2015中山大学877高等数学考研真题
符号说明:试卷中R 表示实数域，C 表示复数域
1、 (20分)求下列n 阶实矩阵的行列式:
(1)A=（a ij )，其中a ij =??
???==≠其他或且,0,21,,1j i j i j i
(2) B=(b ij )，其中b ij =f f (a i ), f f (x)为首一的j 一1次实系数多项式，a 1,、、、a n 为两两不同
的实数、
2. (20分)己知实多项式242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g
(1)求Ax)的全部有理根及相应的重数;
(2)求f(x)与g(x)的首一的最大公因式( f, g ) 、
3、 (20分，设3阶复矩阵????
? ??---=3142281
232A 定义C 3，上的线性变换σ为:σ〔a) =Aa ，对
任意的3C a ∈、求σ的最小多项式以及Jordan 标准形、
4、 (20分)记R[x]S 为次数小于5的实多项式全体构成的向量空间，在R[x]S 上定义双线性函数如下
?-=1
1)()())(),((dx x g x f x g x f
1)证明:上式定义了R[x]S 上一个正定的对称双线性函数;
2)用Gram 一Schmidt 方法由32,,,1x x x 求R[x]S 的一个正交向量组;
3)求一个形如42)(x bx a x f -+=的多项式，使它与所有次数低于4的实多项式正交、
5、 (20分)设A, B M(C)为幂等矩阵，即A 2=A ，B 2=B 、
(1)证明:A-B 为幂等矩阵当且仅当AB =BA=B;
(2)证明:若AB = BA ，则AB 为幂等矩阵、反之，若AB 为幂等矩阵，是否必有AB = BA? 试证明或给出反例、
6、 (10分)设 m A A ,...1 为m 个两两可换的互不相同的n 阶实对称矩阵，且n j i A A tr ij j i ≤≤=,1,),(,δ这里tr(A)表示矩阵A 的迹，即它的对角元之和，试证明m ≤n 、
7、 (20分)设阶实矩阵A=(ij a )半正定。
(1)证明:存在n i R a n i ,...1,=∈ 使得ij a 等于i a 与j a 的内积;
(2)证明:2n 阶矩阵???
? ??A A A A 半正定; (3)若实矩阵B=(ij b ) 也半正定，令ij d = ij a ij b 证明:矩阵D=(ij d )半正定·
8、 (20分)设)(C M A n ∈·定义)(C M n 上的线性变换σ,τ:为XA AX X AX X -==)(,)(τσ，对任意的)(C M A n ∈、
(1)设A 的秩为r ，求dimKer σ;
(2)若)(C M B n ∈，满足B B =)(τ证明:B 的特征值都是零，且矩阵A 与B 至少有一个公共的特征向量、
文章摘自中山大学考研专业课：2008-2015年考研专业课真题下载的15年真题卷