(完整版)梁的内力计算

第四章 梁的内力 第一节 工程实际中的受弯杆

受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。

a

房屋建筑中的大梁b

简易挡水结构中的斜梁

c 小跨度公路桥地纵梁

d 机械传动装置中的蜗杆

图4-1 工程实际中的受弯杆

1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲．．。在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念

工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面．．

（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲．．．．。它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。

1.3 梁的简化——计算简图的选取

工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图．．．．。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。

梁轴线

图4-2 梁的平面弯曲

一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：

（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；

（2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；

（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：

（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a）所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用Y A表示。

（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b）所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用X A、Y A表示。

（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c）所示。这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量X A、Y A及m A来表示。图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。

A枢轴

梁

辊轴

支承垫板A

梁

A

a活动铰支座

A

b固定铰支座

A

A

m A

c固定端支座

图4-3 三种典型支座

1.4 梁的基本形式

根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：

（1）简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a））；

（2）外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b），（c））；（3）悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d））。

() 简支梁

2

() 一端外伸梁

() 两端外伸梁

() 悬臂梁

图4-4 梁的类型

这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称

为静定梁

．．．。

第二节 梁的内力——剪力和弯矩

2.1 截面法求梁的内力

为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a ）为例，梁在外力（荷载P 和反力Y A 、Y B ）作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x 处用一假想截面m-n 将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4－5（b ）可知，左脱离体A 端原作用有一向上的支座反力Y A ，要使它保持平衡，由0Y =∑和

0M =∑，在切开的截面m-n 上必然存在两个内力分量：内力Q 和内力偶矩M 。

内力分量Q 位于横截面上，称为剪力．．

；内力偶矩M 位于纵向

Y

B

图4-5 用截面法求梁的内力

对称平面内，称为弯矩．．

。 对左脱离体列平衡方程：由0Y =∑,有Y A －Q ＝0 则得

由0c M =∑，有0A Y x M ?-=

则得 A M Y x =?

注意此处是对截面形心c 取矩，因剪力Q 通过截面形心c 点，故在力矩方程中为零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n 上的内力Q 和M ，其结果与左脱离体求得的Q 、M 大小相等，方向（或转向）相反，互为作用力与反作用力关系。

为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。若从梁

m-n 处取一微段梁dx ，由于剪力Q 作用会使微段发生下错动的剪切变形。我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q 为正（如图4－6（a ）），反之为负（如图4－6（b ））；使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M 为正，反之为负（如图4－6（c ）、(d )）。

根据如上符号规定，图4－5中m-n 截面内力符号均为正。 下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。

例4－1外伸梁如图4－7（a ），已知均布荷载q 和集中力偶2m qa =,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。

(c)(d)

图4-6 剪力，弯矩的正负号规定之一

(c)

(d)

图4-7 例题4-1图

解（1）求支座反力

设支座反力Y A、Y B如图所示。

由平衡方程0

A

M=

∑5

20

2

B

Y a m qa a

?--?=

得

7

4

B

Y qa

=

由0

Y=

∑0

A B

Y Y qa

-+-=

得

3

4

A

Y qa

=

由0

B

M=

∑校核支座反力

2

2

3

220

242

A

a qa

Y a m qa qa a qa

?--?=?--=

所求反力无误。

（2）求1-1截面内力

由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力Q1和弯矩M1均．

为正

．．，如图4-7（b）所示。

由0

Y=

∑10

A

Y Q

--=

得 13

4A Q Y qa =-=-

由10M =∑ 10A Y a M m ?+-=

得 2221344

A q

M m Y a qa qa a =-?=-=

求得的Q 1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M 1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。 （3）求2-2截面（B 截面右侧一点）内力

由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q 2和弯矩M 2均设为正，如图4-7（c ）。 由0Y =∑ 20Q qa -= 得 2Q qa =

由 20M =∑ 202

a

M qa --?

= 得 2

22

qa M =-

（4）求3-3截面（D 截面左侧边一点）内力

取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D 点，线分布力q 的分布长度趋于0，则3-3截面上Q 3＝0，M 3＝0。

2.2截面法直接由外力求截面内力的法则

上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件0Y =∑的含义为：脱离体上所有外力和内力在Y 轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力

Q 为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则： （1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即

Y Q Y =∑∑左侧外力右侧外力（或）

（4-2-1）

代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力，如图4-8（a ）所示，截面上的剪力为正。

同样，脱离体平衡条件0c M =∑的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形心取力矩的代数和为零。其中只有弯矩M 为未知量，移到方程右边即得直接由外力求任一截面弯矩的法则：

(b )外Q

(+)

P

M (+)

(a )

图4-8 剪力，弯矩的正负号规定之二

左上右下

剪力为正

左顺右逆

弯矩为正

（2）某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即

M c c M M =∑∑右侧外力左侧外力（或）

（4-4-2）

代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆

时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图4-8（b ）所示，截面上的弯矩为正。

这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式（4-2-1）和（4-2-2）直接由截面左侧（或右侧）外力计算任一截面剪力和弯矩。此两法则是由截面法推出的，但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。读者可用此方法验证例4-1的结果是否正确。

第三节 剪力图与弯矩图

在一般情况下，梁截面上的内力（剪力和弯矩）随截面位置x 的不同而变化，故

横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置x的函数，即

==

(),()

Q Q x M M x

通常把它们分别叫做剪力方程

．．．．。在写这些方程时，一般是以梁左端为

．．．．和弯矩方程

x坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。

由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。为了形象地表示剪力、

弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图

．．．。

．．．和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁横截面沿轴线的位置为横坐标x，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q＝Q（x）或M＝M（x）的曲线。绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x轴上侧，负号剪力画在x轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x轴的下侧，负弯矩画在x轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。弯矩图可以不注正负号。

由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。

例4-2 作图4-9（a）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。

ql 2

ql

2=177.5kN

图

图

ql

2=276.9kN.m

2

()

()

()

图4-9 例题4-2图

解 （1）求支座反力 由0Y =∑和对称条件知

2

A B ql Y Y ==

（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A 为原点，并将x 表示在图上。

()()02

A ql

Q x Y qx qx x l =-=

-<< （a ） ()()2

0222

Ax x ql qx M x Y qa x x l =-?=-≤≤ （b ）

注意，由于反力/2A Y ql =的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的剪力和弯矩，因此在式（a ）和式（b ）中它们的符号均为正；由于均布荷载q 的指向是朝下的，它将使左段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q

的合力为分布力图的面积qx ,且作用在分布力图的形心

2

x

处，而分布力对截面形心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的距离即2x

qx ?，因此在式（a ）中

的qx 项和式（b ）中的2

2

qx 项都带负号。

（3）作剪力图和弯矩图

从式（a ）中可知，Q(x )是x 的一次函数，说明剪力图是一条直线。故以x ＝0

和x l =分别代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分别为

()02

A A x ql Q Y →== ()22

B B x l ql ql

Q ql Y →=

-=-=- 由这两个控制数值可画出一条直线，即为梁的剪力图，如图4-9（b ）所示。 从式（b ）可知弯矩方程是x 的二次式，说明弯矩图是一条二次抛物线，至少需由三个控制点确定。故以x ＝0，x ＝l/2，x =l 分别代入式（b ）得

00,x M == 2

2

8

l

x ql M

=

=， 0x l M == 有了这三个控制数值，就可画出式（b ）表示的抛物线，即弯矩图，如图4-9（c ）所示。

对于初学者，为便于作图，可先将上面求得的各控制点的Q 、M 值排列如下表的示，然后根据表中数据及剪力方程和弯矩方程所示曲线的性质作出剪力图和弯矩图。

由作出的剪力图和弯矩图可以看出，最大剪力发生在梁的两端，并且其绝对值相等，数值为max ql

Q =

；最大弯矩发生在跨中点处（Q ＝0），2max /8M ql =。

将已知的56.9/q kN m =和l =6.24m 分别代入可得

max 56.9 6.24177.522

ql Q kN ?=== 22max

56.9 6.24276.988

ql M kN m ?===? 例4-3作图4-10（a ）所示简支梁受集中力P 作用的剪力图及弯矩图。

(a )

图

(b )

(c )

图

pb l

pa l

pab l

图4-10 例题4-3图

解 （1）求支座反力

由 0B M =∑ 求得A Pb Y l = 由 0A M =∑ 求得B Pa

Y l =

（2）分段列剪力方程和弯矩方程

由于C 处作用有集中力P ，AC 和CB 两段梁的剪力方程和弯矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和弯矩方程：

AC 段：()A Pb

Q x Y l

== （0

M x Y x l

==

(0x a ≤≤) (b ) CB 段：()

()A Pb l b Q x Y P P P

l l

-=-=-=- Pa

l

=- （a

()()()A Pb

M x Y x P x a x P x a l

=--=--

Pa

Pa x l =- (a x l ≤≤) (b′) (3)根据Q 、M 方程作Q 、M 图

由式（a ）、（a′）知，两段梁的剪力均为常数，故剪力图为平等于 x 轴的水平线，由（b ）、(b′)知，两段梁弯矩为x 的一次函数，故弯矩图图形为斜直线。

计算各控制点处的剪力和弯矩见下页表。并作出剪力图和弯矩图，如4-10（b ）、(c )所示。

由图可知，若a >b ，则最大剪力发生在BC 段，即max /Q Pa l =。而最大弯矩发生在力P 作用截面处，max /M Pab l =；若a =b ,即当梁中点受集中力时，最大弯矩发生在梁中点截面上，max /4M Pl =。

由图还可看出，在集中力P 作用的截面C 处，弯矩图的斜率

发生突变，形成尖角；同时剪力图上的数值也突然由l +变为l

-。这种突变

现象的发生是由于我们假设集中力P 是作用在梁的一“点”上。实际上，集中荷载不可能只作用在梁的一“点”上，而是作用在梁的一段微小的长度上，而剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。图4-11表示出梁在这种荷载作用下的剪力图和弯矩图的实际情况：剪力图是连续变化（如图4-11（b ））的，而弯矩图是一段光滑曲线（如图4-11（c ））。由于设计时需求的是最大剪力和弯矩，将这种微小长度上实际分布荷载简化为作用于一点的集中力会给内力计算带来方便，并且引起的误差很小。同时可知，由于集中力处剪力突变，故剪力方程式（a ）中x 的变化为开区间（即0

(a )(b )

(c )

B

图4-11 在集中力作用下图与图的实际形状

例4-4图4-12（a ）所示简支梁在C 截面上受集中力偶m 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解（1）求支座反力假设反力Y A 、Y B 方向如图所示。

图

图

(b )

(c )

m l

mb l

ma l

图4-12 例题4-4图

由0,0,B A M Y l m =-=∑ 得A m Y l

=

。 由0,A M =∑ 0B m Y l --=，得B m

Y l =-。

求得的支座反力Y B 带有负号，说明它的实际方向与图中假设方向相反，由此可

知Y A 与Y B 组成一个力偶与外力偶m 平衡。

（2）分别列Q 、M 方程以梁左端A 为坐标原点。由于全梁只有集中力偶m 作用，故只有一个剪力方程

()m

Q x l

=

（0

AC 段 ()A m

M x Y x x l

==

（0x a ≤p ） (b ) CB 段 11()A m

M x Y x m x m l =-=- （1a x l ≤p ） (b ′)

（3）根据Q 、M 方程作Q 、M 图

计算各控制点处Q （x ）和M (x )的值（见附表），并作剪力图和弯矩图，如图4-12（b ）、（c ）所示。

由图可见，当b>a 时，在集中力偶m 作用处的右侧横截面上的弯矩为最大。

max mb

M l

=-

当集中力偶作用在梁的一端，例如左端（如图4-13（a ））时，其剪力图无变化（图4-13（b ）），但弯矩图将变为一倾斜直线（如图4-13（c ））。

图

(b )

m l

图

(c )

图4-13 作用在梁的一端时的

图

由此例可看出，在集中力偶作用处剪力图不变，而弯矩图发生突变。

第四节 荷载、剪力和弯矩间的关系

如图4-14（a ）所示的梁、受向上分布荷载q （x ）作用，若用垂直于梁轴线且相距为dx 的两个假想截面m -m 和n -n 由梁x 处切出一微梁段。因dx 非常微小，在微段上作用的分布荷载q (x )可看做是均布的，设截面左边内力分别为Q （x ）、

M (x )，则右边内力相对左边有一增量，故为()()Q x dQ x +、()()M x dM x +，且都

假设为正值，如图5-14（b ）所示，根据微

(a )

(x )

(x)+dM (x )

M (x)

图4-14 和间的微分关系

段平衡条件，由0Y =∑，有

[]()()()()0Q x q x dx Q x dQ x +-+=

整理可得 ()

()dQ x q x dx

= （4-4-1） 由0o M =∑，有

[]()()()()()02

dx

M x Q x dx q x dx M x dM x ++?

-+= 忽略高阶微量2()2

d x

q x 一项，整理可得

()

()dM x Q x dx

= （4-4-2） 对式（4-4-2）再求一次导数并由式（4-4-1）可得

22

()

()dM x q x dx = （4-4-3） 此三式就是荷载集度q （x ），剪力Q （x ）和弯矩M （x ）间的微分关系。由以上分析可知，它们的力学意义是平衡方程。一阶导数的几何意义是图形的斜率。因此式（4-4-1）和（4-4-2）说明：剪力图上一点处的斜率等于梁上该点处的荷载．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

集度．．；弯矩图上一点处的斜率等于梁上该点处的剪力．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹向。因此式（4-4-3）说明：弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．q ．(．x ．)．符号来决定．．．．．。注意，这里荷载的符号和坐标指向的规定为：分布荷载向上为正，x 轴向右为正，剪力图的Q 轴向上为正，弯矩图的M 轴则以向下为正。即M 互在梁受控一侧，这是与其它内力图不同之处

根据以上微分关系可将剪力图和弯矩图的规律归纳如表4-1所示。利用表4-1可以校核剪力图和弯矩图。

例题4-5梁的荷载及剪力图、弯矩图如图4-15所示，试用微分关系校核其正确性。

P 2=60kN

图4-15 例题4-5图

解（1）由平衡方程求反力得75A Y k =N ，25B Y K =N 。 （2）列表校核如下：

221 2.54.52 3.5 2.5 2.52

E B M Y q P q =-?-?+?

2

2.54.525220

3.560 2.5302

=?-??-?+?

83.8k m =-N?

222 1.2520

1.25 1.2525 1.2522

G B q M Y ?=-=?-?

15.6k m =N?（看右脱离体）

各梁段或截面的内力变化均与表4-1相符，所作Q 、M 图正确。

由式（4-4-1）可得在x =a 和x =b 处两截面间的积分为()()b

b

a

a

dQ x q x dx =??，

也可写成

()()()b

a Q

b Q a q x dx -=? （4-4-4）

同理，由式（4-4-2）可得

()()()b

a M

b M a Q x dx -=? （4-4-5）

式（4-4-4）和（4-4-5）表示荷载集度q(x )、剪力Q （x ）和弯矩 例题4-5的附表

(完整版)梁的内力计算

第四章 梁的内力 第一节 工程实际中的受弯杆 受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图 4 — i 中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（ a 表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结 构，其中支撑楼板的大梁 AB 受到由楼板传递来的均布荷载 口；图（b ）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁 AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c ）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（ d ）表示的是机械中 的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩 m 的作用。 1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面 内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受 弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念 工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对.. 称面（如图4 — 2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本 的弯曲问题。 1.3 梁的简化一一计算简图的选取 工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样， 较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进 行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。 a 房屋建筑中的大梁 c 小跨度公路桥地纵梁 图4-1 b 简易挡水结构中的斜梁

连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

附表25：等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）。 弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例） 一、名词解释 弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。 （一）线刚度i 杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ： （a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=； （c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB =； （d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。 （二）转动刚度S 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。施力端只能发生转角，不能发生线位移。AB S 中的第一个 角标A 是表示A 端，第二个角标B 是表示杆的远端是B 端。AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。 （三）分配系数μ

各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。 Aj μ称为分配系数，如AB μ表示杆AB 在A 端的分配系数。它表示AB 杆的A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB 的转动刚度与交于A 点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点A 的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A 端。 （四）传递系数C ij C 称为传递系数。传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C 得出远端弯矩。 当远端为固定的边支座或为非边支座2 1=C ； 当远端为滑动边支座 1-=C ； 当远端为铰支边支座 0=C 。 节点A 作用的外力矩M ，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 （五）杆端弯矩 弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的最后总的效果。 计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。其上作用的荷载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力和二个弯矩。这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。 （六）近端弯矩和远端弯矩

受静载荷梁的内力及变位计算公式

受静载荷梁的内力及变位计算公式 符号意义及正负号规定简图 P——集中载荷 q——均布载荷 R——支座反力，作用方向向上者为正 Q——剪力，对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正 M——弯矩，使截面上部受压，下部受拉者为正 θ——转角，顺时针方向旋转者为正 f——挠度，向下变位者为正 E——弹性模量 I——截面的轴惯性矩 a、b、c——见各栏图中所示 简图 支座反力、 支座反力矩 区段剪力弯矩挠度转角 R B＝P M B＝-Pl Q x＝-P M x＝-P x R B＝P M B＝-Pb AC Q x＝0M x＝0 CB Q x＝-P M x＝-P(x-a) R B＝nP R B＝ql Q x＝-qx R B＝qc M B＝-qcb AC Q x＝0M x＝0

CD Q x＝-q(x-d)

DB Q x＝-qc M x＝-qc(x-a) AC CB R B＝0 M B＝M x＝-M Q x＝0M x＝-M ω值见表梁分段的比值及ω的函数表； a、b、c——见各栏中所示 简图 支座反力、 支座反力矩 区段剪力弯矩挠度转角R A＝R B＝ AC CB R A＝ R B＝ AC CB M x＝Pa(1-ξ) M C＝M max＝

R A＝R B＝P AC Q x＝ P M x＝Px CD Q x＝0 M x＝M max＝Pa AC CD DB若a＞c： 当n为奇数： 当n为偶数： 当n为奇数： 当n为偶数： 当n为奇数： 当n为偶数： 当n为奇数： 当n为偶数：

R CD Q x＝0 R A＝R B ＝ AC CD AC CD DB R A＝R B＝qc AC Q x＝qc M x＝qcx CD DE Q x＝0M x＝M max＝qcb

横隔梁内力计算算例

横隔梁内力计算 例1 用偏压力法计算图5中所示装配式钢筋混凝土简支梁桥跨中横隔梁在公路-Ⅱ级汽车荷载作用下的弯矩M 2-3和剪力Q 1右。 图5 1．确定作用在中横隔梁上的计算荷载 跨中横隔梁的最不利荷载布置如图6所示。 纵向一列车道荷载对中横隔梁的计算荷载为： 汽车荷载 )85.420.12 15.1075.00.18.19875.0(21?????+??=oq P =88.85 kN 图6跨中横隔梁的受载图式 2．绘制中横隔梁的内力影响线 在例3中已经算得①号梁的横向影响线竖坐标值为： 11η=0.60，15η=-0.20 同理可算得②号梁和③号梁的横向影响线竖坐标值为：

21η=0.40，25η=0.00 31η=0.20，35η=0.20 (1)绘制弯矩影响线 对于②号和③号主梁之间截面的弯矩M 2-3影响线可计算如下： P=1作用在①号梁轴上时： 64 .0 6.15.16.15.04.06.15.16.0 5.115.05.121111)32(-=?-??+??=?-?+?=-d d d M ηηη P=1作用在⑤号梁轴上时： 48 .0 6.15.006.15.1)20.0( 5.05.125155)32(-=??+??-=?+?=-d d M ηηη P=1作用在③号梁轴上时(20.0332313===ηηη)： 64 .0 6.15.020.06.15.120.0 5.05.123133)32(=??+??=?+?=-d d M ηηη 有了这三个竖标值和已知影响线折点位置(即所计算截面的位置)，就可绘出M 2-3影响线，如图7a 所示。 (2)绘制剪力影响线 对于①号主梁处截面的右 1Q 影响线可计算如下： P=1作用在计算截面以右时： 11R Q =右 即 i Q i 11ηη=右 (就是①号梁荷载横向影响线) P=1作用在计算截面以左时： 111-=R Q 右 即 111-=i Q i ηη右 绘成右 1Q 的影响线如图7b 所示。 3．截面内力计算 将求得的计算荷载P oq 在相应的影响线上按最不利荷载位置加载，对于汽车荷载并计入冲击作用(l+μ)，则得： 弯矩M 2-3： 汽车荷载 ∑+=-ηξμoq P M )1(32=1.215×1.0×88.85×(0.92+0.29)=130.6 kN.m 剪力右 1Q ：

ANSYS四跨连续梁的内力计算教程

AＮSYS四跨连续梁的内力计算 四跨连续梁模型图如下所示，各个杆件抗弯刚度EＩ相同，利用平面梁单元分析它的变形和内力 1.结构力学分析 利用结构力学方法可以求出这个连续梁的剪力图和弯矩图如下

这里只给出了梁的弯曲刚度相同条件，没有指定梁截面的几何参数和材料的力学性质。从结构力学分析的条件上看,这些条件对于确定梁的内力已经足够，但是对于梁的变形分析和应力计算，还需要补充材料的力学参数和截面几何参数。所以以下分析中，假定梁的截面面积位0.3m2，抗弯惯性矩为0．003m4，截面高度为０．1m；材料的弹性模量为１0０0ｋN／ｍ２，泊松比为0.3。补充这些参数对于梁的内力没有影响，但是对于梁的变形和应力是有影响的。 2.用节点和单元的直接建模求解 按照前面模型示意图布置节点和单元,在图示坐标系里定位节点的坐标和单元连接信息,以及荷载作用情况和位移约束。由于第二跨中间有两个集中力，所以在集中力位置设置两个节点。这样，就可以将这两个集中力直接处理成节点荷载。对于平面梁单元的节点只需输入平面上的两个坐标值，所以这里只输入节点的x坐标和y坐标。 （1）指定为结构分析 运行主菜单中ｐrefeｒencｅ偏好设定命令，然后在对话框中,指定分析模块为strｕｃtural结构分析，然后单击ok按钮

（2）新建单元类型 运行主菜单preｐｒoceｓｓor—ｅlement ｔｙpe—ａdd／edit/delete命令，接着在对话框中单击aｄd按钮新建单元类型 （3）定义单元类型 先选择单元为ｂeam,接着选2d elａｓtｉc3,然后单击oｋ按钮确定，完成单元类型的选择

（4）关闭单元类型的对话框 回到单元类型对话框,已经新建了beam3的单元,单击对话框cloｓe按钮关闭对话框 （5）定义实力常量 运行主菜单prepｒｏｃｅsｓoｒ—ｒｅａl cｏnsｔａｎts—add／eｄit/dｅleｔe命令,接着在对话框中单击add按钮新建实力常量

全预应力混凝土简支梁设计算例

全预应力混凝土简支梁设计算例 一、设计资料 1. 桥梁跨径及桥宽 标准跨径：m L k 30=（墩中心距），主梁全长：L =29.96m ，计算跨径：f L =29.16m ，桥面净宽：净9+2×1m 。 2. 设计荷载 公路—Ⅱ级车辆荷载，人群荷载3.5KN/m 2 ，结构重要性系数1.10=γ。 3. 材料性能参数 （1）混凝土 强度等级为C40，主要强度指标为： 强度标准值 MPa f MPa f tk ck 4.2,8.26== 强度设计值 MPa f MPa f td cd 65.1,4.18== 弹性模量 MPa E c 41025.3?= ⑵ 预应力钢筋采用1×7标准型_15.2_1860_II_GB/T 5224——1995钢绞线， 其强度 指标为： 抗拉强度标准值 MPa f pk 1860= 抗拉强度设计值 MPa f pd 1260= 弹性模量 MPa E p 5 1095.1?= 相对界限受压区高度 4.0=b ξ ⑶普通钢筋采用HRB335钢筋，其强度指标为： 抗拉强度标准值 MPa f sk 335= 抗拉强度设计值 MPa f sd 280= 弹性模量 MPa E s 5 100.2?= 4.主梁纵横截面布置 各部分截面尺寸 跨中截面毛截面几何性质为：截面面积c A =0.7018×106 mm 2 ；截面重心至构件上缘的距离cs y =475.4

mm ； 截面重心至构件下缘的距离cx y =824.6 mm ； 截面惯性矩c J =0.1548×1012 mm 4 。 5.内力计算 主梁内力计算的方法将在《桥梁工程》中进一步学习，在此仅列出内力计算的结果。 (1)恒载内力 按预应力混凝土分阶段受力的实际情况，恒载内力按下列三种情况分别计算： ①预制主梁（包括横隔梁） m KN g /66.1635.13.151=+= ②现浇混凝土板自重 m KN g /25.22= ③后期恒载（包括桥面铺装、人行道及栏杆等） m KN g /51.624.027.63=+= 恒载内力计算结果如表1所示。 表1 恒载内力计算结果 活载内力计算结果如表2所示。 表2 活载内力计算结果 注：车辆荷载按密集运行状态A 级车道荷载计算，冲击系数1188.11=+μ。活载内力以2号梁为准。 (3)内力组合 ①基本组合（用于承载能力极限状态计算） K Q K Q K G K G K G d M M M M M M 2132112.14.1)(2.1++++=

#简支T梁内力计算和结果比较

简支T 梁内力计算及结果对比 一、桥梁概况 一座九梁式装配式钢筋混凝土简支梁桥的主梁和横隔梁截面如图1-1所示，计算跨径29.5l m =，主梁翼缘板刚性连接。设计荷载：公路—I 级，人群荷载：3.0/kN m ， 每侧的栏杆及人行道构件自重作用力为5/kN m ，桥面铺装5.6/kN m ，主梁采用C50混凝土容重为25/kN m 。 （a ） （b ） 图1-1主梁和横隔梁简图（单位：cm ） 二、恒载内力计算 ㈠．恒载集度 主梁：()10.080.140.18 1.30 1.600.18259.76/2g kN m ?+??? =?+?-?= ??????? 横隔梁： 对于边主梁：()12 1.600.18 1.000.110.1572529.500.56/2 g kN m -=-? ???÷= 对于中主梁：2 122220.56 1.12/g g kN m =?=?= 桥面铺装：3 5.6/g kN m =

栏杆和人行道：45/g kN m = 作用于边主梁的全部恒载为： 19.760.56 5.6520.92/i g g kN m ==+++=∑ 作用于中主梁的恒载为： 29.76 1.12 5.6521.48/i g g kN m ==+++=∑ ㈡．恒载内力 计算主梁的弯矩和剪力，计算图式如图2-1所示，则： ()222x gl x gx M x gx l x = ?-?=-，()222 x gl g Q gx l x =-=- g 图2-1 恒载内力计算图式 各计算截面的剪力和弯矩值见表2-1和表2-2。 边主梁恒载内力 表2-1 内力 截面位置 剪力()Q kN 弯矩()M kN m ? 0x = 308.572 gl Q = = 0M = 4l x = 154.294 gl Q == 2 31706.7832gl M == 2 l x = 0Q = 2 2275.708 gl M == 中主梁恒载内力

ANSYS四跨连续梁的内力计算教程

ANSYS四跨连续梁的力计算 四跨连续梁模型图如下所示，各个杆件抗弯刚度EI相同，利用平面梁单元分析它的变形和力 1.结构力学分析 利用结构力学方法可以求出这个连续梁的剪力图和弯矩图如下

这里只给出了梁的弯曲刚度相同条件，没有指定梁截面的几何参数和材料的力学性质。从结构力学分析的条件上看，这些条件对于确定梁的力已经足够，但是对于梁的变形分析和应力计算，还需要补充材料的力学参数和截面几何参数。所以以下分析中，假定梁的截面面积位0.3m2，抗弯惯性矩为0.003m4，截面高度为0.1m；材料的弹性模量为1000kN/m2，泊松比为0.3。补充这些参数对于梁的力没有影响，但是对于梁的变形和应力是有影响的。 2.用节点和单元的直接建模求解 按照前面模型示意图布置节点和单元，在图示坐标系里定位节点的坐标和单元连接信息，以及荷载作用情况和位移约束。由于第二跨中间有两个集中力，所以在集中力位置设置两个节点。这样，就可以将这两个集中力直接处理成节点荷载。对于平面梁单元的节点只需输入平面上的两个坐标值，所以这里只输入节点的x坐标和y坐标。 （1）指定为结构分析 运行主菜单中preference偏好设定命令，然后在对话框中，指定分析模块为structural结构分析，然后单击ok按钮

（2）新建单元类型 运行主菜单preprocessor—element type—add/edit/delete命令，接着在对话框中单击add 按钮新建单元类型 （3）定义单元类型 先选择单元为beam，接着选2d elastic 3，然后单击ok按钮确定，完成单元类型的选择

（4）关闭单元类型的对话框 回到单元类型对话框，已经新建了beam3的单元，单击对话框close按钮关闭对话框 （5）定义实力常量 运行主菜单preprocessor—real constants—add/edit/delete命令，接着在对话框中单击add 按钮新建实力常量

跨连续梁内力计算程序程序

六跨连续梁内力计算程序 说明文档

一．程序适用范围 本程序用来解决六跨连续梁在荷载作用下的弯矩计算。荷载可以是集中力Fp（作用于跨中）、分布荷载q（分布全垮）、集中力偶m（作用于结点）的任意组合情况。端部支承可为铰支或固支。 二．程序编辑方法 使用Turbo C按矩阵位移法的思路进行编辑，用Turbo C中的数组来完成矩阵的实现，关键的求解K⊿=P的步骤用高斯消元法。 三．程序使用方法 运行程序后，按照提示，依次输入结点编号，单元编号，单元长度，抗弯刚度（EI的倍数），集中力，均部荷载，集中力偶，各个数据间用空格隔开，每一项输入完毕后按回车键，所有数据输入完毕后按任意键输出结果。 输出结果中包括输入的数据（以便校核），角位移的值（以1/EI为单位）以及每个单元的左右两端弯矩值。 四．程序试算 1．算例1 算力图示： 输入数据： 结点：1 2 3 4 5 6 0；单元：1 2 3 4 5 6；长度：4 6 6 8 4 6； EI：1 1 2 1 ；Fp：0 12 8 0 6 0；q：8 0 0 4 0 6；m：0 0 -8 0 10 0 0 运行程序如下：

结果为： 角位移为：1 (11.383738,-1.434142,-8.980504,14.053733,-10.192107,10.048027,0)EI 单元编号 1 2 3 4 5 6 左端弯矩 右端弯矩 2． 算例2 算例图示： 6EI 8kN/m 4m 3m 2m 8m kN/m 123 6547 4kN/m 3m 3m 3m 2m 6m 12kN 8kN 8kN.m 6kN 10kN.m EI EI EI 1.5EI 1.52EI 输入数据： 结点：0 1 2 3 4 5 6； 单元：1 2 3 4 5 6； 长度：4 6 6 8 4 6； EI ：1 1 2 1 ； Fp ：0 12 8 0 6 0； q ：8 0 0 4 0 6； m ：0 0 -8 0 10 0 0

桥梁设计计算实例

Henan Polytechnic University 、 钢筋混凝土简支T形梁桥设计 1 基本资料 1.1公路等级：二级公路 1.2主梁形式：钢筋混凝土T形简支形梁 1.3标准跨径:20m 1.4计算跨径：19.7m 1.5实际梁长：19.6m 1.6车道数：二车道 1.7 桥面净空 桥面净空——7m+2×0.75m人行道 1.8 设计依据 （1）《公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2004）》，简称《桥规》。 （2）《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范（JTG D62-2004）》,简称《公预规》。 （3）《公路桥涵地基与基础设计规范(JTJ 124-85)》,简称《基规》。

2 具体设计 2.1 主梁的详细尺寸 主梁间距：1.7m 主梁高度：h=（ 111～118）l=（1 11～118 ）20=1.82～1.1（m ）（取1.8） 主梁肋宽度：b=0.2m 主梁的根数：（7m+2×0.75m ）/1.7=5 2.2行车道板的内力计算 考虑到主梁翼板在接缝处沿纵向全长设置连接钢筋,故行车道板可按两端固接和中间铰接的板计算。 已知桥面铺装为2cm 的沥青表面处治（重力密度为23kN/m 3）和平均9cm 厚混泥土垫层（重力密度为24kN/m 3），C30T 梁翼板的重力密度为25kN/m 3。 2.2.1结构自重及其内力（按纵向1m 宽的板条计算） ） ①每米延板上的恒载1g 沥青表面处治：1g =0.02×1.0×23=0.46kN/m C25号混凝土垫层：2g =0.09×1.0×24=2.16kN/m T 梁翼板自重：3g =（0.08+0.14）/2×1.0×25=2.75kN/m 每延米板宽自重：g= 1g +2g +3g =0.46+2.16+2.75=5.37kN/m ②每米宽板条的恒载内力： 弯矩：M g m in,=-21gl 20=-2 1×5.37×0.712=-1.35kN.m 剪力：Q Ag =g·l 0=5.37×0.71=3.81kN 2.2.2汽车车辆荷载产生的内力 公路II 级：以重车轮作用于铰缝轴线上为最不利荷载布置，此时两边的悬臂板

结构力学连续梁程序计算

1.用连续梁程序计算连续梁的内力，作弯矩图. 输入数据： 3 4 2 2 20 4 20 4 20 4 20 60 2 60 3 -12 0 1 2 -30 2 3 1 输出结果： *************连续梁内力计算***************** 单元数= 3 支承类型= 4 节点荷载个数= 2 非节点荷载个数= 2弹性模量= 20.0000 杆长,惯性矩GC(NE),GX(NE) 4.000 20.000 4.000 20.000 4.000 20.000 节点荷载大小,对应未知数序号PJ(I,1),PJ(I,2) 60.000 2.000 60.000 3.000 非结点荷载值,距离,单元号,荷载类型号

-12.000 .000 1.000 2.000 -30.000 2.000 3.000 1.000 ：：：：：：：：：位移：；：：：：：：：： 结点号= 1 .0000 结点号= 2 .0692 结点号= 3 .0233 结点号= 4 .0000 .................各单元杆端内力.................... 单元号= 1 左端弯矩= 13.833 右端弯矩= 27.667 单元号= 2 左端弯矩= 32.333 右端弯矩= 23.167 单元号= 3 左端弯矩= 36.833 右端弯矩= -7.833 ====================== 计算结束==================== 弯矩图： 2.用连续梁程序计算连续梁的内力，作弯矩图.

22.62 输入数据： 4 2 1 4 20 3 20 3 20 3 20 3 20 30 4 -20 3 1 2 40 1. 5 2 1 -40 1.5 3 1 -20 3 4 2 输出结果: *************连续梁内力计算***************** 单元数= 4 支承类型= 2 节点荷载个数= 1 非节点荷载个数= 4弹性模量= 20.0000 杆长,惯性矩 GC(NE),GX(NE) 3.000 20.000 3.000 20.000 3.000 20.000 3.000 20.000 节点荷载大小,对应未知数序号 PJ(I,1),PJ(I,2) 30.000 4.000 非结点荷载值,距离,单元号,荷载类型号 -20.000 3.000 1.000 2.000 40.000 1.500 2.000 1.000 -40.000 1.500 3.000 1.000

主梁内力计算

二、 主梁内力计算 [1][2][3][4][5] 1． 恒载集度 （1）主梁：10.080.14 [0.20 1.5()(2.00.2)]2512.45/2 g KN m +=?+?-?= （2）横隔梁 对于边主梁： 20.080.1420.20.150.16[(1.3)()525]/21.50.965/222g KN m +-+?? =- ????= ??? 对于中主梁：' 220.965 1.93/g KN m =?= （3）桥面铺装层： 30.05 2.1210.08 2.123 6.069/g KN m =??+??= （4）栏杆和人行道：4 4.52/5 1.8/g KN m =?= 作用于边主梁的全部恒载强度： 12.450.965 6.069 1.821.284/i g g KN m ==+++=∑ 作用于中主梁的全部恒载强度： 12.03 2.27 6.069 1.822.245/i g g KN m ==+++=∑ 2． 恒载内力的计算 边跨弯矩剪力影响线 1#及5#梁内力（边跨）

跨中弯矩 2 1121.521.521.2841115.4152424 l l M l g KN m = ???=???=? 跨中剪力 2 0l V = 支点剪力 01 121.521.284228.2032 Q KN =???= 1/4跨处弯矩： 1313 21.521.521.284922.362216216 M l l g KN m = ???=????=? 1/4跨处剪力： /41311 21.50.7521.28421.50.2521.284114.4022424 l Q KN =????-????= 2#、3＃及4#梁内力（中间跨） 跨中弯矩 2 121.5 0.521.522.2451285.344244 l l M l g KN m = ???=???= 跨中剪力 2 0l V = 支点剪力 01 121.522.245239.1342 Q KN =???= 1/4跨处弯矩： '1313 21.521.522.245964.008216216 M l l g KN m = ???=????=? 1/4跨处剪力： /41311 21.50.7520.38521.50.2522.245119.5672424 l Q KN =????-????= 3． 活载内力 1 . 汽车荷载冲击系数 主梁横截面图 结构跨中处的单位长度量： 3 21.284102169.623/9.81 c G m kg m g ?=== 主梁截面形心到T 梁上缘的距离：

ANSYS四跨连续梁的内力计算

ANSYS四跨连续梁的内力计算 四跨连续梁模型图如下所示，各个杆件抗弯刚度EI相同，利用平面梁单元分析它的变形和内力 1.结构力学分析 利用结构力学方法可以求出这个连续梁的剪力图和弯矩图如下

这里只给出了梁的弯曲刚度相同条件，没有指定梁截面的几何参数和材料的力学性质。从结构力学分析的条件上看，这些条件对于确定梁的内力已经足够，但是对于梁的变形分析和应力计算，还需要补充材料的力学参数和截面几何参数。所以以下分析中，假定梁的截面面积位，抗弯惯性矩为，截面高度为；材料的弹性模量为1000kN/m2，泊松比为。补充这些参数对于梁的内力没有影响，但是对于梁的变形和应力是有影响的。 2.用节点和单元的直接建模求解 按照前面模型示意图布置节点和单元，在图示坐标系里定位节点的坐标和单元连接信息，以及荷载作用情况和位移约束。由于第二跨中间有两个集中力，所以在集中力位置设置两个节点。这样，就可以将这两个集中力直接处理成节点荷载。对于平面梁单元的节点只需输入平面上的两个坐标值，所以这里只输入节点的x坐标和y坐标。 （1）指定为结构分析 运行主菜单中preference偏好设定命令，然后在对话框中，指定分析模块为structural结构分析，然后单击ok按钮

（2）新建单元类型 运行主菜单preprocessor—element type—add/edit/delete命令，接着在对话框中单击add按钮新建单元类型 （3）定义单元类型 先选择单元为beam，接着选2d elastic 3，然后单击ok按钮确定，完成单元类型的选择

（4）关闭单元类型的对话框 回到单元类型对话框，已经新建了beam3的单元，单击对话框close按钮关闭对话框 （5）定义实力常量 运行主菜单preprocessor—real constants—add/edit/delete命令，接着在对话框中单击add按钮新建实力常量

各类梁的弯矩剪力计算汇总表

表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M 8 a l e M s F + e M M

9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件 （约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M 自由端 — 0=M ,0=S F 注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。

横隔梁内力计算

横隔梁内力的设计计算横隔梁尺寸如下图： (1)确定作用在中横隔梁上的计算荷载 跨中横隔梁的最不利荷载布置如下图： 纵向一列车对于中横隔梁的计算荷载为： P oq = 1 2 ∑P i y i = 1 2 ×2×140×0.877=122.78KN 车道对于中横隔梁的计算荷载为：

P oq = 1 2 （P k +q k Ω）= 1 2 (267.1+7.875×5.7)=156KN 因此选用P oq =156KN 通常横隔梁的弯矩在靠近桥中线的截面处较大，剪力则在靠近桥两侧边缘处的截面较大。所以以本桥为例，一般可以只求4号梁处和3号与4号梁之间截面的弯矩，以及1号主梁右侧和2号主梁左侧等截面的剪力。 （1）绘制中横隔梁的内力影响线 由之前G-M法可得到1号梁的荷载横向分布影响线竖坐标为： η11=0.464 η17=-0.179 η12=0.347 η16=-0.060 同理，也可求得2号梁的荷载横向分布影响线竖坐标为： η 21=0.354 η 27 =-0.071 η 22 =0.282 η 26 =-0.001 3号梁的荷载横向分布影响线竖坐标为：

η 31=0.238 η 37 =0.039η 32 =0.206 η 36 =0.071 ①绘制剪力V 1 右的影响线 P=1作用在计算截面以右时：V r =∑左R i =0.466 P=1作用在计算截面以左时：V r =∑左Ri-1=-0.534 绘成的V 1 右如下图所示： ②绘制弯矩M r 影响线 P=1作用在计算截面以左时：M r =∑左R i b i -e P=1作用在计算截面以右时：M r =∑左R i b i ηr1M=η11×2.5d+η21×1.5d+η31×0.5d-2.5d=-0.685 ηr7M=η17×2.5d+η27×1.5d+η37×0.5d=-0.535 ηr2M=η12×2.5d+η22×1.5d+η32×0.5d-1.5d=-0.1065 ηr6M=η16×2.5d+η26×1.5d+η36×0.5d=-0.113

桥梁工程课程设计计横隔梁内力计算

用偏压法计算横隔梁内力： （1） 确定作用在中横隔梁上的计算荷载 对于跨中横隔梁的最不利荷载布置，如下图所示。 1401401201201.000 0.711 纵向一行车轮荷载对中横隔梁的计算荷载为： P oq =12∑P i ?y i =12 (140×1+140×0.711)=119.77kN 对于均布的人群荷载，对中横隔梁的计算荷载为： P or =q r Ω=3×5.8×2×12 =17.4kN （2）绘制中横隔梁的 在荷载横向分布系数计算中，已经算的1号梁的横向影响线竖坐标值为： η11=0.65，η14=?0.15 同理可算得2号梁的横向影响线竖标值为： η21=0.45，η24=0.15 绘制弯矩影响线： 对于2号和3号梁之间截面的弯矩M 2?3影响线可计算如下： P=1作用在1号梁轴上时: η(2?3)1M =η11×1.5d +η21×0.5d ?1×1.5d =0.65×1.5×2.5+0.45×0.5×2.5?1×1.5×2.5 =?0.75 P=1作用在4号梁轴上时： η(2?3)4M =η14×1.5d +η24×0.5d =?0.15×1.5×2.5+0.15×0.5×2.5 =?0.375

P=1作用在3号梁轴上时： η(2?3)3M =η13×1.5d +η23×0.5d =0.12×1.5×2.5+0.25×0.5×2.5 =0.763 有了此三个竖标值和已知影响线折点位置（即所计算截面的位置），就可以绘出M 2?3 影响线，如下图所示。 绘制剪力影响线 对于1号主梁处截面的Q 1右影响线可计算如下： P=1作用在计算截面以右时： Q 1右=R 1，即η1i Q 右 =η1i （就是1号梁的荷载横向影响线） P=1作用在计算荷载以左时： Q 1右=R 1?1，即η1i Q 右=η1i ?1 绘成的Q 1右影响线，如上图所示。 截面内力计算

静定梁内力计算

第三章静定结构的受力分析 学习目的和要求 不少静定结构直接用于工程实际，另外，它还是静定结构位移计算及超静定结构的计算基础。所以静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。通过本章学习要求达到： 1、练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。 2、练掌握截绘制弯矩图的叠加法。 3、熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图的绘制和多跨静定梁及刚架的几何组成特点和 受力特点。 4、了解桁架的受力特点及按几何组成分类。熟练运用结点法和截面法及其联合应用，会计算简 单桁架、联合桁架既复杂桁架。 5、掌握对称条件的利用；掌握组合结构的计算。 6、熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。了解三铰拱的内力图绘制的步骤。掌握三铰拱合理拱 轴的形状及其特征 学习内容 梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接内力算式法；内力图的形状特征；叠加法绘制内力图；多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。静定梁的弯矩图和剪力图绘制。桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。 §3.1梁的内力计算回顾 一、截面法 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定： 轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。 剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力以绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。

2、截面内力计算的基本方法： 截面法：截开、代替、平衡。 内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。 1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 3、弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边。 （例子5） 二、内力图的形状特征 内力图与荷载的对应关系 内力图与支承、连接之间的对应关系 1、在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C 右截面、图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确定（如图1-(a)C左截面和D截面）。

横隔梁内力计算例

横隔梁内力计算例

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

横隔梁内力计算 例1 用偏压力法计算图5中所示装配式钢筋混凝土简支梁桥跨中横隔梁在公路-Ⅱ级汽车荷载作用下的弯矩M 2-3和剪力Q 1右。 图5 1．确定作用在中横隔梁上的计算荷载 跨中横隔梁的最不利荷载布置如图6所示。 纵向一列车道荷载对中横隔梁的计算荷载为： 汽车荷载 )85.420.12 15.1075.00.18.19875.0(21?????+??=oq P =88.85 kN 图6跨中横隔梁的受载图式 2．绘制中横隔梁的内力影响线 在例3中已经算得①号梁的横向影响线竖坐标值为： 11η=0.60，15η=-0.20 同理可算得②号梁和③号梁的横向影响线竖坐标值为：

21η=0.40，25η=0.00 31η=0.20，35η=0.20 (1)绘制弯矩影响线 对于②号和③号主梁之间截面的弯矩M 2-3影响线可计算如下： P=1作用在①号梁轴上时： 64 .0 6.15.16.15.04.06.15.16.0 5.115.05.121111)32(-=?-??+??=?-?+?=-d d d M ηηη P=1作用在⑤号梁轴上时： 48 .0 6.15.006.15.1)20.0( 5.05.125155)32(-=??+??-=?+?=-d d M ηηη P=1作用在③号梁轴上时(20.0332313===ηηη)： 64 .0 6.15.020.06.15.120.0 5.05.123133)32(=??+??=?+?=-d d M ηηη 有了这三个竖标值和已知影响线折点位置(即所计算截面的位置)，就可绘出M 2-3影响线，如图7a 所示。 (2)绘制剪力影响线 对于①号主梁处截面的右 1Q 影响线可计算如下： P=1作用在计算截面以右时： 11R Q =右 即 i Q i 11ηη=右 (就是①号梁荷载横向影响线) P=1作用在计算截面以左时： 111-=R Q 右 即 111-=i Q i ηη右 绘成右 1Q 的影响线如图7b 所示。 3．截面内力计算 将求得的计算荷载P oq 在相应的影响线上按最不利荷载位置加载，对于汽车荷载并计入冲击作用(l+μ)，则得： 弯矩M 2-3： 汽车荷载 ∑+=-ηξμoq P M )1(32=1.215×1.0×88.85×(0.92+0.29)=130.6 kN.m 剪力右 1Q ：

(完整版)梁的内力计算

第四章梁的内力 第一节工程实际中的受弯杆 受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结 构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中 的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。 1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面 内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受 弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念 工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对.. 称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本 的弯曲问题。 1.3 梁的简化一一计算简图的选取 工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进 行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。 a房屋建筑中的大梁 c小跨度公路桥地纵梁 图4-1 b简易挡水结构中的斜梁

连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例） 一、名词解释 弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。 （一）线刚度i 杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ： l EI i = （a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=； （c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB =； （d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。 （二）转动刚度S 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。施力端只能发生转角，不能发生线位移。AB S 中的第一个角标A 是表示A 端，第二个角标B 是表示杆的远端是B 端。AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。 （三）分配系数μ

?? ????=?=?=?=?=?=A AD A AD AD A AC A AC AC A AB A AB AB i S M i S M i S M θθθθθθ34 ????????????=?=?==++=++=++=∑∑∑∑M S S M M S S M M S S M S M S S S M M M M S S S M AD AD AC AC AB AB AD AC AB A AD AC AB A AD A AC A AB θθθθ 各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。 ∑∑==?=1Aj Aj Aj Aj Aj S S M M μμμ Aj μ称为分配系数，如AB μ表示杆AB 在A 端的分配系数。它表示AB 杆的A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB 的转动刚度与交于A 点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点A 的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A 端。 （四）传递系数C ij ij ji DA A AC CA A AB BA A AD AD A AC AC A AB AB C M M M i M i M i M i M i M ==?-=?=?=?=?=0234θθθθθ