踏板和链条的脚踏车的自行车也是第二次工业时期发明），电车是以电力作动力的。 师：石油化学工业的建立、电力工业的兴起、汽车工业的产生和钢铁时代的到来都是第二次工业革命的重要成就，第二次工业革命还有哪些成就呢？它对我们的生活产生了哪些影响、又是如何改变世界的？今天我们学习第二次工业革命。 过渡：首先，我们一起探究一下第二次工业革命是怎样兴起的？ 探究一：第二次工业革命产生的背景 请同学们阅读课本，想一想第二次工业革命是在怎样兴起的？先进的社会制度是创新和发明的政治保障。 知道的请举手，还有补充的吗？ 我们归纳一下第二次工业革命兴起的背景。请看投影： 《高等数学A》课程教学大纲 课程编号：GE03025，GE03026 课程名称：高等数学A 英文名称：Advanced Mathematics 学时：课堂讲授160 （小班讨论 32） 学分：10 适用专业：全校理工学科（非数学类）各专业 课程类别：理工学科通识教育平台A组课程 先修课程：初等数学 一、课程的性质及教学目标 高等数学课程是理工类学科各专业一门必修的重要的基础理论课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 1．函数、极限、连续； 2．一元函数微积分学； 3．向量代数和空间解析几何； 4．多元函数微积分学； 5．无穷级数（包括傅里叶级数）； 6．常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程的教学内容及基本要求 教学基本要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、 “掌握”、“会”或“能”三级区分。“熟悉”一词相当于“理解”并“熟练掌握”。 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念。 2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。 3．了解反函数和复合函数的概念。 4．熟悉基本初等函数的性质及其图形。 5．能列简单实际问题中的函数关系。 6．了解极限的N -ε、δε-定义（对于给出ε求N 或δ不作过高要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。 7．掌握极限四则运算法则。 8．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 9．了解无穷小、无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 10．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。 11．了解初等函数的连续性。知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。 （二）一元函数微分学 《高等数学》教学大纲 （2010年3月讨论稿） 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求： 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用； 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求） 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 （一）课程内容 1.初等函数与非初等函数； 2.函数的特性； 3.数列的极限； 4.函数的极限； 5.极限的运算法则； 6.两个重要极限； 7.无穷小量及其性质和无穷大量； 8.无穷小量的比较； 9.函数的连续性概念和连续函数的运算； 10.函数的间断点； 11.闭区间上连续函数的性质。 （二）考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。 高等数学教案 第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准 线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我 们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义 教学设计模板 模板（一） 此模板适合当前班级集体授课形式。在进行教学设计时，教师不但要考虑教师主导作用的发挥，更要注重学生认知主体作用的体现，使他们能够在课堂教学过程中发挥积极性、主动性。 基于“教”的课堂教学设计表由4张基本表格组成（见5～8页），在填写时应注意以下几点： 1．章节名称 按照教科书上的章、节（或课）的顺序和名称填写。 在一般情况下，是以教科书上的一节（或一课）为单位进行课堂教学设计的。如果教科书上的一节（或一课）在实际教学时需要两堂以上的课（我们把它称为学时）才能完成，那么在进行课堂教学设计时，既可以统一设计、分段教学；也可以按学时分别设计、各成体系。 如《初中化学》第二章第二节：原子，统一设计时章节名称可填写为：§2.2 原子；分别设计时则为：§2.2 原子（第一学时）和§2.2 原子（第二学时）两个设计表。 2．计划学时 按照设计的授课实际需要填写。如上述统一设计，需要两堂课来完成“原子”这一节的教学内容，因此在“计划学时”栏中应填写“2”；若按照第二种分学时的设计方案，则在对应的“计划学时”栏中填写“1”。 3．教学目标 应根据本课程的课程标准（教学大纲）的要求，认真研究教学内容和分析教学对象的特点，提出本节（课）的教学目标。 一般教学目标的编写包括了认知、动作技能和情感3方面的内容。尤其是情感目标，应在深入研究教学内容的基础上，挖掘、提炼对学生思想、品德发展有积极意义的方面，因势利导、自然贴切。若本节课（尤其是理科的一些章节）和思想、情感没有直接的、必然的联系，则不必挖空心思搞形式主义。 教学目标的叙述应简洁、准确、精炼，概括性强，包括对象、行为、条件和标准四个要素。它和表下方的各知识点学习目标有着直接的关系，但又不是所有学习目标的简单相加。 另外要注意的是，教学目标涉及的范围要和上面“章节名称”栏中所确定的范围相符合。如果是一节（课）的统一设计，教学目标也应是整节（课）的；若是按学时分别设计的，则教学目标应是对应该学时教学内容的那一部分，而不是该节（课）的全部。 4．学习目标描述 学习目标描述的内容分3个部分： （1）知识点编号指该知识点的代号，它在本课程中具有惟一性。知识点编号由两部分组成：前边为章、节（或课）的代号，后边为该知识点在本节（课）中的顺序号，中间用短横线相连。如： 2.6—1 代表第二章第六节的第一个知识点； 3.2—3 代表第三章第二节的第三个知识点； 2 8—4 代表第28课的第四个知识点； 1.3.4—2 代表第一编第三章第四节的第二个知识点。 （2）学习目标指每个知识点所具有的学习目标层次。 独立学院高等数学课程体系架构的探讨 傅平董丽花 摘要：分析独立学院高等数学课程体系的现状及存在的问题，阐述对独立学院高等数学课程体系构建的原则，并就课程体系中的教学模式、教学内容、与教材建设方面提出一些方案和建议。 关键词：独立学院高等数学课程体系教学改革 独立学院是我国高等教育办学体制、办学思路、办学模式的一次大胆改革创新，它是由公办普通本科院校与社会力量采用新机制、新模式联合举办的，以开展普通本三层次学历教育为主的相对独立的二级学院。随着教育部对独立学院办学的六个独立要求，各独立学院逐步从母体分离自主办学。绝大多数独立学院的人才培养定位为应用型人才。同时，高等数学课程是理工类、经管类专业必修的基础课程，它既能为后续的相关课程奠定基础、又能培养学生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，从而提高自身的科学素质和创新精神。但是，如何针对独立学院的办学特点架构、设计高等数学的课程体系？这里要防止两个极端：一是简单化。认为独立学院的学生，只是简单的降低各项要求，从而影响学生培养质量；二是类同化。把对本一、本二的教学体系，尤其是母体高校的照搬到独立学院的学生上，没有实现因材施教的原则，最终也不能取得预期效果。笔者结合在中国传媒大学南广学院的教学实践，对独立学院高等数学的课程体系的架构提出几点看法，以供探讨。 1 独立学院高等数学课程体系的突出问题 1.1 缺乏独立且完善的教学体系 独立学院是现阶段我国教育事业的一个新生产物，目前处在高速发展时期。但大多数独立学院成立时间还不是很长，各方面的经验还不是很成熟，在教学、 管理等方面大都会借鉴甚至照搬母体高校的模式。作为基础课程的高等数学，在发展初期，一般都会照搬母体高校一致的课程体系。这和独立学院的“独立”极不协调，更不适应“高素质应用型”人才培养目标的要求。实际教学过程中经常会出现某些问题或矛盾在所难免。举例来说，由于母体学校和独立学院学生本身的差距，一个普遍的问题是难以完成与母体学校一致的教学内容，于是往往采取简单的删减课程内容，生硬的拼接教学体系等方法，以应付教学常规的需要。很明显，这样做在很大程度上破坏了基础课程的科学性、基础性与严密性，结果是学生基础课程学得不扎实，真的要用到有关知识解决问题时不会应用，也给后继的专业课学习带来许多困难。同时，又因为缺乏针对独立学院各专业教学而编写的合适教材，独立学院大都采用和母体高校一致的教材。这样做不仅限制了教师对教学内容的选取，也增加了学生学习的难度，使得一些学生对高等数学的学习更增加了畏惧和排斥的心理。 1.2 教学内容和体系一成不变 传统的高等数学课程教学强调内容的完整性和理论的严密性，这不仅不能适应适应独立学院培养目标的需要，而且也超出独立学院的学生的接受能力。尽管近年来我国的教学工作者们对数理课程的教学做了许多有益的改革与尝试。但陈旧的教学内容和体系至今没有根本的改变，突出的问题表现在经典较多、现代不足，分析推导较多、数值计算较不足，运算技巧较多、数学思想不足。目前，独立学院的高等数学教学改革一般也只是对教学内容机械性的删减和增加，即删去一些较为复杂、难懂的内容，增加一些习题的练习。比如，独立学院的高等数学教学中一些定理的证明都被删去不讲，只教给学生定理结论和其简单应用，这样做看似降低了学习难度，实际上治标不治本，反而使学生陷入模仿和死记的深渊，更本谈不上能力培养和素质培养，数学的思维方法得不到有效的训练。 2 独立学院高等数学课程体系构建原则 如前所述，独立学院的教学体系不够独立、不够完善，也没有实现因材施教的原则，难以满足独立学院人才培养的要求。必须对高等数学的课程体系进行调整和优化，其构建的原则笔者认为有以下几点： 2.1 坚持素质教育与能力培养的原则 所谓素质教育，主要是指文化素质教育，具体到高等数学课程，则是以培养 第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。 §8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 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