椭圆的定义及其几何性质
[要点梳理]
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质 椭圆的常用性质 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边， a2＝b2＋c2． (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． [基础自测] 一、思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．() (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．() (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．() (6)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验 1．设P是椭圆x2 25＋y2 16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．] 2．已知椭圆x2 25＋y2 m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．] 3．已知椭圆C：x2 a2＋y2 4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为() A ．13 B ．12 C ．22 D ．223 解析：C [由椭圆x 2a 2＋y 2 4＝1知b 2＝4，∴b ＝2，c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2＝22．∴椭圆的 离心率e ＝c a ＝222＝2 2 ．] 4．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A ．x 215＋y 210＝1 B ．x 225＋y 220＝1 C ．x 210＋y 215＝1 D ．x 220＋y 2 15＝1 解析：A [由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为 x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4 λ ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 2 10 ＝1．] 5．若方程x 25－k ＋y 2 k －3 ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是__________． 解析：由已知得???? ? 5－k >0，k －3>0， 5－k ≠k －3， 解得3 1．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 2 3 ＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)； (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且 与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 2 3＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2， －3)，所以t 1＝224＋（－3）2 3＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2 25 4 ＝1. (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得?????2a ＝5＋3， （2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 2 12 ＝1. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为2 2 . (1)求椭圆C 的方程； (2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－1 2 .若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON → ，求点P 的轨迹方程． 解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝1 2， 又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1 b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON → 得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 2 2 ＝1上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 2 2＝4， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20 ＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)． 设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 所以x 2＋2y 2＝20， 故点P 的轨迹方程为x 220＋y 2 10＝1. 第1课时 椭圆的定义及简单几何性质 [考点梳理] 1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切， 和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C ．x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 2 48 ＝1 [解析] 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 2 48 ＝1． 2．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2 7 ＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的 面积为( ) A ．7 B ．74 C ．72 D ．75 2 [解析] 由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6． ∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8． ∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝7 2． [答案] (1)D (2)C 3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于 A ， B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________． 解析：由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4． 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5． 4．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且 PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则????? r 1＋r 2＝2a ， r 21＋r 22 ＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以S △PF 1F 2＝1 2r 1r 2＝b 2＝9， 所以b ＝3． 答案：(1)5 (2)3 1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1 B ．x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．x 24＋y 2 ＝1 [解析] C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2 ＝5，所求椭圆的标准方程为x 25 ＋y 2 ＝1． 当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为 y 25＋x 2 4 ＝1．] 2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|， |PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为( ) A ．x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 26＝1 C ．x 24＋y 22＝1 D ．x 28＋y 2 4＝1 [解析] A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3 b 2＝1． 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝1 2 ，又c 2 ＝a 2 －b 2 ，联立????? 4a 2＋3 b 2 ＝1，c 2 ＝a 2 －b 2 ， c a ＝12 即a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为 x 28＋y 2 6 ＝1．] 3．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若 △MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( ) A ．x 24＋y 23＝1 B ．y 24＋x 23＝1 C ．x 216＋y 215＝1 D ．y 216＋x 2 15＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1．根据椭圆的定义，得△MF 2N 的周长为4a ＝8，得a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1，故选A ． 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2 ，且与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若 △OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 24＝1 B ．x 22＋y 2＝1 C ．x 212＋y 26＝1 D ．x 212＋y 2 8＝1 解析：∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点∴设A (x ，x )，B (x ， －x )，则x x ＝22，解得x ＝2，∴A (2，2)． 由已知得??? c a ＝22 ，4a 2＋2 b 2＝1，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得a ＝22，b ＝2． ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2 4＝1，故选A ． 答案：(1)A (2)A [命题角度1] 椭圆的长轴、短轴、焦距 1．已知椭圆x 2m －2＋y 2 10－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 2 10－m ＝1的长轴在x 轴上， ∴???? ? m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ， 解得6 ∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8．] [命题角度2] 椭圆的离心率 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3 6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．14 解析：D [如图，作PB ⊥x 轴于点B ．由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝ 1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝3 6， 解得a ＝4．所以e ＝c a ＝1 4 ．故选D ．] 2．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°， 则C 的离心率为( ) A ．1－ 3 2 B ．2－ 3 C ．3－12 D ．3－1 解析：D [在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|FP 1|＝3， 由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)中，2a ＝1＋3，2 c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1， 所以离心率e ＝c a ＝2 1＋3＝3－1． 故选D ．] 3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ， 使 得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．[ 32，1) B ．[31，22] C ．[31，1) D ．(0，3 1 ] 解析：C [如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， 即椭圆上存在一点P ， 使得|PF 2|＝2c ．