释 疑 解 难
（第七章）
一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线???==+-0
1:x z y L 垂线的平
面方程。 解：
直线L 的方向向量}1,1,0{--=l
，过点0M 与直线L 的平面N 的方程
0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y
解方程组??
?
??=+==+-0
00
1z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M
由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得
???
??=+-=+-02
0D B
D B A ，解得D A =，D B 2=， 所求的平面方程为：012=++y x 。
二、证明两直线
231212-=-+=-z y x 与 1
1
2111-=+=--z y x 共面，并求该平面方程。 解：
记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l
则}2,1,1{21--=M M
∵02
1112
12
11)(2121=----=??M M l l
∴两直线共面。 取}1,3,5{21--=?=l l n
则所求平面方程为
0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。
三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。
解：
过两平面交线的平面束方程
0)5247(2122=-++++-z x z y x λ，即
0)521()242(2)71(=-+++-+λλλz y x
其法向量}242,2,71{λλ+-+=n
，已知两平面法向量分别是
}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n
由题意知||||||||2211n n n n n n n n ?±=?，解得253
±=λ
所以所求平面方程为
025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。
四、在平面N ：1=++z y x 上求一直线L ，使其与直线1L ：???-==1
1
z y 垂直且
相交。 解：
??
?
??-===++11
1z y z y x ，解得交点)1,1,1(-D 过点D 与直线1L 垂直的平面方程为01=-x
所求的直线L 的方程为???=-=++011
x z y x 。
五、求两异面直线
1L ：211-=
=+z y x 与 2L ：4
2
31-=+=z y x
之间的最短距离。 解： 方法一
分别在1L 与2L 上取一点：)1,0,1(-A 与)2,1,0(-B ，则}1,1,1{-=
两直线方向向量分别是：}2,1,1{1=l 与}4,3,1{2=l
}2,2,2{21--=?=l l n
所求距离31|||||j Pr |=?==n n AB d n
。 方法二
过2L 作平面N 平行于1L ，其方程为：03=+-+z y x 所求距离是点)1,0,1(-A 到平面N 的距离：3
13
|
111|=
+--=d 。
六、求直线L ：
1
1
111--==-z y x 在平面N ：012=-+-z y x 上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转而成的曲面方程。
解：
过直线L 作垂直于平面N 的平面1N
其法向量}2,3,1{}2,1,1{}1,1,1{--=-?-=n
，则
1N ：0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x
所以0L 的方程：???=+--=-+-01230
12z y x z y x ，其参数方程为???
????
-
===2212t
z t y t x 。
设),,(z y x M 是0L 绕y 轴旋转而成的曲面上任一点，它是由0L 上的点
)2
1,
,2(0t
t t M -绕y 轴旋转而得，则||||0OM OM =，且M 0垂直于y 轴 所以
??
??
?=-++=-+
+04)1(42222
22t y z y x t t t 从而得到：2222
2
2
4
)1(4z y x y y y ++=-+
+ 即0124174222=-++-y z y x ，这就是所求旋转曲面方程。
释 疑 解 难
（第八章）
一、设??
?
?
?=+≠+++=0
001sin )(),(2222222
2y x y x y x y x y x f ，证明：
),(y x f x 和),(y x f y 在)0,0(处不连续，但),(y x f 在)0,0(处可微。 证：
01
sin
lim )
0,0()0,(lim
)0,0(2200
==-=→→x
x x x
f x f f x x x ，同理0)0,0(=y
f
当)0,0(),(≠y x 时，2
222221
cos 21sin
2),(y
x y x x y x x y x f x ++-+= ∵沿0=y 当)0,0(),(→y x 时，),(y x f x 极限不存在
∴),(y x f x 在)0,0(处不连续，同理),(y x f y 在)0,0(处不连续。 又2
222)()(1
sin ])()[()0,0()0,0(y x y x y f x f f y x ?+??+?=?-?-?
而
0)
()(1
sin
)()(lim )()()()(1
sin
])()[(lim
2
2220
02
22
2220
0=?+??+?=?+??+??+?→?→?→?→?y x y x y x y x y x y x y x ∴),(y x f 在)0,0(处可微。
二、设),(v u z z =，xy u =，y
x
v =
，其中z 具有二阶连续偏导数，若以u ，v 作为自变量，变换方程：
⑴ 1=??+??y z y x z x ； ⑵ 022
2222=??-??y
z y x z x 。 解： ⑴
x v v z x u u z x z ?????+?????=??v
z y u z y ??+??=1 y v v z y u u z y z ?????+?????=??v z y x u z x ??-??=2 u
z
u u z xy y z y x z x
??=??=??+??22 ∴方程变换成为12=??u
z
u
。 ⑵ )1(1)1(2
2222222v
z y u v z y y v u z y u z y y x z ??+???+???+??=?? 22222
22
12v z
y v u z u
z y ??+???+??= )(2)(22222322222
2v z
y x u v z x y x v z y x v u z y x u z x x y z ??-???-??+???-??=?? v
z y x v z y x v u z y x u z x ??+
??+???-??=32242222222
22 v z v v u z uv v z y x v u z x y z y x z x ??-???=??-???=??-??242422222
∴方程变换成为0242=??-???v z v v u z uv
，即022=??-???v
z
v u z u 。
三、过直线???=-+=-+0
27
2210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平
面的方程。 解：
设切点),,(000z y x ，则切平面的法向量},,3{000z y x n -=
过直线的平面束：0)(272210=-++--+z y x z y x λ 即027)2()2()10(=-+-+++z y x λλλ
由方程组?????
??=-+-+-=
+=+=-+-+++27
3)
2(23100
27)2()2()10(2020200
00
00z y x z y x z y x λλλλλλ 解得：11-=λ，192-=λ
所以所求切平面方程为0279=--+z y x 及02717179=+-+z y x 。
四、求中心在原点的椭圆15422=+-y xy x 的长半轴与短半轴的长。
解：
设)154(),,(2222-+-++=y xy x y x y x F λλ
令???
??=-+-==+-+==-+=⑶⑵⑴
01540)104(20)42(22
2y xy x F y x y F y x x F y x λλλ 由⑴、⑵解得：22322±=-=+λy x
故长半轴长为12223+=+，短半轴长为12223-=-。
五、求)4(y x xy z --=在1=x ，0=y ，6=+y x 所围闭区域上的最大值和最
小值。 解：
令???=--==--=0)24(0)24(y x x z y x y z y
x
在区域内有0≠xy ，得唯一驻点)3
4,34(
y z xx 2-=，y x z xy 224--=，x z yy 2-=
在点)34,34(处，0)38()34(222
<-=-yy xx xy z z z 且03
8<-=xx z
所以函数在点)34,34(处取得极大值，也是最大值27
64
)34,34(=z ；
在边界1=x （50≤≤y ）上，23y y z -=，令
023=-=y dy
dz
，得 23=
y ，4
9
)23(=z ，0)0(=z ，10)5(-=z 在边界0=y 上，0≡z
在边界6=+y x （65≤≤y ）上，y y y y z 122)6(22-=--= 令
0124=-=y dy
dz
，得3=y 18)3(-=z ，10)5(-=z ，0)6(=z
故函数在点)3,3(处取得最小值18)3,3(-=z 。
释 疑 解 难
（第九章）
一、设),(y x f 为连续函数，试证明：)0,0(),(1lim
2
222
0f dxdy y x f r r y x r =??≤+→π。
证：
由积分中值定理，在圆域D ：222r y x ≤+内存在点),(ηξ，使
),(),(),(2
ηξπηξf r
dxdy f dxdy y x f D
D
==????
因为当0→r 时，有)0,0(),(→ηξ，而),(y x f 连续 所以)0,0(),(lim ),(1
lim 0
2
02
22f f dxdy y x f r r r y x r ==→≤+→??ηξπ。
二、试用二重积分性质求极限??+∞→D
n d y x n σ][1lim
223
，D ：2
22n y x ≤+， 其中][22y x +是不大于22y x +的最大整数，n 是正整数。 解：
记k D ：2222)1(k y x k <+≤-，由二重积分性质，有
∑??∑????==-=+=+n
k D n k D D
k
k
d k d y x d y x 1
12
2
2
2
)1(][][
σσσ
∑=---=n
k k k k 1
2
2
])1()[1(π∑=+-=n
k k k 1
2)132(π
=)6
232(])1(233)12)(1([
23n
n n n n n n n n --=++-++ππ
从而得到：??+∞→D
n d y x n σ][1lim 223
=3
2π
。
三、计算??+D
dxdy y x 2)(，D ：y x y x +≤+22。
解：
因为y x y x +≤+22即2
1
)21()21(22≤-+-y x
令21-=x u ，2
1
-=y v
11001),(),(==??v u y x ，D ：2122≤+v u ，在极坐标下D ：???
??≤≤≤≤21020r π
θ
所以??+D
dxdy y x 2)(=??++D
dudv v u 2)1(
=??+++++D
dudv v u uv v u )1222(22
=??????+++++D D
D
dudv v u dudv uv dudv v u )(22)1(22
=??????++++π
π
π
π
θθθθθθθ20
220
21
3
20
2
1
2
20
)sin (cos 2sin cos 2)1(dr r d dr r d dr r r d
=8
5)(22
10
3π
π=
+?dr r r 。 注：由0sin cos 20
=?π
θθθd 及0)sin (cos 20
=+?π
θθθd 知，上式后两项积分等
于0。
四、求由曲面0=x ，0=y ，y x z +=，xy z =，1=+y x 所围成的立体的体
积。 解：
立体在xoy 平面内的投影区域D ：?
??-≤≤≤≤x y x 101
0，上底面方程y x z +=，
下底面方程xy z =
24
7
)(])[(10
1
=
-+=-+=????-x
D
dy xy y x dx dxdy xy y x V 。
五、一质量为m 的直角三角形薄片，占据xoy 平面上由直线0=x ，0=y
与12=+y x 围成的区域，其质量面密度)21(),(y x k y x --=ρ，k 是一个 正常数。现要截取一两条邻边分别在直角边是的矩形薄片，求该矩形薄 片的最大质量。 解：
设截取的矩形薄片在三角形斜边上的顶点坐标为)2
1,(a
a -，则 矩形薄片的质量??---=2
10
)21(a a
dy y x dx k M
]4)1(414)1([2
3a a a a k ---+--=
]4
1
2)1(2)1([2--+-='a a a k M
令0='M ，得2
1
=a ， ∵02<-
=''k M ，∴当21=a 时，M 取得最大值16
max k M = 由已知12
)21(2
10
1
k
dy y x dx k m x
=
--=??-，得m k 12= ∴m M 4
3
max =
。
六、计算???Ω
dv y 2，其中Ω是两个球体2222R z y x ≤++与Ry z y x 2222≤++
的公共部分。 解：
由?????=++=++Ry z y x R z y x 22
222
2
2
2
，得交线???
????=+=2
22432
R z x R y Ω在y （R y <<0）处的截面形状为圆)(y D
当2
0R
y <<时，)(y D 的半径为22y Ry -， 当
R y R
<≤2
时，)(y D 的半径为22y R -， ???
Ωdv y 2=?????????+=)
(2
2
)
(2
02
)(02
y D R
R y D R
y D R
d dy y d dy y d dy y σσσ =?-2
2
2
)2(R dy y Ry y π?-+R
R dy y R y 2
222)(π=
5480
59
R π
七、)(u f 是连续函数，Ω：???≤≤≤+h z t y x 02
22，设???Ω
++=dv y x f z t F )]([)(222
求：
dt
dF 及20)
(lim t t F t →。 解：
?????????+=+=h
t h
t h
t dz r f rdr d dz z rdr d dz r f z rdr d t F 0
20
20
2
20
2
2
20
)()]([)(πππθθθ
=
?+t
dr r rf h t h 0
22
3
)(23
ππ
)(23
223
t htf t h dt dF ππ+= 20)(lim t t F t →)0(3
)](3[lim 2lim 32300hf h t hf h t dt dF t t ππππ+=+==→→。
八、设有一半径为R 的球体，在其上打一个圆柱形的孔，且圆柱的中心轴经
过球心，并使剩下部分的体积等于该球体体积的一半，试决定钻孔的半径r 。 解：
设钻孔半径为a ，钻去部分的立体为Ω，其体积为V ，则在柱面坐标下
Ω：???
??-≤≤--≤≤≤≤2222020r
R z r R a r πθ
??????---Ω==2
22
2020r R r R a
dz rdr d dv V πθ=?-?a dr r R r 02
2
4π])([3423
223
a R R --=π 由题意，3
3
2R V π=，∴R a 2
223-=。
释 疑 解 难
（第十章）
一、设)(u f 在),(+∞-∞内连续可导，L 为以点)3
2
,3(A 至点)2,1(B 的直线段，
试计算：?-++=L dy xy f y y x
dx y xy f y I ]1)([)(1222。
解：
y P
y
xy f xy xy f y x Q ??=-'+=??2
321)()( 曲线积分在上半平面与路径无关，取折线)32,3(A →→)3
2
,1(C )2,1(B
则????-++=+=2
322213
2]1)([13
2)32()32(1dy y f y y dx x f I CB AC =42
3
2131
)()(32
3
22
3
2
23
2-=-+
-=+
+--??y dy y f dt t f
二、选取n 的值，使
n
y x dy
y x dx y x )
()()(22+++-在上半平面为某个函数的全微分， 并求此函数。 解： 依题意，令y
P
x Q ??=??， 即
122222)(22)(++--+n y x nxy nx y x 1
22222)(22)(++-++-=
n y x nxy
ny y x 1=?n ，即当1=n 时，
2
2)()(y x dy
y x dx y x +++-为某个函数的全微分。
因为
22)()(y x dy y x dx y x +++-2
2y x xdy
ydx ydy xdx ++-+=
2
22222
222)(1)()ln(21)
(11)
(21y
x y x
d y x d y x dy y x dx y y x y x d +-???
???+=++-
+++=
??????-+=y x y x d arctan )ln(2122
所以C y
x
y x y x u +-+=arctan )ln(21),(22
三、证明：0),cos(=?L
ds n l ，其中l 是平面中的常向量，n
为曲线L 的外法向
量。 证：
设与l 同方向的单位向量},{0b a l =
，
与n 同方向的单位向量}sin ,{cos 0θθ=n
，则
θθsin cos ),cos(b a n l +=
设}sin ,{cos αα=t 是曲线L 方向上的单位切向量，则2
πθα+=
???-=+=L
L
L
ds b a ds b a ds n l )cos sin ()sin cos (),cos(ααθθ
0)00(=-=-=???D
L
d bdx ady σ
这里D 是由闭曲线L 所围的有界闭区域。
四、计算??
∑
+++2222z y x dxdy z xdydz ，其中∑：2222R z y x =++的外侧。
解：??
∑
+++2
222z y x dxdy z xdydz ??∑
+=
dxdy z xdydz R 21
?????????ΩΩΩ+=+=zdxdydz R dxdydz R dxdydz z R 2
1)21(1 2
33
4341R R R ππ=?=
。
五、计算??∑
++--+dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([，其
中),,(z y x f 连续，曲面∑：???≥=++0,,1z y x z y x ，取上侧。
解：
曲面∑的单位法向量}3
1
,31,
31{0=n ??∑
++--+dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([
=??∑
?+-+dS n z z y x f z y x f y x z y x f 0}),,(),,,(2,),,({
=
??∑
++-++dS z z y x f z y x f y x z y x f ]),,(),,(2),,([3
1
=2
1
3
1)(3
110
10
=
===
++????????-∑
∑
x
D
dy dx dxdy dS dS z y x 。
释 疑 解 难
（第十一章）
一、判别级数∑∞
=-1
)cos 1(n n π
的敛散性。
解：
此正项级数的一般项2
2
2
22sin
2cos
1n
n
n
u n ππ
π
≤
=-=
∵∑∞
=121n n 收敛，∴∑∞
=-1
)cos 1(n n π
收敛。
二、判别级数∑
∞
=--+2
2
2n n n n α
（α为常数）的敛散性。
解：
级数的一般项α
αn
n n n n n u n 1
22422?-++=--+=， 取2
11
+=
αn v n ，∵2lim =∞→n
n
n v u ，∴∑∞=2n n u 与∑∞
=2n n v 同敛散
故原级数当21>
α时收敛，当2
1
≤α时发散。 三、求级数∑∞
=1
2sin 2n n n n x
的和函数)(x s 。
解：
令x t 2
sin 2=，级数∑∞
=1n n
n
t 当11<≤-t 时收敛，设其和为)(t σ
t
t t n n -=
='∑∞
=-11
)(1
1σ，)1(ln )(t t --=σ )sin 21ln()(2x x s --=，)4
,4
(π
ππ
π+
-
∈k k x ,2,1,0±±=k
四、将)1ln()(32x x x x f +++=展开为x 的幂级数。 解：
)1ln()1ln()1)(1ln()(22x x x x x f +++=++= ∑∑∞
=-∞
=---=-=+121211
)212()
1()1ln(n n
n n n n n
x n x n x x ，]1,1(-∈x ∑∞=--=+121
2
)
1()1ln(n n
n n
x x ，]1,1[-∈x 所以=)(x f ∑∞
=---1
212)212(n n
n n x n x +
∑∞
=--1
21
)
1(n n
n n
x ∑∞
=--???
?
??-?-+-=121122]12)1[(12n n
n n n x n x ，]1,1(-∈x 五、判别级数∑∞
=+12
1n x
n nx
α的敛散性（α为常数）。 解： 记=
n u 21x n nx
α+，则2
1x
n x n u n α+=， 当0=x 时，有0=n u ，∑∞
=1
n n u 收敛
当0>x 时，n n u u =，当0 ∴∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n u 同敛散 当0≤α时，∞=∞ →n n u lim ，级数发散 当0>α时，取1 1-= αn v n ，∵x x n x v u n n n n 11 lim lim 2= +=∞ →∞ →α ∴对一切实数0≠x ，∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n v 同敛散， 所以级数∑ ∞ =+12 1n x n nx α当2>α时，对一切实数x 都收敛且为绝对收敛， 当2≤α时，对一切实数0≠x 都发散。 释 疑 解 难 （第十二章） 一、解微分方程：dx dy y x =+)cos(。 解： 令y x u +=，则2 cos 21cos 12u u dy dx dy du =+=+= ∴du u dy 2sec 212= ，两边积分，得C u y +=2 tan 所以原方程的通解：C y x y ++=2 tan 。 二、解微分方程：0)3(24=+-xydx dy x y 。 解： 方程两边同乘以34y ，方程成为：02)3(24424=+-dx y dy x y 令2x u =，4y v =，方程成为：02)3(=+-vdu dv u v 即 2 1 23-=-u v dv du ……⑴ 方程 023 =-u v dv du 的通解：23 Cv u = 用常数变易法，得C v v C +=- 2 1)( ⑴的通解：v Cv u +=2 3 ∴原方程的通解：462y Cy x +=。 大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(） 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分） 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高数下期末总复习大全（同济六版） 第八章 向量与解析几何 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r 模 向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦 设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ===r r r ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹 角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式 垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ? == 交角余弦 两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影 向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧ ?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020 清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ） (0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中 ()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则 （ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(10 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2 x （B ） 2 22x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0() lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性. （2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定 可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)
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