GMAT 数学排列组合难题集1、10 人中有6 人是男性，问组成4 人组，3 男1 女的组合数。
基本组合题：C 3 C 1
6 4
2、有4 对人，任取3 人，组成一个小组，不能从任意一对中取2 个，问有多少种可能性？
C 3 –C 1 C 1
8 4 6
先取得所有的组合数，然后减去选取了成对的情况，
3、15 人中取5 人，有3 个不能都取，有多少种取法?
C 5 –C 2
15 12
4、7 人比赛，A 在B 的前面的可能性有多少种
7
P7 / 2 A 在B 前的次数与在其后的次数相等
(6+5+4+3+2+1)P(5,5)
5、3 对人分为A,B,C 三组，考虑组顺和组中的人顺，有多少种分法?
P 3 ×（P 2 ）3
3 2
先考虑组顺，再考虑人顺
6、17 个人中任取3 人分别放在3 个屋中，其中7 个只能在某两个屋，另外10 个只能在另一
个屋，有多少种分法？
P 2 P 1
7 10
7、A,B,C,D,E,F 排在1，2，3，4，5，6 这六个位置，问A 不在1，B 不在2，C 不在3 的排
列的种数？
P 6 -3P 5
6 5+3P 4
4-P 3
3
(先取总数，后分别把A 放1，B 放2, C 放3,把这个数量算出，从总数中减去即可，建议用三个同样的环相互交错取总数的方法计算)
A 在1，
B 在2，
C 在3 的可能排列：3P(5,5) -3P(4,4) +P(3,3)
AUBUC=A+B+C-AnB-BnC-CnA+AnBnC
8、4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，有多少种排法？
2P 33
9、5 辆车排成一排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且3 辆红车不可分辨，问有多少种排法？
P 5 /P 3
5 3如果再加一个条件2 辆不可分辨的白色车，同理：P 7
7/P 3 P 2
3 2
2
10、 6 个身高不同的人分成2 排，每排3 人，每排从左到右，由低到高，且后排的人比他
身前的人高，问有多少种排法？
5 种。穷举发。
6 个人，为1，2，3，4，5，6，即
1，5，6，三数固定，把2，3，4，在里面摆。此题在2001 年一月份出现。
答案正确偶的解法是1 和6 固定其他调整
11、掷一个均匀硬币2N 次，求出现正面K 次的概率。
C k(1/2) 2n 独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立
n
重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P
n（K）＝C n
k P k (1－P) n-k （一夫妇生四孩子，问生2 男2 女的情况之几率；每次生男女概率相同，1/2,如抛硬币问
2 4
题（抛四次，2 次朝上）,即C
4(1/2)＝3/8
12、有5 个白色珠子和4 个黑色珠子，从中任取3 个，问其中至少有一个是黑色的概率。
1- C 35/C 39
13、自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6 整除的n 的取值概率？
由于3 个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3 整除的数，因此100％
14、设0 为正方形ABCD[ 坐标为（1，1），（1，－1），（－1，1），（－1，－1）]中的一
点，求起落在x2+y2 1 的概率。
面积法。x2+y2＝1 为一个以原点为圆心，半径为1 的圆，面积为л,正方形面积为4，ANSWER: л/4
15、A>B（成功的概率）？
（1）A 前半部分的成功概率为1％，B 前半部分成功概率为1.4%.
（2）A 后半部分的成功概率为10％，B 后半部分成功概率为8.5%.
C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5%
16、集合A 中有100 个数，B 中有50 个数，并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10
的有20 对。问任意分别从A 和B 中各抽签一个，抽到满足a+b=10 的a,b 的概率。
2
C 1 /C
01 C 1
100 50
17、有两组数，都是『1，2，3，4，5，6』，分别任意取出两个，其中一个比另一个大2
的概率？
2*4/ C 1 C 1
6 6
由于注明分别，即分两次取。
18、从0 到9 这10 个数中任取一个数并且记下它的值，再取一个数也记下它的值。当两
个值的和为8 时，出现5 的概率是多少？
2/9. 总共有{(8,0)(0,8)（1,7）（7,1）（6,2）(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素19、 5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？
5/ C 2
10
20、从0 到9 中挑出4 个数编4 位数的电话号码，求首位不是0 且数字不重复的概率。
4 3 4
(P10-P9)/10
21、两把keys,放到有5 个keys 的keychain（直线）中，相邻的概率为多少?
2
两把keys 放入后的排列为P
7，两把keys 相邻的情况把两把看成一把，放入上图O
的位置C 1
6再排两把keys,即再×2，所以为2 C 1
6/P 2
7
.放入环的情况相当于放入4 个keys
的直线中，2 C 1
5/P 2
6
考友可自行画图理解。
22、 3 男生，3 女生，从中挑出4 个，问男女相等的概率？
C 2 C 2
3 3/C 4
6
23、 4 对夫妇，从中任意选出3 人组成一个小组，不能从任一对夫妇中同时选择两人，问
符合选择条件的概率是多少？
(C 38–C 16 C 1 )/C 3
4 8
24、从6 双不同的手套中任取4 只，求其中恰有一双配对的概率。
C 1 C 2 C 1
6 5 2 C 1 /C 4
2 12
先确定一套的那个C61,然后从剩下５套中选择两套C52，每
一套又各有两种取法
或者 C(6,3)*C(3,1)*C(2,1)*C(2,1)/C(12,4) 解释如下:
1) 4 gloves and only one pair means 4 gloves have to come from 3 pairs, so C(6,3)----2) from 3 pairs select THE ONLY one pair (2 gloves) so C(3,1)----3) from the left 2 pairs (2 groups), each select 1 so C(2,1)*C(2,1)
25、 3 个打字员为 4 家公司服务，每家公司各有一份文件录入，问每个打字员都收到文件
的概率？
(C 2 4 C 1 )C 1 2 3
/34 先把文件分为 2，1，1 三堆，然后把这三堆文件分给三个打字
员。
26、 有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率。
2 4 与 11 题相同。C 4
(1/2) ＝3/8 27、 一个人掷飞标，其中击中靶心的概率为 0.7,他连续掷 4 次飞标，有 2 次击中靶心的概
率为多少？
2 2 2 见 11 题 C 4
×0．7 ×0．3 28、 某种硬币每掷一次正面朝上的几率为 0.6，问连续抛 5 次，至少有 4 次朝上的概率。
4 4 见 11 题 0．65＋C
5 ×0．
6 ×0.4
29、 A 的发生概率为 0.6，B 发生的概率为 0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？
0.4 请画两个圆分别代表 A,B 发生的概率，当 B 包含于 A 时，即是 A,B 都不发生的 最大概率。 I ＝A+B-A*B+AB
AB=1-0.6-0.5+0.6*0.5=0.4 30、 某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为 0.56，求现龄为 20 岁 的这种动物活到 25 岁的概率。 80%
0.56/0.7
P(0-20)*P(20-25)=P(0-25)
31、 There are 6 groups in a room. Each group consists of 3 men. How many handshakes will
there be if each man only shakes hands with people who are outside his group?
C(18,2) – 6C(3,2) = 18X17/2 - 6(3X2/2) = 153 - 18 = 135.
I) 18 people shake had with each other or C(18,2) II) Then subtract the hand
shakes within each group. Six such group with 6 hand shakes each or 6C(3,2)
32、if you tossed a coin three times, what's the probability that you get the same side all three
times.
the probability that you get one side 1/8 plus the probsbility that you get another side 1/8 totaling 1/4.
排列组合练习题
各项定义请参照ETS 的PP3 中的MATH 部分的Discrete Probability
1、一只袋中状语5 个乒乓球，其中3 只白色，2 只红色，现从袋中取球两次，每次一只，取出后不足放回。试求：1）两只球都是白色的概率
2）两只球颜色不同的概率
3）至少有一只白球的概率
2 2 1 1 2 2 2
1）C3/C52) C3 C2/C53) 1- C2/C5
2、甲乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。
1-(1-0.9)(1-0.8)=0.98
3、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4, 求将此密码译出的概率。
1-(1-1/5)(1-1/3)(1-1/4)=3/5
4、某市共有10000 辆自行车，其牌照号码从00001 到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8 的概率。
1-(9/10)4
5、电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。
1 a
6、袋中有a 只白球，b 只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第K 次摸出白球的概率（1 k a+b）
C 1 P a+b- a+b-1 /P a+b
a+b =a/(a+b)
Explanation:
a) A1 到Aa 各自放在K 的位置上时，别的A 和B 的排列的总和: A1 放在K 的位置上时别的A
和B 的排列的总和is P(a+b-1,a+b-1)（这个排列就是所有别的A 和B 的排列）；A2 放在K 的位置上时别的A 和B 的排列的总和is P(a+b-1,a+b-1)；......；Aa 放在K 的位置上时别的A 和B 的排列的总和is P(a+b-1,a+b-1)；所以A1 到Aa 各自放在K 的位置上时，别的A 和B 的排列的总和X=a*P(a+b-1,a+b-1)。
b) 全部A 和B 的排列的总和Y =P（a+b，a+b).
c) 比率 = X/Y=a*P(a+b-1,a+b-1)/P（a+b，a+b)= a* (a+b-1)! / (a+b)!= a/(a+b)
7、3 封不同的信，有4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法?
43
8、有5 个队伍参加了某联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？
2C 25
9、从5 位男同学和4 位女同学中选出4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
C 4 –C 4
9 5-C 4
4=120
10、七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？要加上当甲坐首位和乙坐末位的同时的被多减一次的数目
P 7 –2P 6
7 6+P 5
5
=3720
11、用0，2，4，6，9 这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个？
P 5 -2P 4
5 4+P 3
3
=78 9 不在末位，0 不在首位
12、6 张同排联号的电影票，分给3 名男生和3 名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？
3 3
2 P3P
3 =72
13 甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻），那么不同的排法共有多少种？
(1/2)P 55
14、晚会上有5 个不同的唱歌节目和3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
1）3 个舞蹈节目排在一起
2）3 个舞蹈节目彼此分隔
3）3 个舞蹈节目先后顺序一定
P 3 P(6,6)先把3 个舞蹈节目看成一个节目与唱歌节目节目进行排列，后内部排列
1) 3
C 3 P 3 P 5
2) 6 3 5
5
P8
3)
15、4 本不同的书分给2 人，每人2 本，不同的分法有多少种？
2 1 2 2
C4 (3 本分给2 人分法：2C3) (6 本分给3 人，每人2 本分法: C6 C4 )
温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A ． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A． 240种 B． 188种 C． 156种 D． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a如下：* t N ?∈，满足 1 t t a a + <，且* s N ?∈，满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项，若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a共有（） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答） 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.
排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的
插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524
~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2 步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法， 再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. ： 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 （ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有
排列组合中的常用方法 1.排列数：)! (! )1()2)(1(m n n m n n n n P m n -= +-???--=，（其中m ≤n ，m 、n ∈N ）. 注意：为了使m=n 时，!)! (! n n n n P P n n m n =-= =公式成立，我们规定10=！（同时11=！）. 2.组合数：)! (!! 123)2)(1()1()2)(1(m n m n m m m m n n n n P P C m m m n m n -?= ?????--+-???--==),,(n m N m n ≤∈*且 m n n m n C C -= ),,(n m N m n ≤∈*且. 注意：为了使m=n 时，0n n n C C =公式成立，我们规定10 =n C ， 所以11 10 10 ====+++k k k k k k C C C C ； 3.排列组合问题联系生活实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 4.排列组合中的常用方法如下： （1）特殊元素和特殊位置问题——优限法 （2）多元问题——合理分类与分步法 （3）相邻问题——捆绑法 （4）不相邻问题——插空法 （5）定序问题——倍缩法 （6）重排问题——求幂法 （7）平均分组问题——除序法 （8）分组问题——隔板法 （9）分配问题——先分组后排列法 （10）球盒问题 （11）区域涂色问题——分步与分类综合法 （12）“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略） （13）元素个数较少的排列组合问题——枚举法 （14）复杂的排列组合问题——分解与合成法
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m
高考数学复习系列，排列组合专题，共两篇文章： 一、排列组合中“重复”的产生与纠正 二、排列组合应用问题的九种求解策略 一、排列组合中“重复”的产生与纠正 有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生错误原因之一是由于重复造成的。在解题时，应做到既不出现重复，又能判断出解题的正误，并加以剖析、纠正，这样对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题能力均有很大益处。重复出现在下面几种情况中： 1、分步违反“无关”而产生重复 例1：假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有多少种？ 分析：“至少有件次品”是指“恰有2件次品或恰有3件次品”，因此可分成两类求解。 解法1：（直接法）第一类，2件次品3件合格品，有种；第二类，3件次品2件合格品，有种。由分类计数原理得抽法为＋＝3783976（种）。 解法2：（间接法）不论次品，合格品抽法共有，恰有1件次品的抽法种数有，没有次品的抽法种数为，至少有2件次品的抽法种数为－－＝3783976（种）。 评注：“至少”或“至多”问题是组合问题中的常见类型，可分成几类用直接法，也可用间接法。当所分的类较多时，用间接法会更简捷。 2、均分组问题易重复 例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？ 解法1：分四步完成。首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有种取法；然后从其余的6个小球中任取2个有种取法；再从剩下的4个小球中任取2个有种取法；最后留下的2个小球作为一堆有种取法，根据分步计数原理，共有不同的分堆方法种数为＝2520种。
解法2：首先从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有种取法；然后从其余的6个小球中任取2个有种取法；再从剩下的4个小球中任取2个有种取法；最后留下的2个小球作为一堆有种取法，根据分步计数原理，共有种取法，再除以均分堆的重复次，所以共有不同的分堆方法有＝105种。 评注：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1,2，…,8。第一种取法：第一次取出1,2号球，第二次取出3,4号球，第三次取出5,6号球，第四次取出7,8号球，分成了四组。第二种取法：第一次取出7,8号球，第二次取出1,2号球，第三次取出3,4号球，第四次取出5,6号球，分成了四组，不难看出这两种取法是同一种分组方法，因此解法1出现重复，导致错误。 3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复 例3：6人排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？ 解法1：6个人任意排成一排排法总数为种，其中不合题意的排法分两类。 ①甲排在左端，其余5人排在剩下的5个位置上，有种；②乙排在右端，其余5人排在剩下的位置上，有种。所以适合题意的排法有－2＝480（种）。 解法2：6人全排列为种，减去不符合题意的两种：甲在左端有种；乙在右端有种，再补上多减去的甲在左端且乙在右端的一类排法种，所以适合题意的排法有－2＋＝504（种）。 评注：解法1错误，解法2正确。 原因：解法1第一类中，甲在左端乙在右端有种；第二类中，乙在右端甲在左端有种； 故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导致错误。 二、排列组合应用问题的九种求解策略 解排列组合问题的基本策略有：特殊元素优先安排的策略；合理分类与准确分步的策略；正难则反,等价转化的策略；相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理的策略；元素定序，先排后除的策略等．
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合。 3.排列数公式： 4.组合数公式： 5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法? 分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法? 分析此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来，将得到×23+×10=元，所以比2元多元，所以剩下元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程。 解 43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法：有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除。 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种? 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种? 练习3 马路上有编号为1，2，3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯，问满足条件的关灯方法有多少种? 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件，求发生故障的不同情形数目? 小结： 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目，根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些
排列组合、概率统计 一、选择题 1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 2.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 3.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n 4.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨） 柱形图，以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. G ? F ? E ?
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 6.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 7.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参 加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （）A．1 3B．1 2 C．2 3 D．3 4 二、填空题 1.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽 取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=． 2.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和 3. 甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是. 3.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和 等于5的概率为1 14 ，则n=______. 4.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成， 元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作， 则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命 （单位：小时）服从正态分布N(1000，502)， 且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.