几何探究型问题(针对第25题)
线段最值问题
“费马点”问题
【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．
【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．
如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′
＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．
例题
1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求
证：PB＋PC＝PA．
证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ． ∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°， ∴△MPC 是等边三角形，
∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP .
在△BPC 和△AMC 中，?????
BC ＝AC ，
∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ，
∴△BPC ≌△AMC (SAS)，
∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ．
2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ．
∴AD 的长就是△ABC 的费马距离．
易得∠ABD ＝90°，
∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)． 答：输水管总长度的最小值为5 km. 练习
(2019·陕师大附中六模)问题提出
(1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______. 【解答】
由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.
问题探究
(2)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，
连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由．
解题思路
将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．易证PA
＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC；由PC＋PF＋EF≥EC，推出当点P，F在直线EC
上时，PA＋PB＋PC的值最小，即为EC的长，求出EC的长即可解决问题．
【解答】
如答图1，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．
由旋转的性质可知△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF.
∵P A＝EF，∴P A＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC．
∵PC＋PF＋EF≥EC，
∴当点P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，
易得BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，
∴EC＝2BC＝32，∴P A＋PB＋PC的最小值为3 2.
问题解决
(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°.在四边形ABCD内部有一点P，满足∠APD＝120°，连接BP，CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
解题思路
将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是
等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出当EC取得最小
值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP .易证△BEO ′≌△BPO(SAS)，推出EO ′＝OP ＝433，故点E 在以点O ′为圆心，43
3为半径的圆上，则当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长． 【解答】
如答图2，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，连接GQ ，EC ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，∴PQ ＋BQ ＋CQ ＝EG ＋GQ ＋QC ≥EC ， ∴当EC 取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．
如答图3，延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，连接OB ．将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS)，∴EO ′＝PO .
∵∠APD ＋∠ASD ＝180°， ∴A ，P ，D ，S 四点共圆， ∴OP ＝433，∴EO ′＝43
3
，
∴点E 在以点O ′为圆心，43
3
为半径的圆上，
∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长，
连接OO ′，延长OO ′到点R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，O ′T ⊥CH 于点T ，OM ⊥BC 于点M .
易知在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ＝113
3，
∴OB ＝OM 2＋BM 2＝143
3，
∴BR ＝3OB ＝14. 易知△BHR ∽△OMB ，∴RH BM ＝BR
OB
，∴RH ＝5 3.
∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ， ∴O ′T ＝RH ＋OM 2＝133
3
，∴BT ＝O ′B 2－O ′T 2＝3，
∴CO ′＝CT 2＋O ′T 2＝
263
3
， ∴CE ＝CO ′－EO ′＝2633－433＝223
3
，
∴PQ ＋BQ ＋CQ 的最小值为
223
3
.
类型三 “阿氏圆”问题
【问题背景】“PA ＋k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA ＋PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k 取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P 的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．
【模型分析】如图1，⊙O 的半径为r ，点A ，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r ＝k ·OB ，连接PA ，PB ，则当PA ＋k ·PB 的值最小时，点P 的位置如何确定？
如图2，在线段OB 上截取OC ，使OC ＝k ·r ，则可证明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB ＝PC ．故求PA ＋k ·PB 的最小值可以转化为PA ＋PC 的最小值，其中A ，C 为定点，P 为动点，当点P ，A ，C 共线时，PA ＋PC 的值最小，如图3.
“阿氏圆”模型解题策略：
第一步：连接动点与圆心O(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；
第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OP
OB ＝k ；
第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OP
OB ； 第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P . 例题
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋1
2
BP 的最小值．
解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ． ∵
CD CP ＝CP BC ＝1
2
，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝1
2
，
∴PD ＝12BP ，∴AP ＋1
2BP ＝AP ＋PD ，
∴要使AP ＋1
2BP 最小，则AP ＋PD 最小，
当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小， 即AP ＋1
2BP 的最小值为AD 的长．
在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，
∴AP ＋1
2BP 的最小值为37.
练习 问题提出
(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______. 解题思路
当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值． 【解答】
∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值， ∴线段AC 的最小值为5－2＝3.
问题探究
(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC
的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵
上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.
①求证：△OAP ∽△OPF . 解题思路
由题意可得OA OP ＝OP OF ＝1
2，由相似三角形的判定可得△OAP ∽△OPF .
【解答】
∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝1
2.
∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝1
2，
∴
OA OP ＝OP
OF
，且∠AOP ＝∠POF ，
∴△OAP ∽△OPF . ②求BP ＋2AP 的最小值． 解题思路
由相似三角形的性质可得PF ＝2AP ，可得BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，即当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长，由勾股定理即可求解．
【解答】
∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝1
2，
∴PF ＝2AP .
∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，
∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长． ∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12， ∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13. 问题解决
(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计) 解题思路
以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵
上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．
【解答】
存在．如答图，以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为EF ︵
上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .
∵
BM BP ＝13＝BP
BC
，且∠PBM ＝∠CBP ， ∴△BPM ∽△BCP ， ∴
PM CP ＝BM BP ＝1
3
，∴PC ＝3PM . ∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )， ∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值． ∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°. ∵DG ⊥BC ，
∴DG ＝1
2DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)，
∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)， ∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，
∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元． 作业
5．(2019·交大附中三模) 问题提出
(1)如图1，点M ，N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小． 问题探究
(2)如图2，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．
问题解决
(3)如图3，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30 3 米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A，B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如答图1，连接MN，与直线l交于点K，点K即为所求．
(2)如答图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′.
由旋转的性质，得P′A＝P A＝3，P′C＝PB＝4，∠P AP′＝60°，∠AP′C＝∠APB，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′＝P A＝3，∠AP′P＝60°.
∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，
∴PP′2＋P′C2＝PC2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，
∴∠APB＝∠AP′C＝150°.
(3)存在．如答图3，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′.
答图
由旋转的性质，得A′B＝AB＝30 3 米，BE′＝BE，A′E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A′BA＝60°，
∴△E′BE是等边三角形，∴BE＝EE′，
∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ．
根据两点之间线段最短，可知当EA ＋EB ＋EC ＝A ′C 时最短，连接A ′C ，与BD 的交点E 2即为所求，此时EA ＋EB ＋EC 最短，最短距离为A ′C 的长度．
过点A ′作A ′G ⊥CB 交CB 的延长线于点G . ∵∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°， A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝1
2×303＝153(米)，
∴GB ＝3A ′G ＝3×153＝45(米)， ∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105(米)．
在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝(153)2＋1052＝3013(米)， 因此EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013 米． 6．问题提出
(1)如图1，已知△OAB 中，OB ＝3，将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°得△OA ′B ′，连
接BB ′，则BB ′＝
问题探究
(2)如图2，已知△ABC 是边长为43的等边三角形，以BC 为边向外作等边三角形BCD ，P 为△ABC 内一点，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q .
①求证：△DCQ ≌△BCP . ②求P A ＋PB ＋PC 的最小值． 问题解决
(3)如图3，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中AB ＝500米，AD ＝800米，顶点A ，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ，在BC 边上(含B ，C 两点)开一个货物入口M ，并修建三条专用车道P A ，PD ，PM .若修建每米专用车道的费用为10 000元，当M ，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留根号)
解：(1)由旋转的性质，得∠BOB ′＝90°，OB ＝OB ′＝3， 根据勾股定理，得BB ′＝3 2. (2)①证明：∵△BDC 是等边三角形， ∴CD ＝CB ，∠DCB ＝60°.
由旋转的性质，得∠PCQ ＝60°，PC ＝QC ， ∴∠DCQ ＝∠BCP .
在△DCQ 和△BCP 中，????
?
CD ＝CB ，∠DCQ ＝∠BCP ，
CQ ＝CP ，
∴△DCQ ≌△BCP (SAS)． ②如答图1，连接AD ，PQ . ∵PC ＝CQ ，∠PCQ ＝60°，
∴△CPQ 是等边三角形，∴PQ ＝PC ， 由①知DQ ＝PB ，
∴P A ＋PB ＋PC ＝P A ＋QD ＋PQ ，
由两点之间线段最短，得P A ＋QD ＋PQ ≥AD ， ∴P A ＋PB ＋PC ≥AD ，
∴当点A ，P ，Q ，D 在同一条直线上时，P A ＋PB ＋PC 取得最小值，即为AD 的长，
过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E . ∵△ABC 是边长为43的等边三角形， ∴CB ＝AC ＝43，∠BCA ＝60°， ∴CD ＝CB ＝43，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝6，∠DAE ＝∠ADC ＝30°， ∴AD ＝12，即P A ＋PB ＋PC 的最小值为12.
答图
(3)如答图2，将△ADP 绕点A 逆时针旋转60°，得△AD ′P ′.
由(2)知，当点M ，P ，P ′，D ′在同一条直线上时，P A ＋PM ＋PD 最小，最小值为D ′M 的长．
∵M 在BC 上，∴当D ′M ⊥BC 时，D ′M 取得最小值． 设D ′M 交AD 于点E ，连接DD ′，AM ，DM . 易知△ADD ′是等边三角形，∴EM ＝AB ＝500米， ∴BM ＝400米，PM ＝EM －PE ＝(500－40033
)米，
∴D ′E ＝
3
2
AD ＝4003(米)，∴D ′M ＝(4003＋500)米， ∴最少费用为10 000×(4003＋500)＝ 1 000 000(43＋5)元．
∴当M 建在BC 的中点(BM ＝400米)处，点P 在过M 且垂直于BC 的直线上，且在M
上方(500－4003
3
)米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为1 000 000(43＋5)元．
类型三 “阿氏圆”问题
7．(2018·西工大附中三模) 问题提出
(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；
问题探究
(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋1
2PD 的
最小值；
问题解决
(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋3
5
MD 的最小值．
解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．
证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，????
?
AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，
AD ＝AE ，
答图1
∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝3
2.
∵P A 2＝9，AE ·AD ＝3
2×6＝9，
∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AE
P A
.
∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴
PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝1
2
PD ， ∴PC ＋1
2PD ＝PC ＋PE .
∵PC ＋PE ≥EC ，
∴PC ＋1
2
PD 的最小值即为EC 的长，
在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝9
2
，
∴EC ＝
62＋(92)2＝152
，
∴PC ＋12PD 的最小值为15
2
.
答图
(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225，
∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AE
MA
.
∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴
EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝3
5
MD ， ∴MC ＋3
5MD ＝MC ＋ME .
∵MC ＋ME ≥EC ，
∴MC ＋3
5
MD 的最小值即为EC 的长．
如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋3
5
MD 的最小值为2145.
8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －1
2
PC 的最大值；
(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，
那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －2
3
PC 的最大值为
(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一
个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －1
2
PC 的最大值为
解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG .
∵
PB BG ＝CB
PB
＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴
PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝1
2
PC ， ∴PD ＋1
2PC ＝PD ＋PG .
∵PD ＋PG ≥DG ，
∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋1
2PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.
∵PD －1
2
PC ＝PD －PG ≤DG ，
∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －1
2
PC 的值最大，最大值为5.
答图
(2)106，106.
【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵
PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP
. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴
PG CP ＝BG BP ＝23
， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋2
3PC ＝DP ＋PG .
∵DP ＋PG ≥DG ，
∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋2
3PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.
∵PD －2
3
PC ＝PD －PG ≤DG ，
∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －1
2
PC 的值最大，最大值为106.
答图
(3)37，37.
【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .
∵
PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP
. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴
PG CP ＝BG BP ＝12
， ∴PG ＝12PC ，∴PD ＋1
2PC ＝DP ＋PG .
∵DP ＋PG ≥DG ，
∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋1
2PC 的值最小，最小值为DG 的长．
在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，
∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋1
2
PC 的最小值为37.
∵PD －1
2
PC ＝PD －PG ≤DG ，
∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －1
2PC 的值最大，最大值为37.