《混沌现象》讲稿
（按讲授4学时准备）
引言
§1 混沌现象由倍周期分岔通往混沌的道路
一、混沌现象实例
二、由倍周期分岔通往混沌的道路
§2 混沌现象的特性、本质及应用
一、混沌现象的特性
二、混沌现象的本质
三、混沌现象的应用
主要参考文献
混沌现象
引言 混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。
再者，作以下的界定也是必要的。即我们所讲的混沌现象是比较广义的，即不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。
对于以上论断及种种概念后面都要慢慢解释的。但为了方便学习，要先明确几点。
随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。
对线性和非线性得多说几句。线性和非线性的区分粗略地说就是看函数关系或方程的形式。如x y =就是线性的，2x y =就是非线性的。以下作个比喻来体会二者的区别。
设x 为人数，y 为完成的作业量数日。对x y =，设11=x 有11=y ，设22=x 有22=y ；若又设321=+=x x x ，则有321=+=y y y ，即整体等于部分之和。而对2x y =则不然。设11=x 有11=y ，设22=x 有42=y ；若又设321=+=x x x ，则9=y ，此时521=+≠y y y 。即整体大于部分之和。可以这样理解：人与人之间相互作用，相互影响的存在是必然的，三个以上的人之间就会出现所谓的非线性交叉耦合作用。
此外，对混沌的理解也和该词的原有语意“一片混乱”不同，从物理角度讲，混沌的内涵要丰富得多。
长期以来，人们对牛顿力学对运动的描述具有确定性这一点深信不疑。因为用牛顿定律解题，结果总是确定的。所以，人们认为只要初始条件确定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来，初始条件的细微变化对运动不会产生本质的影响，而只能使运动状态产生微小的变化。也就是说，用牛顿力学描述的运动都是规则的，系统的行为都是确定的。
但事情远非如此简单。
早在100年前，法国著名数学家、物理学家庞加莱在研究三体(两颗行星、一颗卫星)问题时发现牛顿力学的确定论的确存在问题。卫星轨道是不确定的！毫无疑问，这是对牛顿力学确定论思想最初的质疑。其实庞加莱描述的就是所谓的混沌现象，庞加莱可谓混沌现象研究的先驱。
庞加莱的确太超前了。直到本世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。如今，混沌现象的研究已经深入到自然科学乃至社会科学的方方面面，其重要性日显突出。 为了使大家对混沌现象这一非线性物理学的核心内容有所认识，有所理解，我们本着讲叙要由浅入深，由现象到本质的宗旨准备作如下安排。首先比较系统地介绍一些混沌现象。在有了一些初步感觉和认识之后再着重讲述由倍周期分岔通往混沌的道路，进而集中展现混沌现象的特性和本质。最后还要认真地谈一谈混沌现象的应用。
§1 混沌现象由倍周期分岔通往混沌的道路
一、混沌现象实例
1．一般举例
虽然混沌现象随处可见，但因为我们对它了解太少，所以往往视而不见，忽略了它的存在。要充分认识混沌现象的确是一件很难的事。但容易理解或比较容易理解的混沌现象的例子还是可以举出很多的。如蝴蝶效应、湍流、三体问题、昆虫繁衍、机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动等。另外，癫痫病患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是曲型的混沌现象。单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态。而在政治、经济、战争、教育等社会科学各个领域也发现了许多混沌现象实例。
下面将着重讲三个例子：三体问题、蝴蝶效应和昆虫繁衍问题。
2．三体问题
让我们再回来谈庞加莱。
首先考虑一个比较特殊的三体问题：一颗质量很小的卫星在两颗大质量(为简单可设质量相等)的行星作用下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动，而卫星质量很小，对行星运动的影响可以忽略。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用下的运动情况如何呢？
上述模型及由牛顿运动定律和万有引力定律所列出的方程看上去挺简单的，但它们所代表的运动却十分复杂，竟然无法得到解的数学解析式。现在知道原因在于方程的非线性。
庞加莱对三体问题进行了深入的探讨，以其巨大的智慧，超常丰富的想像力发明了一套独特的定性研究方法，证明了方程根本不存在数学解析解。当年并没有计算机，但庞加莱却能推断出卫星长期运动的轨道是缠来绕去，错综复杂的。他在《科学的价值》一书中肯定地指出：一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果。系统的运动和变化对初始条件的依赖极其敏感，系统的长期行为似乎有一种不确定性。
庞加莱没有借助计算机而得到的结论竟完全正确。今天，用计算机通过数值计算很快可以得到卫星的运动轨迹，发现在三体问题中运动对初始条件的依赖的确敏感。当两次计算设初始速度相同而初始位置稍有出入时，计算表明，经过一段时间后，它们的轨迹就分开了很大距离，该系统的演化过程是不可长期预测的，
系统的运动是混沌的。
在这样一个简单的二维三体问题中，极小的偏差竟然使完全确定性的牛顿运动定律给不出确定的答案，真是令人难以置信！
3．蝴蝶效应
今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。
1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。
有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！
图1为两次计算结果逐渐显示出来的
巨大差别。
图1长期天气预报是不可能的
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的
0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方
程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。
蝴蝶效应的姊妹效应很多。如“千里之堤，渍于蚁穴”也是一种混沌现象，不妨称之为“蚁穴效应”。
控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动描述：丢失一个钉
子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。这又不妨叫做“蹄钉效应”。蹄钉效应对混沌现象小误差的繁殖、生长和逐级放大的特点描绘得尤其逼真。
4．昆虫繁衍 虫口模型 虫口方程
昆虫繁衍是个有代表性的混沌现象。由分析昆虫繁衍提出的虫口(即昆虫数
量，昆虫“人口”，简称虫口)模型及描述昆虫繁衍的非线性方程——虫口方程在研究果木产量及家畜数量变化时也大体适用。就是在研究地球上日益严重的人口爆炸问题时也有重要的借鉴作用，其现实意义是很大的。
另外，讲昆虫繁衍问题也是为由倍周期分岔通往混沌的道路作铺垫，作先导。
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。
综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数
学抽象和变换后，在1976年生物学家梅最终得到虫口方程如下：
)1(1n n n X X X -=+λ
式中各量的取值范围为
n ：1，2，3，
···∞ n X ：[0，1]
λ：[0，4]
式中各量的意义如下。假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为o N ，且>>o N 1。第n 代虫口数为n N ，则n n N X =/o N ，是为第n 代的相对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故n X 的值不能超过1。λ是控制参量。虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为在>λ4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对
)1(51n n n X X X -=+
当代入=n X 0.5后会得到=+1n X 1.25，而最大相对虫口数只能为1，=+1n X 1.25显然没有意义。
在下一个段落，我们会惊奇地发现，随着时间的堆移，随着λ的变化，许多
始料不及的事情将会发生。虫口方程的形式很简单，但其内容却十分丰富，值得进一步去研究它。
二、由倍周期分岔通往混沌的道路
混沌是过程的科学，演化的科学。由倍周期分岔通往混沌的道路是实现混沌
的典型方式。
以下对虫口方程进行迭代展开讨论。所谓迭代就是重复的意思。首先确定一
个λ值，取初始值1X 作为自变量代入方程得出2X ，然后再将2X 代入方程得到
3X ·
·····最后看一看可能的“归宿”如何。改变控制参量λ后再一步步做下去又会有许多发现。
迭代得到的最后归宿的基本功形象如图2所示。对于不同的λ值，有可能的
不同归宿，故分岔图是方程依赖控制参量λ所得到的不同演化归宿的图象集合。
如果λ随时间变化且不断由小增大，则由倍周期分岔通往混沌的道路就彻底
打通了。
图2 倍周期分岔图 (未按比例)
以下列举典型迭代结果及初步认识。
1．取λ：0—1迭代
容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程
)1(1n n n X X X -=+λ迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。
2．取λ：1—3迭代
迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的
1周期解，同样对应系统的稳定状态。显然，到目前为止非线性尚未显示什么作用。
如对方程
)1(21n n n X X X -=+
作迭人，取=1X 0.1则有=2X 0.18，3X =0.2952，=4X 0.416111392，
=5X 0.485924299，=6X 0.4999604721，=7X 0.499999687，=8X 0.499999999 ······可见很快收敛于=*X 0.5
又对方程
=+1n X 2.5)1(n n X X -
作迭代，取=1X 0.1也只须十几次迭代就收敛于=*X 0.6了。不过与上一迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在*X 值上下产生小幅振荡，并最终收敛于=*X 0.6。
3．取λ：3—3.569迭代
迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中λ在3—3.449之间为2
周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。
举一个2周期迭代的例子。对方程
=+1n X 3.2)1(n n X X -
迭代的“终态”在两个确定值=*1X 0.5130与=*2X 0.7995之间跳跃。取初始值
=1X 0.5时只需迭代十次左右就接近“终态”*1
X 与*2X 了。 再举一个4周期迭代的例子。对方程
)1(5.31n n n X X X -=+
迭代的“终态”依次在3828.0*1=X ，8269.0*2=X ，=*3X 0.5009，=*4X 0.8750
间跳跃。
取初始值5.01=X 时也只需迭代十次左右就可接近“终态”*1X 、*2X 、*3X 、
*4
X 了。 4．用作图法表示迭代过程
为了对周期解，对演化过程有进一步认识，现在介绍表示迭代过程的图解法(见
图3)。
在直角坐标系中先分别作出n n X X =+1|的45°斜线及)1(1n n n X X X -=+λ的
抛物线。然后在n X 轴上取初始值(自变量)1X ，作竖直线交于抛物线即得2X ，再作水平线交于斜线，交点即为自变量2X ，再作竖直线交于抛物线即得3X ······一直作下去每一幅图就代表λ取定值时的迭代演化过程。
图3 虫口方程图解法
从作图和迭代计算两个侧面讨论问题，图算结合，则混沌演化过程的图象应
该说就比较清晰了。
5．倍周期分岔是一种具有代表性的由有序向混沌态过渡、演化的过程。
如前所述，虫口方程具有代表性，对昆虫繁衍、果木产量及生猪存栏数的变
化等都存在倍周期分岔现象。细胞分裂、雪崩放大、树木生长也都有分岔现象。比如树，由树干—大树杈—树枝—小枝—嫩枝—芽枝—嫩芽—胞芽就是逐级分岔。
再看声学。著名声学家马大猷就曾通过实验观察到了在强超声作用下声学中
的倍周期分岔现象。强超声可使液体气化发泡。开始时气泡按超声频率振动。超声加强后则产生2倍周期的振动，再加强还会出现4倍周期，最后频率连成一片，产生无规则的噪声。
在非线性电路中，在一定条件下也会产生倍周期分岔现象。
6．几点说明
现作几点说明结束本节内容。
① 在分岔区分岔数即“终态”数为m 2(=m 1，2，3···∞)个。
② 2周期解的实际含意表示虫口数以2年为周期，今年多，明年少等等。果
木产量有大、小年之分也是2周期。4周期含意类似，只是变化周期由2年变成了
4年。
③ 计算机问世对混沌现象的研究起了极其关键的作用。希望大家课后能用
计算机作一下迭代计算。通过自己的计算与思考，相信会大大增加兴趣，对混沌现象的理解也肯定会加深一步的。
§2 混沌现象的特性、本质及应用
在上节基础上我们将首先对混沌现象的特性、本质作比较全面一些的介绍。
已经有所涉及的东西要进一步归纳，还没有讲到的内容要争取讲得透一些。当然特性和本质有些不大容易区分。一般地说，特性与现象更接近一些，比较本质要来得稍为直观些。这样处理的目的还在于企图使层次分明一些。
一、混沌现象的特性
1．在混沌区中混沌系统对初值的依赖具有敏感性。
对于混沌的这一特性，通过蝴蝶效应、蹄钉效应的介绍已经有了相当的感性
认识。而通过迭代则可以使这一特点更加一目了然。
对方程
)1(41n n n X X X -=+
进行迭代，今分别取初始值为1.0
=X 和0.1000001，迭代结果列表如下。
以上计算清楚地表明，初值的微小差异，经过若干次迭代后就会“差之毫厘，
失之千里”了。其长期行为具有一种概率统计的特征。
2．混沌区中存在周期窗口是混沌现象的又一大特性。
就是在混沌区也并非一片混乱，混沌区中还有无数周期窗口。如对方程
)1(828.31n n n X X X -=+
迭代结果为3周期，“终态”为1599.0*1=X ，5143.0*2=X ，9563.0*3=X 。而且
对窗口放大后发现窗口中还有“结构”(见图4)，即窗口中又存在倍周期分岔进小
的混沌区，在小混沌区中又有小的窗口等等。混沌区看似混乱却又乱得“精致”，乱得“耐人寻味”。说得专业一些就是：混沌区为一个无限嵌套的自相似结构。
图 4 混沌区中周期窗口及放大
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗一些即局部与整体相似。对局部放大后的形象与整体形象相同或近似相同。除上面讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间序列的自相似结构实例也必将有助于我们的理解。
(1)雪花，(2)闪电，(3)血管系统，(4)海岸线，(5)鹦鹉螺，(6)菜花，(7)雏
型村，(8)谢尔宾斯基垫片，(9)某人在看电视，电视中还是某人在看电视······，(10)布朗运动，(11)社会经济的许多演化过程，(12)一个故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故事：从前有座山······请大家充分发挥想像力，举更多的例子。
具有无限嵌套的自相似结构是混沌现象的普遍特性。
3．从不同的初始条件出发可以产生同样的结果。
λ在0—3之间一旦λ确定，则事实是不论初始值
X取多少，迭代的归宿总
1
是一个确定值。这一特点也很有启发性。它有不少众所周知的等价叙述。如“殊途同归”，“条条道路通罗马”，“百川东流归大海”，“是金子总要发光的”，“在一定条件下，不同的原因可以产生同样的结果”等等。
4．从不同的初始条件出发可以得到同样的“终态”集合。
λ在3—3.569之间一旦λ值确定则事实是不论初始值
X取多少，迭代的“终
1
2个确定值之间跳跃。这一特点与上一特点有些类似之处，都是一种态”总是在m
2
规律性反映，所不同的是，这里的“终态”已不是唯一确定的值，而是2，4，···m 个可能状态的集合。显然，这比前一种情况复杂多了，而且随着m的增大，随机性越来越大。
5．从同样的初始条件出发可能得到完全不同的结果。
分岔还表明，即使从完全相同的初态出发，演化所达到的“终态”到底落在哪一支上也可能完全不同，这里不存在完全的确定性。换言之：同样的原因可能产生完全不同的结果。这样的例子在生活中比比皆是，如投入与产出或耕耘与收获的关系就是这样。
二、混沌现象的本质
以下对混沌现象的本质作初步概括，以期在认识上有些质的提高。
1．混沌是过程的科学、演化的科学，而不是状态的科学，变是混沌的本性。
随着时间的推移，系统运动状态在不断变化。当控制参量由小到大变化时，系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，随着分岔按几何级数的不断增长，系统由有序到无序。当控制参量λ达到一个临界值时系统进入混沌区。当λ再增大时又会遇到一个个的周期窗口，一个个混沌区······当λ不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化。
下面对在演化过程中混沌运动状态“绝不重复，永不自交；又循环不已而且被局限在有限范围之内”的特点作些通俗的解释。比如虫口数量总是在零到最大限额之间不断变化，而且数量又年年不同；气候则总是在好天气与坏天气之间反反复复，但又没有哪两天有完全相同的天气。这就如同世上没有两片相同的树叶，没有两个相同的指纹一样。
另外，由虫口方程迭代可见，只有在远离平衡的条件下，混沌系统才能演化达到混沌态。
2．混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在线性系统中。
在庞加莱的三体问题、蝴蝶效应和昆虫繁衍问题中，我们涉及的都是非线性方程。在这些方程如虫口方程中没有外加随机变量，即不存在产生随机性的外部原因。因此牛顿力学等的随机性又是本身固有的，是内在随机性。而牛顿力学等的“内在随机性”的根源就在于其动力学方程中有非线性项存在，这与分子无规运动的随机性不同。
如前所述，非线性方程与线性方程不同，对后者叠加原理成立，整体等于部分之和；对于前者，叠加原理不成立，整体可以大于部分之和。正如在引言中已
点到的那样，在非线性系统内部存在着感应、诱导、协同、整合、吸引、排斥、干涉、放大等种种非线性交叉耦合作用，这种作用是产生混沌现象复杂性的本质原因。可见非线性是关键，内在随机性也并非牛顿力学的专利。
3．混沌不等同于混乱，它是一种确定论系统中出现的貌似不规则的有序运 动。
这种有序不同于我们所熟悉的有序——寻常有序、简单有序、线性有序。现在说的有序是乱中有序，是有序与无序的结合，是非线性序——混沌序。就是说到混乱它也是一种确定性的混乱，形式的混乱。
各种混沌现象支持以上观点。
就是在混沌区内也并非所有的λ值对应的都是混沌状态，在混沌区中似乎乱也乱得有规律。无限嵌套的自相似结构的存在不仅说明混沌有序，而且说明这是一种复杂有序，高级有序！
倍周期分岔过程具有规律性是容易理解的，而一个普适常数——费根鲍姆常数的存在更是一个有力证明。
若用m λ代表第m 次分岔出现的λ值，则相继分岔的间距之比的极限是一个常数，即
6692.411lim =--=+-∞→m
m m m m λλλλδ
这是美国物理学家费根鲍姆利用计算机在1978年计算发现的。费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性。
值得强调的是，费根鲍姆常数并不限于虫口方程的迭代，对于诸如)sin(1n n X X πλ=+一类的非线性方程得到的δ值与前面给出的值竟精确相等，这反映了混沌演化有着普遍的“发展规律”。
4．真实的自然界介乎完全的确定论和纯粹的概率论之间。
混沌现象迫使我们不得不重新审视周围世界，探究世界的本质。自然界本是 一个统一的整体，但自然科学中有确定论和概率论两套描述体系。牛顿以来的科学传统比较推崇确定论体系，而把概率论作为补充。其实，完全的确定论和纯粹的概率论都是抽象后的极限情况。即当混沌运动不显著时可用确定论来描述。当混沌运动剧烈时就要考虑运用概率论的可能性了。真实的自然界实际上介乎二者之间。因为世界本质上是非线必的，线性化只能是非线性的一种合理近似。过去我们在确定论，线性化方面的研究取得了巨大成就，今后应该在混沌现象方面，在非线性研究方面有较多的投入。
总之，对混沌现象的研究将有助于我们从更为接近实际的角度来认识世界，
使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来。
三、混沌现象的应用
1．概说
人们对混沌现象经过近几十年的深入研究，已经取得了许多突破。目前，混沌理论已广泛应用于物理、天文、化学、生物、医学、气象等自然科学学科，也已经开始应用于激光、超导等众多高科技领域，还创建了混沌工科学等分支学科，甚至已经拓展到社会科学的众多方面。比如股市行情的风云变幻，市场经济的潮涨潮落就或多或少地有着蝴蝶效应的味道，在这些方面应用混沌理论相信是很有前途的。
混沌的出现，一方面预示着人们认识世界的预测能力将受到根本性的限制，另一方面则又大大转变了人们的传统观念，向人们提供了研究问题的新思路、新方法。
过去人们往往认为搜集到的许多复杂的随机信息是一种偶然现象的反映，甚至认为是“噪声”，是实验的失败，因而弃置一旁，不予理睬。现在，人们意识到以前可能错了，这些信息里有相当一部分或许可以归入混沌一类，而可以另辟蹊径，用混沌的方法去进行研究，或者能从混沌中找到出路，甚至取得令人意想不到的结果。另外，鉴于混沌的复杂性，要用好它往往也不是一件轻而易举的事，对此我们应当心中有数。
上一节对混沌的应用已经有所涉及，以下再对混沌在湍流和思维方面的应用作简要介绍。
2．湍流之谜
湍流又称紊流。通俗地说就是流体常有不规则涨落的紊乱流动叫湍流。
湍流的运动非常复杂，大旋涡中套小旋涡，小旋涡中还有小旋涡。湍流问题被称为经典物理学的百年难题。尽管苏联物理学家朗道在1944就对湍流发生机制进行了深入研究，并取得重大突破。我国物理学家周培源等又创立湍流的统计理论，把概率论的方法引进了湍流研究，也取得了很大成绩，但这些远不能最后解决问题，其根本原因在于流体力学的基本方程是非线性方程。
后来，人们越来越多地将混沌理论应用于湍流的研究，获得了许多重要成果。科学工作者从混沌现象着手考察了湍流的发生机制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌来描述湍流形成的新观点，根据流体中所发生的实际情况建立新的统计模型，有希望在探求湍流过程的共同特性上得到新的认识。人们已经在湍流的研究中得到了类似虫口方程那样的迭代方程，但形式要远复杂得多。人们也早已发现在湍流中有倍周期分岔现象，发现在瞬息万变的湍流现象内部有无限多的层
次，这当然就是无限嵌套的自相似结构了。
以上成果加深了我们对湍流的认识，提高了我们控制和利用湍流的能力，改进各种和湍流有关的产品的设计和制造以及加强对大气和海洋这一类大尺度无序的预报能力。
但是，因为湍流现象实在太复杂，它不仅有时间上的混乱，而且还有空间上的混乱，还会出现大尺度的规则运动。因此，还存在许多难题。湍流之谜还不能说已经最终解开。但无论如何，人们已经清楚地看到了攻克这一百年难题的希望。
3．线性思维与非线性思维
有关思维的题目太大，我们只能就思维与混沌现象的种种联系作概要说明。
有关思维的一种重要分类方法是将思维分为线性思维和非线性思维两种。至关重要的是，非线性思维与混沌现实联系密切，因为混沌现象的本质最主要的就是非线性。一般来说，人们对线性思维方式更加习惯，而相对缺乏对非线性思维的认同，这是关于思维方面认识上的偏差，应当引起重视。
线性思维就是传统的简单孤立思维，主要特征是封闭性、直线性、低关联等。线性思维的优势在于它讲究从对称性角度去分析问题，讲求平衡、稳定、全面，逻辑性强。非线性思维就是现代的复杂网络思维，主要特征是开放性、曲线性、强关联等。非线性思维方式又常常表现出对对称性破缺的兴趣，追求打破平衡，甚至远离平衡。线性思维容易保守僵化，非线性思维则相对创造性强，但也有失稳最终导致失败的潜在危险。
非线性思维方式与在讲混沌本质中提到的非线性交叉耦合作用是相通的。非线性思维关注整体性，相干性，讲求团队精神，讲求协同作战，认为整体可以大于部分之和。非线性思维层次更加丰富，特点更加突出，它不甘平庸，重视个性发展，并常常出其不意······以上这些实际上都与种种混沌行为相似。
逆向思维、发散思维、立体思维均属非线性思维方式；灵感、直觉、随机应变、触类旁通、突发奇想等都是非线性思维的智慧闪光。而“非此即彼”一类则属于线性思维范畴，是一种简单化。很显然，还有许多人们的经验之谈反映了非线性思维的特点。如“抓住机遇”、“防微杜渐”、“一着不慎，满盘皆输”等。这其实还是个混沌运动对初值依赖的敏感性问题。
在因果关系方面，两种思维方式也有明显区别。线性思维只认同简单的线性因果关系，只承认一因一果，微因微果；而非线性思维则认同复杂的非线性因果关系。如迭代时“从不同的初态出发归宿为一确定值”的混沌特性就对应着“多因一果”；而迭代时“从相同的初态出发可以得到完全不同的结果”的另一混沌特性就对应着“一因多果”。而在谈到“简单原因可以产生复杂后果”这一因果话题
时就又再次回到蝴蝶效应，回到对初值依赖的敏感性这一混沌特性上来了。
以上我们主要谈了非线性思维之所长，但我们不能因此而产生思维观念上新的误区。事实上两种思维方式各有特点，我们应该取其所长，在某些时候应侧重使用线性思维方式，这与非线性方程的线性近似相对应；在另一些场合，则应充分调动和发挥非线性思维的优势。这样才能使我们的思维方式更加科学，思维活动更加有效。当然，对不同的人，思维模式各有侧重是完全正常的，但普遍地讲，一定要注重非线性思维方式和能力的培养，注重开发右脑的功能，挖掘潜力。这是提高思维质量和思维水平的重要方面，应当充分重视。
混沌现象的课就要结束了。可以毫不夸张地说：混沌使世界多姿多彩，千变万化，层峦叠翠，魅力无穷。混沌使我们眼界大开。希望大家今后能对奇妙的混沌现象给予多一些的关注，这对大家更深刻地认识自然，认识自我，对科学素质的培养与提高肯定是大有益处的。
北京联合大学基础部
物理教研室王瑞乘
2000年12月
主要参考文献
[1]周凌云等，非线性物理理论及应用，科学出版社，2000。
[2]王殖东,混沌现象及其在工科大学物理教学中的适量反映,工科
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浅谈“蝴蝶效应”在网络传播中的应用及其对策 蝴蝶效应，即上世纪六十年代，“气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）在他的计算机上计算一个热力场中热对流问题的简化模型。”结果发现，初始条件的微小变化使“系统自任意初始状态出发的相轨线成蝴蝶形态，既不重复也无规律。”为了形象地说明这种现象，洛仑兹打了个比方：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。这就是广为人知的“蝴蝶效应”比喻。而后它作为混沌理论的一个核心概念被引入经济学，构成了行为金融学的重要分支，并广泛应用于各个领域。 本文借助混沌理论分析了网络传播中的“蝴蝶效应”，认为网络是一个混沌系统，网络传播是由有序到无序、再到新的有序的循环过程，其结局具有不可预测性，而网络环境恰恰都具备了混沌理论的性质：即有界性、非周期性、非线性、敏感初条件。 一、比比皆是的“蝴蝶效应”事件 “蝴蝶效应”反应在网络传播中通常呈现为公共性群体事件。近年来，随着互联网的发展，网络成为影响社会的一个重要力量。尤其以微博、SNS网站、BBS论坛等网络新兴媒体的崛起，为新闻媒体提供了一个丰厚的新闻来源集中地。细心观察，我们发现这两年出现的很多公共性事件、贪官落马、揭黑揭丑的新闻爆发地都来源于网络，而这些事件都以非线性地爆炸方式传播开来，有的引来民愤导致群体事件的爆发，有的引来看客们的围观和指点，有的在舆论的压迫中亟需解决。“蝴蝶效应”呈现出它的优势，同时暴露了某些弊端。 1.“虐婴门” 2012年6月，实习护士微博@小考拉avi 发布多张虐待婴儿照片，还称“2B孩纸”“小孩装死”，让脖子脆弱的新生儿处于危险姿势，极易折伤颈椎，甚至窒息。捉弄婴儿，在刚出生没多久的宝宝鼻子上贴猪鼻子。甚至还用手玩新生儿眼睛。为逃避责任已删了微博，但网友保留了截图。而后当事人在微博道歉。据了解，首先曝光它的是一位网名为“若馨守护神”的年轻母亲，自称在一名为“@小考拉avi”的微博上发现了多批含有虐待初生婴儿的自爆博文，言语轻佻，行为恶劣，使身为母亲的自己无法忍受，便“冒着被报复”的可能将之公之于众。而没想到的是，这条微博在短短时间内转发量达上万，引起网络的轩然大波。大多数网友表现得很激进和愤怒，公然指责当事人肖诗雨和浙江中医药大学的行为。而很多极端的网友开始“人肉搜索”，翻出当事人的所有资料和照片，并且放入各大论坛网站，设置头版头条来博取看客和哄客们的围观。一时事件失去控制，当事人和校方也随即发表道歉的声明。 而后，某些网友利用近几年紧张的医患关系现状做文章，通过不断地放大虐婴门事件，招来更多“同伴”，引得大家的同感。这在一定程度上激化社会矛盾，破坏社会的稳定秩序，有可能招致更大的社会动荡行为。 2.“房叔”事件、“表哥”事件 2012年10月8日，天涯社区的一个网帖曝出蔡彬及妻子、儿子名下共有21套房产，消息一出，即引起疯狂转发，网民纷纷要求纪检部门介入调查，各路媒体也跟进追问。事件发生2天后，即2012年10月10日，广州市纪委就迅速反应。当天上午9时许，市纪委即通过官方微博作出回应，“有关部门正在核查”。随后不久，番禺区政府新闻办公室官方微博发布也表示，“已关注到相关内容，目前，已成立了调查组，正在展开调查。”当天晚上，@廉洁广州发布微博称，网帖反映情况基本属实。10月11日，番禺区委已决定对其停职，并作进一步调查。2012年10月22日，蔡彬因涉嫌受贿被宣布“双规”。@廉洁广州也同时发布了这一最新消息。 又比如，因在特大交通事故中走红的的“微笑局长”杨达才，被网民人肉搜索出在五个不同的场合，杨达才佩戴了五款不同的名牌手表。随后，杨达才年公开称自己收入17、8万元，这些表都是自己合法收入买的，不过网友并不买账，又有人称杨达才有11块表，眼镜和腰带都是名牌，随后网友要求公开杨达才的工资收入。评论称，“表哥”一事经公共关
混沌现象的通俗解释 非线性，俗称“蝴蝶效应”。 什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！ 这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！ 线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。 激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。 非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。 1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。有点不可思议，但是确实能够造成这样的恶果。一个明智的领导人一定要防微杜渐，看似一些极微小的事情却有可能造成集体内部的分崩离析，那时岂不是悔之晚矣？ 横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始。 莫以恶小而为之，莫以善小而不为。 千里之堤，毁于蚁穴。 混沌现象在自然界所经历的途径及是普遍存在的，近些年来，人们不仅从实验室观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件，其特征，在理论上发现了一些有关混沌产生的普遍规律，混沌理论的研究已经不仅仅局限于物理学方面，而且成为跨学科的十分活跃的研究方向，比如在生命，意识，社会发展变化上的研究。有人甚至认为混沌理论是继量子论，相对论以后的第三大革命。所以对混沌与牛顿定律的内在随机性的研究，不仅是在物理学上，
非线性电路中混沌现象的研究实验 长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。 【实验目的】 1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。 2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。 【实验仪器】 非线性电路混沌实验仪 【实验原理】 图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线 1.非线性电路与非线性动力学： 实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。图1 电路的非线性动力学方程为： 11211Vc g )Vc Vc (G dt dVc C ?--?=L 2122 i )Vc Vc (G dt dVc C +-?=
目录 引言 说起“混沌”这个词，我们中国人首先想到的是我国古代传说中宇宙形成以前模糊一团的景象，即古哲学中认为盘古开天辟地之前，天地处于混沌状态。“太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之似也；太素者，质之始也。气似质具而未相离，谓之混沌。”！！！（出自《庄子》）这里的混沌是指元气已具有物质的性质还没有进一步分化的状态。在国外，“混沌”这个词同样渊流悠久，《圣经》《创世纪》甚至埃及的神话故事中都有关于“混沌”的不同解释，这里我们不一一赘述。而在当代，混沌正在成为一种具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学。
不断的去探索大自然的规律是科学家的天职，无数的科学家在探索着这些规律，也终他们一生在挑战着人类未知的领域。物理学家要弄清楚物质的基本粒子，化学家则研究物质的构成、探索新的化学元素，天文学家探索宇宙的奥秘，生物学家则研究生物的演变与进化……他们的努力解决了一个个人类所遇到的难题，也创造出了人类发展史上的一个又一个奇迹。然而，还是会有很多复杂的问题在困扰着人们。人们总是思考，为什么天气变化存在着不可预测性，气体和流体在从平稳向湍流变化的过程中存在着哪些中间步骤等等各种所有在确定性系统中出现的貌似随机的不规则运动的问题，也慢慢的有人预感到，这些深奥的问题极可能揭示了大自然更深一层的规律。 早在公元前560年，我国的老子提出了宇宙起源于混沌的哲学思想；公元前450年左右，中国的古哲学家庄子也说过这样一句话：南海之地为倏，北海之帝为忽，中央天帝为浑沌。这里庄子最早把混沌理论引入到政治学的研究中。他的“中央之帝为混沌” 下面就让我们一起走进这个当代前沿科学“混沌”的世界。 一、混沌理论的提出——由线性科学到非线性科学 线性科学的成就 线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，它是用一根直线表征的关系。 由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。 例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。 理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。 经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，如牛顿经典力学等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科
用非线性电路研究混沌现象 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。直到1963年美国气象学家LORENZ 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。如今，非线性科学已成为21世纪科学研究的一个重要方向。非线性科学的研究对了解生物、物理、化学、气象等学科都有重要意义。混沌作为非线性科学中的主要研究对象之一，在许多领域都得到了证实和应用。混沌作为一门新学科，填补着自然界决定论和概论的鸿沟。混沌是对经典决定论的否定，但本身有它特有的规律。研究混沌的目的是要揭示貌似随机的现象背后所隐藏的规律。 本实验通过建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测非线性电中倍周期分岔产生混沌的全过程。同时了解混沌现象的一些基本特征。 [实验目的] 1． 通过对非线性电路的分析，了解产生混沌现象的基本条件； 2． 通过调整蔡氏电路的参数，学习用示波器观察倍周期分岔走向混沌的过程； 3． 用示波器观察非线性电路的I-U 特性曲线。 [实验原理] 混沌产生的必要条件是系统具有非线性因素。图1是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路——蔡氏电路。电路中共有5个基本电路元件：4个线性元件L ，C1，C2，R0和一个非线性电阻R ，其中R 的伏安特性如图2。电路中电感L 和电容C2并联构成一个LC 振荡电路，可变电阻R 0和电容器C 1串联构成移相电路，将振荡器产生的正弦信号移相输出，非线性负阻元件R 和R0共同作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 由蔡氏电路图1可得到蔡氏电路的状态方程组为: ????? ???????=+??=????=2211211121)(1)()(10201C L L C C C C C C C C U dt di L i U U R dt dU C U U g U U R dt dU C (1) 式中: Uc1, Uc2 和iL 分别是电容C 1, C 2 两端的电压和流过电感L 的电流, g (Uc 1 ) 是描述非线性电阻R 的i - v 特性的折线(图2)多项式为
谈谈日常生活中的混沌现象 XX学院专业姓名 摘要：本文通过具体科学，解释日常生活中的混沌现象，以及以及如何通过物理问题解决日常生活中的问题。 关键字：物理，混沌现象，蝴蝶效应 一、混沌现象的定义 混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 “ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。 二、混沌现象的相关例子 混沌理论证明，在世界上发生的具有如下特征的事件均属混沌事件，即混沌现象。 1.蝴蝶效应现象 蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性.初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。在政治、经济、军事、自然、社会等诸多领域均有蝴蝶效应发生，而且这种现象对世界具有极大的影响效果。金融炒家索洛斯引发的东亚金融危机，和白宫实习生莱温斯基引发的克林顿绯闻案，就是两个最典型的例证。 （1）产生蝴蝶效应的内在机制 所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统．非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述．正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为． 目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化．
课程论文课程系统科学概论 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一五年月日
混沌理论与应用 摘要：本文首先介绍了混沌理论的产生与背景。接着由混沌理论的产生引出了理解混沌系统需要注意的几个基本概念，并就两个容易混淆的概念进行了区分。然后本文对混沌系统的几个基本特征进行了阐述，而且详细解释了每个具体特征含义。在结尾部分本文简要叙述了混沌理论的应用前景。 关键词：混沌理论；混沌系统；基本特征；应用 1混沌理论的产生与背景 混沌一词很早就出现在人类的历史中，在世界的几个较为发达的古代文明中基本上都用自己的方式对混沌进行过描述，混沌基本就等同于未知。同时这些文明有一个对混沌有一个共同的观点，那就是：宇宙起源于混沌[1]，这种观点可以说在某些方面与现代的理论不谋而合。虽然古人的这些观点大部分是基于自己的想象而且其含义也局限于哲学方面，但是可以说这是人类早期对混沌状态的一种探索。 在此后的上千年中，一代又一代的研究者们探索了无数未知的领域。以至于在混沌理论之前，没有人怀疑过精确预测的能力是可以实现的，一般认为只要收集够足够的信息就可以实现。十八世纪法国数学家拉普拉斯甚至宣称，如果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度，他就能预测宇宙在整个未来的状态。然而混沌现象的发现彻底打破了这一假设。混沌系统对初始条件的敏感性使得系统在其运动轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误差都会随着系统的演化而呈现指数形式的增长，迅速达到系统所在空间的大小，使得预测能力完全消失[2]。例如，著名的蝴蝶效应：上个世纪70年代，美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风[3]，可以说对天气的精准预测一直是人类未曾解决的问题。面对这样的问题，科学家们又用到了混沌这个词，看似又回到了起点，实际上今天的混沌理论与过去的说法已经有了天壤之别。 1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性[4]。1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果[5]。混沌也被认为是继量子力学和相对论之后，20世纪物理学界第三次重大革命，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。从此，混沌系统理论开始飞速发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。混沌理论正式诞生。
M a t l a b 实验报告 实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。 题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图 算法设计： 1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在 [-3,3]。 2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。 程序代码： clear;clf; hold on axis([0,3,-3,3]); grid for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像： 结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y 的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。 进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围
到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0:0.05:6 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像： 分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。 总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。 2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环 语句的应用。
实验二十九混沌现象研究 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。【实验原理】 1、非线性电路与非线性动力学 实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 C2 R0 R C1 L 图29-2 非线性元件伏安特性 图29-1 非线性电路原理图 V（R）
浅谈混沌理论的哲学意义 姓名：文小刀
浅谈混沌理论的哲学意义 文小刀 摘要：本文首先介绍了混沌理论的内含和产生，在此基础上介绍了它对自然科学和哲学思维的影响，最后提出了混沌理论的几种应用，以期探寻混沌理论的哲学意义。 关键字：混沌理论影响应用哲学意义 混沌理论被认为是与相对论和量子力学齐名的震惊世界的第三大理论，是系统科学的重要组成部分。混沌理论这个迷人的“奇异吸引子”，吸引着人们去探索混沌奥秘的科学前沿，而且像极具生命力的种子，撒遍自然科学和社会科学各个领域的沃土。它将简单与复杂、有序与无序、确定与随机、必然与偶然的矛盾统一在一幅美丽的自然图景之中，推动了人类自然观与科学观的发展；也通过一系列崭新的范畴、语言和思维方式，充实了科学方法内容并促进了方法论的进步，对科学的发展和人类社会的发展必将产生深远的影响。 一、混沌理论的含义及其产生 混沌学是当代系统科学的重要组成部分，与相对论和量子力学的产生一样，混沌理论的出现对现代科学产生了深远的影响。混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性，所谓混沌的内在随机性就是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。我们可把混沌理解为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统所出现的不规则的有序现象。这些现象可以通过对初值的敏感依赖性、奇异吸引子、费根鲍姆常数、分数维、遍历性等来表征。 混沌有如下的本质特征： 1.混沌产生于非线性系统的时间演化，作为系统基础的动力学是决定论的，无须引进任何外加噪声。因而混沌是非线性确定系统的内禀行为。 2.混沌行为对初始条件极具敏感，导致长期行为具有不可预测性，也即我们所说的确定系统产生的不确定性或随机性。这一特征不同于概率论中的随机过程，随机过程中的随机性是指演化的下一次结果无法准确预知，短期内无法预测，但长期演化的总体行为却呈确定的统计规律，混沌行为刚好相反，短期行为可确知，长期行为不确定。
心脏中的混沌现象 刘 芳 魏建西 综述 杨福生* 审 白求恩国际和平医院(050082) *清华大学电机系(100084) 摘要 近年来混沌和分形理论被广泛用于研究复杂的生命现象,本文简要介绍了混沌和分形理论的一般概念以及常用的非线性动力学方法,着重介绍了上述理论在心脏病学中的应用。 关键词 混沌 分形 心脏病 1 引言 混沌,是非线性行为的理论学说。混沌提供了一种了解很多生物现象的新工具[1,2],随着各种成功的非线性动力学概念和技术被用于人体生理过程中的非线性行为,使人们已能更好地理解复杂的心律失常、浦肯野氏纤维传导、房室传导类型等等[3,4]。讲到混沌就离不开分形,本文将就混沌与分形概念、两者在心脏病学中的应用,以及常用的非线性动力学方法进行综述。 2 一般概念 2.1 混沌理论 混沌定义为一个非周期似随机行为的确定系统。比较两个我们熟悉的行为——随机和周期。随机行为绝对不重复自己,它是内在特有的不可预测和非组织的。从生理上讲,遗传易位、受精、受体结合是基本随机的。周期行为是高度可预测的,它总是以一个有限的时间间隔重复自己如数学上的正弦波,妇女的月经也被定义为周期行为。混沌不同于周期和随机,但又具有两者的特点,虽然混沌行为看上去无组织像随机行为,但它实际上是可以确定的。目前的研究已经证实,麻疹流行、心脏行为模式、心肺相互作用、血细胞生成、脑电图等均是呈混沌的[4,5]。 混沌的特点如下: (1)混沌是确定性和随机性两者的结合。在牛顿物理学中,如果知道了方程(例如抛物线)和初始状态(例如X和K),就可以准确预测系统行为。不象牛顿物理学,混沌行为永不准确重复自己,没有可辨别的周期使它在规则的间隔返回。 (2)混沌系统表现为敏感地依赖初始状态。这句话的意思是非常小的初始状态的差别将导致巨大的结果差别。 (3)混沌行为被约束在比较窄的范围内。虽然表现为随机的,系统行为实际是有界限的,而非无界限的漫游。 (4)混沌行为有确定的形式。混沌行为不但是受约束的,而且有特定的行为模式[5]。2.2 分形 分形是以几何学的观点去观察一些看起来毫无规律的图形,如云团、海岸线、血管结构等。分形的突出特点是分数维和自相似。所谓分数维是指维数在日常所见的一维、二维、三维之间,其值不是一个整数。如一个正方形是二维,一本杂志是三维;但我们无法断定人体的血管组织其整个组织到底是处于一维、二维、还是三维空间,因为无法在长度、面积或体积上找到共有意义的表达,也即用整数维表达血管组织没有意义,因此整数维不能准确刻划出它的性质,但我们可用分数维(分形维,简称分维)的概念来定义这些形体。有 100
生活中的混沌现象 环境设计 郭书楠 20130313101022最近全国许多地方不是闹旱灾就是发大水，貌似老天爷有点变化无常了。不过话说回来，这位老天爷好像爱你个从来都是变化无常的。记得小学时候学过一篇课文叫《看云识天气》，学完后将信将疑的，回去试了一下，发现根据那些云来预测天气好多都不准。从此心中就有一个结——我们到底能不能知道明天到底是什么天气呢？ 在气象学出现之前人们只能根据经验来预测天气，但这种经验性的方法误差很大，往往不能精确预报。我想那时候的人们一定会像，要是能精确预报天气该多好啊！那时的人们大多靠天吃饭，而且天气与人们的声场生活密切相关。 幸运的是现在我们有了计算机，有了卫星云图，精确预报明天甚至后天的天气情况是没多大问题的。更进一步，气象学家已经建立了大气环流模型。模型的思想是用网格划分全球，确定每个格点上某些气象数据（气压、温度、密度等）的值，然后在计算机上模拟这些数据的时间演化。初始数据（即某个时刻气象参数的值）由卫星、探空和地面观测搜集获得。然后计算机用这些数据、已知的山脉位置及其他许多资料，算出之后某个时刻的气象数值，当然这些预测面临着现实的检验。这么说只要知道初始值，我们就应该能够预测将来任意时刻的天气了，这是多么激动人心啊！但是结果让所有人失望了，大约
一周后计算机模拟的与实际的天气情况的误差已经大得不可接受了。问题到底出在哪呢？难道是计算机出错了？当然计算机是很忠诚的，它并没有出错。究其原因，是因为任何测量都会有误差，无论过去、现在、还是未来，误差都将于我们同在，只要有测量，就一定有误差，无论将来的测量技术有多发达，这都是一个真理，因为任何测量都是有一定精度的。明白了这个事实，那么我们对于初始值的测量就变得不是那么准确了，虽然可能只有十分微小的误差。或许有人会不服：“不就是一点微小的误差嘛！至于造成这么大的影响吗？”为了证明初始值的微笑误差会造成气象上的巨大变化，我们只需将初始值做十分微小的变动然后再输入计算机进行模拟就可以了。模拟结果不出所料，这么点小小的误差（就像一股小小的风）却造成了巨大的气象灾难。发现这种现象的美国科学家爱德华·洛伦茨形象地称之为“蝴蝶效应”。 洛伦茨发现了“蝴蝶效应”之后并没有停留在这表面的现象上，若停留在可预料性被单纯的随机性战胜这一图像上，那他不过是带来了一条非常坏的消息而已。洛伦茨看到的不仅仅是随机性潜伏在他的气象模型中，他还看到一种精致的几何结构，这是一种伪装成随机性的规律性，这就是混沌！ “天气是不可长期准确预料”这一事实对于经典的决定论是绝对不能容忍的。按照牛顿力学，如果知道了一个系统初始时刻的状态我们就能知道它在其他任何时刻的状态。天体运动是牛顿力学的第一块试金石，根据牛顿力学预言的众多天文现象如海王星的位置一再证明
蔡氏电路及混沌现象研究 一、引言 在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运动形式。蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路[1]。 1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua’s circuit)。它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。 图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N R，它的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。
考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述： 其中v c1，v c2和i L分别是C1，C2两端的电压以及流过￡的电流，g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。 该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)： 其中，α1和α2是参数，K(·)是非线性函数，满足如下方程：
浅谈湍流的认识与发展 摘要：本文结合流体力学课程的学习以及对湍流相关书籍的阅读，阐述个人对湍流运动的发展、特点、性质的理解。湍流作为“经典物理学最后的疑团”，人们不断地进行探索，建立湍流模型对其进行研究理论分析。近年来，对于湍流这一不规则运动，人们提出了并且倾向于应用混沌理论进行分析，并取得了一些成果。对湍流的认识在不断深入。 关键字：湍流概念湍流性质湍流强度模型建立混沌理论 在流体力学的学习过程中, 湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”，我对湍流这一流体的状态极其相关的力学性质进行了更深入的了解与学习，结合课堂上老师的讲解以及课后对相关参考文献的阅读理解，在此我想浅谈一下这一阶段我对湍流的学习与认识。 从湍流的定义出发，初识湍流，湍流是流体的一种流动状态。对于流体，大家都知道，当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流，也称为稳流或片流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，层流被破坏。这时的流体作不规则运动，有垂直于流管轴线方向的分速度产生，这种运动称为湍流。流体作湍流时，阻力大流量小，能量耗损增加。能量耗损E与速度的关系为△ E= kv2（k是比例系数，它与管道的形状、大小以及管道的材料有关。v是平均流速）。所有流体都存在湍流现象。 我们可以用雷诺数的范围量化湍流。在直径为d的直管中，若流体的平均流速为v，由流体运动粘度v组成的雷诺数有一个临界值（大约为2300～2800），若Re小于该范围则流动是层流，在这种情况下，一旦发生小的随机扰动，随着时间的增长这扰动会逐渐衰减下去；若Re大于该范围，层流就不可能存在了，一旦有小扰动，扰动会增长而转变成湍流。雷诺在1883年用玻璃管做试验，区别出发生层流或湍流的条件。把试验的流体染色，可以看到染上颜色的质点在层流时都走直线。当雷诺数超过临界值时，可以看到质点有随机性的混合，在对时间和空间来说都有脉动时，这便是湍流。不用统计、概率论的方法引进某种量的平均值就难于描述这一流动。除直管中湍流外还有多种多样各具特点的湍流，虽经大量实验和理论研究，但至今对湍流尚未建立起一套统一而完整的理论。在流
Matlab 实验报告 实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。 题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图 算法设计： 1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在[-3,3]。 2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。 程序代码： clear;clf; hold on axis([0,3,-3,3]); grid for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像：
结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。 进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0:0.05:6 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end
在当今地世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学地前沿.从上个世纪年代以来，分形地新概念成为全球科学界热议地话题之一，并形成了分形理论地研究和探索热潮.加入这个热潮地有各种门类地科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者. 一、分形科学地产生及其基本特征[] 分形理论地创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度地基础上提出了分数维度地概念——分维，进而对大自然林林总总地各类粗糙地、貌似支离破碎地地不规则形状进行描述并研究，年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然地新学科进行了命名——分形科学.自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则地、凹凸不平地、零散分布地、支离破碎地图形，例如从雪花晶体地曲线到散落在星系中地繁星点点.而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏地复杂图形中地有序结构.个人收集整理勿做商业用途 于是，分形地理论和方法被广泛采用.在那些最实用地水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认地非线性动力学提供良方地那些结构都证明是分形地.由于开辟了一条不寻常地学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名地少数科学家地名单上，因为这些科学家地工作在科学史上具有革命地意义.个人收集整理勿做商业用途 分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎地几何形体，有着自己内在地规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性.个人收集整理勿做商业用途 自相似性就是局部地形态和整体地形态相似，或者说从整体中割裂出来地部分仍能体现整体地基本精神与主要特征.在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构地研究，还是对无限次重复形状地探讨，都贯穿着自相似性.例如，一个立于两面镜子之间地无穷反射，这是制作动画地最好方法.自相似性作为制作曲线地一种方法，同样地变换在越来越小地尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比地科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形.自相似性是分形理论地核心，是所有特性中地基本特性.个人收集整理勿做商业用途 层次性就是分形整体中存在地等级不同、规模不等地次级系统，可以说整体中地任何部分又是一个自身地整体，依次重复，直至无限.埃菲尔铁塔就是它地类似物，它地小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细地格式，层次性地网络结构浑然一体.个人收集整理勿做商业用途递归性就是结构之中存在着结构.由于自相似性是不同尺度地对称，这就意味着递归.对于分形地成长历史来说，递归性犹如情节戏剧编制而成地一样.个人收集整理勿做商业用途 仿射变换不变性就是分形地局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅相似，而且可以重叠. 曼德布罗特自己称为“一份宣言和一本手册”地《自然界地分形几何》一书，标志着分形思想地成熟.如今，它已成为额人们用来描述不规则形态地几何特征地一个有力工具.伽利略曾把宇宙比喻为一本大书，这本大叔是用数学地语言写成地.他说：“哲学是写在这部永远摆在我们眼前地大书中地——我这里指地是宇宙.但是，我们如果不首先学习用来写它地语言和掌握其中地符号，我们是不能了解它地.这部著作是用数学语言写成地，其中地符号就是三角形、圆和其他几何图形.没有这些数学语和数学符号地帮助，人们就会在黑暗地迷宫中徒劳地徘徊.[]”个人收集整理勿做商业用途 正因为有了分形这一描述宇宙不规则形态地数学语言，进一步帮助人们去读懂宇宙这本大书.正如曼德布罗特自己指出地那样，“这是一个美妙而极富生命力地领域”，深深吸引着各种专业地科学家去展翅翱翔.个人收集整理勿做商业用途 二、分形理论地分类和科学意义 按照分形理论，分形体内任何一个相对独立地部分（分形元或生成元），在一定程度上都是
摘要：在此我综述智能控制技术的现状及发展,首先简述智能控制的性能特点及主要方法;然后介绍智能控制在各行各业中的应用现状;接着论述智能控制的发展。智能控制技术的主要方法，介绍了智能控制在各行各业中的应用。随着信息技术的发展，许多新方法和技术进入工程化、产品化阶段，这对自动控制技术提出犷新的挑战，促进了智能理论在控制技术中的应用，以解决用传统的方法难以解决的复杂系统的控制问题。 关键词：智能控制应用自动化
浅谈智能控制技术现状及发展 在无人干预的情况下能自主地驱动智能机器实现控制目标的自动控制技术。对许多复杂的系统，难以建立有效的数学模型和用常规的控制理论去进行定量计算和分析，而必须采用定量方法与定性方法相结合的控制方式。定量方法与定性方法相结合的目的是，要由机器用类似于人的智慧和经验来引导求解过程。因此，在研究和设计智能系统时，主要注意力不放在数学公式的表达、计算和处理方面，而是放在对任务和现实模型的描述、符号和环境的识别以及知识库和推理机的开发上，即智能控制的关键问题不是设计常规控制器，而是研制智能机器的模型。此外，智能控制的核心在高层控制，即组织控制。高层控制是对实际环境或过程进行组织、决策和规划，以实现问题求解。为了完成这些任务，需要采用符号信息处理、启发式程序设计、知识表示、自动推理和决策等有关技术。这些问题求解过程与人脑的思维过程有一定的相似性，即具有一定程度的“智能”。 一、智能控制的性能特点及主要方法 1.1根据智能控制的基本控制对象的开放性，复杂性，不确定性的特点， 一个理想的智能控制系统具有如下性能： （1）系统对一个未知环境提供的信息进行识别、记忆、学习，并利用 积累的经验进一步改善自身性能的能力，即在经历某种变化后，变化后的 系统性能应优于变化前的系统性能。 （2）适应功能：系统应具有适应受控对象动力学特性变化、环境变化 和运行条件变化的能力。这种智能行为是不依赖模型的自适应估计，较传 统的自适应控制有更广泛的意义。 （3）组织功能：对于复杂任务和分散的传感信息具有自组织和协调功
非线性电路中的混沌现象 学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日 五：数据处理： 1．计算电感L 本实验采用相位测量。根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率 LC f π21= 时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示 波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。 测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得： mH C f L 50.21) 108.32(10095.114.341 412 39222=?????== -π 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则： 3 2222106.7)()(4)(-?=+=C C u f f u L L u 即 mH L u 16.0)(= 最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+
2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据： （2）数据处理： 根据R U I R R = 可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知： R R R R U U I I =-=11 由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得： 图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在 V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、 0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲 线。 使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程： ?? ? ??≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12- 20.02453093-0.002032U I 经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证 明在区间内I-V 线性符合得较好。 应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U 曲线。