第7题 第8题 第9题
第4题 第5题 第6题
圆的培优专题1——与圆有关的角度计算
一 运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1
2
∠BAC ＝100?）
2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?）
3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 维更明朗！
4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?）
5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?）
6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?）
解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.
二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为?AB 的中点，D 为半圆?AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ .
9、如图，AB 为⊙O 的直径，??3BC AC =，则∠ABC ＝ .
第10题 第11题 第12题
答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ，弦AC ∠BOC ＝ .
12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若??AC CD
=，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）
解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰
直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！
圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算
1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30?，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90?， ∵∠BED ＝30?，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60?
∴∠OAC ＝30?，OC ＝ 1 2 OA ＝2，则AC ＝AB ＝2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝1
2 AB=3
∴OE 4=，则CE ＝5＋4＝9
3、如图，⊙O 的半径为弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，则OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 则BE ＝12 AB ＝4，DF ＝1
2 CD ＝3，且OB ＝OD ＝ OE
2=，OF
= 又AB ⊥CD ，则四边形OEPF 是矩形，则OP =4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60?，则⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，则AD ＝1
2 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝ ∴OB =.
5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15?，CD ＝10，则BC ＝ 略解：如图，连接OC ，OD ，则∠ODC ＝∠OCD
∵△ABC 为等边三角形，则∠OCA ＝∠OCE ＝30?，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45? ∴△OCD 是等腰三角形，则OC ＝CE 的延
长线交⊙O 于点D ，则CD ＝ 略解：如图，连接OC ，则OC ＝2
∵C 为?
AB 的中点，则OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60?，∴∠OCE ＝30? 如图，过点O 作OF ⊥CD ，则OF ＝1
2 OC ＝17、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300 并以每小时60?的 动，距台风中心200 问：A
出受影响的时间？
解：如图，过点A作AC⊥BF交于点C，
∵∠ABF＝30?，则AC＝1
2
AB＝150<200，因此A地会受到这次台风影响；
如图，以A为圆心200千米为半径作⊙A交BF于D、E两点，连接AD，
则DE＝2CD＝=
所以受影响的时间为10
=（时）
圆的培优专题3——圆与全等三角形
1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长. 解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BE＝AC，连接DE
∵∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD
又∠CAD＝∠EBD，AC＝BE
∴△CAD≌△EBD（SAS）
∴CD＝DE，∠ADC＝∠BDE
∵AB为⊙O的直径，则∠ACB＝∠ADB＝90?
∴BC8
=；∠ADC＋∠CDB＝∠CDB＋∠BDE＝90?，即∠CDE＝90?
∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝
2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且
MA＝MD，若CM BD的长.
解：如图，连接AC，则AC＝BC，∠C＝90?，即△ABC是等腰直角三角形过点M作MN∥AD，则∠NMA＝∠MAD
则△CMN也是等腰直角三角形，则MN CM＝2
∴∠ANC＝∠MBD＝135?，
又MA＝MD，∴∠D＝∠NMA＝∠MAD
∴△AMN≌△BMD（AAS）
∴BD＝MN＝2
3、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为?AN上一点，NC＝
求BC－AC的值.
解：如图，连接AN，BN，则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD＝AC，连接DN
∵AN＝BN，∠CAN＝∠DBN，AC＝BD
∴△ACN≌△BDN（SAS）
∴CN＝DN，∠CNA＝∠DNB，
∴∠CND＝∠CNA＋∠AND＝∠ADN＋∠DNB＝90?，即△CND是等腰直角三角形
∴CD，
∴BC－AC＝BC－BD＝CD
4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，??
=，点M为?BC上一点，CE⊥AM于E，
AC BC
AE＝5，ME＝3，求BM的长.
解：如图，在AM上截取AN＝BM，连接CN，CM.
∵??
=，∴AC＝BC，又∠A＝∠B
AC BC
∴△ACN≌△BCM（SAS）
∴CN＝CM，又CE⊥AM
∴NE＝ME＝3，
∴BM＝AN＝AE－NE＝2
5、如图，在⊙O中，P为?
BAC的中点，PD⊥CD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1，求AB的长.
解：如图，连接BP、CP，则BP＝CP，∠B＝∠C
过点P作PE⊥AB于点E，又PD⊥CD
∴∠BEP＝∠CDP
∴△BEP≌△CDP（AAS）
∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD
连接AP，则Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），则AE＝AD＝1
∴AB＝AE+BE＝5
6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB＝10，MN＝8.
求BF －AE 的值.
解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，则AE ∥BF ，∴∠A ＝∠B
如图，延长EO 交BF 于点G ， 则∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO
∴△AOE ≌△BOG （AAS ），则OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4
连接ON ，则ON ＝5，OH 3=，则BG －AE ＝FG ＝6.
圆的培优专题4——圆与勾股定理
1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是?AB 的中点，∠BNC ＝60?， 求 BN
BC
的值.
解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90? 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形
∴BN ＝
2
AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60?，
∴BC ＝
2AB ， ∴BN BC ＝3
（方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解）
2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90? 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90?
∴∠DAC ＝∠EDB ，则??CD
BE =，∴??DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴?
?AC CD =，则???AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形
∴AE ＝4，即⊙O 的半径为2
3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45?， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.
（1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC.
（1）证：∵ AB为⊙O的直径，∠CAD＝45?，
则△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC
又CE⊥AB，则∠CAE＝∠ECB
如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G
又CE⊥AB，DF⊥AB，则四边形CEFG是矩形，∠AEC＝∠DGC＝90?
∴EF＝CG，CE∥DG，则∠ECB＝∠CDG＝∠CAE
∴△ACE≌△DCG（AAS），则CE＝CG＝EF
（2）略解：AC＝CD=
4、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，??
AC CE
=.
（1）求证：AF＝CF；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长
（1）证：如图，延长CD交⊙O于点G，连接AC
∵直径AB⊥CG，则???
AG AC CE
==
∴∠CAE＝∠ACG，则AF＝CF
（2）解：如图，连接OC交AE于点H，则OC⊥AE，EH＝AH＝1
2
AE=4
∴ OH3
=，则CH＝5－3＝2 设HF＝x，则CF＝AF＝4－x
则222
2(4)
x x
+=-，∴
3
2
x=，即HF＝
3
2
∴EF＝11 2
5、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD.
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝ON＝1，求⊙O的半径.
（1）证：∵CD⊥AB，AM⊥BC
∴∠C＋∠CNM＝∠C＋∠B＝90?
∴∠B＝∠CNM，
又∠B＝∠D，∠AND＝∠CNM
∴∠D＝∠AND，即AD＝AN
（2）解：∵直径CD⊥弦AB，则AE＝
又AN＝AD，则NE＝ED
如图，连接OA，设OE＝x，则NE＝ED＝1
x+
∴OA＝OD＝21
x+
∴222
x=
+=+，则1
(21)
x x
∴⊙O的半径OA＝3
圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题
1、在⊙O中，弦AB⊥CD于E，求证：∠AOD＋∠BOC＝180?.
证：如图，连接AC，
∵AB⊥CD，则∠CAB＋∠ACD＝90?
又∠AOD＝2∠ACD，∠BOC＝2∠BAC
∴∠AOD＋∠BOC＝180?.
2、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵AB⊥CD，则∠CAB＋∠ACD＝90?
如图，作直径AM，连接CM
则∠ACM＝∠ACD＋∠DCM＝90?
∴∠CAB＝∠DCM，
∴??
BC DM
=
∴??
=，
CM BD
∴CM＝BD
∵AC2＋CM2＝AM2
∴AC2＋BD2＝4R2.
3、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若点M为AC的中点，求证ME⊥BD.
证：如图，连接ME，并延长交BD于点F ∵AB⊥CD，且点M为AC的中点
∴ME为Rt△AEC斜边上的中线
∴AM＝ME
∴∠A＝∠AEM＝∠BEF
又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90?
∴∠BEF＋∠B＝90?，即∠BFE＝90?
∴ME⊥BD.
4、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若ON⊥BD于N，求证：ON＝1
2 AC.
证：如图，作直径BF，连接DF，则DF⊥BD，又ON⊥BD，
∴ON∥FD，又OB＝OF
∴ON＝1
2
DF
连接AF，则AF⊥AB，又CD⊥AB ∴AF∥CD
∴??
AC FD
=，则AC＝FD
∴ON＝1
2
AC
5、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若AC＝BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M.
（1）求证：ME//ON；
（2）求证：四边形OMEN为菱形.
证：（1）如图，延长ME交OD于点F
∵OM⊥AC，则点M为AC的中点
∵ AB⊥CD，则ME为Rt△ACE的斜边上中线
∴AM＝EM，
∴∠A＝∠AEM＝∠BEF
又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90?
∴∠B＋∠BEF＝90?，则∠BFE＝90?
∴MF⊥BD，又ON⊥BD
∴MF∥ON
（2）由（1）知MF∥ON，同理可证OM∥NE，
∴四边形OMEN是平行四边形
∵AC＝BD，∴OM＝ON
∴四边形OMEN为菱形.
圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝90?.
求证：CA＋CB
证：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD ∵CD平分∠ACB，∴AD＝BD
又∠DAE＝∠DBC，AE＝BC
∴△DAE≌△DBC（SAS）
∴CD＝DE，又∠ACD＝45?
∴△CDE是等腰直角三角形，则CA＋CB＝CE CD.
2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120?，求CA+CB
CD
的值.
解：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD ∵CD平分∠ACB，∴AD＝BD
又∠DAE＝∠DBC，AE＝BC
∴△DAE≌△DBC（SAS）
∴CD＝DE，又∠ACD＝60?
∴△CDE是等边三角形
∴CD＝CE＝CA＋BC，即CA+CB
CD
＝1
3、如图，过O、M(1,1)的动圆⊙
1
O交y轴、x轴于点A、B，求OA＋OB的值.
解：如图，过点M作ME y
⊥轴，MF⊥x轴，连AM、BM
由M（1，1）知：四边形OFME是正方形
∴OE＝OF＝4，EM＝FM，又∠MBF＝∠MAE，
∴△AEM≌△BFM（AAS），则AE＝BF
∴OA＋OB＝AE＋OE＋OF－BF＝8.
二圆中的外角问题往往与线段的差有关
4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90?.
求证：（1）??
PA PB
=；（2）AC－BC PC.
证：（1）如图，连接AP，则∠PCQ＝∠PAB
又∠PCQ＝∠PCA，则∠PAB＝∠PCA
∴??
PA PB
=
（2）连接BP，由（1）得，PA＝PB
在AC上截取AD＝BC，连PD，又∠PAD＝∠PBC
∴△PAD≌△PBC（SAS），则PD＝PC
又∠PCD＝45?，则∴PCD是等腰直角三角形，∴AC－BC＝CD
5、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝120?.
求BC －AC PC
的值.
解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP ∴△CAP ≌△DBP （SAS ），则CP ＝DP 又∠ACB ＝120?，∴∠PCD ＝30?，
∴BC －AC PC ＝ CD PC
6、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点 这P 为?OA
上动点（异于O 、A ）.
求PB －PA
PO
的值.
解：如图，在BP 上截取BC ＝AP ∵A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC （SAS ）
∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90?，则
PB －PA PO ＝ PC
PO
圆的培优专题7——与切线有关的角度计算
一 切线与一个圆 答案：1、70?；2、20?；3、80?；4、120?；5、130?；6、45?
1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，若∠ACB ＝20?，则∠CAD ＝ .
2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，若∠ABP ＝35?，则∠APB ＝ .
3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为?ACB 上一点，若∠BCA ＝50?，则∠APB ＝ .
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
第6题
4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为?AB 上一点， 若∠BCA ＝150?，则∠APB ＝ .
5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，若 ∠BAC ＝80?，则∠BOC ＝ .
6、如图，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝AB ，PD 平分
∠APB 交AB 于D ，则∠ADP ＝ . （设元，列方程）
二 切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC
分别切小圆于D 、E ，小圆的?DE 的度数为110?，
?8
∠C ＝
9上任一点，
则∠DCB ＝ . 答案：7、140?；8、40?；9、50?（过点D 作两圆的切线）
圆的培优专题8——与切线有关的长度计算
1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30?，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于
点D ，若⊙O 的半径为1，BD //OC ，则CD ＝ . （CD ）
2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝
75?，
CD AD ＝ . （AD ＝3）
3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，∠ACB ＝75?，
5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，则AE ＝ . （AE ＝1）
6、如图，△ABC 中，∠C ＝90?，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，若⊙O 的
半径为2，则△ABC 的周长为 . （C ＝30）
7、如图，△ABC 中，∠C ＝90?，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ，
连接AD ，则BD ＝ . （示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10） 解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.
圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理
1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为?AE 的中点，CD ⊥BE 于D. （1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：（1）DC 是⊙O 的切线，理由如下：
如图，连接OC ，BC ，则∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE
∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线
（2）如图，过O 作OF ⊥BD ，则四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，
∴EF ＝BF ＝4=，∴DE ＝DF －EF ＝1
2、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是?BC
的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线
BF 交AD 的延长线于点F. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；
第5题 第6题 第7题
（2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求DF的长.
（1）证：显然，∠CAD＝∠OAD＝∠ODA
∴OD∥AE，又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，又OD为⊙O半径
∴DE为⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OG⊥AC，则OGDE是矩形，即OG＝DE＝3，DE＝OD＝5
∴AG4
=，则AE＝5＋4＝9，∴=
连接BD，则BD⊥AD，∴BD=
设DF＝x，则22
x+-，∴DF＝x=.
(10
x+＝BF＝22
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，DE＝1，求CD的长.
（1）证：如图，连接OA，则∠ADE＝∠ADO＝∠OAD
∴OA∥CD，又AE⊥CD
∴OA⊥AE，又OA为⊙O的半径
∴AE是⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OF⊥CD，则CD＝2DF，且四边形OFEA是矩形
∴EF＝OA＝OD，OF＝AE＝2
设DF＝x，则OD＝EF＝1
x+
∴222
+=+，∴ 1.5
x x
2(1)
x=
∴CD＝2CF＝23
x=
4、如图，AE是⊙O的直径，DF切⊙O于B，AD⊥DF于D，EF⊥DF于F.
（1）求证：EF＋AD＝AE；
（2）若EF＝1，DF＝4，求四边形ADFE的周长.
（1）证：如图，连接CE，则四边形CDFE是矩形
连接OB交CE于点G，
∵DF是⊙O的切线
∴OB⊥DF，OB⊥CE
∴BG＝CD＝EF，OG∥AC，又AO＝OE
∴AC＝2OG
∴EF＋AD＝AC＋CD＋EF＝2OG＋2BG＝2OB＝AE.
（2）解：显然CE＝DF＝4，CD＝EF＝1
设AC＝x，则AD＝1
x+，AE＝2
x+
∴222
4(2)
x x
+=+，则3
x=，则AC＝3，AD＝4，AE＝5
∴四边形CDFE的周长为14.
圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理
1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC ＝BC，
AC＝1
2 OB.
（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45?，OC＝2，求弦CD的长. （1）证：∵OC＝OB，
∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝1
2
OB
∴△OAB是直角三角形，且∠OAB＝90?，又OA为⊙O的半径∴AB是⊙O的切线
（2）解：显然，OA ＝OC ＝AC ，即△OAC 是等边三角形 ∴∠AOC ＝60?，∴∠D ＝30? 如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，
∵∠ACD ＝45?，∴△AEC 是等腰直角三角形，
∴AE ＝CE ＝
2AC ＝2
OC ＝DE ＝
∴CD ＝2、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点M 在PB 上，且OM //AP ，MN ⊥AP 于N. （1）求证：OM ＝AN ；（2）若⊙O 的半径3r =，PA ＝9，求OM 的长. （1）证：如图，连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，又MN ⊥AP ∴OA ∥MN ，又OM //AP ，
∴四边形OANM 是矩形，即OM ＝AN （2）解：如图，连接OB ，∵PB 、PA 为⊙O 的切线 ∴∠OBM ＝∠MNP ＝90?，PB ＝PA ＝9
∵OM //AP ，∴∠OMB ＝∠P ，又OB ＝OA ＝MN ，∴△OBM ≌△MNP （AAS ） ∴OM ＝PM ，则32＋OM 2＝（9－OM ）2，∴OM ＝5
3、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，
E 为切点，连接CE 交AB 于F.
（1）求证：DE ＝DF ；（2）连接AE ，若OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. （1）证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线，
∴OE⊥DE，又OC⊥AB
∴∠C＋∠CFO＝∠OEF＋∠DEF＝90?
又∠C＝∠OCF，∠CFO＝∠DFE
∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF
（2）解：显然，OE＝OB＝OF＋BF＝4
设BD＝x，则DE＝DF＝3
x+
x+，OD＝4
∴222
++=+，∴x=4.5
x x
(3)4(4)
∴DE＝7.5
4、如图，正方形ABCO的顶点分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切于F，
已知A(0,8)，求圆心M的坐标.
解：如图，连接FM交延长交AB于点E
∵⊙M与x轴相切，即OC是⊙M的切线
∴EF⊥OC，
又四边形ABCO是正方形
∴EF⊥AB，
又A（0，8）即AB＝EM＝OA＝8
∴ AE＝4
设MF＝AM＝x，则EM＝8－x
∴222
+-=，∴5
4(8)x x
x=，即MF＝5
∴点M的坐标为（－4，5）
圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形
1、如图，BD为⊙O的直径，A为?BC的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC
的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长. （1）证：如图，连接AB
∵BD为⊙O的直径，DF为⊙O的切线
∴∠BAD＝∠BDF＝90?
∴∠ABC＋∠AEB＝∠ADB＋∠FDE＝90?
又∠ABC＝∠ADB，∠AEB＝∠DEF
∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝EF
（2）解：如图，过点F作FG⊥ED，则EG＝GD＝2＝AE，
又∠BAE＝∠FGE＝90?，∠AEB＝∠GEF，
∴△ABE≌△GFE（ASA），
∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线
∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝
2、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OC⊥AD，CF⊥DB于F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径.
（1）证：∵AB为⊙O的直径
∴DF⊥AD，又OC⊥AD
∴OC∥DF，又CF⊥DB
∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径
∴CF为⊙O的切线
（2）解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，
则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5
又OC ⊥CF ，CF ⊥EF ∴四边形OCFE 是矩形 ∴⊙O 有半径OC ＝EF ＝2.5
3、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ；
（2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝O 的半径. （1）证：如图，连接OA 、OB ，则OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90? ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC （SAS ） ∴OC ＝OD
（2）解：如图，连接OM 、BD ，则OM ⊥DM ，且BD ＝＝＝DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB （SSS ） ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45?
∴∠OAB ＝45?，即△OAB 是等腰直角三角形
∴OA ＝
2
AB 4、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90?，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；（2）弦CE 交BD 于M ，若3ABC BCM S S =V V ，求 BD CE
. （1）略证：连接CD ，则CD ⊥AB
又AC ＝BC ，∠ACB ＝90?，∴AD ＝BD （2）解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABC BCM S S =V V ，∴2ACM BCM S S =V V ∴AN ＝2BE
∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB （AAS ） ∴BE ＝CN ，CE ＝AN
设CN ＝BE ＝x ，则CE ＝AN ＝BE ＝2x ，
∴BC ，∴AB ＝，即BD x
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 圆的培优专题4——圆与勾股定理 1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60?， 求 BN BC 的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90? 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形 ∴BN AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60?， ∴BC AB ， ∴BN BC （方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解） 2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90? 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90? ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE AD ＝4，即⊙O 的半径为2 3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45?， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F. （1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45?， 则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB 如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G 又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90? ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD =. 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ； （2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长 一运用辅助圆求角度 1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 , 1 贝U 乙 BDC = _______ . ( ? BDC = "2- ■ BAC = 100 ) 2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 ) 3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩 乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*) 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗! 4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 ? D = 60 , 贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 ) 5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 , 贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150 ) A 第1题 第2题 第3题 第5题 第6题 第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 (ABC = ADC = 25 ) 6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________ ACBD共圆. 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 第4题 第5题 第6题 第1题 第2题 第3题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40?＋60?＝100?） 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆心角和圆周角 一、经典考题赏析 例1.（成都）如图，ABC 内接于O ，AB=BC ，0120ABC ∠=,AD 为O 的直径，AD=6，那么 BD= 变式题组： 1.（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点，O 的半径为1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠= 。 2.（芜湖）如图，已知点E 是O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，0 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为 。 3.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是0 70、0 40，则1∠的度数为 。 例2.（盐城）如图，A 、B 、C 、D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动。设运动时间为()t s ，()0 APB y ∠=，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰 当的是（ ） 变式题组： 4.如图所示，在O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,0 60A B ∠=∠=,则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20 5.（威海）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，OD AC ，下列结论错误的是（ ） A.BOD BAC ∠=∠ B.BOD COD ∠=∠ C.BAD CAD ∠=∠ D.C D ∠=∠ 6.（青岛）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，0 42ACD ∠=，则BAD ∠= 。 例3.（柳州）如图，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE AB ⊥,垂足为E ，BD 交CE 于点F 。 （1）求证：CF=BF （2）若AD=2，O 的半径是3，求BC 的长。 变式题组： 7.（广州）如图，在O 中0 60ACB BDC ∠==，23AC =cm. （1）求∠BAC 的度数；（2）求O 的周长 8.（潍坊）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交O 于点D ，连接BD 、CD 。 （1）求证：BD DC DI == （2）若O 的半径为10cm ，0120BAC ∠=，求BDC 的面积。 例4.如图，在ABC 中，036B ∠=，0 128ACB ∠=，CAB ∠平分线交BC 于M ，ABC 的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则ANM 的最小角等于 。 变式题组：9.如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在O 上，AB=BD ，BM AC ⊥于M ， 求证：AM DC CM =+ 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 《圆》新定义专题培优训练 1．如图，⊙O 的半径为（r ＞0），若点P ′在射线OP 上（P ′可以和射线端点重合），满足OP ′+OP ＝2r ，则称点P ′ 是点P 关于⊙O 的“反演点”． （1）当⊙O 的半径为8时， ①若OP 1＝17，OP 2＝12，OP 3＝4， 则P 1，P 2，P 3中存在关于⊙O 的反演点”的是 ． ②点O 关于⊙O 的“反演点”的集合是 ， 若P 关于⊙O 的“反演点在⊙O 内，则OP 取值范围是 ； （2）如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12，⊙O 的圆心在射线CB 上运动，半径为1．若线段AB 上存在点 P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部，求OC 的取值范围． 2．定义： 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为?x 、?y 和?z ，若x 、y 、z 满足2 22z y x =+， 我们定义这个三角形为和谐三角形． （1）△ABC 中，若 ∠B=50°，∠A=70° ，则△ABC_______(填“是”或“不是” ）和谐三角形； （2）如图，锐角△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=60° ，AC=4 ， ⊙O 的直径是24 ， 求证：△ABC 是和谐三角形; （3）当△ABC 是和谐三角形，且∠A=30°，则∠C 为 _______° 3.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N． ①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围． 九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan A=1 2 ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论； 第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒如图，∠APB ＝30°，O 为P A 上一点，且PO ＝6，以点O 为圆心，半径为OB 的位置关系是（ ） A ﹒相离 B ﹒相切 C ﹒相交 D ﹒以上三种情况均有可能 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2﹒如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 并延长交AE 于点D .若∠AOC ＝80°，则∠ADB 的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒40° C ﹒50° D ﹒60° 3﹒如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于 E ， F ， G 三点，过点D 作⊙O 的切线DM ，交BC 于M ，切点为N ，则DM 的长为（ ） A ﹒ 133 B ﹒92 C D ﹒4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（ ） A ﹒2π B ﹒4π C ﹒6π D ﹒8π 5﹒如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径.若∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒25° C ﹒30° D ﹒40° 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（ ） A ﹒ B ﹒ C ﹒ D ﹒7﹒如图，以半圆O 中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若 AD ＝2 ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ） 圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B． 考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一、核心：运用圆周角和圆心角相互转化求角度 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 7、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC =CD ,P ＝， 解题策略： 1.在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 2.圆的内接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ ∠30? 二、无圆则先添加辅助圆，再利用核心求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若DAB ＝，DAC ＝， 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，CBD ＝，BDC ＝，则 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若D ＝， 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，ABC ＝ADC ＝， 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ ∠20?∠30?∠20?∠30?∠60?∠∠70? 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB是⊙O的弦，OD AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED ＝，⊙O的半径为4，则弦AB的长是. 2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝. 3、如图，⊙O的半径为，弦AB CD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝. 4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝，则⊙O的半径为. 5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝，CD＝10，则BC＝ 6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，AEC＝，CE的延 长线交⊙O于点D，则CD＝ 7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处， 并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？ ⊥∠30? 25⊥ ∠∠60? ∠15? ∠60? 10760? 《圆》的专项培优练习题 1．如图一，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图二，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线． 初三数学圆的专项培优练习题含答案 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F 作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 ＝38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案 一、圆的综合 1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】 试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论． （2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ??? ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1 252 B OCB AOP ∠=∠= ∠=?. 2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ． （1）求证：∠ABD =2∠BDC ； （2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ； 初三数学圆与相似的专项培优练习题(含答案) 一、相似 1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I． （1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE， ∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF， ∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°， 在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE （2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90° ∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF， 在△AEH与△FDH中， ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE， ∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等． （1）求实数a，b的值； 九年级上册数学《圆》专项训练 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最 小距离为b（a>b），则此圆的半径为（） A． 2 b a+ B． 2 b a- C． 2 2 b a b a- + 或D．b a b a- +或 2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（） A．40°B．80°C．160°D．120° 4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（） A．20°B．40°C．50°D．70° 5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位 C．1个单位D．15个单位 6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30° 7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（） A．5 B．7 C．8 D．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（） A．2 6m B．2 6m πC．2 12m D．2 12m π 9．如图24—A—6，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦 CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（） A．16πB．36πC．52πD．81π 10．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为 （） 图24—A—5 图24—A—6 图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4 第7题 第8题 第9题 第4题 第5题 第6题 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20?，∠DAC ＝30?， 则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 1 2 ∠BAC ＝100?） 2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100?，则∠BAD ＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20?，∠BDC ＝30?，则 维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60?， 则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120?） 5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70?， 则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360?－∠ADC －∠AOC ＝150?） 6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90?，∠ADC ＝25?，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25?） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 第10题 第11题 第12题 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ，弦AC ∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30?，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90?， ∵∠BED ＝30?，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60? ∴∠OAC ＝30?，OC ＝ 1 2 OA ＝2，则AC ＝AB ＝2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝1 2 AB=3 ∴OE 4=，则CE ＝5＋4＝9 圆的专项培优练习题 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．4、圆的培优专题：圆与勾股定理
圆的培优专题(含解答)
【数学】培优圆的综合辅导专题训练含答案
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