圆证明专题
1．如图，已知在⊙O 中，AB
AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A =30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆
的半径．
2．AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D 。 (1)请写出四个正确的结论；(2)若BC=6，ED=2，求⊙O 的半径。
3.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若1202CAB AB ∠==
，，求BC 的值
4．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。
B
5．已知：⊙O 的直径AB 和弦CD ，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M 。求证：∠AMD ＝∠FMC 。
6．已知AB 是☉O 的直径，AC 是弦，CD 切☉O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，
120ACD ∠= ，10BD =．（1）求证：CA CD =；（2）求☉O 的半径．
7．ABC △内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．
8. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =70°．求∠P 的度数．
A
C D
9. 如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且BD OC ⊥于点M 、AB CF ⊥于点F 交BD 于点E ，8=BD ，2=CM 。
（1）求⊙O 的半径；（2）求证：BE CE =
10、△ABC 的内切圆⊙o 与BC,CA,AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm ，求AF 、BD 、CE 的长？
11、如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且DE AC ⊥于点E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若30C ∠=°
，CD =，求⊙O 的半径．
B
12.如图，已知AB ⊙O 是的直径，AC 为弦，且平分BAD ∠，AD CD ⊥，垂足为D ． 求证：CD 是⊙O 的切线。
13. 如图，AC 为⊙O 直径，B 为AC 延长线上的一点，BD 交⊙O 于点D ，∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）AB=3CB 吗？请说明理由。（选做）
14. 如图所示，⊙O 的半径是4，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、点B ，若PA 与PB 之间的夹角∠APB=60°，
（1）若点C 是圆上的一点，试求∠APB 的大小；（2）求△ABP 的周长.
15、如图：AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦为E 。（1）求证：AD ＝DC （2）求证：DE 是的切线（3）如果
OE ＝EC ，请判断四边形O 1OED 是什么四边形，并证明你的结论。
第21题图
16．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B 。小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB 。（1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（3）若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π）
17.如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC ，交AC 于E ，DE 是⊙O 的切线吗？为什么？
18.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，PA 切⊙O 于A ，OP ∥BC, 求证：PC 是⊙O 的切线。
https://www.doczj.com/doc/9212740562.html,
19.如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 的⊙O 的直线交OA 延长线于点R ，且RP ＝RQ （1）求证：直线QR 是⊙O 的切线；（2）若OP ＝PA ＝1，试求RQ 的长
20、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=45°,AB=BC.(1)、求证：BC 是⊙O 的切线；（2）、设阴影部分的面积为a,b, ⊙O 的面积为S ，请写出S 与a,b 的关系式。
21. 如图，已知AB ⊙O 是的直径，AC 为弦，且平分BAD ∠，AD CD ⊥，垂足为D ． 求证：CD 是⊙O 的切线；（12分）
08-圆有关的证明题专项练习 2、如图， AE 是△ ABC 外接圆⊙ O 的直径， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。 （1）求证： BF=CD （2）若 CD=1， AD=3 ，BD=6 ，求⊙ O 的直径。 5、如图， AB 是⊙O 的直径， D 是AB 上一点， D 是弧 BC 的中 点， AD 、BC 交于点 E ，CF ⊥AB 于 F ，CF 交 AD 于G 。 （1）求证： AD =2CF ； 2）若 AD=4 3，BC =2 6，求⊙ O 的半径 6、如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 H ，E 为AB 延长线上 1、如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AD 是的边 BC 上的高， （1）求证：△ ABE ∽△ ADC ； （2）若 AB=2BE=4DC=8 ，求△ ADC 的面积 . AE 是⊙O 的直径，连 BE.
一点，CE交⊙O于F。
1）求证：BF 平分∠ DFE ； 2）若EF=DF=4 ，BE=5 ，CH=3 ，求⊙ O 的半径 7、如图，Rt △ ABC 内接于⊙ O， D 为弧AC 的中 点，DH ⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。 （1）求证：AC=2DH ； （2）连接AE，若DH=2 ，BC=3 ，求tan∠AEB 的 8、在Rt △ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点，以 连结DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求S VECF。 BD为直径的⊙ O与边AC相切于点E， 9、如图，⊙ O中，直径DE⊥弦AB于H 点， C 为圆上一动 点，
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
九年级上册圆单元测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分) 1．下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆 的位置关系是( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A.35° B.70° C.110° D.140° 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于( ) A.42 ° B.28° C.21° D.20° 6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图
中阴 影部分的面积为( ) A. B. C. D. 8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相 切，则满足条件的⊙C有( ) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线的距离OP=m，且m使得关于x的方程有实数 根，则直线与⊙O的位置关系为( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共计20分) 11．(山西)某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包 装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3). 12．(山西)如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经被攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅
O A B C D E 圆有关的证明题专项练习 1、如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的 高，AE是⊙O的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC； （2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积. 2、如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是 △ABC的边BC上的高， EF⊥BC，F为垂足。 （1）求证：BF=CD （2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径。 5、如图，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，D 是弧BC的中点，AD、BC交于点E，CF⊥AB于F， CF交AD于G。 （1）求证：AD =2CF； （2）若AD=3 4，BC =6 2，求⊙O的半径 6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H， E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F。 （1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径 7、如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点， DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。 （1）求证：AC=2DH； （2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的 值 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点， 以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并 延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求ECF S。
9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点， AC 与DE 相交于点F 。 (1)求证△AOG ∽△FAO 。 (2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S 。 10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ， 连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。 （1）、求证：△CBE ∽△AFB 。 （2）、若∠C=30o，∠CEB=45o,CE=31+, 求ABF S . 11、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 为弧AC 的中点，连接BD ，交AC 于G,过D 作DE ⊥AB 于E 点， 交⊙O 于H 点，交AC 于F 点。 （1）、求证:FD=FG (2)、若AF ·FC=32,ED=6，求ADF S 。 12、如图：△AFC 中∠FAC=90°，以AF 上一点O 为圆心，OA 为半径作圆交FC 于D ，交CF 的延长线于点B 。 ⑴求证：△CDA ∽△CAB ⑵过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，DE 交 AF 于M ，若CD=FD=2BF=4。 求A M 的长。 13、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，且AB=BC ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：AC=CF ； （2）若CF=2，BF=3，求ACB C ?的值. 14、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径， BC ∥AE ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：△ACF ～△ABC ； （2）若CF=2DF=2，AD=4，求⊙O 的直径. O B E D F A D F E O A
九年级圆强化训练 1.两条平行弦所夹的弧相等;两条相交弦被交点分成的线段成比例。 2.弦切角等于弦和切线所加的弧所对的圆周角。 如图直线AB 与⊙O 相切于点C ，其中 弦切角有 ，其中 = ； = 。 3.两圆的连心线垂直且平分两圆的公共弦。两圆的外（内）公切线相等。如图：已知⊙O 1 和⊙O 2相交于点A 、B ，直线MN 和直线PQ 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，则 ⊥ 且 即 = ； = 。 1．（2006，益阳）如图所示，△ABC 为⊙O 的内接三角形，O 为圆心，OD ⊥AB ，垂足为 D ，O E ⊥AC ，垂足为E ，若DE=3，则BC=________． 2．（2007，贵州贵阳）如图所示，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠ACB=40°，则∠ABO=________． 3．已知：如图，PAB 交圆于A 、B ，PCD 交圆于C 、D ，弧BD 的度数为100°,弧AC 的度数为为40°,求∠P 的度数. A
4.已知:如图, ⊙O,AB、CD为直径，弦BE∥CD,求证:AC =CE 5.已知:如图,⊙O中,半径OC⊥直径AB,弦BE过OC中点D,若⊙O半径为4cm,求BE的长. 6.已知:如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,D是弧AC中点,DE⊥AB于E,交AC于F,DB交AC于G,求证:AF=FG
7.已知:如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,∠DAC=∠BAC,CD切⊙O于C,求证∠D=90°. 8.已知:如图,PA切⊙O于A,PBC为⊙O割线,∠APC的平分线交AB于D,交AC于 E.求证AE=AD. 9.已知:如图, △ABC为⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,延长AD交⊙O于F,求证:DF=DH. 10. 已知：如图，两同心圆O中，大圆的弦AB、AC切小圆于D、E，过A点作⊙O的切线FG。 求证：FG∥BC.
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，
九年级圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在 射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、 PC ，设x BP =，PC y =. （1）求证：PE //DC ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取 值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605 R << 【解析】 【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据 平行线的判定定理即可得到结论； ()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形， //PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到 22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到 223PH x = ，13BH x =，求得1 63 CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218 655 PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】 () 1证明：梯形ABCD ，AB CD =， B DCB ∠∠∴=， PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
初中数学 -圆习题及答案 1.已知AB为⊙ O的直径，BD 2CD，CE//AB切⊙O于C点，交AD延长线于E 点，若⊙ O半径为2cm，求AE的长. 2.如图，PC、PD为大⊙ O的弦，同时切小⊙ O于A、B两点，连AB，延长交大⊙ O于E。 （1）求证：CE BE AC PE ；（2）若PC=8，CD=12，求BE长. 3.如图，⊙ O1和⊙ O2交于A、B两点，小圆的圆心O1在大圆⊙ O2上，直线PEC切⊙ O1于点C，交⊙ O2于点P，E，直线PDF切⊙ O1于点D，交⊙ O2于点P，F，求证：AB∥EF. 4.如图，ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I 分别为ABC 的外心和内心，求证：OI⊥ AK. 5、如图 1 和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点 P，?∠APM∠= CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙ O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （1）（2） 6、2.已知：如图等边△ABC内接于⊙ O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD AP，连结CD． （1）若AP过圆心O ，如图①，请你判断△ PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O ，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
7. （1） 如图 OA 、OB 是⊙ O 的两条半径，且 OA ⊥OB ，点 C 是 OB 延长线上 任意一点：过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D ，连结 AD 交 DC 于点 E ．求证： CD=CE （2） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于F ，交⊙ O 于 B '， 其他条件不变， 那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 （3） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙ O 外的 CF ，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的 交点，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 8、如图，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是弦， AB ⊥CD 。 理由：过 O 作 OE 、OF 分别垂直于 AB 、CD ，垂足分别为 E 、 F ∵∠ APM=∠CPM 1）P 是优弧 CAD 上一点（不与 C 、 ∠COB ； ∠COB 有 么数量关系？请证明你的结论 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙ C 与y 轴相切，且 C 点坐标为（1，0），直线 l 过点 A — 1，0），与⊙ C 相切于点 D ，求直线 l 的解析式 答案 5、解题思路： （1）要说明 AB=CD ，只要证明 AB 、 角相等， ?只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（ 1）AB=CD 对的圆
九年级数学几何图形圆 的精选练习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
圆练习题 姓名： 一、精心选一选(本大题共10小题，每小题3分，共计30分) 1、下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 2、同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（） A．外离B．相切C．相交D．内含 3、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A．35° ° C．110° ° 4、如图2，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM 的长的取值 范围（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5、如图3，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠ AOC=84°,则∠E等于（） A．42 °B．28°C．21°D．20°A B C D
A A A B C C B 图6 l 图1 图 2 图3 6、如图4，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是（ ） A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 2π B. π C. 2π D. 4π 8、已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的半径R ＝2，⊙O 2的半径r ＝1， 若半径为4的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2都相切，则满足条件的⊙C 有（ ） A 、2个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 9、设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程 012222=-+-m x x 有实数根，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A 、相离或相切 B 、相切或相交 C 、相离或相交 D 、无法确定 10、如图6,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按 顺时针的方向 在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2 的 位置，设AB=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( ) A 、（12 25 +23 ）π B 、（ 34 +23 ）π B A M O · 图
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
数学九年级上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ． （1）分别求点E 、C 的坐标； （2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333 y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】 试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标； （2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么 ∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切. 试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3 cot60232EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）． 在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==， ∴点C 的坐标为（－3，0）． （2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，
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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析) 一．解答题（共17小题） 1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆 交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 3．（2014?天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
与圆有关的证明问题 （时间：100分钟总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（） A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形 2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（） A．3对B．2对C．1对D．0对 （1） (2) (3) (4) 3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（） A．①②?③④B．①③?②④ C．①④?②③D．②③?①④ 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，?2.3cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；?③以点C 为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．在⊙O中，C是 AB的中点，D是 A C上的任意一点（与A、C不重合），则（） A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB
圆的证明 1．如图， AB是⊙ O的弦（非直径），C、D是 AB上两点，并且 OC=OD，求证： AC=BD． 2．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O与 BC交于点 D，与 AC?交于点 E，求证：△ DEC为等腰三角形． 3．如图， AB是⊙ O的直径，弦AC与 AB成 30°角， CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证： AC=CD． 4．如图 20-12 ， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 ? ? D，弧AB AF 求证： AE=BE． ， BF和 AD交于 E，
5．如图， AB是⊙ O的直径，以OA为直径的⊙ O1与⊙ O2的弦相交于D， DE⊥ OC，垂足为 E．（ 1）求证： AD=DC．（ 2）求证： DE是⊙ O1的切线． 6．如图，已知直线MN与以 AB为直径的半圆相切于点C，∠ A=28°．求∠ ACM的度数． 7．如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=5， BC=12，⊙ O的半径为3．若点 O沿 CA移动，当OC等于多少时，⊙O与 AB相切？
如图， PA 和 PB 分别与⊙ O 相切于 A ， B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点 D．连结 OP， CB ．（1）求证： OP∥ CB ； （2）若 PA＝ 12， DB ： DC ＝ 2： 1，求⊙ O 的半径． 如图，已知矩形 ABCD，以 A 为圆心， AD为半径的圆交AC、AB 于 M、E，CE?的延长线交⊙ A 于 F，CM=2，AB=4．（ 1）求⊙ A 的半径；（ 2）求 CE的长和△ AFC的面积． F B E A M C D 如图， BC是半圆 O的直径， EC是切线， C 是切点，割线 EDB交半圆 O于 D，A 是半圆 O上一点， AD=DC，EC=3， BD=2.5 （ 1）求 tan ∠ DCE的值；（ 2）求 AB的长． E D A B O C
九年级上册数学 圆 几何综合易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-
（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ， , 则116322 AG AB ==?= ， 设，则， 在Rt AGE ?中，， 在中， ()222218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：72 a = ， ∴712E ? ?-- ?? ?， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；
圆单元测试题 时间：2021.03.03 创作：欧阳学 二、选择题： 1.已知☉O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定 2.已知⊙O半径为3,M为直线AB上一点,若MO=3,则直线AB与⊙O的位置关系为（） A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相切或相交 3.若用一种正多边形瓷砖铺满地面，则这样的正多边形可以是() A．正三角形或正方形或正六边形 B．正三角形或正方形或正五边形 C．正三角形或正方形或正五边形或正六边形 D．正三角形或正方形或正六边形或正八边形 4.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( ) A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
5.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（） A.40° B.45° C.50° D.55° 6.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF 切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（） A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π 7.如图,圆锥的底面半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为（） A.30πcm2 B.48πcm2 C.60πcm2 D.80πcm2 8.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（） A.50° B.60° C.70° D.70° 9.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是（）
热点专题六 图形与证明 【考点聚焦】 图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中． 内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理． 【热点透视】 热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明． 例1 （2008郴州）如图１，菱形ABCD 中，E F ，分别为BC 、 CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =． 分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相 等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键． 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠． ∵CE CF =，∴BE DF =． 在ABE △与ADF △中，AB AD =，B D ∠=∠，BE DF =． ∴ABE ADF △≌△，∴AE AF =． 点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等． 热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题． 例2 （2008湘潭）如图2，在正五边形ABCDE 中，连结对角线AC 、 AD 和CE ，AD 交CE 于F ． （1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅 助线）； （2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明． 分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这 是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等． 解：（1）△ABC ≌△AED ，△ABC ≌△EDC ； （2）证明：在正五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====， ∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ， 故在△ABC 与△AED 中，AB =AE ，∠B =∠DEA ，BC =DE ，∴△ABC ≌△AED ， 在△ABC 与△EDC 中，AB =ED ，∠B =∠CDE ，BC =DC ，∴△ABC ≌△EDC ． 点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题． 热点3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题． 例3 （2008常德）如图3，已知AB AC =， （1）若CE BD =，求证：GE GD =； （2）若CE m B D = （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．
圆的证明 1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD ． 2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． 4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧?? AB AF ，BF和AD交于E， 求证：AE=BE．
5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线． 6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． 若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
如图，PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结OP ，CB ． （1）求证：OP ∥CB ； （2）若PA ＝12，DB ：DC ＝2：1，求⊙O 的半径． 如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE?的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4． （1）求⊙A 的半径；（2）求CE 的长和△AFC 的面积． 如图，BC 是半圆O 的直径，EC 是切线，C 是切点，割线EDB 交半圆O 于D ，A 是半圆O 上一点，AD=DC ，EC=3，BD=2.5 （1）求tan ∠DCE 的值；（2）求AB 的长． C B A E D M C A E F
A A A B C C B 图6 l 圆练习题 姓名： 一、精心选一选(本大题共10小题，每小题3分，共计30分) 1、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、同一平面内两圆的半径是R 和r ，圆心距是d ，若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 3、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A ．35° B.70° C ．110° D.140° 4、如图2，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值 范围（ ） A ．3≤OM ≤5 B ．4≤OM ≤5 C ．3＜OM ＜5 D ．4＜OM ＜5 5、如图3，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E 等于（ ） A ．42 ° C ．21° D ．20° 图1 图 2 图3 6、如图4，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是（ ） A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12π B. π C. 2π D. 4π 8、已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的半径R ＝2，⊙O 2的半径r ＝1， 若半径为4的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2都相切，则满足条件的⊙C 有（ ） A 、2个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 9、设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A 、相离或相切 B 、相切或相交 C 、相离或相交 D 、无法确定 10、如图6,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=3，BC=1， 则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( ) A B C D E 图4 图5
初三数学期末复习一（图形与证明） 一、基础练习 1、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形， 其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积为 ( ) A.48cm 2 B.24cm 2 C.12cm 2 D.18cm 2 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为 ( ) A.4cm C.8cm 4、如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9 B ．10.5 C ．12 D ．15 ５、已知菱形的一个内角为60° ，一条对角线的长为角线的长为__________． ６、如图，有一底角为350的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________. 二、例题精讲 例１、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 例２、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ． 求证：BP DQ =． A B C D E F P A D G C B F E A Q D E B C O