概率与统计专题（文科数学）

1.江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______ 答案：

3

1 2.安徽文（9） 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A ）

1

10

（B ）

1

8

（C ）

1

6

（D ）

15

D

3.安徽文（20）（本小题满分10分）

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a =+;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. （20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：

.

2.3,5.6402604

224294192)11()2()21()4(,

2.3,02

222=-===+++?+?+-?-+-?-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为

,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧

x a x b y 即.2.260)2006(5.6+-=∧

x y ①

（II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+?=+-（万吨）≈300（万吨）.

4．（本小题共13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数

为19的概率.

（注：方差],)()()[(1

222212

x x x n

s n -+-+-=

其中为n x x x ,,,21 的平均数）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

;4

35

410988=+++=

方差为

.16

11

])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s

（Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；

乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4）， （A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），

用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为.4

1

164)(==

C P 5．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的

方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

B

6．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于

A ．

1

4 B ．

13

C ． 1

2

D ． 23

C

7．（本小题满分12分）

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1．2．3．4．5．现从

（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；

（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2

件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

7．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，

考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。 解：（I ）由频率分布表得0.20.451,a b c ++++=即a+b+c=0.35，

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 所以3

0.15,20

b =

= 等级系数为5的恰有2件，所以2

0.120

c ==， 从而0.350.1a b c =--= 所以0.1,0.15,0.1.a b c ===

（II ）从日用品1212,,,x x y y 中任取两件， 所有可能的结果为：

12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，

设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：

12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个，

又基本事件的总数为10， 故所求的概率4

()0.4.10

P A =

= 8.广东文13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小

李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________． 0.5， 0.53 9.广东文17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用x n 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同

（1）求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s;

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 10．（本小题满分13分）

解：（1）6

1

1756n n x x ===∑

5

616675707672707290,n n x x x =∴=-=?-----=∑

62

2222222111

()(5135315)4966

n n s x x ==-=+++++=∑，

7.s ∴= （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

故所求概率为2

.5

11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估

计，样本数据落在区间)10,12??内的频数为 A ．18 B ．36

C ．54

D ．72 B

12.湖北文11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类

超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 20

13.湖北文13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取

2瓶，则至少

取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。（结果用最简分数表示）

28145

14.湖南文5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联

表：

由22

()()()()()

n ad bc K a d c d a c b d -=++++ 算得，22

110(40302020)7.860506050K ??-?=

≈??? 附表：

A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”

A

15.湖南文15．已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y += （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．

（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率

为 ． （1）5（2）

16

16.湖南文18．（本小题满分12分）

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表

概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

16．（本题满分12分）

解：（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

（II ）P （

(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010

P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为

310

． 17.江西文7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识

测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为E m ，众数为a m ，平均值为x ,则 A ．e a m m x == B ．e a m m x =< C ．e a m m x <<

D ．a e m m x <<

D

A ．1y x =-

B ．1y x =+

C ．1

882

y x =+

D ．176y =

C

19.江西文16．（本小题满分12分）

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A 饮料，另外的2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力

（1）求此人被评为优秀的概率

（2）求此人被评为良好及以上的概率 20．（本小题满分12分）

解：将5不饮料编号为：1

，2，3，4，5，编号1，2，3表示A 饮料，编号4，5表示B

饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（1，2，5），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可见共有10种

令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评人良好的事件，F 表示此人被评为良

好及以上的事件。则

（1）1P(D)10=

（2）37

P(E),P(F)P(D)P(E)510

==+=

21.辽宁文（14）调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：

万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y

对x 的回归直线方程：321.0254.0?+=x y

.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． 0.254

22.辽宁文（19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块

2种植哪一品种？

附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -+???+-+-=，其中x 为

样本平均数． 19．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A=“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）.

所以1

().6

P A =

………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

22222221

(403397390404388400412406)400,

8

1(3(3)(10)4(12)0126)57.25.

8

x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲

………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

222222221

(419403412418408423400413)412,

8

1(7(9)06(4)11(12)1)56.

8

x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙

………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 23.全国文19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买

甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 19．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+

…………3分 ()()()()0P C P A B P A P B =+=+=

…………6分 （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=

…………9分 1

23()0.20.80.384.P E C =??=

…………12分

24.全国课标文（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参

加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）

（A ） （

13） （B ） 12 （C ）23 （D ）34

A

25.全国课标文（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为

2,942,941024,102t y t t -

=≤

估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

（19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228

=0.3100

+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210

0.42100

+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

用B 配方生产的产品平均一件的利润为

68.2)442254)2(4(100

1

=?+?+-??（元） 26.

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A ．63．6万元

B ．65．5万元

C ．67．7万元

D ．72．0万元

B

27.山东文13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了

解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ． 16

28.山东文18．（本小题满分12分）

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名

教师性别相同的概率；

（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自

同一学校的概率．

18．解：（I ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；

乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A ，D ）（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种。

从中选出两名教师性别相同的结果有：（A ，D ），（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共4种，

选出的两名教师性别相同的概率为4

.9

P =

（II ）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），

（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为62

.155

P =

= 29.陕西文9．设1122(,),(,),x y x y ··· ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是

由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如

图），以下结论正确的是 A ．直线l 过点(,)x y

B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

C ．x 和y 的相关系数在0到1之间

D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 A

30.陕西文20．（本小题满分13分）

如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

（Ⅰ）试估计40分钟内不能．．

赶到火车站的概率; （Ⅱ）分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在

允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。

20．解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44

人，

∴用频率估计相应的概率为0．44．

（Ⅱ ）选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为：

（Ⅲ）A 1，A 2，分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站； B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站。 由（Ⅱ）知P （A1） =0．1+0．2+0．3=0．6 P （A 2）=0．1+0．4=0．5， P （A 1）>P （A 2） ∴甲应选择L1

P （B 1） =0．1+0．2+0．3+0．2=0．8

P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P （B 2）＞P （B 1）， ∴ 乙应选择L 2．

31.上海文10．课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲．乙．丙三组，

对应城市数分别为4．12．8。若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。 2

32.上海文13．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

0.985

33.四川文2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占

（A ）211 （B ） 1

3

（C ）12 （D ）23

答案：B

34.四川文12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量

(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，

记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m

n

=

（A ）215 （B ）15 （C ）415 （D ）13

答案：B 35.四川文17．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一

次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、1

2

；两小时以上且不超过三小时还

车的概率分别为12、1

4

；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则

111()1424P A =--=，111

()1244

P A =--=．

答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、1

4

．

（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则

1111111111113

()()()()4244222442444

P C =?+?+?+?+?+?=．

答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3

4

36.天津文15．（本小题满分13分）

编号为1216,,,A A A ???的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

分（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，

（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率． （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公

式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。

（Ⅰ）解：4，6，6

（Ⅱ）（i ）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机

抽取2人，所有可能的抽取结果有：

343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，

411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共

15种。

（ii ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”

（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。

所以51

().153

P B =

= 37.浙江文（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1

个白球的概率是 A ．

110 B ．3

10

C ．

3

5

D ．

910

D

38.重庆文4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

125 120 122 105 130 114 116 95 120 134

则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 C A ．0.2

B ．0.3

C ．0.4

D ．0.5