2.1 如图所示
右
设粒子的能量为,下面就和两种情况来讨论(一)的情形
此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
其中
其解分别为
(1)粒子从左向右运动
右边只有透射波无反射波,所以为零
由波函数的连续性
得
得
解得
由概率流密度公式
入射
反射系数
透射系数
(2)粒子从右向左运动
左边只有透射波无反射波,所以为零
同理可得两个方程
解
反射系数
透射系数
(二)的情形
令,不变
此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零
(1)粒子从左向右运动
得
得
解得
入射
反射系数
透射系数
(2) 粒子从右向左运动
左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得方程
由于全部透射过去,所以
反射系数 透射系数
2.2
如图所示
在有隧穿效应,粒子穿过垒厚为
的方势垒的透
射系数为
总透射系数
2.3
以势阱底为零势能参考点,如图所示 (1)
左 中 0 a x
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
∴
∴ 相应的
因为正负号不影响其幅度特性可直接写成
由波函数归一化条件得
所以波函数
(2) ∞
∞
左 中 右
0 x
显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
当,为任意整数,
则
当,为任意整数,
则
综合得
∴
当时,,
波函数
归一化后
当时,,
波函数
归一化后
2.4
如图所示
左中
0 a 显然其中
其解为
由在右边波函数的有界性得为零
∴
再由连续性条件,即由
得
则
得
得
除以得
再由公式 ,注意到
令
,
其中,不同n对应不同曲线, 图中只画出了在的取值范围之内的部分
6
5
n=0
只能取限定的离散的几个值,则E 也取限定的离散的几个值,
对每个E ,
确定
归一化条件得
2.5
则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为
令
则上式可化成
令
则
只有当有解
2.6
由 和已知条件可得
第三章
3.1
能量本征值方程为
即
分离变量法,令
则有
令
则
同理
令
则
式中
能级简并度为
3.2
角动量算符
在极坐标系下
则
由能量本征值方程
令
其解为
由周期性
得
归一化条件
则
3.4
由能量本征值方程
令
当
令 此时 满足的方程为
时
时
只考虑
时
令
其解分别为
由波函数有界性
得
由波函数连续性
得
再由公式
,注意到
令
,
其中 , 不同n 对应不同曲线,
图中只画出了在的取值范围之内的部分
量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是: A.10-10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为: A.n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为: A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为: A.3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是: A.13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则: A.可能出现10条谱线,分别属四个线系 B.可能出现9条谱线,分别属3个线系 C.可能出现11条谱线,分别属5个线系 D.可能出现1条谱线,属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线,则至少需提供多少能量(eV)? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线? A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线(不考虑自旋); A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的: A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=h v , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ
1、以下说法是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义是什么? 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ? ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不是概率相加,而是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ和2ψ是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 (1)是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数,但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗? 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学考试题 (共五题,每题20分) 1、扼要说明: (a )束缚定态的主要性质。 (b )单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符(厄米算符)∧ F ,∧ G 不对易,令∧K =i (∧F ∧G -∧G ∧ F ),试证明: (a )∧ K 的本征值是实数。 (b )对于∧ F 的任何本征态ψ,∧ K 的平均值为0。 (c )在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H =ω∧ z S +ν∧ x S (ω,ν>0,ω?ν) (a )求能级的精确值。 (b )视ν∧ x S 项为微扰,用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱(0 (a )能量有确定值。力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。 (b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’) 选择定则:l ?=1±,m ?=0,1±,s m ?=0 根据:电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’,n l m m s ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分 (a )∧ K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。 (b )∧ F ψ=λψ,ψ∧ F =λψ K =ψ∧ K ψ=i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ =i λ{ψ∧ G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0,即2F +2 G ≥K 3、(a),(b)各10分 (a) ∧ H =ω∧ z S +ν∧ x S =2ηω[1001-]+2ην[0110]=2η[ων ν ω -] ∧ H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2η λ,则 [λωννλω---][b a ]=0,︱λων ν λω---︱ =2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-2η22νω+,E 2=2η 22νω+ 当ω?ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+222ων)=ω+ων22 E 1≈-2η[ω+ων22],E 2 =2η [ω+ων22] (b )∧ H =ω∧z S +ν∧ x S =∧H 0+∧H ’,∧ H 0=ω∧ z S ,∧ H ’=ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ,取E 1(0)=-ωη21,E 2(0) =ωη21 相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2(0)=[01 ] 则∧ H ’之矩阵元(S z 表象)为 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处?有哪些不成功的地方?试举一例说明。 (简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的?) 答:Bohr 理论中核心的思想有两条:一是原子具有能量不连续的定态的概念;二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先,Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性,但对于复杂原子光谱,甚至对于氦原子光谱,Bohr 理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题),对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题,在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法;其次,Bohr 理论只能处理简单的周期运动,而不能处理非束缚态问题,例如:散射;再其次,从理论体系上来看,Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的,多少带有人为的性质,并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应?光电效应有什么规律?爱因斯坦是如何解释光电效应的? 答:当一定频率的光照射到金属上时,有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应;光电效应的规律:a.对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率0υ,当照射光频率0υυ<时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出;b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率0υυ>时,不管光多微弱,只要光一照,几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为:(1)电磁波能量被集中在光子身上,而不是象波那样散布在空间中,所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短,是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量,光强则对应于光子的数目,光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关,饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比,频率越高,对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生,光子能量小于逸出功时,则无法激发光电子。 3.简述量子力学中的态叠加原理,它反映了什么? 答:对于一般情况,如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加:1122c c ψψψ=+(12c c ,是复数)也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时,粒子是既处于态1ψ,又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态?定态有什么性质? 答:体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-,所描写的状态时,能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质:(1)粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化;(2)任何力学量(不显含时间)的平均值不随时间变化;(3)任何力学量(不显含时间)取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系? 答:算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F (r,p )中将p 换为算符?p 而得出的,即: 《量子力学》题库 一、 简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式,简述其物理意义 答:微观粒子的能量和动量分别表示为: 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的;而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释,按这种解释,描写粒子的波是什么波? 答:波函数的统计解释是:波函数在空间中某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释,描写粒子的波是几率波。 3根据量子力学中波函数的几率解释,说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答:根据量子力学中波函数的几率解释,因为粒子必定要在空间某一点出现,所以粒子在空间各点出现的几率总和为1,因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小;因而将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态不变,这是其他波动过程所没有的。 4设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=,其中1c 和2c 为复数,1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子 2211??ψc c +=的含义,并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答:2211??ψc c +=的含义是:当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时,粒子是既处于1?态,又处于2?态。或者说,当1?和2?是体系可能的状态时,它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态;或者说,当体系处在态ψ时,体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ,各自出现的几率为2 1c 和 2 2c 。 5什么是定态?定态有什么性质? 答:定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中,所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6什么是全同性原理和泡利不相容原理?两者的关系是什么? 答:全同性原理是指由全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1. 设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为( 6.125ο A )。 2. 索末菲的量子化条件为=nh pdq ),应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E ( ηωn )。 3. 德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍 射实验所证实,德布罗意关系(公式)为( ηω=E )和( k p ρηρ = )。 4. 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=( r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ), () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 5. 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ( r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ),=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 6. t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ )。 7. 按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w =2 ),几率流密度= ( () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi )。 8. 设)(r ρψ描写粒子的状态,2)(r ρψ是( 粒子的几率密度 ),在)(r ρψ中F ?的平均值为F =( ??dx dx F ψψψψ* *? ) 。 9. 波函数ψ和ψc 是描写( 同一 )状态,δψi e 中的δi e 称为( 相因子 ), δi e 不影响波函数ψ1=δi )。 10. 定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为 零)的状态。 11. )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 ( 21E E = ),这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。 12. ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。 13. ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态,其能量一般为( 分立 )谱。 14. 3.t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ )。 15. 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。(×) 2、量子力学中能量都是量子化的。(√) 3、在本征态中能量一定有确定值。(√) 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。(×) 5、量子力学只适用于微观客体。(×) 6.对于定态而言,几率密度不随时间变化。( √ ) 7.若,则在其共同本征态上,力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8.所有的波函数都可以按下列式子进行归一化: 。 ( × ) 9.在辏力场中运动的粒子,其角动量必守恒。( √ ) 10.在由全同粒子组成的体系中,两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题(每题3分共36分) 1.黑体辐射中的紫外灾难表明:C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量; B. 黑体在紫外线部分不辐射能量; C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式; D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2.关于波函数Ψ的含义,正确的是:B A. Ψ代表微观粒子的几率密度; ψ*代表微观粒子出现的几率密度; B. Ψ归一化后,ψ C. Ψ一定是实数; D. Ψ一定不连续。 3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:D A. 偏振光子的一部分通过偏振片; B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片; C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的; D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ是该方程的一个解,则:A ψ一定也是该方程的一个解; A. * ψ一定不是该方程的解; B. * ψ一定等价; C. Ψ与* D.无任何结论。 5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹; B.粒子在势垒中有负的动能; C.粒子以一定的几率穿过势垒; D 粒子不能穿过势垒。 6.如果以∧ l 表示角动量算符,则对易运算] ,[y x l l 为:B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7.如果算符∧ A 、∧ B 对易,且∧ A ψ =A ψ,则: B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态; B. ψ一定是 ∧ B 的本征态; C.*ψ一定是∧ B 的本征态; D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8.如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易,则意味着∧ A :C A. 一定处于其本征态; B.一定不处于本征态; C.一定守恒; D.其本征值出现的几率会变化。 第一章 ⒈玻尔的量子化条件,索末菲的量子化条件。 ⒉黑体:能吸收射到其上的全部辐射的物体,这种物体就称为绝对黑体,简称黑体。 ⒎普朗克量子假说: 表述1:对于一定频率ν的辐射,物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为:ε=h ν。 表述3:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以能量ε的整数倍来实现,即ε,2ε,3ε,…。 ⒏光电效应:光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点: ①存在临界频率ν0:只有当光的频率大于一定值v0 时,才有光电子发射出来。若光频率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关,与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说: 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现,而且以这种形式在空间以光速C 传播,这种粒子叫做光量子,或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理: 当光射到金属表面上时,能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收,电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引,另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点: ①存在临界频率v0:由上式明显看出,当hν- W0≤0时,即ν≤ν0 = W0 / h时,电子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率:上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关,而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应:高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律: ①散射光中,除了原来X光的波长λ外,增加了一个新的波长为λ'的X光,且λ' >λ; ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性 量子力学试题(一)及答案 一. (20分)质量为m 的粒子,在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动,若0=t 时,粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上,其中,()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 (1) 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率; (2) 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解:非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== (1) 首先,将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知,归一化常数为 13 12=c 于是,归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 (2) 因为哈密顿算符不显含时间,故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ (3) 由于哈密顿量是守恒量,所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. (20分)质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ,若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态,试确定此势阱的宽度a 。 解:对于02 <- =V E 的情况,三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中, E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处,利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。 当02 1 V E -=时,由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题(在题中的空格处填上正确答案)1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________;宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中,│ψ│2对一个电子来说,代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________,它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1,ψ2,ψ3,…。 正交性的数学表达式为,归一性的表达式为。1106、│ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动, (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ; (2)体系的本征值谱为____________________,最低能量为____________ ; (3)体系处于基态时,粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ; (4)势箱越长,其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ; (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动, 则其本征函数集为____________,本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ,y ,z )= _________________________;当粒子处于状态 ψ 211 时,概率密度最大处坐标是 _______________________;若体系的能量为 2 247ma h ,其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子,其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____,E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动,可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子,其势能为V =kx 2/2,它 的 薛 定 谔 方 程 是 一、概念题:(共20分,每小题4分) 1、何为束缚态? 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时,简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时,若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥?采用Dirac 符号时,位置表象中的波函数应如何表示? 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么? 一、20分,每小题4分,主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度,粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程:λλλφφφλφ==F F n n n ??,然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开: ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ,则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???,n F λ=的几率为2 n c ,F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时,若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0,其中(1) ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的,或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧,(2)∧ 'H 很 小,称为加在∧) (H 0上的微扰,则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题:(共20分,每小题4分) 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么? 2、两个对易的力学量是否一定同时确定?为什么? 3、测不准关系是否与表象有关? 4、在简并定态微扰论中,如?()H 0的某一能级)0(n E ,对应f 个正交归一本征函数i φ(i =1,2,…, f ),为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数? 5、在自旋态χ12 ()s z 中,?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少? 一、20分,每小题4分,主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件:①能量比无穷远处的势小;②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定,只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。 量子力学思考题 1、以下说法是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于 不能忽略的体系,而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或 可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义是什么? 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不是概率相加,而是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ和2ψ是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 (1)是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数,但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗? 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 (2)如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展,冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间,给优化课堂教学,构建新型的教学模式,提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力,可以激发学生学习兴趣,可以动态地、对比地演示一些物理现象,极大地提高教与学的效率,达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及,很多中学配备了微机室、专用多媒体教室,建立电教中心,为计算机辅助教学(CAI)打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位,如何充分发挥CAI在中学教学中的作用,是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点,在制作过程中应注重视听教学的特征,突出启发教学,还应注重教学过程的科学性和合理性,应做到构图合理、美观,画面清晰、稳定,色彩分明、色调悦目,动画流畅,真实感强,解说清晰动听,功能丰富,演播运行安全可靠。 一.在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点: ⒈加强课前研究,建立素材资源库 课前研究是教学的准备,只有课前进行充分的研究,才能取得理想的教学效果。在备课过程中,走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际,充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件,以及相关的CD、VCD资源,选取适合教学需要的内容来制作自己的课件,从而适应不同教学情境的需要。同时,教师可在Internet上建立自己的网站,把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中,并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来,从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件,工具选择得好可以大大地加快开发进程,节省开发人力和资金,有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具,主要应从以下几个方面综合考虑:编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题(A 卷) (说明:考试时间120分钟,共6页,满分100分) 计分人: 复查人: 一、填空题:(每题 4 分,共40 分) 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2.德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为:E=h ν, p=/h λ 。 3.根据波函数的统计解释,dx t x 2 ),(ψ的物理意义为:粒子在x —dx 范围内的几率 。 4.量子力学中力学量用厄米算符表示。 5.坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为:[],x p i =h 。 6.量子力学关于测量的假设认为:当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时,测量某力学量 F 所得的数值,必定是算符F ?的本征值。 7.定态波函数的形式为:t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8.一个力学量A 为守恒量的条件是:A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。 9.根据全同性原理,全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10.每个电子具有自旋角动量S ρ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为:2 η ± 。 二、证明题:(每题10分,共20分) 1、(10分)利用坐标和动量算符的对易关系,证明轨道角动量算符的对易关系: 证明: z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 第 五 篇 第 一 章 波粒二象性 玻尔理论 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应,若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0),则此单色光的波长λ必须满足: [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解:红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0,即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应,所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中,若散射光波长是入射光波长的1.2倍,则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解: λ εhc = ,0 0λεhc = ,02.1λλ= ,所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管,在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解:可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到: 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、(共25分) 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分) 3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。(4分) 4、在一维情况下,求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。(6分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间t 和能量E 的测不准关系。(5分) 二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A ,且0????=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示; 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、(15分)线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=,其中 ημω α=,求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、(15分)当λ为一小量时,利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项,本征矢至λ的一次项。 五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为: [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是:P x x P ?2],?[-=,将其代入测不准关系知,只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值,由)()(x x -=δδ知,波函数)(x δ满足上述要求,所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-,k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值,令 F F ?F ?-=?,G G ?G ?-=?, 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???,这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为: 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ,所以算符A ?的本征值是1±,因为在A 表象中,算符A ?的矩阵是对角矩阵,所以,在A 表象中算符A ?的矩阵是:???? ??-=1001)(?A A 量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ,质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时,具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为( ,2,1,0=n )A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近,钠的价电子的能量为3ev ,其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ,当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时,光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子,反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.doczj.com/doc/9c2376994.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动,设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写,其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =,在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ,在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态,则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D量子力学期末考试题解答题
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