2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
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1.1 椭圆及其标准方程1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2.椭圆=1的焦点坐标是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.(0,±12)D.(±12,0)解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).答案:C3.已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=()A.10B.5C.15D.25解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.答案:D4.已知椭圆=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:A5.导学号01844010已知P是椭圆=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是.解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ①∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36, ②由①②,得|PF1|·|PF2|=32.∴S=|PF1|·|PF2|=16.答案:166.若椭圆=1的焦距等于2,则m的值是.解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,所以c2=m-15,所以2c=2=2,解得m=16;当椭圆的焦点在y轴上时,同理有2=2,所以m=14.答案:16或147.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是.解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a=4,所以a=2.又c=1,所以b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:=18.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.解由9x2+5y2=45,得=1.其焦点F1(0,2),F2(0,-2).设所求椭圆方程为=1.又∵点M(2,)在椭圆上,∴=1.①又a2-b2=4, ②解①②得a2=12,b2=8.故所求椭圆方程为=1.9.导学号01844011已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①且F1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是-<x<.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2.2.1 椭圆及其标准方程1.椭圆(1)□01平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,□02这两个定点叫做椭圆的焦点,□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 应用定义解题时,不要漏掉|MF 1|+|MF 2|=2a □04>|F 1F 2|这一个条件. (2)集合的语言描述为P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a,2a □05>|F 1F 2|}. 2.椭圆的标准方程1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.( )(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中A>0,B>0,A≠B).( ) 答案(1)√(2)×(3)√(1)(教材改编P 38“椭圆的定义”)设F 1,F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=10,则动点M 的轨迹是( )A .椭圆B .直线C .圆D .线段(2)a =5,c =3,焦点在x 轴上的椭圆标准方程为________________________. (3)椭圆的方程为y 29+x 24=1,则a =______,b =______,c =________.(4)椭圆x 225+y 29=1上一点P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为________.答案 (1)A (2)x 225+y 216=1 (3)3 25 (4)6解析 (1)∵|MF 1|+|MF 2|=10>|F 1F 2|=6,由椭圆定义可知,动点M 的轨迹为椭圆.探究1 椭圆的定义例1 已知△ABC 的周长是8,且B (-1,0),C (1,0),则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29+y 28=1(x ≠±3) B.x 29+y 28=1(x ≠0) C.x 24+y 23=1(y ≠0) D.x 23+y 24=1(y ≠0) [解析] ∵|AB |+|AC |=8-|BC |=6>|BC |=2,∴顶点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则a =3,b =2 2.又∵A ,B ,C 三点不共线,∴顶点A 的轨迹方程为x 29+y 28=1(x ≠±3).拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.2.椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.【跟踪训练1】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.解设圆P的半径为r.又圆P过点B,∴|PB|=r.又∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).∴点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.∴2a=10,2c=|AB|=6,∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.即点P 的轨迹方程为x 225+y 216=1.探究2 椭圆标准方程的应用例2 若方程x 216-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( )A .-9<m <16B .-9<m <72C.72<m <16 D .m >72[解析] 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16-m >0,m +9>0,m +9>16-m ,解得72<m <16.[答案] C[条件探究] 若将例2条件“y 轴”改为“x 轴”,其他条件不变,试求实数m 的取值范围.解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16-m >0,m +9>0,16-m >m +9,解得-9<m <72.[结论探究] 如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”,怎样解答呢? 解 由题意得c 2=(m +9)-(16-m )=2m -7, 所以c =2m -7,又72<m <16,所以0<2m -7<25,c ∈(0,5), 所以焦距2c ∈(0,10). 拓展提升方程x 2m +y2n=1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,n >0,m ≠n ,表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0,m >n ,表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0,m <n .【跟踪训练2】 (1)“3<m <7”是“方程x 27-m +y 2m -3=1表示椭圆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 由方程x 27-m +y2m -3=1表示的曲线是椭圆,可得⎩⎪⎨⎪⎧7-m >0,m -3>0,7-m ≠m -3,解得3<m <7且m ≠5,所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7, 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以,“3<m <7”是“方程x 27-m +y 2m -3=1表示椭圆”的必要不充分条件.(2)已知椭圆的标准方程为x 225+y 2m2=1(m >0),并且焦距为6,求实数m 的值.解 ∵2c =6,∴c =3.当椭圆的焦点在x 轴上时,由椭圆的标准方程知a 2=25,b 2=m 2,a 2=b 2+c 2,得25=m 2+9,∴m 2=16,又m >0,故m =4.当椭圆的焦点在y 轴上时,由椭圆的标准方程知a 2=m 2,b 2=25, a 2=b 2+c 2,得m 2=25+9=34,又m >0,故m =34.综上,实数m 的值为4或34. 探究3 椭圆的标准方程例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,32); (2)a =8,c =6;(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13,13,P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12. [解] (1)由题意得,2a =(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,得a =6. 又c =2,∴b 2=a 2-c 2=32. ∴所求的椭圆的方程为x 232+y 236=1.(2)∵a =8,c =6,∴b 2=a 2-c 2=64-36=28.当焦点在x 轴上时,椭圆的方程为x 264+y 228=1;当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 264+x 228=1.故所求的椭圆方程为x 264+y 228=1或y 264+x 228=1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时,设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫-122b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=15,b 2=14.∵a 2=15<14=b 2,∴焦点在x 轴上的椭圆不存在.②当椭圆的焦点在y 轴上时,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫-122a 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=14,b 2=15.故所求椭圆的标准方程为y 214+x 215=1.[解法探究] 解答例3(1)(3)有没有其他解法呢? 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上,设所求的椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16b 2+18a2=1,a 2-b 2=4,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=36,b 2=32.∴所求的椭圆方程为x 232+y 236=1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2+By 2=1(A >0,B >0,A ≠B ).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132+B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132=1,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-122=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =5,B =4,∴所求的椭圆方程为5x 2+4y 2=1,即y 214+x 215=1. 例4 已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169,圆C 2:(x +4)2+y 2=9,动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,求动圆圆心的轨迹.[解] 如图所示,由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0),C 2(-4,0),其半径分别为r 1=13,r 2=3.设动圆的圆心为C ,其坐标为(x ,y ),动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切,依据两圆内切的充要条件,可得|C 1C |=r 1-r .①由于圆C 2与圆C 相外切,依据两圆外切的充要条件,可得|C 2C |=r 2+r .②由①+②可得|CC 1|+|CC 2|=r 1+r 2=13+3=16,即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16,且|C 1C 2|=8,可知动点C 的轨迹为椭圆,且以C 1与C 2为焦点.由题意,得c =4,a =8,∴b 2=a 2-c 2=64-16=48. ∴椭圆的方程为x 264+y 248=1,∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆,其方程为x 264+y 248=1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法:先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式,再利用定义及a 2-b 2=c 2求出参数a ,b ,最后代入椭圆标准方程.(2)待定系数法:构造a ,b ,c 三者之间的关系,通过解方程组求出a ,b .但是要注意先确定焦点所在的位置,其主要步骤可归纳为“先定位,后定量”.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ).因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的.(3)定义法:利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两点的距离,若符合,则动点的轨迹为椭圆,然后由定义确定椭圆的基本量a ,b ,c ,这就是定义法求椭圆标准方程的方法,但注意检验.(4)相关点法:当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点:设所求轨迹上动点坐标为P (x ,y ),已知曲线上动点坐标为Q (x 1,y 1).②求关系式:用点P 的坐标表示出点Q 的坐标,即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1=g (x ,y ),y 1=h (x ,y ).③代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可.【跟踪训练3】 (1)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.答案 x 2+3y22=1解析 设点A 在点B 上方,F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =1-b 2.因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的坐标为(c ,b 2),设点B 的坐标为(x 0,y 0),由|AF 1|=3|F 1B |,可得AF 1→=3F 1B →,即⎩⎪⎨⎪⎧-2c =3(x 0+c ),-b 2=3y 0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-53c ,y 0=-13b 2,代入椭圆方程可得25(1-b 2)9+19b 2=1,得b 2=23,所以椭圆方程为x 2+3y22=1.(2)求过点(-3,2)且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程.解 ∵c 2=9-4=5,焦点在x 轴上,∴设椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.∵点(-3,2)在椭圆上, ∴9a 2+4a 2-5=1,∴a 2=15, ∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24+y 23=1中,点P 是椭圆上一点,F 1,F 2是椭圆的焦点,且∠PF 1F 2=120°,求△PF 1F 2的面积.[解] 由x 24+y 23=1可知a =2,b =3,所以c =a 2-b 2=1,从而|F 1F 2|=2c =2.在△PF 1F 2中,由余弦定理得|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2-2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2,即|PF 2|2=|PF 1|2+4+2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=2a =4.② 由①②联立可得|PF 1|=65.所以S △PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2=12×65×2×32=335.[条件探究] 例5中“∠PF 1F 2=120°”改为“∠F 1PF 2=60°”,其他条件不变,应该怎样解答?解 由已知a =2,b =3, 得c =a 2-b 2=4-3=1. ∴|F 1F 2|=2c =2,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos60°,即4=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-2|PF 1|·|PF 2|cos60°. ∴4=16-3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|=4,∴S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin60°=12×4×32= 3.拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时,一般利用两个关系式:(1)由椭圆的定义可得|PF 1|,|PF 2|的一个关系式,|PF 1|+|PF 2|=2a .(2)利用正、余弦定理可得|PF 1|,|PF 2|的一个关系式. 这样我们便可求解出|PF 1|,|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|±|PF 2|,|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解,而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值,所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用.2.焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L =2a +2c .(2)在△MF 1F 2中,由余弦定理可得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2-2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2. (3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2=12|MF 1||MF 2|·sin∠F 1MF 2=b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则∠F 1PF 2的大小为________.答案 120°解析 ∵|PF 1|=4,∴|PF 2|=2a -4=6-4=2.∵|F 1F 2|=2c =27,∴在△F 1PF 2中,利用余弦定理可得, cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12,∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|).在解题过程中将|PF 1|+|PF 2|看成一个整体,可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数,因而在解决问题时,若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容,应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标,或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时,若方程不为标准方程,应先将其化为标准方程,确定a 2,b 2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a 2=b 2+c 2求出c ,即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程x 2m +y 2n=1,当m >n >0时,方程表示焦点在x 轴上的椭圆;当n >m >0时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆.特别地,当n =m >0时,方程表示圆心在原点的圆.若已知方程的形式不是标准方程,需先进行转化. 3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法; (2)待定系数法; (3)定义法; (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|+|PF 2|=2a ,利用这个关系式便可求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1.若平面内点M 到定点F 1(0,-1),F 2(0,1)的距离之和为2,则点M 的轨迹为( ) A .椭圆 B .直线F 1F 2 C .线段F 1F 2D .直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|+|MF 2|=2=|F 1F 2|,所以点M 的轨迹为线段F 1F 2.2.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,-4和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,3,则此椭圆的方程是( ) A.y 225+x 2=1B.x 225+y 2=1 C.x 225+y 2=1或x 2+y 225=1 D .以上都不对 答案 A解析 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ),则⎩⎪⎨⎪⎧925m +16n =1,1625m +9n =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =125,∴椭圆方程为x 2+y 225=1.故选A.3.椭圆25x 2+16y 2=1的焦点坐标为( ) A .(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320,0D.⎝⎛⎭⎪⎫0,±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125+y 2116=1,知焦点在y 轴上,c 2=116-125=9400,故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,±320. 4.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→,若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.答案 3解析 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1+r 2=2a ,①12r 1r 2=9,②r 21+r 22=(2c )2,③由①得r 21+2r 1r 2+r 22=4a 2,由②得r 1r 2=18,所以r 21+r 22+36=4a 2,④ ④-③得36=4a 2-4c 2,即4b 2=36, 所以b 2=9,b =3.5.点M (x ,y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x =8的距离的比是1∶2,求点M 的轨迹方程.解 设d 是点M 到直线x =8的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MF |d =12, 由此得(x -2)2+y 2|8-x |=12.将上式两边平方,并化简,得3x 2+4y 2=48, 即点M 的轨迹方程为x 216+y 212=1.。
2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2+y 2=8的焦点坐标是( ) A .(±2,0) B .(0,±2) C .(±23,0) D .(0,±23)解析:选B.椭圆标准方程为x 24+y 28=1,∴椭圆焦点在y 轴上,且c 2=8-4=4, ∴焦点坐标为(0,±2).2.椭圆x 225+y 2m=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m 的值为( )A .-16B .-4C .16D .4解析:选C.焦点在x 轴且c =3,由25=m +9,∴m =16.3.已知方程x 2k +1+y23-k=1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆,则k 的取值范围是( )A .k <1或k >3B .1<k <3C .k >1D .k <3 解析:选B.由题意知k +1>3-k >0,∴1<k <3.4.过点(-3,2)且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215+y 210=1B.x 2225+y 2100=1C.x 210+y 215=1 D.x 2100+y 2225=1 解析:选A.c 2=9-4=5,由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2+5+y 2b 2=1,代入(-3,2)得9b 2+5+4b 2=1,∴b 2=10,椭圆方程为x 215+y 210=1. 5.如图,椭圆x 225+y29=1上的点M 到焦点F 1的距离为2,N 为MF 1的中点,则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A .8B .2C .4 D.32解析:选C.由椭圆定义知|MF 1|+|MF 2|=2a =10,又|MF 1|=2,∴|MF 2|=8,由于N 为MF 1的中点,ON 为中位线,∴|ON |=12|MF 2|=4.6.已知两定点F 1(-1,0),F 2(1,0),且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项,则动点P 的轨迹方程是________.解析:由题意得:|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4>|F 1F 2|=2, ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,且a =2,c =1, ∴b 2=a 2-c 2=3,轨迹方程为x 24+y 23=1.答案:x 24+y 23=17.已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点.若|F 2A |+|F 2B |=12,则|AB |=________.解析:由于|AB |+|F 2A |+|F 2B |=4a =20,∴|AB |=20-(|F 2A |+|F 2B |)=20-12=8. 答案:88.若方程x 2k -2+y 25-k=1表示椭圆,则实数k 的取值范围是________.解析:由方程x 2k -2+y 25-k=1表示椭圆,可得⎩⎪⎨⎪⎧k -2>0,5-k >0,k -2≠5-k ,解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时,方程x 2k -2+y 25-k=1表示椭圆.答案:(2,72)∪(72,5)9.设F 1,F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上的一点,(1)PF 1⊥PF 2,且|PF 1|>|PF 2|,求|PF 1||PF 2|的值. (2)当∠F 1PF 2为钝角时,|PF 2|的取值范围.解:(1)∵PF 1⊥PF 2,∴∠F 1PF 2为直角,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20=|PF 1|2+|PF 2|2,|PF 1|+|PF 2|=6,解得|PF 1|=4,|PF 2|=2,∴|PF 1||PF 2|=2.(2)设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则r 1+r 2=6. ∵∠F 1PF 2为钝角,∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2=r 21+r 22-202r 1r 2<0,∴r 21+r 22<20,∴r 1r 2>8,∴(6-r 2)r 2>8,∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2,4).10.(1)等腰直角三角形ABC 中,斜边BC 长为42,一个椭圆以C 为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB 上,且椭圆经过A ,B 两点,求该椭圆的标准方程.(2)在△ABC 中, ∠A ,∠B ,∠C 所对的三边分别是a ,b ,c ,且|BC |=2,求满足b ,a ,c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹.解:(1)如图,设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a >b >0),有|AM |+|AC |=2a ,|BM |+|BC |=2a , 两式相加,得8+42=4a ,∴a =2+2,|AM |=2a -|AC |=4+22-4=2 2.在直角三角形AMC 中,∵|MC |2=|AM |2+|AC |2=8+16=24,∴c 2=6,b 2=4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26+42+y 242=1.(2)由已知条件可得b +c =2a ,则|AC |+|AB |=2|BC |=4>|BC |,结合椭圆的定义知点A 在以B ,C 为焦点的一个椭圆上,且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴,BC 的中点为原点O ,建立平面直角坐标系,如图所示.设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0),则m =2,n 2=22-12=3,从而椭圆方程为x 24+y 23=1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点,结合图形,易知x >0,y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24+y 23=1的右半部分(x >0,y ≠0).[能力提升]1.设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P关于y 轴对称,O 为坐标原点,若BP →=2PA →,且OQ →·AB →=1,则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2+3y 2=1(x >0,y >0) B.32x 2-3y 2=1(x >0,y >0) C .3x 2-32y 2=1(x >0,y >0)D .3x 2+32y 2=1(x >0,y >0)解析:选A.由题意Q 坐标为(-x ,y )(x >0,y >0),设A (x 0,0),B (0,y 0), 由BP →=2PA →得(x ,y -y 0)=2(x 0-x ,-y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2x 0-2xy -y 0=-2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧y 0=3y x 0=32x . 由OQ →·AB →=1得(-x ,y )·(-x 0,y 0)=1,∴x 0x +y 0y =1,把⎩⎪⎨⎪⎧y 0=3y x 0=32x 代入上述得32x 2+3y 2=1(x >0,y >0).2.设α∈(0,π2),方程x 2sin α+y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则α的取值范围是________.解析:方程x 2sin α+y 2cos α=1可化为x 21sin α+y 21cos α=1.∵椭圆的焦点在y 轴上,∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0,π2),∴sin α>cos α>0, ∴π4<α<π2. 答案:(π4,π2)3.已知F 1,F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点,P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2=π3,求△F 1PF 2的面积;(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值.解:(1)设|PF 1|=m ,|PF 2|=n (m >0,n >0). 根据椭圆的定义,得m +n =20. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2=|F 1F 2|2,即m 2+n 2-2mn ·cos π3=122,∴m 2+n 2-mn =144,即(m +n )2-3mn =144.∴202-3mn =144,即mn =2563.又∵S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2=12mn ·sin π3,∴S △F 1PF 2=12×2563×32=6433.(2)∵a =10,∴根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=20.∵|PF 1|+|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|,∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|+|PF 2|22=⎝ ⎛⎭⎪⎫2022=100, 当且仅当|PF 1|=|PF 2|时,等号成立, ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4.(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1,F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ,设|MF 2|=d .(1)证明:d ,b ,a 成等比数列;(2)若M 的坐标为()2,1,求椭圆C 的方程;(3)在(2)的椭圆中,过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,若OA →·OB →=0,求直线l 的方程.解:(1)证明:由条件知M 点的坐标为()c ,y 0,其中|y 0|=d ,∴c 2a 2+d 2b2=1,d =b ·1-c 2a 2=b 2a ,∴d b =ba,即d ,b ,a 成等比数列. (2)由条件知c =2,d =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2=a ·1a 2=b 2+2,∴⎩⎨⎧a =2b =2,∴椭圆方程为x 24+y 22=1.(3)设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),当l ⊥x 轴时,A (-2,-1)、B (-2,1),所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y =k (x +2),代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2+42k 2x +4k 2-4=0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-42k21+2k 2,x 1·x 2=4k 2-41+2k2,由OA →·OB →=0得x 1·x 2+y 1·y 2=0, x 1·x 2+k 2(x 1+2)(x 2+2)=(1+k 2)x 1·x 2+2k 2(x 1+x 2)+2k 2=0,代入得(1+k 2)(4k 2-4)1+2k 2-42k 2·2k 21+2k2+2k 2=0,解得k =± 2. 所以直线l 的方程为y =±2(x +2).。