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计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2

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《自由曲线与曲面》PPT课件

《自由曲线与曲面》PPT课件

7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面

精品课件-计算机图形学-第4章 曲线和曲面

精品课件-计算机图形学-第4章 曲线和曲面

第 4 章 曲线和曲面
2. 参数曲线的定义 如图4.1所示, 对于三维空间上连续的单值参 数曲线可定义为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
0t 1
它是三维空间上的一个有界点集, t=0和t=1分别 为
参数曲线的两个端点参数。
第 4 章 曲线和曲面
BT
t＝1P(t) N zFra bibliotekt＝0
0
x
y
图 4.1 参数曲线及其几何量
T d P /dt dP/dt
对于弧长参数s,
T d P d P /dt d t d s /dt
通常称矢量T为单位切矢量。
第 4 章 曲线和曲面
3) 曲率 设以弧长s为参数, 则参数曲线上任一点的曲 率定义为k=|dT/ds|。 因此
T
dP dt
P(s),k
d2 P ds2
P(s)
即
k
d2 x d s2
(4-4)
P(t)=F1P0+F2P1+F3P′0+F4P′1
第 4 章 曲线和曲面
由于F=［F1 F2 F3 F4］可以写成
2 2 1 1
F t3 t2 t 1 3 3 2 1 TM 0 0 1 0
1 0
0
0
0 0 0 1 M 1 1 1 1 1
0 0 1 0 3 2 1 0
其矢量表示式为
(4-1)
P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0 t∈ ［ 0, 1 ］
其中, a3、 a2、 a1、 a0是其代数系数矢量, 它 们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。 因而, 只要a3、 a2、 a1、 a0确定, 该三次参数曲线也就惟一地确定了。

《自由曲线与曲面》课件

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课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
单击此处添加副标题
自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力

计算机图形学-自由曲线与曲面2

计算机图形学-自由曲线与曲面2
– 形状控制直观 – 设计灵活
哈工大计算机学院 苏小红
22
Bezier曲线（22/22）
• 缺点：
– 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 – 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给
定顶点值的加权平均 – 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 – 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 – 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
• 苏晓红，李东，王宇颖．基于曲率参数的NURBS曲线插值 ．哈尔滨工业大学学报，2001,1,33(1):108-111
哈工大计算机学院 苏小红
44
B样条曲线（19/19）
• 优点：
– 与控制多边形的外形更接近 – 局部修改能力 – 任意形状，包括尖点、直线的曲线 – 易于拼接 – 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
– 第2段：
P2, P3, …, Pn, Pn+1, Pn+2
– 第m段：
Pm, …, Pn+m-1, Pn+m
哈工大计算机学院 苏小红
27
B样条曲线（4/19）
• 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段
• 基函数为B样条函数
规定0/0=0
哈工大计算机学院 苏小红
28
B样条曲线（4/19）
• deboor-Cox 递归公式
第四章 自由曲线与曲面（二）
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
2
外形设计的要求与特点
• 初始给定的型值点不精确，不必点点通过 • 性能、美观、自由度大 • 想想画家是如何画汽车的？

计算机图形学 曲线和曲面

计算机图形学 曲线和曲面
不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据 点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面， 称为样条曲线或曲面。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。
4.1.1 规则曲线或曲面的表示法
Q
P2’
P2 t=0.5
P1
P3
t=0
A
t=1
4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式
根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：
t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
5．参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参 数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。 P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且 P’’(1)=Q’’(0)
[x(t) y(t)] = [t2 t 1]
2 4 2 x1 y1
3
4

1

x2

第4章自由曲线和曲面

第4章自由曲线和曲面
逼近(approximation)方法要求生成的曲线靠近 每个型值点，但不一定要求通过每个点。逼近方法 有最小二乘法，Bezier方法，B样条方法等。
用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合 方法。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
3
(C)
4.1.3 参数连续性条件(Parameter continuity conditions) 0阶导数连续性，记作C0连续，是指曲线相连。即第
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
18
(C)
2020/4/6
Hermit三次曲线2绘制演示
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
19
(C)
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
20
(C)
Hermit三次曲线算法主要实现子程序实例
void HermitCurve(HDC hdc)
{
int i; //8个型值点坐标
如果是平面曲线，则只有x和y分量。
2020/4/6
计算机图形学演示稿 纪玉波制作
15
(C)
例：给定８个型值点，其中起始点和终止点是同一 个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形， 具体坐标位置如下：
（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）, （370,100）,（420,200）,（420,300）,（100,300）．
1．样条曲线(spline curve ) 在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项
式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足 特定连续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲 线来描述。样条用来设计曲线和曲面形状，典型 的CAD应用包括汽车、飞机和航天飞机表面设计 以及船壳设计。

第4章 自由曲线与曲面2[52页]

哈工大计算机学院 苏小红
3
Bezier曲线
• 1962年，法国雷诺汽车公司，P.E.Bezier工程师 • 以“逼近”为基础 • UNISURF • 1972年雷诺汽车公司正式使用 • 稍早于Bezier，法国雪铁龙汽车公司，de Casteljau • Flash的绘图工具 • 北大方正，字型的轮廓线
11
Bezier曲线（11/22）
– 拟局部性
– 形状的易控性（演示）
哈工大计算机学院 苏小红
12
Bezier曲线（12/22）
• 二次Bezier曲线
– n=2 – 抛物线
P1
P(0.5)
基函数
P(0)
P0
M
P(1)
P2
哈工大计算机学院 苏小红
13
Bezier曲线（13/22）
• 三次Bezier曲线
哈工大计算机学院 苏小红
23
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
24
B样条曲线（1/19）
• 产生：
– 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 – 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启
(t
)
C30 (1 t)3
1 3 3 1 1
GBEZ
•
C31t(1
t
)2
C32tC2 (331t3
t
)
GBEZ
•
0 0 0
3 0 0
6
3
t
3 3t2

(计算机图形学)自由曲线曲面


参数连续性，用C 表示 C0连续（0阶参数连续） —— 指曲线相连，前一段曲线的终点
阶数
t=1与后一段曲线的起点t=0相同，即 相邻两段曲线结合点处有相同坐标。
C1连续（一阶参数连续） ——代表两个相邻曲线段的方程在相交
点处有相同的一阶导数（切线）。 （一阶导数反映了曲线对参数 t 的变 化速度）
B2,3(t)ຫໍສະໝຸດ Ot4个基函数
7.2.2 Bernstein基函数及曲线的性质
Bi ,n (t ) n! i i t i (1 t ) ni C n t (1 t ) ni i!(n i)!
t∈〔0，1〕（i＝0，1，2……n） ，t∈〔0，1〕
1.非负性： Bi,n (t ) 0
void CTestView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线 { CDC *pDC=GetDC(); CPen NewPen,*pOldPen; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//曲线颜色 pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen); pDC->MoveTo(P[0]); for(double t=0.0;t<=1.0;t+=0.01) { double x=0,y=0; for(int i=0;i<=n;i++) { x+=P[i].x*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); y+=P[i].y*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); } pDC->LineTo(Round(x),Round(y)); } pDC->SelectObject(pOldPen); NewPen.DeleteObject(); ReleaseDC(pDC); }

计算机图形学-自由曲线与曲面


t [0,1]
参数方程的矢量和矩阵表示
矢量表示：
p(t ) at bt ct d
3 2
t 0,1
矩阵表示：
p(t ) t

3
t
2
a b t 1 t 0,1 c d

参数表示的优点
1)点动成线（t可看为时间，曲线是点随时间而动 的轨迹）；有更大的自由度控制曲线曲面的形 状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而 不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换 3)可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对 变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面 扩展到高维空间中；
通常，用基函数和控制点信 息来决定一条曲线
参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为：
p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p’0+ F4(t) p’1
表示该曲线：两点的坐标及其一阶导数+调和函数， t 的取值范围：[0，1]
7.3 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样 条曲线：
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第七章
我们需要曲线曲面?

Geri
Geri’s model
Geri’s game
3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾
Bezier曲线和B样条曲线
Bezier曲面和B样条曲面

自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档

Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d

t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
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(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧

二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点

给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线


n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：



26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
。
P0' =q(P01-P0) P1' =q(P1-P10)
。
4.6 Bezier曲线
P(t ) t 3 t 2

1 P0 2 2 1 3 3 2 1 P 1 t 1 0 0 1 0 q( P 01 P 0) 0 0 0 q( P1 P10) 1

t [0,1]
P(t ) t 3 t 2

q q 2 q P0 2q 3 2q 2q q P 01 3 q t 1 q q 0 0 P10 0 0 0 P1 1

t [0,1]
Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 i i Bi ,n (t ) Cn t (1 t ) ni , t [0,1]
n! C i! (n i )!
i n
9
4.6 Bezier曲线
Bernstein基函数的性质

正性 凸包性 对称性 降阶公式 升阶公式
Bi , n (t ) 0
, t [0,1]
, t [0,1]

B
i 0
n
i ,n
(t ) 1

Bi ,n (t ) Bn i ,n (1 t )

Bi ,n (t ) (1 t ) Bi ,n1 (t ) tBi 1,n1 (t )
i 1 n 1 i Bi ,n (t ) Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t ) ni n 1
导数曲线
P(t ) n ( Pi 1 Pi ) Bi ,n 1 (t )
i 0
n 1
t [0,1]
14
4.6 Bezier曲线

对称性
不是形状对称 保持Bezier曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只 是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变。
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么 几何性质，在终点处也有相同的性质。
P0
P3
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的起点、终点重合。
13
4.6 Bezier曲线

端点切矢量
P(t ) |t 0 P 1P 0 P(t ) |t 1 Pn Pn1
P0
P1
P2
P3
这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和 特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
第4章 自由曲线曲面
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 概述 参数曲线基础 曲线曲面拟合方法 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 B样条曲线
1
4.6 Bezier曲线
1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
27
P0
P(t)
Q(s)
4.7 B样条曲线
P(1)=Q(0) 由 P'(1)=Q'(0)
P"(1)=Q"(0) F0,3(t) + F1,3(t) + F2,3(t) + F3,3 (t) ＝1 F0,3(t) ≥0 F1,3(t) ≥0 F2,3(t) ≥0 F3,3 (t) ≥0
确定: F0,3(t) =(-t3+3t2-3t+1)/6 F1,3(t) =(3t3-6t2+4)/6 F2,3(t) =(-3t3+3t2+3t+1)/6 F3,3 (t)=t3/6
18
4.6 Bezier曲线
三次Bezier曲线

n=3
P2
P(0)=P0,P(1)=P3; P'(0)=3(P1- P0), P'(1)=3(P3- P2 )
P"(0)=6(P0-2 P1- P2)
P"(1)=6(P1-2 P2- P3)
P(1) P3
P1 P(0) P0
19
4.6 Bezier曲线
代入P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3
28
4.7 B样条曲线
整理得到三次B样条曲线的矩阵式：
1 3 3 1 P 0 3 6 3 0 P1 1 P(t ) t 3 t 2 t 1 t [0,1] 3 0 3 0 P 2 6 1 4 1 0 P3 1 3 3 1 X 0 3 6 3 0 X 1 1 3 2 X (t ) t t t 1 t [0,1] 3 0 3 0 X 2 6 4 1 0 X 3 1 1 3 3 1 Y 0 3 6 3 0 Y 1 1 Y (t ) t 3 t 2 t 1 t [0,1] 3 0 3 0 Y 2 6 1 4 1 0 Y 3
n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
P(t ) Pi Bi ,n (t )
i 0 n
t [0,1]


控制顶点 控制多边形
P0
P1
P2
P3
12
4.6 Bezier曲线
Bezier曲线的性质
P1 P2
端点位置
P(t ) |t 0 P0 P(t ) |t 1 Pn
B0,3(t) + B1,3(t) + B2,3(t) + B3,3 (t) ＝1
B0,3(t) ≥0 B1,3(t) ≥0 B2,3(t) ≥0 B3,3 (t) ≥0 q=3 时，逼近性最好。
5
得出： 0≤ q≤3
将q=3代入,得:
B0,3(t)=(1-t)3 B2,3(t) =3t2(1-t)
曲线的拼接
P2,P3(=Q0),Q1三点共线 P3 P2 Q0
P(t ) Pi Bi ,3 (t )
i 0 3
3 j 0
Q1
Q( s ) Q j B j , 3 ( s )
Q2
P1
Q3
P0
20
4.6 Bezier曲线

零阶几何连续条件 一阶几何连续条件
(1)
P3 Q0
24
第4章 自由曲线曲面
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 概述 参数曲线基础 曲线曲面拟合方法 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 B样条曲线
25
4.7 B样条曲线
产生：

1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的 启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与控制点数目无关，计算简便
(u)
BEZ
(u)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u
6
4.6 Bezier曲线
三次Bezier曲线的矩阵式：
2 3 P(t ) t 3 t 2 t 1 0 1 2 3 X (t ) t 3 t 2 t 1 0 1 2 3 Y (t ) t 3 t 2 t 1 0 1 2 3 0 1 2 1
10

4.6 Bezier曲线

导数 积分
B 'i ,n (t ) n( B 'i 1,n1 (t ) tB'i ,n1 (t ))