第十一章组合变形
一、教学目标
1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容
1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点
重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：
1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：
斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；
拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；
偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：
⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时
5学时
六、讲课提纲
(一)斜弯曲
引言：
*何谓平面弯曲？
梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）
**平面弯曲与斜弯曲的比较
(a) (b) (c)
项目平面弯曲斜弯曲
受力特点p F 平面与过y轴(形心主
惯性轴)的纵平面重合
p
F平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。
中性轴特点中性轴与
p
F平面垂直中性轴与p F平面不垂直
变形特点挠曲平面与中性轴垂直，
且在
p
F平面内。
挠曲平面与中性轴垂直，但偏离
p
F平面内。
***斜弯曲的定义
图11-1
梁的弯曲平面不与外力作用平面相重合的这种弯曲称为斜弯曲（或者说，梁的挠曲线不在外力作用平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲）。
1、外力分析
p
F通过截面的形心O，（两对称轴的交点，该点既是形心，又是弯心），垂直杆轴x，但并不作用在形心主轴平面内，而与形心主轴有一个夹角 。
为了利用基本变形的应力计算公式，必须将此外力p F 向两个形心主惯性平面分解，即
????=?=平面内产生平面弯曲在—平面内产生平面弯曲
在—xoz F F xoy F F F p pz
p py p ??sin cos
2、内力分析
将p F 力分解后，任意截面（l -x 面）上的内力（不考虑Q F ）：
)(x l F M Py Z -= )(x l F M PZ y -=
3、应力分析
任意截面（l -x 面）上任意点（C 点）的正应力c σ
Z
Z MZ c I y
M =
'σ——（压应力） y
y My c I z M =
''σ——（压应力）
=c σMZ c 'σ=
+My c ''σ+Z Z I y M y
y I z
M ——（压应力） ⑴ 正应力正、负号根据弯矩矢量引起的变形情况确定 4、中性轴位置 ⑴中性轴方程
上述⑴式尚不能计算σ的值，因为中性轴的位置尚未确定 ∵中性轴上的应力=0， ∴⑴式可以写成
+Z Z I y M 0=y
y I z M ⑵ ⑵中性轴是一条通过截面形心的直线
要使⑵式满足，必须y,z 同时=0，可见中性轴是一条通过形心的直线。
⑶中性轴位置的确定
过形心可作无数垂直线，那么中性轴位置如何确定？令中性轴上任一点的坐标为o y 、o z 。（见图2），中性轴与Z 轴的夹角为α，根据⑵式写成下式：
Z
y
y z o o M M I I z y tg ?
==α ⑶
图11-2
从⑶式可以讨论以下几点；即中性轴取决于： ①载荷p F 作用的位置，即α随?变化
由任意截面（l -x 面）上的弯矩矢量可见（见图3）
?sin ?=M M y
?cos ?=M M Z
则⑶式为
???αtg I I M M I I tg y
z
y z ?=?=
cos sin
图11-3
（l -x 截面）
②截面的形状和尺寸
若 y z I I =（过形心的轴都是主轴），则?α=，中性轴与p F 平面垂直，即为平面弯曲。
若 y z I I ≠，则?α≠，中性轴不与p F 平面垂直，即为斜弯曲。 5、任意截面（l -x 面）上的最大正应力（见图1）
y
y z z a I Z M I y M max
max +
=
σ——（拉应力） y
y z z b I Z M I y M max
max +
=σ——（压应力） 6、危险截面上危险点的正应力计算（见图1）
⑴正应力：)(
max
max max max max
min y
y z z A B I Z M I y M +±==σσ )(max
max y
y z z W M W M +±=
⑵应力状态
图11-4
⑶强度条件：
[]σσ
≤
+=y
y z z W M W M max max max min
⑷ 或)sin cos (max max max max
min
Z I y I M y
z ?
?σ+= )sin cos (
max y
z W W M ?
?+= ][)sin (cos max σ??≤+=
y
z z W W
W M ()'4
副题：斜弯曲梁的变形计算
仍以矩形截面的悬臂梁为例：
图11-5(a) (b) 1、解题思路及计算公式
将p F 力分解为两个在形心主惯性平面的分力py F 和pz F 后（见图11-5，b ），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y ω和z ω：
z
p z
py y EI l F EI l F 3cos 33
3?ω=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy 平面内的挠度
y
p y
pz z EI l F EI l F 3sin 33
3?ω=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz 平面内的挠度
2、总挠度及其方位
自由端B 点的总挠度ω是上述两个挠度的几何和，即 ⑴总挠度值计算：22z y ωωω+=
⑵总挠度方位计算，即总挠度与y 轴的夹角β的计算。将z 轴方向的挠度除以y 轴方向的挠度，即可得：
?????ωωβtg I I I I EI l F EI l F tg y
z
y z z
p y p y z ?====
cos sin 3cos 3sin 33
(a) ⑶确定总挠度方位：
∵?cos M M z = ?sin M M y = 代入⑶式，即
???αtg I I M M I I z y tg y
z
y z o o ?=?==
cos sin (b) 比较(a)、(b)两式，可见：
中性轴与z 轴的夹角α=总挠度与y 轴的夹角β。 即：斜弯曲时，总挠度ω发生垂直于中性轴的平面内。
在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即y z I I ≠则?β≠，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面内。如果y z I I =，则?β=，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。
3、刚度条件
l
l ω
ω
≤
例题11-1 跨度为l =3m 的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m 作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度
l ω=200
1
，材料的弹性模量
E =MPa 1093?,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。
图11-6
解：⑴先将q 分解为
m
N q q m N q q z y /2.355'3426sin 800sin /8.716'3426cos 800cos =?===?==
??
⑵求
m
N l q M m
N l q M z y y z ?=?==?=?==
6.3998/32.3558
4.8068/38.716822
max 22
max ⑶设截面的高宽比为5.1=b
h
。则根据强度条件
622max max max 10126
/6.3996/4.806?≤+=+=hb bh W M W M y y z z σ
解得
,101275.372366
3?≤b 36
10
1275.37236b ≤?? ????=??=?=---m
h m
b 2
221016.81044.55.11044.5 取b=60mm ，h=90mm ⑷校核刚度
483
3105.36412
09.006.012m bh I z -?=?==
483
31016212
06.009.012m bh I y -?=?==
mm m y 23023.0105.36410938438.71658
94
==??????=-ω
mm m z 26026.01016210938432.35558
94
==??????=-ω
梁跨中的总挠度mm z y 7.3426232222=+=+=ωωω
200
1
2004.21002.130007.34
===
l ω
刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。 若b=80mm ，h=120mm
483
1011521212.008.0m I z -?=?=
483
105121208.012.0m I y -?=?=
mm y 29.710115210938438.71658
94
=??????=-ω mm z 13.81051210938432.35558
94
=??????=-ω
mm 9.1013.829.722=+=ω
200
1
20072.010036.030007.34≤
===
l ω
满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm ，h=120mm
例题11-2 简支梁由mm mm mm 20200200??的等边角钢制成，其截面几何性质为361006.322m W zo -?=，361055.146m W yo -?=（对于c 点），481055.4554m I zo -?=，
481004.1180m I yo -?=，试绘最大弯矩截面上的正应力分布图。
图 11-7
解：m KN M ?=?=
254
4
25max m KN M M Zo yo ?=?==7.1745cos 25max max
MPa
I M W M yo
yo Zo
Zo A 5.
146105.91105510611004.1180107.1710
06.322107.171061663
8
3633
max
max -=?-?-=????-??-=??-
-
=----σ MPa
I M W M yo
yo Zo
Zo B 5.36105.9110551061663
max
max -=?-?=??-
-
=-σ
MPa W M yo
yo C 8.12010
55.146107.1763max =??==
-σ 中性轴位置：
8597.37
.177.171004.11801055.455488=???=?=--Zo yo yo zo M M I I tg α
47.75=α
(二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 结构受力情况如图所示：
图11-8
梁AB 上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。
1、内力分析
图11-9
2、应力分析：杆件内有轴力F N 、弯矩M 产生正应力
图11-10
3、强度条件][max
max σσ≤+=
Z
N W M A F
4、纵横弯曲的概念
图11-11
⑴何谓纵横弯曲？
p F 、1p F 共同作用，1p F 在p F 作用下产生的ω上引起的梁的附加弯矩
=1M ω1p F ，这个附加弯矩1M 又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是
荷载的线性函数。像这类变形通常称为纵横弯曲。
⑵分两种情况讨论：
EI 较大，ω与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠
加法计算横截面上的应力。
EI 较小,ω较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函
数关系。
(三)偏心压缩 1、偏心压缩的概念
轴向压缩单向偏心压缩双向偏心压缩
图11-12
2、外力的简化与分解
图11-13
3、内力
?
?
?
?
?
?
=
=
?
=
=
=
z
p
y
y
y
p
z
z
p
N
e
F
m
M
e
F
m
M
F
F
∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（F Q=0）
4、应力计算
⑴单向偏心压缩时的应力计算
图11-14
结论：距荷载F p较近的边缘总是压应力。
⑵双向偏心压缩时的应力计算
图11-15
任意点（E）处的应力计算
)
1(
z
y
y
z
p
z
y
p
y
z
p
p
z
y
y
y
N
I
y
e
A
I
z
e
A
A
F
y
I
e
F
z
I
e
F
A
F
y
I
M
z
I
M
A
F
?
?
+
?
?
+
-
=
?
?
-
?
?
-
-
=
?
-
?
-
-
=
σ
∵
A
I
i y
y
= ,
A
I
i z
z
=
∴上式可写成
)
1(
2
2
z
y
y
z
p
i
y
e
i
z
e
A
F?
+
?
+
-
=
σ──────任意点（E）处的应力计算式
5、中性轴 ⑴中性轴方程 由 0)1(2
2
=?+
?+
-=z
y y
z p i y e i z e A
F σ
得中性轴方程
012
2
=?+
?+
z
o y y
o z i y e i z e （直线方程）
式中：o z ，o y 代表中性轴上任一点的坐标。
z e ，y e 代表偏心力F p 的作用点位置（坐标）。
注意；形心
0==o o z y 不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。
由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。 ⑵中性轴位置的确定
方法是通过计算中性轴在坐标轴上的截距z a ，y a 来确定；
根据中性轴方程：
当y
z
o y o z
y
o z o e i y a o z e i z a y 22
0-
===-
===时，时，
图11-16
由此得到中性轴截距计算式 y
z y z y
z e i a e i a 2
2
-
=-
=
注意：截距y
z
a a 与偏心距恒相反。
根据此计算式可见，中性轴的特征之二：中性轴与偏心压力F p 的作用
点(e y , e z )分别居于截面形心（坐标原点）的两侧。
中性轴的特征之三：中性轴的位置随偏心压力Fp 的作用点位置(ey , ez )
的改变而变化
①当e y =0,即F p 作用在Z 轴上时，则y a =∞, ∴中性轴与y 轴平行（见图11-17(a)）
图11-17(a)
当e z =0,即F p 在作用在y 轴上时，则z a =∞
则中性轴与Z 轴平行（见图11-17(b)）
图11-17(b)
②偏心矩y z e e 越小，则中性轴截距y
z
a a 越大，即中性轴距形心越远（见图
11-18）。
图
11-18
显然，当中性轴与截面的周界相切或截到截面以外时，整个截面上只有压应力而不出现拉应力。
③一条中性轴（y a ，z a ）对应一个偏心压力的作用点。 因此，若已知（y a ，z a ）,则偏心压力作用点坐标就可以确定：
z
y
z y
z
y a i e a i e 22
-
=-=────────────偏心压力作用点位置计算式
图11-19
中性轴的特征之四:当中性轴绕一定点K （y o ,z o ）转动时，偏心压力的
作用点在一条直线上移动。（这一特征很重要，是绘制截面核心的主要根据！）
因为：012
2
=?+
?+
z
o y y
o z i y e i z e
当y o ,z o 为定值时，该方程就是y e 和z e 的直线方程，即为偏心压力作用点
组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41-
题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．2122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-
材料力学中的组合变形 过程转备与控制工程梁艳辉201005050219 摘要：材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学是所有工科学生必修的学科，是设计工业设施必须掌握的知识。而组合变形在生活中普遍存在，基本上一些简单的单一变形在我们身边很少见，都是以组合变形的的形式出现，所以讨论组合变形具有重要意义。 关键字：组合变形，线弹性，载荷，应力，内力，静力等效原则，强度理论，失效形式通过一个学期的学习，对材料力学有了一个基本的理解。整个材料力学主要讨论了各种变形以及如何对各种变形进行强度校核，刚度校核以及稳定性校核。那么材料力学中主要有哪些变形呢？主要分为单一变形和组合变形，单一变形包括：杆的拉伸和压缩变形，杆的扭转变形，杆的弯曲变形和剪切变形。而组合变形包括：弯扭组合变形，拉扭组合变心，以及拉弯扭组合变形等。下面主要来简单的谈一谈我对组合变形的理解。 一．生活中的实例 在工程实际中，杆件的受力变形的情况种类很多，又不少构件同时发生两种或两种以上的基本变形，生活中常见的机械设备的传动轴：传动轮上作用力的既有扭转变形又有弯曲变形。常见的钻杆：钻杆受扭距的作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向的拉伸变形又有扭转变形。这样的例子在生活中还有很多。 二．如何解决组合变形 在线弹性，小形变的条件下，构件的内力，应力和变形均与外力成线性关系。可以认为载荷的作用是独立的，每一个载荷所引起内力，应力，变形都不受其他载荷的影响。几个载荷的同时作用在杆件上所产生的应力，变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力，变形之
10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。 q 解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得： 3 6 46 4 0108cm 10810 , 73.3cm 0.73310 m ,63m m =0.063m , 1.8cm =0.018m z y W I b z --==?==?== ⑴外力分析： cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N m ??====== ⑵内力分析：跨中为危险面。 3 2 ,m ax 32 ,m ax 11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688 z y y z M q l N m M q l N m ==??=?== ??=? ⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。A 点具有最大正应力。 ,m ax ,m ax m ax 6 6 ,m ax ,m ax m ax 06 6 357.217130.016(0.0630.018)11.29M P a 10810 0.73310357.217130.016 0.018 6.50M P a 10810 0.73310 y z A A z y y z B z y M M z W I M M z W I σσσσ- --+--==-- ?=- - ?-=-??==+ + ?= + ?=??m ax 11.29M Pa A σσ==-
第十一章组合变形(习题解答)
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10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。 (-) (-) (-) q q y 4.2m C φ o =20 (+) (+ ) ( +) q q z A B 解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得： 364 6 4 0108cm 10810, 73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018m z y W I b z --==?==?== ⑴外力分析： cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N m ??======o o ⑵内力分析：跨中为危险面。 32,max 32,max 11 162.003 4.2357.21788 11 58.964 4.2130.01688 z y y z M q l N m M q l N m ==??=?==??=? ⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。A 点具有最大正应力。 ,max ,max max 66 ,max ,max max 066 357.217130.016 (0.0630.018)11.29MPa 108100.73310 357.217130.016 0.018 6.50MPa 108100.73310y z A A z y y z B z y M M z W I M M z W I σσσ σ- --+ --==- -?=--?-=-??==+ + ?= +?=??max 11.29MPa A σσ==-
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
知识点11：组合变形 一、组合变形 １．杆件同时发生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。 ２．计算组合变形问题，是以杆件发生“小变形”为前提，在此条件下，不同基本变形所引起的应力和变形，各自独立，互不影响，可以应用叠加原理。即先根据各内力分量分别计算杆件在每一种基本变形下的应力和变形，再把计算结果叠加，得到杆件在原载荷作用下的应力和变形。 二、 斜弯曲 １．当梁所受到的横向力不在梁的主惯性平面内时，梁将发生斜弯曲。斜弯曲是梁在其两个主惯性平面内弯曲的组合变形。 2．对于圆形、正方形等截面梁，其截面对两个主惯性轴的惯性矩相等，不会发生斜弯曲。 3．当梁的载荷不通过截面的弯曲中心时，除斜弯曲外，梁还发生扭转变形。 4．图11-1所示矩形截面悬臂梁受横向力Ｆ作用，把力Ｆ沿y 轴和z 轴分解，梁将在xy 和xz 两个主惯性平面内弯曲。 图11-1 xy 平面内的弯曲应力： y I M z z = 'σ xz 平面内的弯曲应力： z I M y y = ''σ 组合变形（斜弯曲）的应力： z I M y I M y y z z +=''+'=σσσ 5．斜弯曲的中性轴方程
0=+z I M y I M y y z z 中性轴通过截面形心，但和载荷作用平面不垂直。距中性轴最远的点处正应力最大。 6．斜弯曲时梁的弯曲平面和载荷作用平面不在同一平面，但弯曲平面和中性轴相垂直。 三、拉伸（压缩）与弯曲的组合 1．杆件受拉伸（压缩）与弯曲组合时，弯曲变形的中性轴位置将偏移。 2. 杆在拉伸（压缩）与弯曲的组合变形时，分别计算拉伸（压缩）正应力和弯曲正应力，叠加后进行强度计算。 3．拉伸（压缩）时，横截面的正应力： A N N =σ 弯曲时，横截面的最大拉压正应力： W M M ± =σ 拉伸（压缩）与弯曲的组合，横截面的最大拉压正应力： W M A N ±=σ 4．杆件受偏心拉伸（压缩）时，其截面上存在称为截面核心的区域，当偏心轴向力作用在截面核心内时，截面上只产生拉应力（或压应力）。截面核心在工程上有很大的意义。 四、圆杆的弯曲与扭转组合变形 1．当圆杆发生两面弯曲与扭转的组合变形时，不能求出两个平面弯曲的最大正应力后，进行叠加得到圆杆的最大正应力，而应先求出两平面弯曲的合成弯矩，再求其最大弯曲正应力。 2. 图11-2为受弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，图中 弯曲正应力： W M = σ 扭转切应力： P W Mz =τ
第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：
第8章 组合变形 。 8.1 组合变形的概念 前面几章我们研究了等直杆的拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲这四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，还会遇到许多上述两种或两种以上的基本变形所组合成的变形，这种变形称为组合变形。例如，如图8-1所示钻床的立柱在P 作用下将发生拉伸和弯曲变形；如图8-2所示的带轮轴，力T 及轴承反力使其弯曲，而力偶矩0m 和1m 使轴扭转，带轮轴的变形是弯曲与扭转的组合变形。 图8-1 图8-2 构件组合变形时的强度计算，在构件变形较小且服从胡克定律的条件下，可运用叠加原理，首先将作用在构件上的外力进行适当的简化，然后通过平移或分解，使每一组外力只产生一种基本变形，分别计算出各种基本变形引起的应力，最后将它们叠加起来，便得到原有载荷作用下截面上的应力，并进行强度计算。 下面介绍工程中最常见的弯拉（压）和弯扭两种组合变形的强度计算。 8.2 弯曲与拉伸（压缩）组合变形时的强度计算 如图8-3(a)为一左端固定而右端自由的矩形截面悬臂梁，在其自由端作用一力P ，力P 的位于梁的纵向对称面内且与梁的轴线成一夹角α（见），力P 沿x 、y 方向可分解为两个分力x P 、y P （见图8-3（b ））, x P 使梁产生轴拉伸变形，y P 使梁产生弯曲变形，因此梁在力P 的作用下的变形为拉伸与弯曲组合变形。下面对其进行强度计算。
图8-3 如图8-3（b ）所示，将力沿杆的轴线和轴线的垂直方向分解为两个分力。 αcos P P x = αsin P P y = 在轴向力x P 的单独作用下，杆件发生拉伸变形，杆上各截面的轴力都相等，αcos P P N x ==,与轴力N 相对应的拉伸正应力N σ呈均匀分布，如图8-3（f ）即 A N N = σ 在横向力y P 的单独作用下，杆发生弯曲变形。杆上固定端截面具有最大弯矩 αsin max Pl l P M y ==，与弯矩max M 相对应的弯曲正应力W σ沿截面高度呈线性分布，在上、下边 缘处绝对值最大，如图8-3（g ）即 z W W M max = σ 由于上述两种应力都是正应力，故可按代数和进行叠加。当N W σσ>时，其应力分布如图8-3（e ） 所示。 危险截面的上、下边缘的正应力分别为 z W M A N max max += σ z W M A N max min -=σ 由上可见，危险截面上边缘各点的拉应力最大，是危险点。对于塑性材料，因许用拉应力和许用压应力相同。故可建立强度条件 []σσ≤+= W M A N max max （8-1） 对于脆性材料，因其许拉应力 []拉 σ和许用压应力[]压 σ不同，故应分别建立强度条件
第十一章组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
L 1AL101ADB （3） 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案： （A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ； （C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL102ADB （3） 三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案： （A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ； （C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL103ADD （1） 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案： （A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ）
1AL104ADC （2） 一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： （A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合； （C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（B ） 1BL105ADC （2） 铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案： （A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（D ） 1BL106ADC （2） 图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案： （A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL107ADB （3） 三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：
《材料力学》第8章组合变形及连接部分的计算习题解第八章组合变形及连接部分的计算习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，F,2.5kN， l,0.8m1F,1.0kN，试求危险截面上的最大正应力。 2 解:危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力: 33WW,102cmW式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故 W,16.1cmyzzy 333，2.5，10N，0.8m1.0，10N，0.8m6,,，,79.1，10Pa,79.1MPa max,,63632，102，10m16.1，10m [习题8-2] 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称q 0面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量;梁的尺寸 为 ,,30E,10GPa [,],12MPa[w],l/150，，;许用应力;许用挠度。l,4mh,160mmb,120mm 试校核梁的强度和刚度。
1 解:(1)强度校核 0 (正y方向?) q,qcos30,2，0.866,1.732(kN/m)y 0q,qsin30,2，0.5,1(kN/m) (负z方向?) z 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1.732，4,3.464(kN,m)zmazy88 1122 出现在跨中截面 M,ql,，1，4,2(kN,m)ymazz88 11223 W,bh,，120，160,512000(mm)z66 11223 W,hb,，160，120,384000(mm)y66 最大拉应力出现在左下角点上: MMymaxzmax ,,，maxWWzy 663.464，10N,mm2，10N,mm,,，,11.974MPa max33512000mm384000mm ,,11.974MPa,,[,]因为，，即: [,],12MPa maxmax 所以满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 (2)刚度校核 = 2
材料力学习题解答(组合变形)
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车 等）为P =40 kN ，横梁AC 由两根No18槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力 [ ]=120MPa 。试校核梁的强度。 解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为 由平衡方程求得 No18×
注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图 所示。P =1600 kN ，材料的许用应力[σ]=160 MPa 。试校核立柱的强度。 解：(1) 计算截面几何性 ()()2 12 2212 1.40.86 1.204 1.40.050.0160.8620.016 1.105 0.099 ABCD abcd A A m A A m A A A m ==?===--?-?==-= 截面形心坐标 1122 1.40.050.0161.2040.7 1.1050.0520.51 0.099c c c A y A y y A m +=--???+?+ ???== 截面对形心轴的惯性矩 I 截面I-I
()()()234324 4 10.86 1.40.70.51 1.2040.24 1210.8620.016 1.40.050.01612 1.40.050.0160.050.51 1.1050.211 20.240.2110.029 I zc II zc I II zc zc zc I m I m I I I m = ??+-?==?-??----??++-?= ??? =-=-= (2) 内力分析 截开立柱横截面I-I ，取上半部分 由静力平衡方程可得 ()1600 0.92256c N P kN M P y kNm ===?+= 所以立柱发生压弯变形。 (3) 最大正应力发生在立柱左侧 []33max 2256100.511600100.0290.099 39.6716.1655.83 160C t zc My N I A MPa MPa σσ???=+=+=+==p 力柱满足强度要求。 9.6. 图示钻床的立柱为铸铁制成，P =15 kN ，许 用拉应力为[σt ]=35 MPa 。试确定立柱所需I N P 900 M y
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车等）为P =40 kN ，横梁AC 由两根No18槽 钢组成，材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa 。试校核梁的强度。 解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为 由平衡方程求得 0 sin 30 3.5 1.750 400 cos300 cos3034.641 0 3.5 1.750 202 o C A A o o C A C A A C C M S P S P kN X X S X S kN M Y P Y P kN =?-?====-====-?+?== =∑∑∑ (2) 作梁的弯矩图和轴力图 此时横梁发生压弯组合变形，D 截面为危险截面， max 34.64 35 .N kN M kN m == (3) 由型钢表查得 No.18工字钢 23299.29 152cm A cm W y == (4) 强度校核 33max max max 4634.6410351022229.299102152105.9115.1121 1.05[] c y M N A W MPa σσσ--??==+=+ ????=+= 故梁AC 满足强度要求。 x
注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图所示。P =1600 kN ，材料的许用应力[σ]=160 MPa 。试校核立柱的强度。 解：(1) 计算截面几何性 ()()2 1222 12 1.40.86 1.204 1.40.050.0160.8620.016 1.105 0.099 ABCD abcd A A m A A m A A A m ==?===--?-?==-= 截面形心坐标 1122 1.40.050.0161.2040.7 1.1050.0520.51 0.099 c c c A y A y y A m += --? ??+?+ ? ??= = 截面对形心轴的惯性矩 ()()()2 3432 4 4 10.86 1.40.70.51 1.2040.24 1210.8620.016 1.40.050.01612 1.40.050.0160.050.51 1.1050.211 20.240.2110.029 I zc II zc I II zc zc zc I m I m I I I m =??+-?==?-??----??++-?= ???=-=-= (2) 内力分析 截开立柱横截面I-I ，取上半部分 由静力平衡方程可得 I 截面I-I
第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的 组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转 题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆
3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。 题4图
5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向 平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴
8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合 题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形
题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作 用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校
第十章 组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ，δ=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[σ] = 100 MPa ， 试求板边切口的允许深度x 。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N (a) )(a b F M ?=显然， 222x b x b a ?=?= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+=+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=×+??x x 由此得切口的允许深度为 mm 20.5=x 10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为=1.0×10 a ε-3 与=0.4×10b ε-3，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。
题10-3图 解：1.求和 a σ b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=×××===×××==??b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。 图10-3 2．求和 F e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =?= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=?Fe F 经联立求解，于是得 mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=×=≈=?e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。试证明：当8 /d e ≤面上不存在拉应力，即截面核心为R = d/8的圆形区域。 时，横截 题10-6图 证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩为 Fe M =
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1 力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和(A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ= (D)平面弯曲。 答：B 4. 点的位置有四种答案： (A) A 点； (B) B (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2 h 的缺口，与不开口 (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应 力（绝对值）分别为1m ax σ、σ3 (A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 作用。当力F 作用点由A 移至B 时，柱内最大压应力的比值 max max B A σσ有四种答案： (A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C 8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A) 轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C 9. 矩形截面梁的高度mm 100=h ，跨度m 1=l 。梁中点承受集中力F ,两端受力kN 301=F ，三力均作用在纵向对称面内， mm 40=a 3 5 。试求F 值。 解：偏心距mm 102=-=a h e 跨中截面轴力 1N F F = 跨中截面弯矩e F Fl M 1max 4 -=（正弯矩），或 4 1max Fl e F M -=（负 弯矩） 第八章组合变形 目录 第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8) 第八章 组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出 9.1. 求图示构件在指定截面上的内力分量。 解：(1) 受力分析，求约束力 1 1 2 2 1 1 2 2 0 420 /20 420 /20 0 /20 0 /2 z C C y C C A C A A C A M Y a P a Y Pa M Z a P a Z P a Y Y Y P Y Pa Z Z Z P Z P a =?-?===?-?===+-===+-==∑∑∑∑ (2) 截开I-I 截面，取左面部分 1 1 2 2 1 2 1 0 /2 0 /20 /20 20 2y I A zI A x I A y yI A z zI A Y Q P Y P Z Q P Z P M T Y a P a M M Z a P a M M Y a P a ==-===-===-?=-==?===?=∑∑∑∑∑ (3) 截开II-II 截面，取右面部分 1 2 1 2 1 0 /20 /2 0 /23/40 /20 /2 yII C II C x xII C y yII C z II C Y Q Y P Z N Z P M M M Y a Pa M M Z a P a M T Y a Pa ========-?===?===-?=-∑∑∑∑∑ 9.2. 人字架承受载荷如图所示。试求I-I 截面上的最大正应力及A 点的正应力。 Y I zI M=P 1a 解：(1) 受力分析，求约束力 125 D B Y Y kN == (2) 截开I-I 截面，取左面部分 ) 4 sin 125100 5 3 cos 1250.3202.5 .5I D I D N Y kN M Y DE kN m αα=-=-? =-=?=??= (3) 截面的几何性质 ()26 12525 2225 175 3 333 84 20.10.20.04 20010050100200200 125 0.04102001002517512525200100 3.08310 33 c y A m z mm I z dz z dz mm -=??=??+??= =?=?+?---=?+?=??? (4) 截面上最大拉应力和最大压应力 () () ()1 max 3 34 0.310010202.5100.30.125117.4 3.083100.04 I c c y M z N I A MPa σ--=- + -???-=- +=-? N I I第八章 组合变形
材料力学习题解答(组合变形)
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