八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.在2，-3，0，23这四个数中，无理数是（）
A. 2
B. ?3
C. 0
D. 23
2.3?8的值是（）
A. 2
B. ?2
C. 4
D. ?4
3.计算a3?a的结果正确的是（）
A. a3
B. a4
C. 3a
D. 3a4
4.下列计算正确的是（）
A. 2a+3a=5a2
B. a2?a3=a6
C. a6÷a2=a3
D. (a2)3=a6
5.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 16或20
6.某校为开展第二课堂，组织调查了本校300名学生各自最
喜爱的一项体育活动，制成了如下扇形统计图，根据统计
图判断下列说法，其中正确的一项是（）
A. 在调查的学生中最喜爱篮球的人数是50人
B. 喜欢羽毛球在统计图中所对应的圆心角是144°
C. 其他所占的百分比是20%
D. 喜欢球类运动的占50%
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当
长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以
点D、E为圆心，大于12DE长为半径画圆弧，两弧交于
点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=3，AB=10，则
△ABG的面积是（）
A. 3
B. 10
C. 15
D. 30
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学
的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，
较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的
边长为（）
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.9的算术平方根是______．
10.分解因式：a2-1=______．
11.命题“如果x2=4，那么x=2”是______命题（填“真”或“假”）．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连接AE，若
∠BAC=100°，则∠AEC的大小为______度．
13.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，
C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为________．
14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
D、E分别是边AB、AC的点，
将△ABC沿DE折叠，使点A
的对称点A′恰好落在BC的
中点处．若AB=10，BC=6，
则AE的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15.先化简，再求值：（2a+b）2-（2a+3b）（2a-3b），其中a=12，b=-2．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
16.计算：52-3?64-14
17.计算：（a-1）（a+2）-（a2-2a）÷a
18.图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形
的边长均为1．在图①、图②中已画出线段AB，点A、B均在格点上按下列要求
画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为底的等腰三角形．
19.为了解某市的空气质量情况，某坏保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空
气质量情况作为样本进行统计根据空气污染指数的不同，将空气质量分为A、B、C、D和E五个等级，分别表示空气质量优、良、轻度污染、中度污染、重度污染，并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的天数；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示空气质量表示中度污染的扇形的圆心角度数；
（3）在这次抽取的天数中，求空气质量为良占的百分比．
20.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直
线BC的异侧，AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）直接写出图中所有相等的角．
21.题目：如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，
连结AD，若AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，解答
下列问题：
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
小强做第（1）题的步骤如下：∵AB2=BD2+AD2
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．
（1）小强解答第（1）题的过程是否完整，如果不完整，请写出第（1）题完整的解答过程
（2）完成第（2）题．
22.【感知】如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重
合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是______度；
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；
【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为______．
23.如图，一张四边形纸片ABCD，AB=20，BC=16，
CD=13，AD=5，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形纸片ABCD的面积；
（3）若将四边形纸片ABCD沿AC剪开，拼成一个
与四边形纸片ABCD面积相等的三角形，直接写出
拼得的三角形各边高的长．
24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，CD是
边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速
度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的
速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE=______（用含t的代数式表示），∠BCD的大小
是______度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE=AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：在，-3，0，这四个数中，无理数是，
故选：A．
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数包括：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的
数．
2.【答案】B
【解析】
解：=-2，
故选：B．
根据立方根的定义求出即可．
本题考查了对立方根定义的应用，注意：a的立方根是．
3.【答案】B
【解析】
解：a3?a=a4．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】
解：A、2a+3a=5a，故A错误；
B、a2?a3=a5，故B错误；
C、a6÷a2=a4，故C错误；
D、（a2）3=a6，故D正确．
故选：D．
根据合并同类项法则判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据同底数幂
的除法法则判断C；根据幂的乘方的法则判断D．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不
要漏解．
6.【答案】B
【解析】
解：A．在调查的学生中最喜爱篮球的人数是300×20%=60（人），此选项错误；B．喜欢羽毛球在统计图中所对应的圆心角是360°×40%=144°，此选项正确；C．其他所占的百分比是1-（20%+30%+40%）=10%，此选项错误；
D．喜欢球类运动所占百分比为20%+40%=60%，此选项错误；
故选：B．
根据百分比和圆心角的计算方法计算即可．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
7.【答案】C
【解析】
解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，GH⊥AB，
∴GH=CG=3，
∴△ABG的面积=×AB×GH=15，
故选：C．
根据角平分线的性质得到GH=CG=3，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，
∴4×ab+（a-b）2=25，
∴（a-b）2=25-16=9，
∴a-b=3，
故选：D．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9.【答案】3
【解析】
解：∵（±3）2=9，
∴9的算术平方根是|±3|=3．
故答案为：3．
9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
10.【答案】（a+1）（a-1）
【解析】
解：a 2
-1=（a+1）（a-1）．
故答案为：（a+1）（a-1）．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a 2-b 2
=
（a+b ）（a-b ）．
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 11.【答案】假 【解析】
解：∵如果x 2
=4，那么x=±
2， ∴命题“如果x 2
=4，那么x=2”是假命题，
故答案为：假．
直接两边开平方求得x 的值即可确定是真命题还是假命题；
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够确定x 的值，属于基础题，难度不大．
12.【答案】80 【解析】
解：在△ACB 中，∵AB=AC ，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=
=40°，
∵DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AE=EB ，
∴∠1=∠B=40°
， 又∠AEC 是△ABE 的一个外角，
∴∠AEC=∠B+∠1=80°． 故答案为：80．
先由等腰三角形的性质求出∠B 的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAE=∠B ，由三角形内角与外角的关系即可解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13.【答案】2 【解析】
解：由题意：S 正方形A +S 正方形B =S 正方形E ，S 正方形D -S
正方形C
=S 正方形E ，
∴S 正方形A +S 正方形B =S 正方形D -S 正方形C ∵正方形B ，C ，D 的面积依次为4，3，9 ∴S 正方形A +4=9-3， ∴S 正方形A =2 故答案为2．
根据勾股定理的几何意义：S 正方形A +S 正方形B =S 正方形E ，S 正方形D -S 正方形C =S
正方形E 解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14.【答案】7316 【解析】
解：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴AC=
=8，
∵A'为BC 的中点， ∴A'C=3，
设AE=x ，则CE=8-x ，A'E=x ，
∵Rt △A'CE 中，CE 2+A'C 2=A'E 2， ∴（8-x ）2+32=x 2
，
解得x=， ∴AE=
，
故答案为：
．
依据勾股定理即可得到AC 的长，设AE=x ，则CE=8-x ，A'E=x ，利用Rt △A'CE
中，CE 2+A'C 2=A'E 2
，列方程求解即可．
本题主要考查了折叠问题，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
15.【答案】解：原式=4a2+4ab+b2-（4a2-9b2）
=4a2+4ab+b2-4a2+9b2
=4ab+10b2，
当a=12，b=-2时，
原式=4×12×（-2）+10×（-2）2
=-4+10×4
=-4+40
=36．
【解析】
先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将a，b的值代入计算可得．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：原式=5+4-12
=812．
【解析】
直接利用二次根式以及立方根的性质化简进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：原式=a2+a-2-（a-2）
=a2．
【解析】
直接利用多项式乘以多项式以及结合整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了多项式乘以多项式以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：（1）如图1所示：△ABC
即为所求；
（2）如图2所示：△ABC即为所求．
【解析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符
合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键．
19.【答案】
解：（1）
10÷20%=
50（天），
答：被抽
取的天数
是50天；
（2）空气
质量中度
污染的天数=50-12-18-10-5=5（天），
360°×550=36°，
补全条形统计图如图所示，
（3）1250×100%=24%，
答：空气质量为良占的百分比为24%．
【解析】
（1）根据空气质量情况为轻度污染所占比例为20%，条形图中空气质量情况为轻度污染的天数为10天，据此即可求得总天数；
（2）利用总天数减去其它各类的天数即可求得中度污染的天数；利用360°乘以对应的百分比即可求得对应的圆心角的度数；
（3）根据题意列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】（1）证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACE=∠DFE，
∴∠ACE=∠DFB．
【解析】
（1）根据SSS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）不完整，
∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°；
（2）在Rt△ACD中，CD=AC2?AD2=15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
答：BC的长是21．
【解析】
（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
（2）利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
22.【答案】90 4
【解析】
解：【感知】如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，
∴∠BED=∠CDF=30°，
∴∠DFC=90°，
故答案为：90；
【探究】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，
∴∠CDF=∠BED，
在△BDE和△CFD中，
∵，
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BE=CD；
【应用】∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2，
∵D为BC中点，且BD=CF，
∴BD=CD=CF=AF=1，
由【探究】知△BDE≌△CFD，
∴BE=CD=1，DE=DF，
∵∠B=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=DF=1，
则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4，
故答案为：4．
【感知】由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知
∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．
【探究】由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此
证△BDE≌△CFD可得答案．
【应用】先得出BD=CD=CF=AF=1，再由【探究】知△BDE≌△CFD，据此得
BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点．
23.【答案】解：（1）在RT△ABC中，AC=AB2?BC2=202?162=12；
（2）∵AD2+AC2=52+122=133=CD2，
∴∠CAD=90°
∴四边形纸片ABCD的面积
=S△ABC+S△ACD=12AC?BC+12AC?AD=12×12×16+12×12×
5=126；
（3）如图，∵AB=20，BC=16，CD=13，AD=5，
∴BE边上的高AC=12，
AB边上的高=(16+5)×1220=635，
AE边上的高=(16+5)×1213=65213．
【解析】
（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠CAD=90，
由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论；
（3）由于将四边形纸片ABCD沿AC剪开，得到△ABC和△ACD的相等的边是AC，拼成一个与四边形纸片ABCD面积相等的三角形，只有将AC重合，故可拼成如图．
本题考查了图形的剪拼，三角形的面积，正确的拼出图形是解题的关键．
24.【答案】t45
【解析】
（1）解：由题意：AE=t，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
故答案为t，45．
（2）证明：∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，
∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（3）∵点E在边AC上运动时，△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
（4）①当点E在AC边上时，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB=1，AC=BC=
∵CE=CD=1，
∴AE=AC-CE=-1，
∴t=-1．
②当点E在AC的延长线上时，AE=AC+EC=+1，
∴t=+1．
综上所述，满足条件的t的值为-1或+1．
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）根据SAS即可证明△ADE≌△CDF；
（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；（4）分两种情形分别求解即可解决问题；
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．