《高等代数》试题库
一、 选择题
1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式
B ．零次多项式
C ．本原多项式
D ．不可约多项式
2．设()1g x x =+是6242
()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；
B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；
C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；
D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式
4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分
B . 充分必要
C .必要
D ．既不充分也不必要
5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =
B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±
C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f
D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f
6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题
乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；
B . 甲不成立, 乙成立；
C .甲, 乙均成立；
D ．甲, 乙均不成立
7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；
B . 代数基本定理适用于复数域；
C ．任一数域包含Q ；
D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?=
8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则11
21112
22212.........
............n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
A . D
B . D -
C ./
D D ． (1)n D -
9.行列式4
1032
6
57a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ．4067- B ．41
65 C ．4067-- D ．4165
- 10．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .3145122453a a a a a ； B .4554421233a a a a a ；C ．2351324514a a a a a ；D .1332244554a a a a a
11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .11233344a a a a ；
B .14233142a a a a ；
C ．12233144a a a a ；
D .23413211a a a a
12. 设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（ ）。
A . det()det det A
B A B +=+ B .AB BA =
C ． det()det()AB BA =
D .222()2A B A AB B -=-+
13. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）
A .13322
1A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .3111
32A A A A A +- 14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）
A .4
B .52
C ．52-
D .8
15. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （ ）
A .)(det A k
B .A k det
C ．A k n det
D .A k n det
16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
A .det()det()det()A
B A B +=+；B . det()det()kA k A =；
C ．1det()det()n kA k A -=；
D .det()det()det()AB A B =
17. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（ ）
A . **1()||n A A A -=
B . **1()||n A A A +=
C ．**2()||n A A A -=
D .**2()||n A A A +=
18.如果11
AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（ ）。 A .0A =； B .0A ≠； C ．,1A k k =>； D .,1A k k =<-
19.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m m m AB A B =”中正确的是( ) 。
A . 甲成立, 乙不成立；
B . 甲不成立, 乙成立；
C ．甲, 乙均成立；
D .甲, 乙均不成立
20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*
A A =（ ）。 A .2n A
B .n A
C ．2n n A -
D .21n n A -+
21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。
A .A O =或
B O =；B .A O ≠且B O ≠；
C ．A O =且B O =；
D .以上结论都不正确
22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
A .至多有一个r 阶子式不为零；
B .所有r 阶子式都不为零；
C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；
D .所有低于r 阶子式都不为零
23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*
A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。 A .()1n A A A *-*=；
B .()1n A A A *+*=；
C ．()2n A A A *-*=；
D .()2n A A A *+*=
24. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*
A A =（ ） A . 2||n A
B .||n A
C ．2||n n A -
D . 21||n n A -+
25.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。
A . A A =-；
B .AX O =与()A X O -=同解；
C .若A 可逆, 则11()(1)n A A ---=-；
D ．A 反对称, -A 反对称
26.如果矩阵rankA r =,则 （ ）
A . 至多有一个r 阶子式不为零；
B .所有r 阶子式都不为零
C ． 所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；
D ．所有低于r 阶子式都不为零
27. 设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有 （ ）。
A . ||0A =
B . ||0A ≠
C ． ||,1A k k =>
D . ||,1A k k =<-
28. A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。
A . k A ；
B . k A ；
C ． n k A
D . ||n k A
29. 设A 、B 为n 阶方阵，则有（ ）.
A .A ，
B 可逆，则A B +可逆 B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆
C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆
D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆
30. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足2
20A A -=，则下列矩阵哪个可逆（ ）。 A .A B .A I - C ．A I + D 2A I -
31. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（ ）。
A .O
B =； B .()0R B =；
C ．O BA =；
D .()()R A R B n +≤
32. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（ ）。
A . AC
B I =； B . BA
C I =； C ．CAB I =
D ． CBA I =
33. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（ ）。
A .*()3R A =；
B .*()2R A =；
C ．*()1R A =；
D .*()0R A =
34. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（ ）.
A .O
B = B .0=B 或0=A
C ．O BA =
D .()222B A B A +=-
35. 设矩阵00400
00010000
0000200A ?? ? ? ?= ? ? ???
，则秩A =（ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
36. 设A 是m n ?矩阵，若（ ），则AX O =有非零解。
A .m n <；
B .()R A n =；
C ．m n >
D .()R A m =
37. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。
A .A
B O A O ≠?≠且B O ≠； B . 0A A O =?=；
C ．0AB A O =?=或B O =；
D . 1||=?=A I A
38. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.
A .必有r 个行向量线性无关
B .任意r 个行向量线性无关
C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组
D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示
39. 设A 为34?矩阵，B 为23?矩阵，C 为43?矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。
A .T T A BC
B .T
ACB C ．BAC D .ABC 40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（ ）
A . 对称矩阵；
B . 反对称矩阵；
C ．可逆矩阵；
D .对角矩阵
41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足( )。
A .0A ≠
B .O A =
C ．O A ≠
D .0≠AB
42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1)(kA （ ） A .1-A k n B .11--A k n C ．1-kA D .11-A k
43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（ ）
A . A 相似于
B ； B . A B =；
C ． A 合同于B ；
D .A B =
44. 设)(2
1I B A +=，则A A =2的充要条件是（ ） A .B I =； （B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=2
45. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）
A . 2A I +
B . A I -
C ． A I +
D . A
46. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（ ）
A . 2A I -；
B . A I -；
C ． A I +
D . A
47. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.
A .必有r 个列向量线性无关；
B .任意r 个列向量线性无关；
C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；
D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示
48.设A 是m n ?矩阵，若（ ），则n 元线性方程组0AX =有非零解。
A . m n <
B .A 的秩等于n
C ．m n >
D .A 的秩等于m
49. 设矩阵()n m ij a A ?=，0=AX 仅有零解的充分必要条件是( ).
A . A 的行向量组线性相关
B .A 的行向量组线性无关
C ．A 的列向量组线性相关
D .A 的列向量组线性无关
50. 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( ) 不能断言A B ?；
A . ()()R A R
B =；B .存在可逆阵P 与Q 使A PBQ =
C ．A 与B 均为n 级可逆；
D .A 可经初等变换变成B
51. 对于非齐次线性方程组AX B =其中11)(,)(,)(n j n i nn ij x X b B a A ===，则以下结论
不正确的是（ ）。
A .若方程组无解，则系数行列式0=A ；
B .若方程组有解，则系数行列式0≠A 。
C ．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；
D .系数行列式0≠A 是方程组有惟一解的充分必要条件
52. 设线性方程组的增广矩阵是10721012110242200015????-????---????
，则这个方程组解的情况是（ ）.
A .有唯一解
B .无解
C ．有四个解
D .有无穷多个解
53. B A ,为n 阶方阵,O A ≠，且0=AB ，则 （ ）。
A .0≠A ；
B .()R B n <；
C ．齐次线性方程组()BA X O =有非0解；
D .0≠A
54. 当λ=（ ）时，方程组1231
231222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
55. 设线性方程组??
???=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则（ ）
A .当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解。
B .当0=a 时，方程组无解。
C ．当0=b 时，方程组无解。
D .当0=c 时，方程组无解。
56. 设原方程组为b AX =，且()()r b A R A R ==,，则和原方程组同解的方程组为( )。 A .b X A T =；B .b QAX =（Q 为初等矩阵）；C ．Pb PAX =（P 为可逆矩阵）；
D .原方程组前r 个方程组成的方程组
57. 设线性方程组AX b =及相应的齐次线性方程组0AX =，则下列命题成立的是（ ）。
A .0AX =只有零解时，AX b =有唯一解；
B .0AX =有非零解时，AX b =有无穷多个解；
C ．AX b =有唯一解时，0AX =只有零解；
D . AX b =解时，0AX =也无解
58. 设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ ）。
A .r n =
B .r n <
C ．r n ≥
D .r n >
59. n 维向量组s ααα,,,21 )3(n s ≤≤线性无关的充分必要条件是（ ）
A .存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211≠++s s k k k ααα
B .s ααα,,,21 中任意两个向量组都线性无关
C ．s ααα,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
D .s ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）
A .线性相关；
B . 线性无关；
C ．线性相关或线性无关；
D .不一定
61．设α为任意非零向量，则α（ ）。
A .线性相关；
B .线性无关；
C ． 线性相关或线性无关；
D ．不一定
62.n 维向量组12,,...s ααα线性无关，β为一n 维向量，则（ ）.
A .12,,...,s ααα，β线性相关；
B .β一定能被12,,...,s ααα线性表出；
C ．β一定不能被12,,...,s ααα线性表出；
D .当s n =时，β一定能被12,,...,s ααα线性表出
63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关；（3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关；（4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由
121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ ）个。
A .1 个
B .2 个
C ．3 个
D .4个
64．（1）n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基；（2）设n ααα ，21,是向量空间V 中的n 个向量，且V 中的每个向量都可由之线性表示，则n ααα ，21,是V 的一个基；（3）设},{21n ααα ，是向量空间V 的一个基，如果}{21n βββ ，，与},{21n ααα ，等价，则}{21n βββ ，，也是V 的一个基；
（4）n 维向量空间V 的任意1+n 个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个
65． 设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（ ）。
A .4321,,αααα必可由线性表示；
B .3214,,αααα必可由线性表示；
C ．3214,,αααα必可由线性表示；
D .3214,,αααα必不可由线性表示
66.设向量组Ⅰ（r ααα ,,21），Ⅱ（s r r ααααα,,,,,121 +）则必须有（ ）。
A .Ⅰ无关?Ⅱ无关；
B . Ⅱ无关?Ⅰ无关；
C .Ⅰ无关?Ⅱ相关；
D .Ⅱ相关?Ⅰ相关
67．向量组A :12,,,n ααα与B :12,,,m βββ等价的充要条件为（ ）.
A .()()R A R
B =； B .()R A n =且()R B m =；
C ．()()(,)R A R B R A B ==；
D .m n =
68．向量组12,,,r ααα线性无关?( ) 。
A . 不含零向量；
B . 存在向量不能由其余向量线性表出；
C ．每个向量均不能由其余向量表出；
D ．与单位向量等价
69.已知(,,)(,,)(,,)α---=--51013102231则
A .2(,1,2)3-；
B .2(,1,2)3--；
C ．2(1,,2)3-；
D . 2(1,1,)3
-. 70. 设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（ ）。
A .4321,,αααα必可由线性表示；
B .3214,,αααα必可由线性表示；
C ．3214,,αααα必可由线性表示；
D .3214,,αααα必不可由线性表示
71．下列集合中，是3R 的子空间的为（ ），其中'123(,,)x x x α= A {}30x α≥B .{}123230x x x α++=C ．{}31x α=D .{}123231x x x α++=
72． 下列集合有（ ）个是n R 的子空间；
}0,|),,({21211=+++∈==n i n x x x R x x x x w α；
},|),,({21212n i n x x x R x x x x w ===∈== α；
},|),,,,,,({3R b a b a b a b a w ∈== α；
}|),,({214为整数i n x x x x w ==α；
73．设,αβ是相互正交的n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。
A .222βαβα+=+；
B .βαβα-=+；
C ．2
22βαβα+=-；D .βαβα+=+ A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个
74.A 是n 阶实方阵，则A 是正交矩阵的充要条件是（ ）。
A .1AA I -=；
B ./A A =；
C ．/1A A =- ；
D .I A =2
75．（1）线性变换σ的特征向量之和仍为σ的特征向量；（2）属于线性变换σ的同一特征值0λ的特征向量的任一线性组合仍是σ的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；
（4）0)(0=-X A I λ的非零解向量都是A 的属于0λ的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。
A .1 个
B .2 个
C ．3 个
D . 4个
75. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）。
A .充要条件；
B .充分而非必要条件；
C ．必要而非充分条件；
D .既非充分也非必要条件
76. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下结论正确的是（ ）。
A .一定有n 个不同的特征根；
B .?正交矩阵P ，使AP P '成对角形；
C ．它的特征根一定是整数；
D .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
77. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且
321321211,,αααβααββ++=+==a ，则矩阵????
? ?
?=11100101
1P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。 A .312,,βββ B .3,21,βββ C ．132,,βββ D .123,,βββ
78. 设α，β是相互正交的n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。
A .222βαβα+=+
B .βαβα-=+
C ．2
22βαβα+=- D .βαβα+=+ 二、 填空题
1．最小的数环是 ，最小的数域是 。
2．一非空数集P ,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。
3．设f 是实数域上的映射，)(:R x kx x f ∈?→，若(4)12f =，则(5)f -= 。
4．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ??=??=，则(()())f x g x ???= 。
5.求用2x -除43
()25f x x x x =+-+的商式为 ，余式为 。 6．设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 。
7．设,a b 是两个不相等的常数，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式为____
8．把5)(4
-=x x f 表成1-x 的多项式是 。 9．把532)(2
3-+-=x x x x f 表成1-x 的多项式是 。
10．设()[]f x Q x ∈使得0
(())f x ?2≤，且1)1(=f ，(1)f -3=，3)2(=f ，则 =)(x f 。
11．设()[]f x R x ∈使得deg ()3(1)1(-1)3(2)3()f x f ,f ,f ,f x <===且则=____。
12．设()[]f x R x ∈使得deg ()3(1)1(-1)2(2)0()f x f ,f ,f ,f x <===且则=___。
13. 若()(),()()g x f x h x f x ，并且 ，则()()()g x h x f x 。
14. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为 。
15. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。
16. 设)(x d 为)(x f ，)(x g 的一个最大公因式, 则)(x d 与))(,)((x g x f 的关系 。
17. 多项式1)(143)(2
3234--+=---+=x x x x g x x x x x f 与的最大公因式 ((),())f x g x = 。
18. 设42()f x x x ax b =+++。2
()2g x x x =+-，若((),())()f x g x g x =，则 =a ，=b 。
19．在有理数域上将多项式32
()22f x x x x =+--分解为不可约因式的乘积 。
20．在实数域上将多项式32
()22f x x x x =+--分解为不可约因式的乘积 。
21. 当b a ,满足条件 时，多项式b ax x x f ++=3)(3
才能有重因式。 22. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个 。
23. 多项式()f x 没有重因式的充要条件是 互素。
24．设123,,ααα为方程32
0x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则 122331
αααααα++= 。
25．设123,,ααα为方程32
0x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则 111122331
αααααα+
+
= 。
26．设123,,ααα为方程320x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则
222123ααα++= 。
27．设123,,ααα为方程320x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则111123
ααα++ = 。
28. 按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为 。
29．按自然数从小到大为标准次序，排列4132的反序数为 。
30．排列451362的反序数为 。
31．排列542163的反序数为 。
32．排列523146879的反序数为 。
33．排列,1,...,2,1n n -的反序数为 。
34. 若9元排列9561274k i 是奇排列，则=i _____,=k _______。
35. 设n 级排列n i i i 21的反数的反序数为k ，则121()n n i i i i τ-= 。
36. 设},,2,1{},,,{21n i i i n =,则+)(21n i i i τ=-)(11i i i n n τ 。
37. 当k = ，= 时，5阶行列式D 的项12231453k a a a a a 取“负”号。 38. 3215332053
7228472184
= 。 39．1
23101202303102030
= 。 40．1
11
a a a
b b a = 。
41． =b
a c a c
b c
b a 。 42. =---3
8114110
2
_________________。 43． =----2
43122
4
21 ________________。 44. 150
00050004
0003000
20000000-=x x x
， =x _________________。 45. x x x x x f 3211
322
133
21)(=, 则=)4(f ______________________。
46. 设n a a a n ,,,,221 ≥两两不同, 则x
a a a x a a a x
n n ...............
(22)
11的不同根为 。 47. 0000010
0200
1000
n n D n -==______________。 48．102013A ??=????,100145B ????=??????
，则AB = 。 49. 设行列式12203369
a
中，余子式213A =，则a ＝__________。
50. 设行列式12203369
a
中，余子式223M =，则a ＝__________。
51. 设412
20
1112
1113
101----=A ，则=+++44342414A A A A 。 52行列式9
413211
11 的余子式232221M M M ++的值为 。
53.设111111111A ?? ?=- ? ?-??
，123124051B ?? ?=-- ? ???,则AB = ____________。 54．设121122111A ?? ?= ? ?-??
，123124311B -?? ?=--- ? ???,则32AB B -____________。 55．设123041101A ?? ?=- ? ???， 043120591B ?? ?= ? ?-??
,则3A B + ____________。
56. 设????
? ??=111020101A ，1111
23102B -?? ?= ? ?-??，则()'AB ＝_____________。 57. 设1111
23102A -?? ?= ? ?-??101020101B ?? ?= ? ???
，则()'AB ＝_____________。 58．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *
的逆矩阵为 。 59．设A 、B 为n 阶方阵，则222
()2A B A AB B +=++的充要条件是 。 60．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 。
61. 设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = 。
62. 设122121221143A ?? ? ? ?=-- ? ?--- ???
，则=)(A R 。 63. 设123113153221223A ??-- ? ? ?=-- ? ?- ???
，则=)(A R 。 64. 设矩阵1112312536A λμ-?? ?=- ? ???
，且()2R A =,则()()==μλ,。 65. 设A 为n 阶矩阵，且1=A ,则 =)(A R ______________。
66. 2153A ??= ???
,则=-1A ________________。 67.1225A ??= ???
,则=-1A ________________。 68. 已知A 01011,001k ?? ?=- ? ???
其中0≠k ，则=-1A _________________。
69. 若A 为n 级实对称阵，并且O AA =/
，则A = 。 70. 设A 为5阶方阵，且3det =A ，则=-1det A
，=')det(A A ，A 的伴随矩
阵*A 的行列式=*)det(A 。 71. 设100220345A ?? ? ? ?= ? ? ???
，*A 是A 的伴随矩阵，则1()A *-= 。
72. 设121342531A ??- ? ? ?=- ? ?- ???
，*A 是A 的伴随矩阵，则1()A *-= 。 73.=????
? ??=-1*)(,121210421A A 则 ____________。
74. 设A 为4阶矩阵，且2=A ,则 *2AA =____________。
75. A 为3阶矩阵，0.5A =，则*--A A 5)2(1=（ ）。
76. 设???
? ??-=???? ??12643152X ,则X =____________。 77. C B A ,,是同阶矩阵，,0≠A 若AC AB =,必有C B =，则A 应是 _____。
78. 设)(2
1I B A +=，则A A =2的充要条件是 。 79.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。
80.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。
81.线性方程组有解的充分必要条件是 。
82. 方程组??
???=-+-=+-+-=-+343224321132122a x x x a x x x x a x x x 有解的充要条件是 。
83. 方程组?????=-=-=-313
232121a x x a x x a x x 有解的充要条件是 。
84. A 是n n ?矩阵，对任何1?n b 矩阵，方程b AX =都有解的充要条件是_______。
85．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α， )7,6,5,4(3=α，则向量=-+-4321αααα 。
86.若120s ααα++
+=，则向量组12,,,s ααα必线性 。
87.已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α， )7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。
88. 若β可由r ααα,,,21 唯一表示, 则r ααα,,,21 线性 。
89. 单个向量α线性无关的充要条件是_____________。
90. 设m ααα,,,21 为n 维向量组, 且n R m =),,,(21ααα ，则n m 。
91. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关）
92.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关，则=t _______。
93. 向量组},,,{21n ααα 的极大无关组的定义是___________。
94. 设s t t t ,,,21 两两不同, 则r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(12 ==-α线性 。
95.二次型yz xz xy z y x z y x f ++----=2
22),,(的矩阵是____________. 96. A ????
??????-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。 97 . 当t 满足条件 ，使二次型32312123222122232x tx x x x x x x x f +-+++=是正定
的。
98. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值中有r 个为正值，有r n -为负值，则A 的正惯性指数和负惯性指数是 。
99. A 相似于单位矩阵，则A = _______________。
100. A 相似于单位阵，=A ______________。
101. 矩阵??????
? ??=3100430000800007A 的特征值是____________。
102. 矩阵??????
? ??=3100640000300002A 的特征值是____________。 103. 设A 为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 =A 。
104.A 满足022
=++I A A ，则A 有特征值______________________。 105. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 。 106. 设矩阵A 是n 阶零矩阵，则A 的n 个特征值是 。
107. 如果A 的特征值为λ，则T
A 的特征值为 。 108. 设1,23(,)x x x ξ=是3R 的任意向量，映射11()(cos ,sin ,0)x x σξ=是否是3R 到自身的
线性映射 。
109. 设1,23(,)x x x ξ=是3R 的任意向量，映射222123()(,,)x x x σξ=是否是3R 到自身的线性
映射 。
110. 若线性变换σ关于基{
}21,αα的矩阵为??
????d c b a ，那么线性变换σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。 111. 对于n 阶矩阵A 与B ，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称A 与B 是相似的。
112.实数域R 上的n 阶矩阵Q 满足 ，则称Q 为正交矩阵。
113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。
114. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。 115. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。 116. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ___________。
117. 设V 是数域C 上的3维向量空间，σ是V 的一个线性变换，}{321ααα，，是V 的一
个基，σ关于该基的矩阵是????
? ??-321321111，321αααξ++=，则)(ξσ关于
}{321ααα，，的坐标是____________。
118. 设},,{21n ααα 是向量空间V 的一个基，由该基到}{12ααα，，，
n 的过渡矩阵为___________________。
119. 设},{21n ααα，，
是向量空间V 的一个基，由该基到}{11ααα，， -n n 的过渡矩阵为__________。
120. 设V 与W 都是F 上的两个有限维向量空间，则??W V 。 121. 数域F 上任一n 维向量空间都却与n
F 。（不同构，同构） 122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。
123. 令S 是数域F 上一切满足条件A A =/的n 阶矩阵A 所成的向量空间，则
S dim = 。
124. 设σ为变换，V 为欧氏空间，若V ∈?ηξ,都有ηξησξσ,)(),(=，则 σ为 变换。
125. 在()()===31213
,,2,1,0,3,2,1,αααα则中R 。 126. 在欧氏空间]2,2[-C 里x 的长度为__ _ __。
127. 在欧氏空间]2,2[-C 里2
x 的长度为_________。 128. 设(),L V V σ∈是欧氏空间，则σ是正交变换? 。
129. 设()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα，则在βα,,中n R = 。
三、计算题
1.把432
()564f x x x x =-++按1x -的方幂展开. 2．利用综合除法，求用()g x 去除()f x 所得的商及余式。53()258f x x x x =--，
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数1,0(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A
2-2大学高数历年期末试题
2010-2011年 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++= 设则 2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则 dx x x f dy y ??1 1 0 ),(= 3．设函数21cos ,0()1,0x x f x x x x πππ+?<
(A) 4 3 2R π (B) 4 R π (C) 4 3 4R π (D) 4 2R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ ）. (A) ∑∞ =+-1 )1()1(n n n n n (B) ∑ ∞ =+-+1 1 )1(n n n n (C) n n e n -∞ =∑1 3 (D) ∑∞ =+ 1) 11ln(n n n n 4. 设∑∞ =1 n n a 是正项级数，则下列结论中错误的是（ ） （A ） 若 ∑∞ =1n n a 收敛，则∑∞ =1 2 n n a 也收敛 （B ）若 ∑∞ =1 n n a 收 敛，则 1 1 +∞ =∑n n n a a 也收敛 （C ）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞ =1 n n a 收敛，则1lim 1 <=+∞ →ρn n n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2 y x y x f u +=，
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积
c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4
、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为（ ）. A: ?? ? ???1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ?? ? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )(=不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇
5.函数1 23sin +=x e y 的复合过程为（ ）. A: 12,,sin 3+===x v e u u y v B: 1 2,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 12,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设??? ??=≠=001 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.51lim(1)n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: 5 e - D: ∞ 9.函数)cos 1(3 x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数.
真题一定要成套的练习。历年真题从10往前做，先前做李永乐400 做真题填空选择都要做到400那么顺手。 2011年考研数学必备——1996年到2010年——15年考研数学真题（数1、数2、数3、数4）大汇总——免费下载 2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.