§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
自学引导
1. 通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2. 会求给定函数在某个区间上的平均变化率.
课前热身
Δy
1. 函数 f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 ＝
.
Δx
Δy
2. 平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则 ＝
，表示函
Δx
数 y ＝f (x )从 x 0 到 x 的平均变化率.
名师讲解
1. 如何理解Δx ，Δy 的含义
Δx 表示自变量 x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．
2. 求平均变化率的步骤
求函数 y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.
Δy f x 2 －f x 1
(3)得平均变化率 ＝ .
Δx x 2－x 1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越 小，表现得越精确．如函数 y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为 0，而在[0，
π
sin π －sin0
2 2 ]上的平均变化率为 ＝ . 2 π π
－0 2
在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝ x 2－x 1≠0.
典例剖析
题型一求函数的平均变化率
例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0 到t＝1 的平均速度．
分析t＝0 时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)
ΔS
－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．
Δt
S 3t－t2
解(1)由于v＝＝＝3－t.
t t
∴当t＝0 时，v0＝3，即为初速度．
(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2
Δt＝1－0＝1
ΔS 2
∴v＝＝＝2.
Δt 1
∴从t＝0 到t＝1 的平均速度为 2.
误区警示本题 1 不要认为t＝0 时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点
Δy
(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
Δx
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2D．3－Δx
解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
Δy －Δx 2＋3Δx
∴＝＝－Δx＋3
Δx Δx
答案 D
题型二平均变化率的快慢比较
πππ
例2 求正弦函数y＝sin x 在0 到之间及到之间的平均变化率．并比
6 3 2
较大小．
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
π
解设y＝sin x 在0 到之间的变化率为k1，则
6
3
2 3 2－3
3 6
3 2－ 3 3 3－1
3 2－3
6
3 2－3
π
sin －sin0
6 3
k1＝＝.
ππ
－0
6
ππ
y＝sin x 在到之间的平均变化率为k2，
3 2
ππ
sin －sin 1－
2 3
则k2＝＝＝.
ππππ
－
2
3
∵k1－k2＝－＝>0，
πππ
∴k1>k2.
π 3 ππ
答：函数y＝sin x 在0 到之间的平均变化率为，在到之间的平均变
3
化率为，且> . π 3 2
πππ
πππ
变式训练2 试比较余弦函数y＝cos x 在0 到之间和到之间的平均变
化率的大小．
3 3 2
π
π
cos
3
－cos0
解设函数y＝cos x 在0 到
3
之间的平均变化率是k1，则k1＝
3
.
2π
＝－π
3
－0
ππ
函数y＝cos x 在到之间的平均变化率是k2，
3 2
ππ
cos －cos
2 3 3
则k2＝＝－.
πππ
－
2 3
3 3 3
∵k1－k2＝－－(－)＝>0，
2π∴k1>k2.π2π
πππ
∴函数y＝cos x 在0 到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化
3 3 2
率．
题型三平均变化率的应用
例3 已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1 到t＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．
Δs
分析由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→
Δt
解物体在t＝1 到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1 到t＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为
Δs(Δt)2＋4Δt
＝＝4＋Δt.
ΔtΔt
变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．
解质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
－s 2＋Δt －s 2
v ＝
Δt
[ 2＋Δt 2＋1]－22＋1
＝
Δt
4Δt＋Δt 2
＝＝4＋Δt.
Δt
－
又v ≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0，
∴Δt 的取值范围为(0,1].
§ 1.1 函数的单调性与极值
1.1.2导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2.了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3.掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.
课前热身
1. 瞬时速度．
设物体的运动方程为 S ＝S (t )，如果一个物体在时刻 t 0 时位于 S (t 0)，在时刻 t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的 ，即v ＝
S t 0＋Δt －S t 0
.
Δt
当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻 t 0 的速度．Δt
越小，v 就越接近于时刻 t 0 的速度，当Δt →0 时，这个平均速度的极限 v ＝ l im
Δt →0
ΔS
＝ lim S t 0＋Δt －S t 0 就是物体在时刻
t 0 的速度即为 ．
Δt Δt →0 Δt
2.
导数的概念．
设函数 y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近 0 时， Δy f x 0＋Δx －f x 0 比值 ＝ 无限趋近于一个常数 A ，这个常数 A 就是函数
Δx Δx f (x )在点 x ＝x 0 处的导数，记作 f ′(x 0)或 y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为 f ′(x 0)
Δy
＝ lim Δx →0 Δx
＝
名师讲解
1. 求瞬时速度的步骤
(1) 求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；
ΔS
(2) 求平均速度v ＝ ；
Δt (3) 求极限 lim Δt →0 ΔS ＝ lim
Δt Δt →0
S t ＋Δt －S t
； Δt ΔS
(4) 若极限存在，则瞬时速度 v ＝ lim
. Δt →0 Δt
2. 导数还可以如下定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim
Δx→0
f x0＋Δx －f x0
Δx ＝lim
Δx→0
Δy
Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导
Δy
数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0
＝lim Δx Δx→0
f x0＋Δx －f x0
.
Δx
3.对导数概念的理解
(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．
(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：
Δy
①lim
Δx→0
Δy 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；② lim
Δx Δx→0不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．
Δx
(3)Δx 称为自变量x 的增量，Δx 可取正值也可取负值，但不可以为 0.
(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是
f x －f x0
f′(x0)＝lim
x→x0 f x0＋Δx －f x0
Δx
x－x0
意义相同．
与定义中的f′(x0)＝lim
Δx→0
4.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
Δy f x0＋Δx －f x0
(2)求平均变化率：＝；
Δx Δx
Δy
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝lim .
Δx→0 Δx
典例剖析
题型一物体运动的瞬时速度
1 例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时高度为s(t)＝v0t－gt2，
2
求物体在时刻t0处的瞬时速度．
Δs
分析先求出Δs，再用定义求，当Δt→0时的极限值．
Δt
1 1 1
解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－(v0t0－gt20)＝(v0－gt0)Δt－
2 2 2
g(Δt)2，
Δs 1
∴＝v0－gt0－g·Δt.
Δt 2
Δs
∴当Δt→0时，→v0－gt0.
Δt
1＋Δx ＋1
x ＋Δx ＋ x 1
2 x
故物体在时刻 t 0 处的瞬时速度为 v 0－gt 0.
规律技巧 瞬时速度 v 是平均速度v 在Δt →0 时的极限.因此，v ＝ lim v ＝ lim
Δt →0
Δs . Δt
Δt →0
变式训练 1 一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s ＝5t －t 2， 求此物体在 t ＝2 时的瞬时速度。
解 ∵Δs ＝5(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(5×2－22) ＝Δt －(Δt )2， Δs
∴ ＝1－Δt . Δt
∴v ＝ lim Δt →0
Δs
＝ lim Δt Δt →0
(1－Δt )＝1.
∴物体在 t ＝2 时的瞬时速度为 1. 题型二 求函数在某点处的导数 例 2 求函数 y ＝ x 在 x ＝1 处的导数．
分析 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法．
解法 1 ∵Δy ＝ 1＋Δx －1，
Δy 1＋Δx －1 Δx
∴ ＝
＝Δx
∴ lim
Δx →0 Δx 1
1 1
＝ lim ＝ . Δx Δx →0 2
1
∴y ′|x ＝1＝ .
2
解法 2 (先求导数，再求导数值) ∵Δy ＝ Δy ∴ ＝
Δx
x ＋Δx － x ， Δx
1
∴y ′＝ lim
＝ .
Δx →0
1
∴y ′|x ＝1＝ .
2
x ＋Δx － x
规律技巧 求函数 y ＝f x 在 x ＝x 0 处的导数有两种方法：一是应用导数定义； 二是先求导数再求导数值.
1
变式训练 2 利用定义求函数 y ＝x ＋ 的导数，并据此求函数在 x ＝1 处的导
x 1 1
数．解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋ －(x ＋ )
x ＋Δx x
Δy 1
＝1－ ， Δx x x ＋Δx
Δy
∴y ′＝ lim
Δx →0 Δx
1
＝ lim [1－ ] Δx →0 1 ＝1－ .
x 2 x x ＋Δx
1
∴y ′|x ＝1＝1－ ＝0.
12
Δx
＝Δx － ，
x x ＋Δx
题型三 导数的应用 例 3 某物体按照 s (t )＝3t 2＋2t ＋4 的规律作直线运动，求自运动开始到 4s 时，物体运动的平均速度和 4s 时的瞬时速度．
分析 解答本题，可先求自运动开始到 t s 时的平均速度 v (t )及函数值的增量Δs ，自变量的增量Δt ，再利用公式求解即可．
－
s t 4 解 自运动开始到 t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝ t －
4 故前 4 秒物体的平均速度为 v (t )＝3×4＋2＋ ＝15.
4
由于Δs ＝3(t ＋Δt )2
＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2， Δs
∴ ＝2＋6t ＋3Δt . Δt
＝3t ＋2＋ ，
t
∴ lim
Δt →0 Δs
＝2＋6t . Δt
∴4s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
规律技巧 导数的物理意义：
1 若已知位移 s 与时间 t 的函数关系 s ＝s t ，则在 t 0 时刻的瞬时速度 v ＝s ′ t 0 ；
2 若已知速度 v 与时间 t 的函数关系 v ＝v t ，则在 t 0 时刻的瞬时加速度 a ＝v ′ t 0 .
1
变式训练 3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为 h (t )＝100t － gt 2，
2
试求小球何时瞬时速度为 0(g ≈9.8)．
1
解 小球的运动方程为 h (t )＝100t － gt 2，
2
1 1 ∴Δh ＝[100(t ＋Δt )－ g (t ＋Δt )2
]－(100t － gt 2)
＝∴ lim
Δt →0 2 Δh ＝100－gt ， Δt
100 2
100
令 100－gt ＝0，得 t ＝ ＝ ≈10.2(s)．
g 9.8
因此，小球被上抛 10.2s 时速度变为 0.
1
100Δt －gt Δt － g (Δt )2.
2
例 4 已知质点 M 按规律 s ＝at 2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点 M 在 t ＝ 2s 时的瞬时速度为 8cm/s ，求 a 的值．
分析 这是一道逆向思维的题目，知导数 s ′|t ＝2＝8，求系数 a ，先对 s 求导，可得含 a 的方程．解出 a 即可． 解 Δs ＝a (2＋Δt )2＋3－(a ·22＋3) ＝4a ·Δt ＋a (Δt )2
Δs ∴ lim
Δt →0
＝ lim Δt Δt →0
(4a ＋a ·Δt )＝4a . 依题意有 4a ＝8，∴a ＝2. 变式训练 4 已知 f (x )＝ax ＋b ，且 f ′(1)＝2，求实数 a 的值．
解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)
＝a (1＋Δx )＋b －(a ＋b ) ＝a Δx .
∴f ′(1)＝ lim Δx →0 Δy
＝ lim
a ＝a . Δx Δx →0
又 f ′(1)＝2，∴a ＝2.
§ 1.1 函数的单调性与极值
1.1.3 导数的几何意义
自学引导
1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．
2.会求函数在点(x0，y0)处的切线方程.
课前热身
1.几何意义：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为f(x)所表示的曲线在x＝x0
处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝lim
Δx→0
f x0＋Δx －f x0
.过点(x0，f(x0))的切线方程为．
Δx
2.物理意义：如果把函数y＝f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，
那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻t0的速度，即在x0的．即vx0＝f Δy
′(x0)＝lim .
Δx→0 Δx
3.如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么称f(x)在区间(a，
b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝
f(x)的，记为，简称为．今后，如不特别指明某一点的导数，求导数
就是指求导函数.
名师讲解
1.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：
“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”，是一
个函数．所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点
的导函数值．
2.可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))
处的切线方程可如下求得：
(1)求出f′(x0)，则f′(x0)就是点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
典例剖析
题型一 求曲线上某点处的切线方程例 1 已知曲线 C ：y ＝x 3.
(1) 求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程；
(2) 第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点． 分析 先求出函数 y ＝x 3 在 x ＝1 处的导数，即切线的斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
解 (1)将 x ＝1 代入曲线 C 的方程得 y ＝1， ∴切点 P (1,1)．
Δy
∵y ′＝ lim
Δx →0 Δx
＝ lim Δx →0
＝ lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3
Δx
3x 2Δx ＋3x Δx 2＋ Δx 3
Δx
＝ lim
[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2
， Δx →0
∴y ′|x ＝1＝3.
∴过 P 点的切线方程为 y －1＝3(x －1)， 即 3x －y －2＝0. (2) 由Error!可得
(x －1)(x 2＋x －2)＝0，
解得 x 1＝1，x 2＝－2，
从而求得公共点为 P (1,1)或 P (－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
规律技巧 先求出函数 y ＝f x 在 x ＝x 0 处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.
1 1
变式训练 1 求双曲线 y ＝ 在点( ，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
x 2
1
解 ∵y ＝ ，
x
1 1
Δy x ＋ －
∴k ＝ lim Δx →0
＝ lim Δx x
＝ lim
Δx Δx →0 Δx
－1 1
＝－ . Δx →0 x 2＋x Δx x 2
1
∴当 x ＝ 时，k ＝－4，∴切线斜率为 k ＝－4.
2
1
切线方程为y－2＝－4(x－ )，
2
即 4x＋y－4＝0.
题型二求过某点的切线方程
5
例2 求抛物线y＝x2 过点( ，6)的切线方程．
2
5
分析点( ，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等2
量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程．
解设此切线在抛物线上的切点为(x0，x20)，则
x0＋Δx2－x20 y′|x＝x0＝lim
Δx→0＝lim
Δx Δx→0(2x0＋Δx)＝2x0，
x20－6
∴＝2x0，即x02－5x0＋6＝0，解得
5
x0－
2
x0＝2，或x0＝3.
即切线经过抛物线y＝x2 上的点(2,4)，
(3,9)．故切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9
＝6(x－3)，
即 4x－y－4＝0，或 6x－y－9＝0 为所求的切线方程．
规律技巧求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解.
1 7
变式训练2 求抛物线y＝x2 过点(4， )的切线方程．
4 4
1
解设切线在抛物线上的切点为(x0，x20)，
4
1 1
x0＋Δx 2－x02
4 4
∴y′|x＝x0＝lim
Δx→0Δx
1 1 1
＝lim ( x0＋Δx)＝x0.
Δx→0 2 4 2
1 7
x02－
4 4 1
∴＝x0.
x0－4 2
即x20－8x0＋7＝0，
解得x0＝7，或x0＝1，
1 49 1
即切线过抛物线 y ＝ x 2 上的点(7， )，(1， )，
4 4 4
故切线方程分别为
49 7 1 1
y － ＝ (x －7)，或 y － ＝ (x －1)，
4 2 4 2
化简得 14x －4y －49＝0，或 2x －4y －1＝0， 此即所求的切线方程．
题型三 导数几何意义的综合应用 例 3 求曲线 y ＝x 2 在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 分析 由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线
方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算．
解 Δy ＝(3＋Δx )2－32 ＝6Δx ＋(Δx )2，
Δy ∴f ′(3)＝ lim
Δx →0 ＝ lim Δx Δx →0
(6＋Δx )＝6. ∴点(3,9)处的切线方程为 y －9＝6(x －3)， 即 y ＝6x －9.
3
切线与两坐标轴的交点分别为( ，0)，(0，－9)．
2
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
1 3 27 S ＝ × ×9＝ .
2 2 4
变式训练 3 在曲线 y ＝x 2 上求一点 P ，使过点 P 的切线与直线 y ＝4x －5 平行．
解 设 P (x 0，x 2
0)， Δy
则 f ′(x 0)＝ lim
Δx →0 Δx
＝ lim Δx →0 x 0＋Δx 2－x 20
Δx ＝ lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0. 由题意可得
2x 0＝4，∴x 0＝2.
故点 P 的坐标为(2,4).
§ 1.2 导数的计算
1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则
自学引导
1
1. 能根据导数的定义，会求函数 y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ ，y ＝
x
的导数．
x
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的
导数.
课前热身
2.
则． (1)[f(x)±g(x)]′＝；
(2)[f(x)·g(x)]′＝；
f x
(3)[ ]′＝.
g x
]
]
名师讲解
(3) 公式中 n ∈Q ，但对于 n ∈R 公式也成立．
(4) 特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错．如
2. 两函数和差的求导法则的推广
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )
此法则可以推广到有限个可导函数的情形．[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝ f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．
(2)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ，b 为常数)．
3. 两函数商的求导法则
f x
f ′ x
g x －f x g ′ x ′＝ (g (x )≠0)，
g x g 2 x 当 f (x )＝1 时，则有[ 1 g ′ x
(g (x )≠0)． ′＝－
g x 这是一个函数倒数的求导法则．
g 2 x
4. 求导运算的技巧
在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量.
题型一 求导函数
例 1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 12；
( [g (x )]2
f ′(x )
g (x )－f (x )g ′(x )
(3) g (x )≠0) 2.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
答案
[
1
(2)y＝；
x3
(3)y＝3 x2.
分析这三个小题都可归为x n 类，用公式(x n)′＝nx n－1 完成．
典例剖析
解(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
1
(2)y′＝( )′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.
x3
变式训练1 求下列函数的导
数． (1)f(x)＝10x； (2)f(x)
x； (3)g(t)＝e t.
＝log
2
解(1)f′(x)＝(10x)′＝10x ln10.
1
(2)f′(x)＝(log2x)′＝.
x ln2
(3)g′(t)＝(e t)′＝e t.
题型二求函数在某点处的导数
例2 (1)求函数y＝a x，在点P(3，f(3))处的导数；
(2)求函数y＝ln x 在点Q(5，ln5)处的导数．
分析先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值．
解(1)∵y＝a x，
∴y′＝(a x)′＝a x ln a.
则y′|x＝3＝a3ln a.
1
(2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝ .
x
1
则y′|x＝5＝ .
5
规律技巧求函数在某定点点在函数曲线上的导数，一般过程是：①先求导函数；②把定点的横坐标代入导函数求出导数值.
变式训练2 求下列函数在某点处的导数．
(1)y＝log a x，x＝2；
π
(2)y＝cos x，x＝；
4
(3)y＝2x3＋3 x，x＝1；
π
(4)y＝sin x，x＝.
3
2
1＋x 1－x
1－x ＋
1＋x
1－x 2 1
解(1)∵y＝log a x，∴y′＝.
x ln a
1
则y′|x＝2＝.
2ln a
(2)∵y＝cos x，∴y′＝－sin x.
ππ
则y′|x＝＝－sin ＝－.
4 4 2
1 19
则y′|x＝1＝6＋＝.
3 3
(4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
ππ 1
则y′|x＝＝cos ＝ .
3 3 2
题型三利用运算法则求导数
例3 求下列函数的导数．
(1)y＝x2·sin x＋cos x；
ln x
(2)y＝；
x＋1
(3)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
1＋x 1－x
(4)f(x)＝＋.
1－x 1＋x
分析对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．
解(1)y′＝(x2sin x＋cos x)′
＝(x2sin x)′＋(cos x)′
＝2x sin x＋x2cos x－sin x
＝(2x－1)sin x＋x2cos x.
ln x
(2)y′＝( )′
x＋1
1 x x＋1 －ln x
1
1－ln x＋
x x－x ln x＋1
＝＝＝.
x＋1 2x＋1 2x x＋1 2
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)
＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5
f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′
＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(4)∵f(x)＝
1＋x 2 2 1＋x 4 ＝＋＝＝－2，1－x1－x1－x 1－x
1－ x 1＋ x 1－ x 4 4′ 1－x －4 1－x ′ 4
∴f ′(x )＝( －2)′＝ ＝
.
1－x 1－x 2 1－x
2
规律技巧 运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数 y
＝f (x )的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导．
变式训练 3 求下列函数的导数． (1) y ＝tan x ；
1 1
(2)y ＝ ＋ ；
x x
(3)y ＝1＋sin cos ；
2 2 x
(4)y ＝ －2x .
x ＋1
sin x
解 (1)y ＝tan x ＝ ，
cos x
sin x ∴y ′＝( )′＝
cos x cos 2x ＋sin 2x 1
sin x ′cos x －sin x cos x ′
cos 2x ＝ ＝ .
cos 2x cos 2x 1 1 2
(2)∵y ＝ ＋ ＝ ，
1＋ x 1－x 2 －2 1－x ′ 2
∴y ′＝( )′＝ ＝ .
1－x 1－x 2 x x 1
1－x 2
(3)∵y ＝1＋sin cos ＝1＋ sin x ，
2 2 2 1 1
∴y ′＝(1＋ sin x )′＝ cos x .
2 2 x
(4)y ′＝( )′－(2x )′
x ＋1 x ＋1 －x ＝ －2x ln2
x ＋1 2
1 ＝ －2x ln2.
x ＋1 2
题型四 求切线方程 例 4 求过点(1，－1)的曲线 y ＝x 3－2x 的切线方程．
分析 点(1，－1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切
点． 解 设 P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为 f ′(x 0)＝3x 2
0－2，故切线方程
为 y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即 y －(x 30－2x 0)＝(3x 02－2)(x －x 0
)，又知切线过点(1，－1)代入上述方程，
得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)，
1
解得x0＝1，或x0＝－，
2
1 7
∴切点为(1，－1)或(－， )．
2 8
故所求的切线方程为y＋1＝x－1，
7 5 1
或y－＝－ (x＋ )，
8 4 2
即x－y－2＝0，或 5x＋4y－1＝0.
规律技巧 1 在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程.在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点.
2 求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′ x0x－x0，代入点P的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
变式训练4 已知曲线y＝x3－3x，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x1，y1)，则切线的斜率
k＝y′E rr o r!x＝x1＝3x21－3，
∴切线方程为y＝(3x12－3)x＋16.
又切点在切线上，
∴y1＝(3x12－3)x1＋16.
∴x31－3x1＝(3x21－3)x1＋16，
解得x1＝－2.
∴切线方程为y＝9x＋16，
即 9x－y＋16＝0
§ 1.2 导数的计算
1.2.2复合函数的导数
自学引导
能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合
函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.
课前热身
1.复合函数的概念．