10.2 例题详解
例题10-1：一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 ()221
21qx qlx x M -=
则曲率方程为 ()()??
? ??-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()??? ??-==
2212122qx qlx EI h x h x z ρε 下边缘伸长为 ()23
020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l l
z l =??? ??-==???ε 例题10-2：一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y 1
则有 cm 33.74
1084104104841=?+???+??=y 则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y
于是截面对中性轴的惯性距为
42323cm 0.86467.24101241033.3841284=???
? ????+?+???? ????+?=z I 2、作梁的弯矩图
设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面
q l A B b h l /3 B
C q A l 10cm 8cm 4cm 4cm 1.778kN.m 1.0kN.m 0.667m
MPa 08.15Pa 1008.1510
0.8641033.710778.168231max t,=?=????==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910
0.8641067.410778.1682
32max c,=?=????==--y I M z D σ 在E 截面上
MPa 40.5Pa 1040.510
0.8641067.4100.168232max t,=?=????==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810
0.8641033.7100.1682
31max c,=?=????==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ
例题10-3：起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A 端为x ，则有
2650x M C -=，803862++-=x x M D
从而确定出 kN.m 2.104max =C M ，kN.m 2.140max =D M
即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140
则由 []σσ≤=z
W M max max 得 []3463max m 1025.810170102.140-?=??=≥σM W z 又对于本题 'max
'max 2z z z z W y I y I W === 所以3344
'
cm 5.412m 10125.421025.82=?=?==--z z
W W 查表选 25b 号工字钢。
例题10-4： 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
q l
B A a a
2a a a A B P F 1m 4m 10m
C D 1m
解：
1、第一种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中 8
2
max ql M = 矩形截面梁 3
263
2a bh W z == 则 3
3
32max max 163283a ql a ql W M z =??==σ 2、第二种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中 16
2
max ql M = 矩形截面梁 6
63
2a bh W z == 则 3
3
32max max 83166a ql a ql W M z =??==σ 例题10-5：一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F =5kN ，a =1.5m ，[σ]=10Mpa 。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h :b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
解： ()6
62
22b d b bh W z -== 由06322=-=b d db dW z 得 d b 33=，又022<-=b db
W d z 所以 d b 33=时 z W 取极大值，所以弯曲截面系数最大时，d b 33=，d h 3
6=，即 1:2:=b h 梁内的最大弯矩 kN.m 5.7max ==Fa M
b h d A B a F F a 3a C D
矩形截面梁 3227
36d bh W z == 则由 []σσ≤=z W M max max 得 []
σmax M W z ≥ 即 []σmax 327
3M d ≥ []227mm m 227.01010105.73939363
3
max ==???=≥σM d