换 (或称为 F (P) 象原函数) ，记作 L 1[F(P)]
f(t)，即 f(t) L 1[F(P)]。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：
1) 在定义中，只要求 f (t) 在 t 0 时有定义．为了研究拉氏变换性质
的方便，以 后总假定在 t 0时， f (t) 0。
2) 2) 在较为深入的讨论中，
拉氏变换式中的参数
P 是在复数范围内取值．
为了方便
起见，本章我们把 P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的
函数，
换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
9.1.2
常用函数的拉氏变换表
问题：计算函数 f (t) L e 2t sin 4t 的拉氏变换。
知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为
了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。
通过 PPT 展示常用函数的拉氏变换表。 三、应用举例
例 9.4 求( 1) f (t) 3e 4t ， ( 2) f (t) t 4的拉氏变换。
例 9.5 求 L e 2t e 3t 。
例 9.6 求 f (t) L e 2t sin 4t 的拉氏变换。
它是一种积分变
例 9-1 求一次函数 f (t) at 0， a 为常数)的拉氏变换。
L[at]
解
ate pt
dt 0
td (e
pt )
at pt [e p
]0
e pt dt 0
0a p
e pt dt
例 9-2 求指数函数 f (t) a
2
e
p
at
e
pt
]0
(p
0)。
。
为常数)的拉氏变换．
解
L[e at ]
at
e
pt dt
(p a)t
e dt
p 1a (p
a)
L[sin t]
2
(p 类似可得： L cos
at
L[e ]
p 1a (p
a) 0) L[cos t] p
2 2
(p
p
0)
。
p
22 p
(p 0)
9.1.3 自动控制系统中常用的两个函数1 、单位阶梯函数(单位阶跃函数)
1)单位阶梯函数的定义
u(at b) u(t b )(a 0,b 0) a
0,
函数 u(t) 1,
, 称为单位阶梯函
数 (单位阶跃函数) 把 u(t)分别平移 a 和 b 个单位，则有 u(t a) 0,
1, 0, u(t b) 1, a b 时，将这 两式相减得 u(t a) u(t b) 1, 0, atb a 或 t b. 2)单位阶梯函数的性质 3
)单位阶梯函数
的拉氏变换： u(t) 例 9.7 单位阶梯函数 0, 1, 0 的拉氏变换。 L[u(t)] u(t)e 解0 pt dt
1 e pt dt 0
pt ]0 1 p ， (p 0) 2、单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时， 要涉及到我们要介
绍的脉冲 函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时 ( 设为 t 0) 进
入一单
位
电量的脉冲，现要 确定电路上的电流 i (t) ，以 Q(t) 表示上述电路中的电量，则 0, Q(t) 1, 0, 0. dQ(t) Q(t i(t) lim dt t 0 t) Q(t) t 所以，当 t 0 时， i (t) 0 ；当 t 0时， Q(0 t) Q(0) 1 i(0) lim lim ( ) t0 t t0 t 上式说明， 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流 强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为 1)定义 狄拉克函数 。 称为 狄拉克( Dirac )函数，简称为 当
t 0时 ， (t) 0， 1， 0， t0 0t (t) lim 0 0时， (t)的极限 (t) 函数． (t) 的 值 为 0 ； 当 t 0 时 ， (t) 的 值 为 无 穷 大 ， 即 单位阶梯函数具有：
Laplace 逆变换的求法。
教学重点：掌握部分分式法求 Laplace 逆变换。
教学难点： F （s ）分解成分式之和， 用位移性质求 Laplace 逆变换， 求 Laplace 逆变换。
1. Laplace 逆变换的定义 。
2. 查表求 Laplace 逆变换 。
3. 利用 部分分式求 Laplace 逆变换。
ss
4.
例 1：求
F(s) 2
, 2 Laplace 逆变换
s 2 16 s 2 4s 13 s 例 2：求 F (s) 2
的 Laplace 逆变换
s 2 s 2 1
例
3：求 F(s) 的 Laplace 逆变换 s 2(s 1)
6. 用卷积求 Laplace 逆变换
P.138（ 3） （ 4）
课题
Laplace 逆变换
课时
阶东 1-2 授
课
时20XX 年 4 月 16 日，第 10 周，周一第 1-2 节 重
点 难
教
学 过程 与 5. 练习求 F (s)
11 s(s 1) , s(s 2 2s
的 Laplace
逆变换 2)
作业 教学 小
1 、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简 2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余
子式。 3、理解 n 阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
课堂讲授、讨论与习题练习相结合。 多媒体、板书演示。
定义 1 我们称 4 个数组成的符号
其中的数 a ij (i, j 1,2) 称为该行列式的第 i
行、 第 j 列元素。 ( 横排称为行列式的行 ,
竖
排列称为行列式的列 ) 。为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列
课题
10.1
行列式的概念 课
时
东阶 1——
2
授课 20XX 年 4 月 23 日，第 11 周，第 5～ 6 节
重点 难
重点：行列式的概念 余子式和代数余子式的概念 难点：行列式的概念 利用行列式的定义计算行列式值
1 、二、三阶行列式的定义及计算法：
行列式的计算 考虑二元一次线性方程组
a 11x 1 a 12 x 2 利用消元法，当 a 11 a 22
b 1a 22 a 12b 2 x 1
a 11a 22 a 12 a 21
a 21x 1 a 22 x 2
b 1
1
(1)
b 2
a 12a 21 0 时，得到上述方程组的解为
x 2
a 11
b 2 a 12b 1 。 (2) a 11a 22 a 12a 21
可以看出： 方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积． 但这个公式
教学
过程 与
很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示 列式的起源。 (2) 这个结果，这就是行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 11a 22 a 21a 22为 二阶行列式。
式：
说明几个问题
1 ) 它含有两行，两列。横的叫行，纵的叫列。行列式中的数叫做行列式的元
素。
2
) 从上式知， 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 ( 又
叫行列式的主对角线 ) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的
对角线 ( 又叫次对角线 ) 上两个元素的乘积，取负号。
32
练习：
4 -1
(2) 中的两个分子可分别写成
-3) -8 -11
根据定义，容易得知上述方程组解
b 1 a 22 a 12b 2
b 1
b 2 a 12
a 22
a 11
b 2
b 1 a 21
a 11 a 21
b 1 b 2
如果记：
a 11 a 12 D 1
a 21
a 22
b 1 b 2
a 12 a 22
D 2
a 11 a 21
b 1 b 2
则当 D ≠ 0 时，方程组 (1) (2) 可以表示成
D 1 D
b 1 a 12
b 2 a 22 x 2
a 11
a 12
a 21 a 22
D 2 D
a 11
b 1 a 21 b 2 a 11
a 12
a 21 a 22
(3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于
记忆。
定义7.2 由9 个数组成的记号
a11 a12 a13
1,2,3) 称为三阶行列式的元a21 a22 a23称为三阶行列式，其中a(ij
i, j
素。它表示的代数和为：
a11a12a13
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a21a31 a11a23a32 a12 a21a33
a21a22a23
a31a32a33
用对角线法则表示为：
这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是 在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
三阶行列式的特点： 1、共有
6 项，三项正，三项
负； 2、
每项由三个元素相乘，每
个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按 1 、 2、 3 依次排列，则每一项
元素的列标排列分别为
123, 231, 312 以及 321, 213, 132, 恰好是 1、 2、 3
这三个数
的所有可能的排列，即有
3！＝ 6 种排法。
设有三元一次线性方程组
a 11x 1 a 12 x 2 a 13 x 3
b 1
a 21x 1 a 22 x 2 a 23x 3
b 2 （ 1）
a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 x 3
b 3
a 11 a 12
a 13
b 1 a 12 a 13
a 11
b 1 a 13
记D
a 21 a 22 a 23 ， D 1
b 2 a 22
a 23 ， D 2 a 21
b 2 a 23 ，
a 31 a 32
33
b 3 a 32 a 33
a 31
b 3 a 33
a 11 a 12
b 1
D 3
a 21 a 22
b 2 ，
则
D 0 时，可以证明方程（ 1 ）的唯一
解为：
a 31 a 32
b 3
D 1 D 2 D 3 x 1
1
, x 2 2
, x 3 3
DDD
练习 2 ：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
2x 1 3x 2 3x 3 0
x 1 4x 2 6x 3 1 3x 1 x 2 x 3
2
2
解 系数行列式 D 1
33 4 6
，按照
3
定义 10.1 在三阶行列式中， 删去元素 a (ij i, j
1,2,3) 所在的第 i
行， 第 j 列后，
为 A ij ,即 A ij ( 1)i j
M ij (i,j 1,2,3).
特别地：二阶行列式的各余子式都是一阶行列式，即只有一个元素。 例 10.3 证明三阶行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和。
n
D
a ij A ij (i 1,2,3)
j1
指出：类似的，同样可以定义其它元素的余子式与代数余子式，上式我们称为行列式
0 3 3
2
D 1
1 4 6 6， D
2 1
2
1 1
3
于是方程组的解为
x 1 D 1 , x 2
D 2 , x 3
DD
2、余子式、代数余子式
( 1)余子式
03
2 30
16
19， D 3
141 15. 21
3 12
D 3
， 即 3 19 15
x 1
, x 2
, x 3
D
4 8
8
余下的二阶行列式称为 元素 a (ij i, j 1,2,3) 的余子式，记为 M ij a ( i, j 1,2,3) 。
例如在三阶行列式中
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32
a 33
a 23 的余子式是 M 2 ,3
a 11 a 12 定义
2)代数余子式
10.2 a ij (i, j a 31
1,2,3) 的余子式乘以 ( -1) i j 所得的积称为 a ij 的
代数余子式， 记 如 a 23 的 代 数 余 子 式 A 32 ( 1)3 2
M 32
a 11 a 13 a 21
a 23
a 21 的 代 数 余 子 式 是
A 21 ( 1)2 1
M 21
a 11 a 13 a 31 a 33
a 11
a 12 a 21
a 22 a 31 a 32
为任意的三阶行列式，则三阶行列式的定义得： D (a 11a 22 a 33
a 11 a 23a 32 ) (a 12a 21a 33
a 12a 23a 31 ) (a 13a 21a 32 a 13a 32a 31 )
= a 11
a 22 a 23 a 32 a 33
a 12 a 21 a 31 a 23 a 33
a 13 a 21 a 31 a 22 a 32
= a 11 A 11 a 12A 12 a 13 A 13
a 13
证明：设 D a 23 a 33
按
照第一行展开。事
实上，可以
证
明，
行列式可
以
按照任一行
或
列展
开
。 介绍。 ） 3、 n 阶行
列式
左右两侧各加一条竖线得到的记号 称为 n 阶行列式（简称行列式） 例 10.4
计算四阶行列式 解：由行列式定义（ D 2（ -1） =-843 4、 几种特殊的行列式
1 ）对
角行列式 在 n
阶行列式中，若有 该行列式的 主要特征是：主对角线以外的元素全为零． 2
）三角行列式 1 ） 上三角行列式
D n 定义 10.3 将 n n 个数（也称为元素）
aij （i, j 1,2, ,n ）排成 n 行 n 列，并在 a 11 a 12 a 1n
a 21 a 22 a 2n n n a ij （ 1）
a ij A ij
j1 j1 a n1 a n2 a nn
, 它表示 n M ij
n 个元素按一定的规则构成的乘积和。 10.9 ） 11
10.9）式得 -4 -1 -1 -1）（ -1） 1 1 -3 -3 -2 -5 -5 a ij -4） -3 -5 -1 -1） 1 -2 -3 5（ -1） 1 3 0,i a 11 0 j （i,j 7（ -1） 1 1 1,2, ,n ） ，则称为对角行列式，即 a nn
61 4 -3
在 n 阶行列式中，若有 a ij 0（i j ,i, j 1,2, ,n ） ，则称为 上三角行列式 ，即 -2
a 11 a 12 a 1n 0
a 22
a 2n
a nn
主对角线下方 的元素全为零．
2)下三角行列式
在 n 阶行列式中，若有 a ij 0(i j, i, j 1,2, , n)，则称为下三角行列式，
即
a 11 0
a 21 a 22
a n1 a n2
a nn
主对角线上的元素全为
行
列 式 定 义
10.9
该行列式的主要特征是：
a 11 0
例 10.5 证明下三角行列式
a 21 a 22 0
a 11a 22
a nn
a n1
a n2
a nn
该
证
a11a22
a32
a33
a11 a22
a33
a43
a44
00
a11a22a nn.
a n1a n2a nn a n1a n2a nn
说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。即：三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。
教学目标： 1 、理解转置行列式的定义，掌握行列式的性质，能较为熟练地运用这些性
质化简并计算行列式的值，并掌握计算行列式值常用的两种方法：降阶法和化三角行
列式法。 2、理解行列式按行（列）展开定理，掌握行列式降阶思想，会利用行列式按
行（列）展开定理将任意一高阶行列式降阶。 3、掌握 Cramer 法则，会用 Cramer 法则 求解线性方程组的解，会判断齐次线性方程组有无零解。 教学方法： 课堂讲授、讨论与习题练习相结合。 教学手段： 多媒体、板书演示相结合。
重点 教学重点：
行列式的性质 行列式按行（列） 展开定理及其应用
Cramer 法则的应用
难点 教学难点：
行列式按行（列）展开定理 行列式的计
算
1 、前次作业讲评。
00055
00410
2、计算行列
式
03200 23000
40001
（二）新课讲授
由刚才的计算，大家都已经感觉到当行列式的阶数较高时，仅靠利用行列式的定
义往往会相当困难，为了简化计算，下面学习行列式的性质和公式化求解含有 n 个未
知量 n 个方程的线性方程组的公式化解法。
1、行列式的性质
定义 7.5 将行列式 D 的行与对应的列互换后（第 i 行
（列）对应地换为第 i 列
（行） , （i 1,2,..., n ） ） 得到的新行列式， 称为原行列式 D 的 转置行列式 ， 记作 D T 。
即：
a 11 a 12 a 1n
a 11 a 21 a n1
课题
10.2
行列式的性质和克拉默法则 课时
2
授课 地阶东 1-2 授
课 时20XX 年 4 月 28 日，第 12 周，周一，第 1-2 节
教学 目标 方
教
学
过
程 与