7.7 平面及其方程
在本节及下一节，我们以向量为工具.来讨论最简单的空间曲面和曲线—平面和直线
7.7.1平面的各种方程
1．平面的点法式方程
若平面与一非零向量},,{C B A =垂直，则称为平面的法向量.显然平面上的每个向量（或直线）都与该平面的法向量垂直.
设平面π过空间中的一点),,(0000z y x M ，其法向量为},,{C B A n =，下面建立平面π的方程.
在平面π上任取一点),,(z y x M （图7.33）,则向量},,{0000z z y y x x M M ---=必在平面
π上,因此向量M 0与向量},,{C B A n =垂直,即
00=?M (1) 将（1）式用坐标形式写出，即
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （2）
即平面上的点M 的坐标适合方程（2），反之若点M 不在平面上，则向量M 0与向量不垂直，从而00≠?M ， 即不在平面上的点M 的坐标不适合方程（2），所以方程（2）就是过
),,(0000z y x M 且法向量为},,{C B A =的平面的方程.因此方程（2）是由平面上一点),,(0000z y x M 及它的法向量},,{C B A n =确定的，所以我们称方程（2）为平面的点法式方程.
例1求过点)1,3,2(-且以}5,2,1{-=为法向量的平面方程. 解 根据平面的点法式方程（2）,所求平面方程为 0)1(3)3()2()2(1=-?++?-+-?z y x
图7.33
即 1132=+-z y x
例2求过点)4,1,2(1-M ,)23,1(2--M 和)3,2,0(3M 的平面方程.
解 先求平面的一个法向量.由于平面的法向量与向量21M M ,31M M 都垂直而
}6,4,3{21--=M M ,}1,3,2{31--=M M
所以可取它们的向量积为,即
= 21M M ?31M M }1,9,14{1
32643-=----=
由平面的点法式方程（2）,所求平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即 015914=--+z y x
一般地,若平面通过不在同一直线上的三点),,(1111z y x M ,),,(2222z y x M ,),,(3333z y x M ,则平面的方程为
01
31
31
312121
21
11
=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x (3) (3)式也称为平面的三点式方程. 2．平面的一般式方程
我们将平面的点法式方程展开，平面的方程为
0=+++D Cz By Ax （4）
其中)(000Cz By Ax D ++-=.（4）式就是平面的一般式方程.我们要注意这是z y x ,,的三元一次方程，且z y x ,,的系数C B A ,,是这平面的法向量的一组方向数.
因为对于任何平面来说,我们可以在这平面上任取一个点作为),,(0000z y x M ,也可以任取一垂直于这平面的向量作为法向量.根据这一事实,即可得到:
任何平面可用z y x ,,的一个三元一次方程来表示，反过来我们可以证明相反的结论,即:任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax 表示一个平面,其中C B A ,,为常数,且不同时为零.事实上，在方程（4）中任取一组解000,,z y x ,即
0000=+++D Cz By Ax (5) (4)式减去（5）式得
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
把方程（6）与方程（4）比较知，方程（6）是过),,(0000z y x M 且法向量为},,{C B A n =的平面方程,而方程（4）与（6）同解，从而方程（4）是一个平面的方程.即任一个三元一次方程（4）的图形都是一个平面，方程（4）称为平面的一般式方程，其中z y x ,,的系数就是该平面法向量的坐标，即},,{C B A =.
方程（4）要求系数不同时为零，当其中一个或某两个为零时，相应的平面有特殊位置，分别讨论如下：
（1）若0=D ，方程（4）为 0=++Cz By Ax
这是经过原点的平面，因为0,0,0===z y x 满足这个方程，所以原点o 在这个方程所表示的平面上.
（2）若0=C ,方程0=++D By Ax 是平行z 轴的平面，因为法向量在z 轴上的投影为0，此法线垂直于z 轴.同样,方程0=++D Cz Ax 是平行y 轴的平面,方程0=++D Cz By 是平行
x 轴的平面.
（3）若0,0==B A ，方程0=+D Cz ,即C
D
z -
=是平行xoy 面的平面，因为法向量在y x ,轴上的投影为0，法线垂直于xoy 面.同样,方程0=+D Ax 是平行yoz 面的平面,方程0=+D By 是平行xoz 面的平面.
（4）若0,0==D A ，方程0=+Cz By 是通过x 轴的平面，同样,方程0=+Cz Ax 是通过y 轴的平面,方程0=+By Ax 是通过z 轴的平面.
例3 求过z 轴和点)1,4,3(A 的平面方程. 解 因为平面过z 轴，可设其方程为 0=+By Ax 又点)1,4,3(在平面上，故有 043=+B A 即 B A 3
4
-= 代入上式得 03
4
=+-
By Bx 因0≠B ，方程两边除以B 得
034=+-y x 或 034=-y x
此题也可以有如下解法：
因为平面过z 轴，所以平面过)1,0,0(),0,0,0(C O ，所以，取
j i j i
OB OA n 340043
-==?=
所以，平面的方程为
0)0(3)0(4=---y x 即 034=-y x
3．平面的截距式方程
设一平面既不通过原点，也不平行于任何坐标轴，则该平面必与轴相交，设其交点分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(c R b Q a P （其中0≠abc ，c b a ,,分别称为平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距），求此平面的方程.
设所求平面为
0=+++D Cz By Ax （7）
由于点R Q P ,,在此平面上，必满足方程，代入得
0,0,0=+=+=+D Cc D Bb D Aa
解得 c D
C b
D B a D A -=-=-
=,,，代入方程（7）得 0=+---D z c D
y b D x a D 整理得 1=++c
z
b y a x （8）
上式称为平面的截距式方程，根据此方程，容易作出平面的图形，图7.34就是（8）的图形.
例如 某平面在坐标轴上的截距为5,2,6===c b a ，则它的方程为
15
26=++z y x 化为一般式为
0306155=-++z y x
以上讲了平面方程的三种形式，这三种形式之间都可以互化，例如当D C B A ,,,都不为0时，一般式方程可以化为截距式方程，截距式方程移项后便是一般式方程.
7.7.2两平面的夹角及两平面平行、垂直的条件
定义 两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角
设有平面1π： 01111=+++D z C y B x A 和平面2π： 02222=+++D z C y B x A 下面计算这两平面的夹角（图7.35）
由于平面1π有法向量},,{1111C B A n =，平面2π有法向量},,{2222C B A n =，按两向量的夹角的余弦公式，平面1π与平面2π的夹角θ可有 22
222221
21
2
1
212121cos C
B A C
B A
C C B B A A ++++++=
θ （9）
来确定.
从两向量垂直、平行的充分必要条件及（9）式，立即得到 平面1π与平面2π互相垂直，即1n 垂直于2n 的充分必要条件是 0212121=++C C B B A A
平面1π与平面2π平行，即1n 平行于2n 的充分必要条件是
2
1
2121C C B B A A ==
图7.35
例4 求平面07424=-++z y x 与平面043=-y x 的夹角. 解 15
2304)4(3424)4(234cos 2
2222==
-+++-?+?=
θ 所以 15
2arccos
=θ 例5 求过点)2,1,3(且平行于平面0282=-+-z y x 的平面方程
解 所求平面的法向量可取为 +-=82
所以所求方程为 0)2()1(8)3(2=-+---z y x 即 082=+-z y x
例6 求过点)1,1,1(-且垂直于两平面01=-+-z y x 、012=+++z y x 的平面方程. 解 设所求平面方程为 0=+++D Cz By Ax
因为点)1,1,1(-在平面上，所以 0=++-D C B A
而所求平面的法向量},,{C B A =与已知两平面的法向量}1,1,1{-和}1,1,2{都垂直，故
0=+-C B A 02=++C B A
解方程组
??
?
??=++=+-=++-0200C B A C B A D C B A
得 0,23
,21=-=-
=D A C A B 故所求方程为 02
3
21=--
Az Ay Ax 即 032=--z y x
平面方程有几种形式，其中点法式方程是平面方程中最基本的形式，只要已知平面上一点0M 和平面的法向量，即可建立平面的点法式方程，此外，在点0M 已知的情况下，也可由已知条件（垂直、平行等）运用向量代数的知识先求得法向量，再求平面方程，例如例6中，可取
}3,1,2{11-=-=
7.7.3平面外一点到平面的距离
设),,(0000z y x M 是平面
0=+++D Cz By Ax
π外的一定点，由),,(0000z y x M 作平面π的垂线，设垂足为M ，则点),,(0000z y x M 到平面π
的距离为M M 0（图7.36）
在平面π上任取一点),,(1111z y x M ，根据数量积的定义
M M 0Pr =
=因为},,{C B A n =，},,{10101001z z y y x x M M ---=，于是 2
2
2
1010100)
()()(C
B A z z
C y y B x x A M M ++-+-+-=
将分子展开，并利用),,(1111z y x M 在平面π上，即有 D Cz By Ax -=++111
这样就得到点),,(0000z y x M 到平面π的距离
图7.36
2
2
2
0000C
B A D
Cz By Ax M M d +++++=
=
例7 求)1,1,2(点到平面01=+-+z y x 的距离
解 带入公式得
3)
1(1111122
2
2
=-+++-+=
d
例8 求平行于平面0422=+-+z y x 且与已知平面距离为2的平面的方程.
解 平行于平面0422=+-+z y x 的平面的法向量一定是},2,2{λλλ-（其中0≠λ）
，故可设所求方程为 022=+-+D z y x
在已知平面0422=+-+z y x 上任取一点，如取点)0,0,2(-，则此点到所求平面的距离为2，即
2)
1(220020222
2
2
=-+++?-?+?-D
解得10=D 或2-=D ，于是，所求平面有两个：
01022=+-+z y x
或 0222=--+z y x
习题7-7
1． 求通过点)2,1,1(),2,2,2(),1,1,1(---C B A 三点的平面的方程. 2．求通过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程. 3．一平面平分)3,2,1(A 和)4,1,2(-B 间的线段且和它垂直,求该平面的方程. 4．写出下列平面的方程
（1） 平行于xoz 面，且经过点)3,5,2(-;
（2） 通过z 轴和点)2,1,3(--;
（3） 平行于x 轴且经过两点)2,0,4(-和)7,1,5(.
5．求通过点)1,1,1(,且垂直于平面7=--z y x 及051223=+-+z y x 的平面的方程. 6．指出下列各平面的特殊位置:
（1）0=x ; （2）013=-y ; （3）0632=--y x ; （4）03=-y x ; （5）056=-+z y x ; （6）0132=+-z y .
7．判别以下各组平面是否平行，垂直.如果既不平行，也不垂直，则求它们的夹角.
（1）1,1=+=+z y z x ; （2）y x z z y x 34,1268+==+--; （3）1224,352=++=+-z y x z y x ; （4）5236,422=+-=-+z y x z y x . 8．求两平行平面12++=y x z 及4363=-+z y x 之间的距离. 9．一平面通过z 轴且与052=-+z y x 的夹角为
3
π
,求该平面的方程. 10．求与已知平面0528=+++z y x 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为1的平面的方程.
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 1
2 课题： 第五节 平面及其方程 教学目的及要求： 介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。 教学重点： 1.平面方程的求法 2.两平面的夹角 教学难点： 平面的几种表示及其应用 教学步骤及内容 ： 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量 },,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=u u u u u u r n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1） 此即平面的点法式方程。 旁批栏：
3
4 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。 解：先找出这平面的法向量n ， k j i k j i n -+=----=?=9141 3 26433121M M M M 由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即： 015914=--+z y x 二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 旁批栏：
B020005 一、1、曲线x y R y z R 222222+=+=???在点R R R 222,,?? ???处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32 （C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32 答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。 2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。 四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。 2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求 ????z x z y ,。 3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分 5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。 6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。 7、求极限lim x y x xye xy →→-+00 416 。 8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算. 五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分 2、如果幂级数∑∞=0n n n x a 在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之. 3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。 4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2??????是[]0,π上的正交函数系。 5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0. 六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。 2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。 3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。 4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3 互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
题目：割平面法及其数值实现 院系：数理科学与工程学院应用数学系 专业：数学与应用数学 姓名学号：*** 1****** *** 1****** *** 1****** *** 1****** 指导教师：张世涛 日期：2015 年 6 月11 日
整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。 割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。 关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。 Abstract The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming. Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved. Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.
空间平面方程的求法 摘 要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方程有着重要意义。研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立平面的各种形式的方程。 关键词：空间平面 平面方程 方程的求解 空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空间最简单而又最基本的图形，即空间平面。在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。为解决这个困难我们要深入的探讨空间平面的求解方法。 如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而
=0 空间平面方程的求法 1、用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量, 求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 +t 2￡ 其中={X 1,Y i ,Z i }, 72 ={X 2,Y 2Z2} 解：所求的参数方程为 3u AX BY CZ Cv,y u,z v,所以平面的两方位矢量是 { —1,0}与{ —0,1},从而 A A, A, 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为 n {A,B,C},所以V 平行于平面的充要条 件为 n V 0，即 AX BY CZ 0. 2、用点位式方程 题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。 x X 0 X 1 X 2 y y 。 Y % z z 0 Z 1 Z 2 例1、写出下面的参数方程：通过点 A(2,3,1)并平行于 V 1 (2, 1,3),V 2 (3,0, 1) 2u 3v 知v {X,Y,Z}与已知平面共面的充要条件为 一 B … C v 与{ —1,0}，{ —0,1}共面，或 A, A, 0,即 AX BY CZ 0. 有的题型是要 r : =r 0 + t 1 r 1 x X 0 tx y y 0 t" z Z 0 t 1乙 例2、证明矢量 v {X,Y,Z} 平行于平面 Ax By Cz D 0的充要条件为: 证明：不妨设 Ax By Cz D 0中的A 0,把这平面的方程化为参数式: ①矢量式参数方程 ②坐标式参数方程 七2 丫2 t 2 X 2
解：设所求平面方程为 Ax By D 0, 3、用三点式方程 题目的条件是平面上的三个已知点。 4、用一般式方程 注：在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有 x,y,z 的三元一次方程。反之，该三元一次方 程表示一个平面，且系数 A, B,C 组成平面的法向量，即 n ={ A,B,C } ①平面过原点的充要条件是 ②平面过 z 轴的充要条件是 C 0, D 平面过 X 轴的充要条件是 A 0,D 平面过 y 轴的充要条件是 B 0,D ③平面平行于 z 轴的充要条件是 C 0,D 0. 平面平行于 X 轴的充要条件是 A 0,D 0 . 平面平行于 y 轴的充要条件是 B 0,D 例4、求通过点 （2, -1，1）与点（3，-2，1）且平行于Z 轴的平面的方程。 X 2 X 1 y 2 y 1 =0 X 3 X 1 y 3 讨1 例3、已知三角形顶点为 A(0, 7,0), B(2, 1,1),C(2,2,2),求平行于三角形 ABC 所在 的平面且与它相距为 2个单位的平面方程. 解：由已知，得 所以三角形ABC 所在的平面方程为3x 2y 6z 14 0. 设与这个平面相距 2个单位的平面方程为 Ax By Cz 1 由于-所以D 1 0,D 2 28. 因此所求的平面方程为 3x 2y 6z 0,3x 2y 6z 28 Ax By Cz （A,B,C 不全为零, D =- (Ax 0+By)+Cz)))
§3.2 点到平面的距离，平面的法式方程 本节重点：掌握平面划分空间的判别法 掌握点到平面的距离的求法。 掌握平面的法式方程。 1. 平面划分空间 由平面方程建立中，我们看到平面方程的左边 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝→→?P P n 0 这里→n 为平面的法向量{A,B,C}，0P 为平面上任一点，P (X,Y ,Z)为动点。若P 在已知平面上，则上式的值为 0。假设P 不在这个平面上，则上式不等于0，我们来研究它的符号。 把→n 的起点放在0P ，则它指向已知平面的某一侧。若P 点位于→n 所指的这一侧，则∠(→n ，→P P 0)小于直角，于是→n ·→P P 0＞0。若P 位于与→n 所指相反的一侧,则∠(→n ，→P P 0)大于直角，于是→n ·→P P 0＜0。由此我们得到 3.2.1 定理 对于平面 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝0 把法向量→n {A,B,C}的起点放在它上面，则→ n 所指一侧的点坐标满足不等式 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0 而另一侧的点的坐标满足不等式 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0 系：把位于已知平面同侧的点的坐标代入方程左边，所得的值必同号；异侧的点的坐标代入方程左边，其值异号。 由此，我们知道平面把空间上点分成三部分，一部分点在平面上，它的坐标代入方程左端使 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0与AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0。 2. 点到平面的距离，平面的法式方程 从点P 向已知平面引垂直线段PM ，(如图2-5)是点P 到平面 图2-5 的距离。再由P 点向过0P 的平面法线→n 引垂直线段PN ，则易知四边形N PMP 0为一矩形，故N P 0=PM ，由于在含→n 的轴线上→N P 0是→P P 0的射影向量 ∴ →→P P o n 0Pr =→N P 0→n =→P P 0→ n 故|→N P 0|=N P 0= ||||0→→→?n n P P 即 222| |C B A D Cz By Ax d +++++= （1）
7-4 相 轨 迹 一、相轨迹的概念 设二阶系统可以用下列常微分方程描述 ),(x x f x = 或 ),(x x f dt x d = 式中),(x x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参 变量，用x 与x 之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。 设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应 用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。 显然，如果把方程),(x x f x =看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速 度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运 动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的 一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。 相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程 ),(x x f x = 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =? 则有
空间平面方程的求法 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而知},,{Z Y X v = 与已知平面共面的充要条件为v 与}0,1,{A B - ，}1,0, {A C -共面，或 01 001 =--A C A B Z Y X ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n = ,所以v 平行于平面的充要条件为0=?v n ，即0=++CZ BY AX . 2、 用点位式方程 题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。 2 22 1110 00Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0
平面方程拟合计算 平面方程的一般表达式为： 0=+++D Cz By Ax , (0≠C ) C D y C B x C A z --- = 记：C D a C B a C A a -=-=-=210,, 则：210a y a x a z ++= 平面方程拟合: 对于一系列的n 个点)3(≥n ： 1,,1,0),,,(-=n i z y x i i i 要用点1,,1,0),,,(-=n i z y x i i i 拟合计算上述平面方程，则使： ()∑-=-++=1 02 210n i z a y a x a S 最小。 要使得S 最小，应满足： 2,1,0,0==??k a S k 即：?????=-++=-++=-++∑ ∑∑0)(20)(20)(2210210210i i i i i i i i i i i z a y a x a y z a y a x a x z a y a x a 有，?????=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i i z n a y a x a z y y a y a y x a z x x a y x a x a 21022102120 或，????? ??=????? ??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i i z z y z x a a a n y x y y y x x y x x 21022 解上述线形方程组，得：210,,a a a 即：210a y a x a z ++=
下面程序实际求得的是以下的参数： 01=+++Z D C Y D B X D A 即:AX+BY+CZ+1=0 其程序代码如下： #include "stdafx.h" #include
巧求平面法向量 在空间直角坐标系中，平面的一般方程是0d cz by ax =+++（其中系数a,b,c 不同时为零），则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面0d cz by ax =+++的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。 定理1：若平面α不经过原点．．．．． ,，取平面α内不共线的三点A 、B 、C ，将其分别坐标代入关于z y x ,,的方程1cz by ax =++（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c 的一组值，则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量 定理2：若平面α经过原点．．．． ,取平面α内与原点不共线的两点A 、B ，将其坐标代入关于z y x ,,的方程0cz by ax =++，求出系数a,b,c 的一组值，则向量)c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量。 例1：已知如图正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 解（1）因为平面BDC 1过原点D,将点B(1,1,0),C 1(0，1，2)代入0cz by ax =++得：0 20a b b c +=?? +=? 所以 2a b b c =-?? =-?。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以)1,2,2(n -=→是平面BDC 1的法向量 （2）因为平面A 1BC 1不过原点D,将点A 1(1,0,2),B （1，1，0）C 1(0，1，2)代入1cz by ax =++得： 21121a c a b b c +=??+=??+=?所以121214a b c ? =?? ? =? ? ? =?? 所以)4 1 ,21, 21(n =→ 为平面BDC 1的法向量 (3) 因为平面ABC 1D 1不过原点D,将A 1(1,0,2),B （1，1，0 C 1(0，0，2)代入1代入2ax by cz ++=得 22022221a c a a b b c c +==???? +==????==?? 即所以(0,2,1)n →=是平面ABC 1D 1的法向量。
平面的法线式方程 x y on 为原点至平面的垂线，也即是平面的法向量。(,,)p x y z 为平面上任意一点，0p 为平面上一固定点，0on pp ⊥。 由此推出：00()0on pp on op op =-= ， （1） 即00on op on op -= ， （2） 设0(cos ,cos ,cos )on αβγ= 为单位法向量， 故0000on op on op -= （3） 其中000on op d =≥ ，d 为原点到平面的距离。 由于0(cos ,cos ,cos )on αβγ= ，(,,)op x y z = ， （3）式可写为： (,,)(cos ,cos ,cos )cos cos cos 0x y z d x y z d αβγαβγ-=++-= （4） 222cos cos cos 1αβγ++= 到此，推出了平面的法线式方程： 222,(1,0)ax by cz d a b c d ++=++=≥ （5）
注： 1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-d≤0，d表示坐标原点到平面的距离. 2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的. 3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号. 4）设给定平面的坐标形式一般式方程为 Ax By Cz D +++=， 为了将其化为法线式方程，只要将 λ=称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程 )0 Ax By Cz D +++=，并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.
●教学目标 （一）教学知识点 根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. （二）能力训练要求 1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程. 2.会判断曲线和方程的关系. （三）德育渗透目标 1.提高学生的分析问题能力. 2.提高学生的解决问题能力. 3.培养学生的数学修养. 4.增强学生的数学素质. ●教学重点 求曲线方程的步骤： （1）依据题目特点，恰当选择坐标系； （2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标； （3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0； （4）化方程F(x,y)=0为最简形式； （5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ●教学难点 依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性. ●教学方法 启发引导法 启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§7.6.2 A 第二张：记作§7.6.2 B ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.
［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. Ⅱ.讲授新课 不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x ,y )所满足的方程f (x ,y )=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质. 而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 它主要研究的是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. ［师］下面我们首先讨论求曲线的方程. ［例2］设A 、B 两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 分析：线段AB 的垂直平分线上的任一点M 应满足条件：｜MA ｜=｜MB ｜ （打出投影片§7.6.2 A) 解：（1）设M （x ,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，则｜MA ｜=｜MB ｜ 即2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x 整理得，x +2y -7=0 ① 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M 1的坐标(x 1,y )是方程①的解， 即x 1+2y 1-7=0, x 1=7-2y 1 点M 1到A 、B 的距离分别是 ｜M 1A ｜=2121)1()1(+++y x . )136(5)7()24()7()3(; )136(5)1()28(12121212 12111212121+-=-+-=-+-=+-=++-=y y y y y x B M y y y y ∴｜M 1A ｜=｜M 1B ｜ 即点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程. ［例3］点M 与互相垂直的直线的距离的积是常数k (k ＞0)，求点M 的轨迹. 分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系. （打出投影片§7.6.2 B) 设点M 的坐标为(x ,y )，点M 的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k 的点的集合： P ={M ｜｜MR ｜·｜MQ ｜=k }, (其中Q 、R 分别是点M 到x 轴、y 轴的垂线的垂足） 因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，
第五节 平面及其方程 教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面——平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础. 教学重点：1.平面的方程 2.两平面的夹角 教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容： 一．平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量. 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点M 0(x 0,y 0,z 0)和它的一个法线向量n ＝{A ,B ,C }，对平面上的任一点M (x ,y ,z )，有向量⊥M M 0n ，即 n 00=?M M 代入坐标式有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1） 此即平面的点法式方程. 1. 例子：求过三点M 1（2，－1，4）、M 2（－1，3，－2）和M 3（0，2，3）的平面方程. 解：先找出这平面的法向量n ， k j i k j i n -+=----=?=9141326433121M M M M 由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即： 015914=--+z y x 二．平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示. 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 二． D ＝0：通过原点的平面. 三． A ＝0：法线向量垂直与x 轴，表示一个平行于x 轴的平面. 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面. 四． A ＝B ＝0：方程为Cz ＋D ＝0，法线向量{0,0,C }，方程表示一个平行于xoy 面的平 面.
6.3 一、单选题 1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）. A 3(1)0x y z +--= B 133 x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-= 答案： B 解析： 根据截距式方程的标准形式， 可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为 133x z y +-=. 2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）. A 32(1)0x y z -+-= B 3220x y z --+= C 3220x y z ---= D 1232 x z y --= 答案： C 解析： 方法一 直接求平面的一般方程 . 设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标 分别代入方程①中, 即有方程组0 00B D A C D A B C D -+=??++=??+-+=? , 运用中学学过的消元法解方程组, 用D
来表示,,A B C , 可得3212 B D A D C D ??=??=-???=?? , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -?+?+?+=方程两边同时除以2 D -化简得3220x y z ---=. 方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 . 将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M 则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M 的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量 求出平面方程的法向量1213111121i j k n M M M M =?=- 11111132.211112 i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -?-+?++?-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.） （做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。） 3、过点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 且平行于x 轴的平面的一般式方程为（ ）. A 240y z -+= B 124y z -= C 024 y z -= D 240y z --= 答案： A 解析： 首先，由于所求平面平行于x 轴，因此可设平面方程为0By Cz D ++= . 方法一 直接求平面的一般方程 . 将已知的两个个点12,M M 坐标分别代入平面方程0By Cz D ++=中,