立体几何（传统方法）
知识精要
1． 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合
问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．
2． 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得
来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．
3． 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线
通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．
例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k 的最大值．
解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC ，BC 1，
A 1D ，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或与正方体只有8个顶点矛盾．故 K 的最大值是4．
练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6心及正方体的中心共计27是多少
解答 两端点都为顶点的共线三点组共有87
282
?=有6132?=个；线三点组，所以总共有2831849++=个．
例题2 已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，求sin α．
解答 如右图所示，平面BCD 与正方体的12条棱的夹角都
等于α，过A 作AH 垂直平面BCD ．连DH ，则A D H α=∠．设正方体的边长为b ，则
02sin 6033
DH ==
AH ==
所以sin sin AH ADH AD α=∠=
=． 练习2 如图所示，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得
B
A H
B
(0)AE CF
EB FD
λλ==<<+∞，记()f λλλαβ=+，其中λα表示E F 与AC 所成的角，λβ表示E F 与BD 所成的角，证明()0f λ'=，即()f λ为常数． 解答 因ABCD 是正四面体，故AC 垂直BD ，作EG 平行AC 交BC 于G ，连G F ，则GEF λα=∠，且
CG AE CF
GB FD FD
==，所以G F 平行BD ．所以G F 垂直EG ，且EFG λβ=∠．所以
()f λ为常数．
例题3 三棱锥P -ABC 中，若棱P A =x ，其余棱长均为1，探讨x 是否有最值．
解答当P -ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是P 、A 重合，取值为0，若PBC ?绕BC 顺时针旋转，P A 变大，最大极限是P 、A 、B 、C 共面时，P A 为菱形ABPC 的对角线，
所以无最值．
练习3若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．
解答 若P 在底面的射影为O ,易知PO 越小，侧棱越小．故P 、O 重合时，侧棱取最小极限
PO 无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值． 例题4在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，求AP +D 1P 的最小值．
解答 将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至1A A B '，使三角形1A A B '与四边形A 1BCD 1共面，联结1A D '，则1A D '的长即为AP +D 1P 的最小值，所以，
1A D '==练习4已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对棱BB 1、D 1上有两个动点E 、F ，BE =D 1F=λ
（102λ<≤）．设E F 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，求αβ+的最小值． 解答 当12λ=时，2
π
αβ+=．不难证明()f αβλ+=是单调减函数．因此αβ+的最小
值为
2
π． 例题5 在正n 棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．
解答 当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为π．当顶点在无穷远处的时候，正n 棱锥变为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为
(2)n n
π
-．
练习5 已知直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各条棱长均为3，角BAD =600，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 的中点P
的轨
线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： I//： 符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理： 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行
图形语言： 符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二： 作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 一 a 丄a 〕 任 符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言： 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用：面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,
高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 侧面 母线
高中立体几何判定定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线 在平面内； ②用来说明平 面是无限延展的 公理2 如果两个平面 有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交关 系； ②用来证明多 点共线，多线共 点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共 面，多线共面 推论1 经过一条直线和这 条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ，有且只有一个平面 ∥ 公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平 行
二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行 公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行的性 质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行 的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O （6）面面平行 的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α （7）面面平行 的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
高中数学立体几何解题技巧 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2、判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点； (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一
个平面； (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3、两个平面平行的主要性质： (1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。 (2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 (3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。 (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 (5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质(2)、(3)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 解答题分步骤解决可多得分 01、合理安排，保持清醒。 数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。然后带齐用具，提前半小时到考场。 02、通览全卷，摸透题情。 刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行.（4）
立体几何知识点 & 例题讲解 高考时如果图形比较规则且坐标也比较好计算时就用坐标法（向量法）解决，但平时传统方法和向量法都要熟练。并且要多用传统方法，这样才能把自己的空间想象能力培养上去。 一、知识点 <一>常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线 平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面 面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面 垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的 射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉 . 8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ== 21 |||||| a b a b x ?= ?+ （其中θ（090θ<≤）为异面直线a b , 所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin |||| AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). 10、空间四点A 、B 、C 、P 共面z y x ++=?，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所 成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB = ?=14.异面直线间的距离： || || CD n d n ?= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 15.点B 到平面α的距离：|| || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2 2 2 2()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 222 2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+? 17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
l m β α α b a 立体几何的八大定理 一、线面平行的判定定理：线线平行?线面平行 文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内． 的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα?? ? ???? ?//a α 关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行?线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．． ，那么这条直线就和交线．． 平行. 符号语言：//l l m α βαβ? ? ????=? ?//l m 关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行? 面面平行 文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．． ，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αα αβββ ?????? = ?????? ∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行?线线平行、面面平行?线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言: ////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．． 文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面. 符号语言://,//a a αβαβ?? 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．
立体几何有关概念与公式 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法
高中立体几何中二面角求法 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。 （一）、二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （ 3、 三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以 平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角 为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形 是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO
最新高中数学常用公式及结论（立体 几何总结） 一、线线平行的判断： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 直线和交线平行图 ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
交线平行图 ③垂直于同一平面的两条直线平行。 直线平行图 二、线线垂直的判断： ①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 ②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 线线垂直图
③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 三、线面平行的判断： ①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 四、面面平行的判断： ①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。 ②垂直于同一条直线的两个平面平行。 五、线面垂直的判断： ①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 六、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 七、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） ①异面直线所成的角： 通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。 异面直线所成角的范围：0°< α≤90°； 注意： 若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形， 如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 ②线面所成的角：
关键点：需要借助一个经过已知直线 的平面，接着找交线。 内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理：面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言:如果两个平行平面 冋时和第三 个平面相交,那么所得的两条 交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中 符号语言: 亠 一个平面内的 任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相 关键：只要是其中一个平面内的直线就行 交，则交线平行 立体几何的八大定理 、线面平行的判定定理： 线线平行 线面平行 文字语言：如果平面 外的一条直线与平面 内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理： 线面平行 线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行. 1 〃 符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行 面面平行 文字语言：如果一个平面 //
五、线面垂直的判定定理： 线线垂直 线面垂直 文字语言：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 符号语言: 六、线面垂直的性质定理： 线面垂直 线线垂直 文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的 任意一条直线. 、亠 l 符号语 言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理： 线面垂直 面面垂直 文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直） 符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a
高中立体几何最佳解题方法总结 一、线线平行的证明方法 1、利用平行四边形； 2、利用三角形或梯形的中位线； 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的 性质定理） 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 6、平行于同一条直线的两个直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。 二、线面平行的证明方法 1、定义法：直线和平面没有公共点。 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定 定理） 3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。 4、反证法。 三、面面平行的证明方法 1、定义法：两个平面没有公共点。 2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 3、平行于同一个平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一条直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法 1、勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影； 6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理） 8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法： 1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、点在面内的射影； 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂直的判定定理） 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面面垂直的性质 定理） 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法： 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角； 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理） 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π
αl l αβ βαβαα//,//// ??? ????且相交m l m l m l m l ////??????=?=?βγαγβαγm βαl 高考文科数学立体几何解题技巧 1.判定线面平行的方法 定义：如果一条直线和一个平面没有公共点。 （1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 ααα////l l m m l ??? ????? （2）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 αββα////l l ????? （3）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面。 （4）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。 2. 判定面面平行的方法 （1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行。 （2）垂直于同一直线的两个平面平行。 （3）平行于同一平面的两个平面平行。 3.面面平行的性质 （1）两平行平面没有公共点。 （2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面。 （3）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面。 （4）两平 行平面被第三个平面所截，则两交线平 行。 m l αm βαl
αα⊥?????????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,//a a αββα??⊥?⊥? ,l a a a l αβαββα⊥??=?⊥???⊥ ?a a b b αα⊥??⊥??? 4.判定线面垂直的方法 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。 （1）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直。 （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。 αα⊥?? ??⊥b a b a // （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。 （5）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。 5.判定两线垂直的方法 (1)直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直。 (2)平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 A B C αl β a α a β l α α a b
专题三立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间 点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试 题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间 几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考 查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的 同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视 图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例 1（ 2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是 长为 a 和b的线段，则a b 的最大值为 A．22B．23C． 4D．25 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为 m, n, k ，由题意得m2n2k27 ，m2k26n 1 ， 1 k 2 a ， 1m2 b ，所以( a21)(b21)6 a2b28，∴ (a b)2a22ab b282ab8 a2b216 a b 4当且仅当 a b 2时取等号．