摘要
行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。
关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何
The Application of The Determinant
Abstract
The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects.
Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry
目录
一、引言 (1)
(一)研究背景与问题 (1)
（二)文献综述 (1)
（三)研究意义 (2)
（四)研究目标 (2)
二、行列式理论研究 (2)
（一）行列式理论发展史 (3)
（二）行列式的现代理论 (4)
1.行列式的一些基本性质 (5)
2.行列式的展开 (6)
三、行列式在线性方程组中的应用 (7)
四、行列式在中学几何领域的应用 (9)
（一）应用行列式解决空间几何问题 (9)
（二）行列式在平面几何中的应用 (13)
（三）行列式在解析几何中的应用 (15)
五、行列式在中学代数领域中的应用 (18)
（一）应用行列式分解因式 (18)
（二）应用行列式解决代数不等式问题 (19)
（三）应用行列式求解方程 (21)
（四）应用行列式分母有理化 (23)
六、结束语 (24)
致谢 .......................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (24)
一、引言
(一)研究背景与问题
行列式起源于解二、三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的范围、成为研究数学领域各分支的基本工具。不管是在高等数学领域里的高深理论,还是在现实生活中的实际性问题,都或多或少的与行列式有着直者间接的联系。其中有些问题都依赖于行列式来解决。归根结底这些问题的研究,也就是行列式在某些方面的研究。行列式是高等数学领域中的一个极其重要的组成部分,同时也使得行列式成为高等代数的一个重要的研究对象。
高等数学应该重视学生数学思维能力的培养，重视数学思想和方法的形成过程，让学生既学习数学知识又学习数学思想，学习用数学知识和思想表达与解现实世界一般问题的方法和技能。
因此，关于数学思想展开的研究，尤其是行列式的重要思想在线性方程组和中学数学中的应用进行的研究就显得更加重要。本文主要研究行列式理论在线性方程组和中学数学代数领域及几何领域中的应用[1]。
（二)文献综述
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，十七世纪，日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨几乎是同时提出的。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论得到了进一步发展和完善。行列式的主要应用就是解线性方程组。
19 世纪末，现代国际教育的奠基人菲利克斯·克莱因主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系。高等数学的方法，可以和中学数学相通，也可以迁移到中学数学中。高等数学的思想、方法不仅可以帮助我们从更高的层面上理解初等数学问题，确定解题思路，还能帮助我们进一步探索初等问题的实质，寻求更简捷的解决问题的方法。
21 世纪以来，国内相继展开关于高等代数应用的研究，很多人相继撰写了相关文章，通过例子说明了高等代数作为一种工具在线性方程组和解
析几何以及中学数学中的一些应用。行列式作为高等代数中的一个重要概念，对线性方程组和解析几何以及中学数学领域中的很多问题的解决提供了很好的解决方法，它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光来看数学问题。本文将针对行列式在线性方程组和中学数学中的应用而展开讨论。
（三)研究意义
不管是在高等数学领域里的高深理论,还是在现实生活中的实际性问题,都或多或少的与行列式有着直接或者间接的联系。甚至还有好多问题都与行列式是紧密相关的。这一切表明行列式是高等数学领域中的一个极其重要的组成部分。本文通过分析行列式的应用从而了解到无论是线性方程组,还是在中学数学,行列式作为最基本的数学工具之一,都有着非常重要的应用。
（四)研究目标
通过对行列式的理论进行研究，进一步提出行列式作为一种工具来解决线性方程组以及中学数学中的问题，并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散、联想思维。行列式的应用让学生对高等代数产生兴趣，更重要的是使学生认识到数学的每一个分支都是一种工具，而且各分支之间是有联系的，体会知识的融会贯通，同时培养学生数学知识的迁移能力。
二、行列式理论研究
行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的。日本著名的“算圣”关孝和在1683 年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法。与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元入手对这一概念进行阐述。行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念。
（一）行列式理论发展史
1683 年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了2
2?,3
3?乃至5
5?的行列式，行列式被用来求解高次方组。1693 年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行式中元素的位置：i j代表第 i 行第 j 列。
1730 年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式[2]。
1750 年，瑞士的加布里尔·克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。
此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764 年，法国的艾蒂安·裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德在 1771 年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对列式本身进行研究。
1772 年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773 年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日了3
3?列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式被称为“determinant”最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。
十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁·路易·柯西在 1812 年首次将“determinant”一词用来示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯
西还证明了曾经在雅克菲利普·玛利·比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。
（二）行列式的现代理论
定义 1 由 1,2,3, ,n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序，2431的逆 序数就是4。而 45321 的逆序数是 9。排列,1j ,2j ,3j n j 的逆序数记为)(3,2,1n j j j j τ。
定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例如,2431 是偶排列,45321 是奇排列,1 2n 的逆序数是零,因而是偶排列[3]。
定义 4 n 级行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211
等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
n
21j n 2j 1j a a ,a ()*
的代数和,这里n j j j 21是 1,2,,n 的一个排列,每一项(*)都按下列规则带有符号:当n j j j 21是偶排列时,(*)带正号,当n j j j 21是奇排列时,(*)带负号。
这一定义可写成
()
()
n n
n nj j j j j j j j j nn
n n n n a a a a a a a a a a a a
2121212121
2222111211,1∑-=
τ
这里
∑
n
j j j 21表示对所有n 级排列求和。
1.行列式的一些基本性质
(1)在行列式中，一行（列）元素全为 0，则此行列式的值为 0。
nn
n n n
a a a a a a
2122221000=
nn
n n n
a a a a a a
2222112000=0
(2)在行列式中，某一行（列）有公因子 k ，则可以提出 k 。
D=nn
n n jn j j n
a a a ka ka ka a a a
2
1
21
112
11=k nn
n n jn j j n
a a a a a a a a a
21
21112
11
=1kD (3)在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。
nn
n n jn jn j j j j n
a a a
b a b a b a a a a
2
1
221
1112
11+++=nn
n n jn j j n
a a a a a a a a a
21
21
112
11
+nn
n n jn j j n
a a a
b b b a a a
21
21112
11
(4)行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。
jn j j in i i a a a a a a 2121=
in i i jn
j j a a a a a a 2121
(5)在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。
nn
n n a a a
21
88882222=0
(6)将一行（列）的 k 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。
jn j j in i i a a a a a a 2121=
in 2i 21i 121a a a k a k a k a a a a jn j j in
i i +++
注意：一行（列）的 k 倍加上另一行（列），行列式的值改变。
jn j j in i i a a a a a a 2121
≠
in 2i 21i 121a a a +++jn j j in
i i ka ka ka a a a
(7)行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。 (8)det( AB )= det(A)det(B)。特别的，若将矩阵中每一行每一列上的数都乘以一个常数r ，那么所得到的行列式不是原来的r 倍，而是r ''倍。 det( rA)=det(r n I .A)=det(r n I ).det(A)r ''det(A)。
2.行列式的展开 （1）余因式：
又称“余子式”、“余因子”。对一个n 阶的行列式M ，去掉M 的第i 行第j 列后形成的 n-1阶的行列式叫做 M 关于元素
1
,1m 的余因式。记作11M
ij
M =
n
n j n j n n n
i j i j i i n i j i j i i n j j m m m m m m m m m m m m m m m m ,1
,1
,1
,,11,11,11,1,11,11,11,1,11,11,11,1
+-+++-++-+----+-
（2）代数余子式
M 关于元素ij m 的代数余子式记作ij c ，ij c =()ij j
i m ?-+1。
（3）行列式关于行和列的展开
一个n 阶的行列式M 可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。
detM=∑='n
i j i j i c m 1,,
detM ∑='=n
j j
i j i c m 1
,,
三、行列式在线性方程组中的应用
在线性代数教材中，行列式一般处在第一章，但是行列式的应用贯穿在整个线性代数中，在线性代数的教学中处在非常重要的地位．下面介绍行列式在线性方程组中的应用[4]。
例1 求解线性方程组 AX = b ，其中 A 为 n 阶方阵且可逆，
X=??????? ??n x x x 21，b=????
??
? ??n b b b 21
因为 A 可逆，所以
X=b 1
A -=b A A
*
=?
?????? ??+++++++++nn n n
22112222121n 212111b A A A A A b A A 1A A b b b b b A b b n n n nn =????????
?
?
??A A 21n B A B B 所以线性方程组的解为 ,A
i i B x =
其中ni 22i 11A b A b A b B n i i +++= ，即i B 为
矩阵A 中第 i 列被向量 b 代替后得到的矩阵． 这就是 Cramer 法则，由上面推导过程显然还可以得到这时线性方程组的解是唯一确定的。
例2 当方程组???=+=+222111c y b x a c y b x a 中D 0≠时,两个方程2
22111,c y b x a c y b x a =+=+表示的两条直线1L 和2L 相交,方程组有唯一解；
当0≠D ，且y x D D ,中至少有一个不等于零时,表示直线1L 与2L 平行,方程组无解；
当y x D D D ==时,表示直线1L 与2L 重合,方程组有无数组解。
对于三元一次方程组???
??=++=++=++322222221
111d
z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的求解,可以把它与三阶行列式对
应地联系起来。
当系数行列式0≠D 时,方程组有唯一解D
D
z D D y D D x z y x ===
,,； 当0=D ,且z y x D D D ,,中至少有一个不等于零时,方程组无解； 当0====D D D D y x 时,方程组有无数组解。
例 3 考虑方程组()()??
?
??=+-=++-=-++01020
21z y a ay x z y x a 的解。这个方程组显然有解
,0,0,0===z y x 问a 为何值时，方程组有非零解。
解：考虑系数行列式D ，若0≠D 则方程组有唯一零解。所以方程组 要有非零解必定有系数行列式0=D
而()()()a a a a a a a a a a a a D -+=--+=--++=---+=311
10210
1
1
1110
210
1111
021
1
21
从而0=D 解仅为1-=a 或3=a ;经过检验得1-=a 或3=a 时方
程组有非零解。
说明:事实上我们把常数项为零的线性方程叫做齐次线性方程组, 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0=D 。
四、行列式在中学几何领域的应用
行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修 4
—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何三个方面探究行列式在中学几何领域中的应用[5]。
（一）应用行列式解决空间几何问题
中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深
刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。
定义 1：两个向量a 与b 的外积b a ?仍是一个向量，它的长度规定为
b a b a =?b a ,sin ,它的方向规定为：a 与b 均垂直，并且使
(a ,b ,b a
?)成右手系，即当右手四指从a 弯向b （转角小于90度 ）时，拇指的指向就是b a
?的方向，向量的外积亦称向量积。
定义 2：设 c b a ,,是 3 个向量，称（b a ?）?c
为这三个向量的混合积。（b a ?）?c 可记作(c b a ,,)。
在直角坐标计算向量的外积和混合积：设[k j i o ,,,]是一个右手直角标
架，c b a
,,在其中的坐标分别是(321,,a a a )(321,,b b b )(321,,c c c ),则
（b a
?）=???
? ??2
121
1313
32
32,,b b a a b b a a b b
a a c
b a ,,=（b a ?）?c
=3
21
321321c c c b b b a a a
例 1 已知正方体ABCD-D C B A ''''的棱长为 1， M 点是棱A A ' 的中点，点 O 是对角线D B ' 的中点。
(1)求证：OM 为异面直线A A ' 和D B ' 的公垂线; (2)求二面角M-C B '-B '的大小;
(3)求三棱锥 M-OBC 的体积。 解：以点D 为坐标原点，建立如图所示的
空间直角坐标系 D-xyz 则
由已知 D( 0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
A '(1,0,1),
B '(1,1,1),D '(0,0,1),M(1,0,12-),)2,2,2(111---O ；
(1)证明:).1,1,1(),1,0,0(),02,2(,11--==-=--BD AA OM
D ’
C ’
A
B
A ’
B ’
C
O
D
.,,0022,011D B OM A A OM BD OM AA OM '⊥'⊥∴=++-=?=?∴--
又因为OM 与异面直线A A '和D B '都相交,所以 OM 为异面直线A A '和D B '的公垂线。
(2)取平面C B B ''的一个法向量为1n =)0,1,0(,设平面 C MB '的法向量为
2n ,因为)2,1,1(),2,1,0(11---=-=MC MB ,所以
)1,2,1(1110,
1022,2211111112-----=???
?
??----=?=MC MB n cos 31
2
321
,2
12121==??=n n n n n n ,由图分析可知,二面角C B M '-为锐角,故二面
角B C B M '-'-的大小为arccos 3
1
,
(3)因为),2,2,2(),2,2,2(),0,2,2(11111111---------=--=-=OB OC OM
所以24
14161222222022611
11
111
11
=?=----=
---------OBC M V 例 2 如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知
F E AA AD AB ,,2,3,41===分别是线段 AB , BC 上的点，且 BE =BF=1，点M , N 分别为线段111,CC C D 的中点。 (1)求证点 M , N,F,Z 共面；
(2)求点N 到直线ME 的距离；
(3)求异面直线11,FD EC 的距离。
D 1
M
C 1 N C
B
E
A
B 1
D
A 1
如图 6
解：如图 6 所示以 D 为坐标原点建立
空间坐标系 D-xyz ，则 D (0,0,0)，1C (0, 4, 2)
)2,2,0(),0,4,2(),0,3,3(),2,0,0(1M F E D ,N(0,4,1)； )1,2,0(),2,2,2(),2,1,3()1(-=-=-=MN MF ME 这三个向量的混合积为
0122861
20
222
213
=++--=---
显然有这三个向量MN MF ME ,,张成的平行六面体体积为 0，故这三个 向量共面，所以四点 M , N,F,Z 共面。
(2)由向量外积定义知ME MN ME MN ME MN ??=?sin ，设点 N 到
直线ME 的距离为d ，所以,sin ME
ME MN ME MN MN d ?=??=
又)6,3,3(1230,
3021,2112---=????
??----=?ME MN 解得：7
213=
d 。 y
D 1
M
C 1 N
C
B
E
A
B 1
D
A 1 x z
(3)设异面直线
11,FD EC 的距离为1
d ，易知
),2,4,2(),2,1,3(11--=-=FD EC ),0,1,1(-=EF 所以异面直线11,FD EC 的公垂线的方向向量为),14,2,10(4123,
2322,224111=???
?
??------=?FD EC 异面直线11,FD EC 的距离为直线1EC 上任意一点和直线1FD 上任意一点连线在公垂
线的方向向量的投影，
即15
3
4142108)(2
221
111=
++-=
???=
'FD EC FD EC EF d （二）行列式在平面几何中的应用
一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题[6]。 例 1 求证：三角形三条中线交于一点。 证明：（方法一：斜坐标法）
以 B 为原点，建立斜坐标如图所示，设点 B(0,0),C(2a,0),A(0,2b),由于D,E,F 分别是 BC,AB,AC 边上的中点，从而点 D 为(a,0),E(0,b),F(a,b),
直线 AD 的方程为)1(12=+b y
a x 直线 CE 的方程为)2(12==b
y a x
(1)-(2)得：
)3(022=-b
y a x
即 BG 直线所在方程。又由于 F 点坐标为(a,b),显然 F 点坐标满足方程
A
E
B D
C
F
G
(3)，即 F 点在直线 BG 上。故三角形三条中线交于一点。 证明：（方法二：统一法）
在?ABC 中，连结 DE,AD,BE,由三角形中位线定理得
2
1
=AB DE DOE ? 与 AOB ?相似,2
1===∴AB DE BO EO AO DO ，
同理，连结 DF,CF,AD,得
2
1
==''=''AC DF O C O F O A O D ，从而点O 与O '重合，根据统一法得，三角形三条中线交于一点。 证明：（方法三：向量法）
令,,b AC a AB ==连结 CD,BF 交于点 G ，G D C ,, 共线，
)
1(,)1(2
)1(b a
AC AD AG λλλλ-+=-+=
又 B ,G,F 共线,
)
2(.
)1(2
)1(a b
AB AF AG μμμμ-+=-+=∴
E
C
D
B
F
A
D
C
E
A
F
B
B
D
A
F
C
E
G
由(1),(2)得,?????-=-=.12,12
λμ
μλ
从而.3
232
????
?==μλ有.3131b a AG += 又,2
3
,2121AG AE b a AE =∴+=
从而 A,G,E 三点共线，即三角形三条中线交于一点。
扩展：应用行列式还可以证明三角形三条高线交于一点，三条角平分线交于一点。
例 2 求证：三角形三条高线交于一点。
证：建立直角坐标系如图所示，设
),(),,(),0,(),0,(c a AC c b BC b B a A -=-=
直线 AD 法向量为 (-b ,c)，且过点 A( a,0),∴直线 AD 为
-bx+cy+ab=0。
同理，直线 BE 为-ax+cy+ab=0，直线 CF 为 x=0。
将三个直线方程看做是以 x,y,1 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为
,
0001=-==--abc abc ab
ab
c c ab ab
c c a b
故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于 1 点。
（三）行列式在解析几何中的应用
利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式[7]。
C D
E
A
F
B
例1 求经过点???
?
??-???? ??473324,1和,且焦点在 x 轴上的椭圆方程。
解:设椭圆方程为112
22=+b
y a x ,若点()()2211,,y x y x 和在椭圆上,则
???
??????=-?+?=-?+?=-?+?01110
11
10111222222122122
22b y a x b y a x b y a x
将其看成关于
2
21
1b a ，和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆 方程可写成0111
2
222
212
122
=y x y x y x ，代值01
4
9
16631932
1
122=y x 即04916639321116
631
114
9
1932
22=+
-y x 解得14
92
2=+
y x 例 2 求经过点 (9 ,24)和 ,23,415???
??-且焦点在 x 轴上的双曲线方程。
解:设双曲线方程为112
22=-b
y a x ,若点()()2211,,y x y x 和在双曲线上,则
???
??????=-?+?=-?+?=-?+?01110
11
10111222222122122
22b y a x b y a x b y a x
将其看成关于和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆
方程可写成0111
2
222
212
122
=y x y x y x ，代值01
4
91622513281122=y x
即0491622532811162251
11
4
91322
2=+-y x
解得14
92
2=-
y x 扩展：类比可以给出直线方程，圆的方程，一元二次函数等的行列式形式。
例 3 求椭圆14
52
2=+
y x 内接三角形 ABC 面积的最大值。 解：不妨设三角形 ABC 的坐标分别为()()()332211,,,,,y x y x y x ，则有
()3,2,114522==+i y x i i ，易知：???
?
??=???? ??+25,,5252
2i i i i y x y x 点为圆522=+y x 上 三点，不妨依次设为C B A '''，，。 因为，1
31
31
21
2y y x x y y x x AC AB S ABC ----=
?=? ()()ABC
ABC S y y x x y y x x AC AB S ??=----=
?=2525
25
131
31212
又在圆里正三角形面积最大，故ABC ABC S S ??=
4
3
15所以2153
即椭圆14
522=+y x 内接三角形 ABC 面积的最大值为215
3。
本科生毕业论文 题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪 学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班 指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日
原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期
目录 前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)
摘要 行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词：行列式；计算方法；行列式的应用
摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何
The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry
行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)
附录3 (23) 谢辞 (24)
1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
题目 (1) 摘要 (1) 正文 (1) 一.问题的提出 (1) 二.排列 (1) 三.行列式 (1) 四.n阶行列式具有的性质 (2) 五.行列式的计算 (3) (一)数字型行列式的计算 (3) (二)行列式的概念与性质的例题 (6) (三)抽象行列式的计算 (6) (四)含参数行列式的计算 (7) A 的证明 (7) (五)关于0 (六)特殊行列式的解法 (8) (七)拉普拉斯定理 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 外文页 (12) 行列式的性质及计算
王峰 摘 要 在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。 关键词 三角化法 递推法 数学归纳法 公式法 一.问题的提出 在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如 ①11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? ②11112211121222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。 二.排列 定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?= （n 的阶乘个）。 定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它 们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解 逆序数为10，是偶排列。 三．行列式： 定义（设为n 阶）：n 阶行列式 是取自不同行不同列的n 个元素的乘 积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的 12121211 12121222()121 2(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ= = -∑
行列式的计算及应用 毕晟 100220120 数字印刷一班 【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。 【关键字】行列式 引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。 一． 行列式的计算 1. 定义法 根据定义公式解行列式。 例如： 二阶行列式中 2 521 = 85221-=?-? 三阶行列式中 4 213212 51=215644158531132221221135421=---++=??-??-??-??+??+?? 2.化成三角形行列式法 例求D ＝3 1 1 1的值 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1 1 3 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 =1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 =1 1 1 1=48 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 3. 分解行列法 若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列 式分解成两个行列式的和． 4.分离线性因子法 此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换
它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。 5. 递推关系式法 此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。 6.拆分法 可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。但计算量较大。 二． 行列式的应用 2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应 用的条件） 2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用 2．3 非奇异矩阵的判别 2．4 计算矩阵的秩。求行列式的值 下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明： 用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程 例如2.1： 5 26421 43321321321=++=++=++x x x x x x x x x 于是可以用行列式表示： D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5 112421 433=D 所以 D D x 11= D D x 22= D D x 33= 2.4 A=0 141114 21 我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0 002102 01 则 R （A ）=2 三． 总结 行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式计算方法总结及简单应用 摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。 关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法；行列式的应用；方程组；平面几何。 Abstract: The formulation of the various calculation methods, and examples of theirapplications, and to promote a number of special cases Cited several common determinant applications . Keywords: determinant; Vandermonde determinant; matrix; characteristics of plants;Laplace theorem; factorial method; secondary determinant method Determinant of the application; equations; plane geometry 引言 计算方法变化多样，本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。而其方法又分为简单和复杂。最复杂的情形就是：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法。当然也有列外，假设行列式中有许多零元素，可考虑此法，但也只是考虑。特别需要注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。 而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组，求矩阵的特征向量等等，本论文就不再赘述，本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题，以例题的形式给出，可以引发进一步的思考。
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
行列式的若干应用 The Number of Applications of The Determinants 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师:
摘要 行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组
Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式: =
行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于 D 1= x + a 1，2 21 1x D a x a -= +，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K 213 c x c += 3212 1231 010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K K M M M M M K =L L = 11 1x f x ---O O O n r = 按展开 1(1)n f +-1 11 1n x x x ----O O = 111n n n n x a x a x a --++++L
范德蒙行列式的历史回顾与应用 摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变 换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。 关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理， 子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。 1 .引言 行列式 11312 1 1223222 13 2 1 1111----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]） 我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即 ∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。 我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。 2.1.预备知识
性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 221212111212222111211= 。 在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。 性质2 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 21 21 112112 1 2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3 nn n n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 2 12 1 11211212 1112112 1 221111211+=+++。 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
,. 行列式的运算与应用 实验目的: 1. 学习数据的输入及用syms语句先定义变量再输入的两种方式. 2. 掌握利用Matlab软件计算n阶行列式的方法(包括含参数的行列式) 3. 熟悉Matlab软件中关于矩阵运算的各种语句. 4. 掌握对已知矩阵如何进行修改其中的数据,以及如何构建对应的行(列)子矩阵及扩展矩阵. 5. 掌握矩阵初等变换的每个步骤 实验内容: 1.计算12阶行列式 x a a a x a a a x - -- L L L L L L L 并赋值x=2,4,-1;a=0,2,4时，求行列式的 值。 解syms x % syms语句定义变量x syms a % syms语句定义变量a A=[x a a a a a a a a a a a; % 输入矩阵A -a x a a a a a a a a a a; -a -a x a a a a a a a a a; -a -a -a x a a a a a a a a; -a -a -a -a x a a a a a a a; -a -a -a -a -a x a a a a a a; -a -a -a -a -a -a x a a a a a;
,. -a -a -a -a -a -a -a x a a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a x a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x] D=det(A) %计算行列式A X=(2,4,0) B1=subs(D,x) subs(B1,a,0) B2=subs(D,x,4) subs(B2,a,2) B3=subs(D,x,-1) subs(B3,a,4) 2.计算10阶行列式 000 00 000 000 000 a b b a a b b a a b b a b b a a b + + + + + L L L L L L L L L L 解：syms a % syms语句定义变量a syms b % syms语句定义变量b A=[a+b b 0 0 0 0 0 0 0 0; % 输入矩阵A a a+ b b 0 0 0 0 0 0 0; 0 a a+b b 0 0 0 0 0 0; 0 0 a a+b b 0 0 0 0 0;
行列式的例题 一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明 2 2 2 111 2 22 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 2 22 22 11111 2 22 22 11111 b a a c c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左 2 22 2 1111 2 2 22 1111 b a a c b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111 222111 b a c b a c b a c a c b a c b a c b += 22 2 111 2 2 2 111 a c b a c b a c b a c b a c b a c b += 2 2 2 1112a c b a c b a c b ==右 2．计算n 阶行列式 n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++= Λ ΛΛΛ Λ21222121211 1 解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ， 当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2） 当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 01 111313131 2121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n Λ M M M Λ ΛΛ 综上所述
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x 的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz ，1693 年）。1750 年克莱姆（Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignescourbesalge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer 克莱姆法则）。1764 年, Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi ）也于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange ）在1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（Gauss ）大约在1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan 误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley的工作培育。Cayley研究了线性