单调性的判别法
定理设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导
(1)则函数)(x f y =在
],[b a 上单调增加;
(2)则函数)(x f y =在
],[b a 上单调减少;
),(b a 内,0)('>x f 若在),(b a 内,0)(' 单调区间的求法 问题:如何确定函数在定义域内各部分区间函数的单调性. 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间. 注意:导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点. 方法:用方程0)(' x f 的根来划分函数)(x f 的定义区间,然后判断区间内导数的符号. )('x f 不存在的点及 例1讨论函数1--=x e y x 的单调性. Θ.1-='x e y 又). ,(:+∞-∞D 解在)0,(-∞内， ,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内， , 0>'y ∴函数单调增加. 注：函数的单调性是一个区间上的性质，数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性. 要用导 而不能用一点处 例2 讨论函数3 2 x y = 的单调区间. 解Θ).,(:+∞-∞D 332x y ='),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.当时，0<<∞-x ,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少；当时，+∞< 0>'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞， .),0[+∞注意 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性. 例如，,3 x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加. 例3确定函数31292)(2 3 -+-=x x x x f 的单调区解 Θ).,(:+∞-∞D x x x x f 12186)(2 +-='), 2)(1(6--=x x 解方程0 )(='x f 得. 2,121==x x 当1<<∞-x 时，, 0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21< 0)(<'x f ∴)(x f 在[]2,1上单调减少；间. 当+∞< 定义内的一个点. 对于该邻域内的设函数在区间内有定义,)(x f ),(b a 如果存在着点的一个邻域,0x 任何点,x 除了点外,0x )()(0x f x f <均成立,称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值; 就对于该邻域内的如果存在着点的一个邻域,0x 任何点,x 除了点外,0x )()(0x f x f >均成立,称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值; 就函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 是),(b a 0x 定理1(必要条件)设)(x f 在点0x 处可导,取得极值,则. 0)(0='x f 定义 使导数为零的点(即方程的实根) 0)(='x f 且在0x 处)(x f 叫做函数的驻点. 注:可导函数的极值点必定是它的驻点,)(x f 但函 数的驻点却不一定是极值点. 例如,,3 x y =,0|0='=x y 但不是极值点. 0=x 定理2(第一充分条件)邻域内连续并且可导设函数)(x f 在点0x 的某个)(0x f '(导数也可以不存在),(1)邻域内,0)(<'x f 在点0x 的右则)(x f 在0x 处取得极大值;(2)邻域内,0)(>'x f 在点0x 的右则)(x f 在0x 处取得极小值;(3))(x f '不变号,则)(x f 在处没有极值. 0x 0x ;0)(>'x f 如果在点的左邻域内0x ;0)(<'x f 如果在点的左邻域内0x 如果在点的邻域内, 归纳： 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下:(2)(1)(3)确定极值点; (4)); (x f '求导数)(x f '点;k x 及使不存在的求驻点,)(x f 'k x 检查在左右的正负号,求出函数极值. 例4求出函数593)(2 3 +--=x x x x f 的极值. 解 ) 3)(1(3963)(2 -+=--='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下： 所以, 极大值,10)1(=-f 极小值. 22)3(-=f x ) (x f ') (x f 极小值 极大值 )1,(--∞)3,1(-3) ,3(+∞1 -+ - + 解)1(函数在内连续,)(x f ),(+∞-∞除1-=x 外处处可导,且 ; 1 3) 1(5)(3+-='x x x f )2(令,0)(='x f 得驻点;1=x 不可导点; )3(列表讨论如下: )(x f 为的 1-=x 解)3(列表讨论如下: )4(极大值为,0)1(=-f 极小值为. 43)1(3 -=f x ) (x f ') (x f 极小值 极大值 )1,(--∞)1,1(-1) ,1(+∞1 -+- + 不存在 例6求函数3/22 3)(x x x f -=的单调增减区间和极值. 解求导数, 1)(3 /1--='x x f 当时1=x ,0)0(='f 而时不存在,0=x )(x f '因此,函数只可能在这两点取得极值. x ) (x f ') (x f 极大值0 极小值2 1-) 0,(-∞) 1,0(1 ) ,1(+∞0 不存在+- + 列表如下: 解因此,函数只可能在这两点取得极值. x ) (x f ') (x f 极大值0 极小值2 1-) 0,(-∞) 1,0(1 ) ,1(+∞0 不存在 +- + 列表如下: 由上表可见:间单调减少. )1,0(在点处有极 1=x 如图.),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区 0=x 在点处有极大值, ,2 1)1(-=f 小值)(x f 函数在区间 定理3(第二充分条件)设)(x f 0x 在处具有二阶导数,且,0)(0='x f 则 (1)当0)(0<''x f 时,函数)(x f 0x 在处取得极大值;(2)当0)(0>''x f 时,函数)(x f 0x 在处取得极小值. 证(1),0) ()(lim )(0000 x f x x f x f x 因当0?+'x f x x f 故)()(00x f x x f '-?+'x ?异号, 与当0>?x 时,有,0)()(00=' 同理可证(2). ,0)(0≠''x f 例7求出函数20243)(2 3 --+=x x x x f 的极值. 解 ), 2)(4(32463)(2 -+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点. 2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f Θ故极大值,60)4(=-f , 018)2(>=''f 故极小值. 48)2(-=f 注意0)(.10=''x f 时,值, )(x f 在点处不一定取极0x 仍用第一充分条件进行判断. .2函数的不可导点, 也可能是函数的极值点. 解 由,0)1(6)(2 2 =-='x x x f 得驻点, 11-=x ). 15)(1(6)(2 2--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 值,极小值为.0)0(=f 因, 0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点 )(x f '及左右邻近的符号:11-=x 13=x . 1,032==x x 故在)(x f 0=x 处取得极小当取左侧邻近的值时,x 1-; 0)(<'x f 当取右侧邻近的值时,x 1-; 0)(<'x f 解考察一阶导数在驻点)(x f '左右邻近的符号: 11-=x 13=x 当取左侧邻近的值时,x 1-;0)(<'x f 当取右侧邻近的值时,x 1-;0)(<'x f 及因的符号没有改变, )(x f '值.同理,也没有极值.)(x f 1-=x 在处)(x f 1-=x 故在处没有极如图所示. 例93 2)2(1)(--=x x f 求出函数的极值. 解).2()2(3 2)(3 1≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点. 当时,2 0)(<'x f 1)2(=∴f 为的极大值. )(x f 最大值最小值的求法 若函数在上连续,)(x f ],[b a 除个别点外处处可导,并且至多有有限个导数为零的点,上的最大值与最小值存在.则在)(x f ],[b a 步骤:1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点、驻点及不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,小哪个就是最小值. 哪个注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是 (最大值或最小值). 最值 函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分． 跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a， 则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点 函数的单调性与导数 1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．一般地，在区间(a，b) 2．一般地，在区间(a，b) [情境导学] 以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1 (2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0. 思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数； (2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1 x2<0，y是减函数． 小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？ 答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立． 思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间． (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 答(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集． 例1已知导函数f′(x)的下列信息： 当1 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 函数的单调性与最值练习题 学校:__＿____＿__＿姓名：___________班级:______＿__＿_考号:___＿＿＿＿_＿_＿ 一、选择题(每小题4分） 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A.1- B.0 C.１ Ｄ．2 2.已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ） A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D ．(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有 ()()0f a f b a b ->-成立, 则必有（ ） A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 Ｃ．函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4．若在区间（-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) ? B. [1，2] ? Ｃ. ［1,＋∞)???D. [2,+∞） 5.函数y=x ２﹣2x ﹣1在闭区间［０，３]上的最大值与最小值的和是( ) Ａ.﹣1 Ｂ．0 C.1 Ｄ.2 6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是( ） A.(12,23） B.［13，23） Ｃ. (13,23) D.［12,23 ) 7.已知（x)=???≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（－∞,+∞）上的减函数，那么ａ的取值范围是( ) Ａ.(０，1) B ．（0，31 ） C.[71，31） D.[71,１） 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ) Ａ.（-∞，－3） B ．(-∞，－1) C.(１，+∞) D ．(-3,-１) 9．已知函数()f x 是定义在[0,) +∞的增函数，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是( ) (A ）(∞-,23） （B ）[13，23） (Ｃ）(12，∞+） (Ｄ)［12,23 ) 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x y = B.1y x = C.2y x = D ．tan y x = 函数的单调性与极值（5月10日） 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。但反过来不一定。如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0x 使 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； )函数的单调性、极值和最值（1） 【复习目标】 1.会用导数求函数的单调区间 2.会用导数求函数在给定区间上的极值 【考试说明要求】 使用导数研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题；在高考中考查形式多种多样，常以选择题或者填空题形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式与其他数学仅仅结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题 【知识点】 1、函数的单调性与导数 (1) 如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的 如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的 (2)利用导数确定函数单调区间的一般步骤. 2、函数的极值与导数 （1）观察图象，不难发现，函数图象在 点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降”（由单调增函数变为减函数）这时在 点P附近，点P的位置最高，即1 () f x比 它附近的函数值都大，我们称1 () f x为 函数() f x的一个 类似地，图中2 () f x为函数() f x的一个，极大值与极小值统称为函数 的。 (2)求极值的一般步骤： 【例题分析】 例1 利用导数确定下列函数单调区间 3 (1)6 y x x =-2 1 (2)ln 2 y x x =- x ()0 x> 变题：利用导数确定函数 3()3()f x x ax a R =-∈的单调区间 例2 已知函数 32()263,f x x x x R =-+∈ (1)求()f x 的极值； (2)若关于x 的方程 ()f x a =有3个不同的根，求实数a 的取值范围。 变题：已知条件改为以下几种情况，试求实数a 的取值范围。 ①方程 ()f x a =有2个不同的根； ②方程()f x a =有1个不同的根 ； ③试讨论函数()()h x f x a = -的零点个数。 例3 如果函数y=f （x ）的导函数 ()y f x '=的图象如图所示， 给出下列判断： ①函数y=f （x ）在区间（－3，12-）内是单调增函数； ②函数y=f （x ）在区间1(,3)2 -内是单调减函数； ③函数y=f （x ）在区间（4，5）内是单调增函数； ④当x=-2时，函数y=f （x ）有极小值； ⑤当12 x =- 时，函数y=f （x ）有极大值.； ⑥当3x = 时，函数y=f （x ）有极小值. 则上述判断中准确的是________. 【附加例题】 1、函数 ()(3)x f x x e =-的单调增区间是 2、函数 ()ln f x x x =的单调减区间是 3、函数24()2f x x x =-的极大值与极小值分别是 【拓展延伸】 已知函数 322()f x x ax bx a =+++在x ＝1处有极值 10，则 f(2)等于 《导数应用》说课稿 函数的单调性与最值 基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就 ＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有 条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意： 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连 接．两种形式 设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函 数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函 数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 单调性与最大（小）值同步练习 一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( ) 三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2. 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) 函数的单调性及最值之二 一、例题讲解 例1.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例2、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ （1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间； （1）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明: βα-＜6. 例3.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例4.已知a 是实数，函数())f x x a =-。 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。 （i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。 二、课后作业 1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 2.（2009天津重点学校二模）已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立， 若)3(33.03.0f a =，),3(log )3(log ππf b = )9 1(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3.（2009浙江文）若函数2()()a f x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是 （ ） A.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C.a ?∈R ，()f x 是偶函数 D.a ?∈R ，()f x 是奇函数 4.（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 5.（ 08年湖北卷）若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值 范围是 （ ） A . [1,)-+∞ B . (1,)-+∞ C . (,1]-∞- D . (,1)-∞- 6（2009辽宁卷文）若函数2()1 x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 《函数的单调性与极值》教案 【教学目标】： 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0 x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1 3.2 用导数研究函数的单调性与极值 一、填空题 1．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意知f ′(x )＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a )2 －4×3×3(a ＋2)＞0，即a 2 －a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 2．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________． 解析 由f (x )＝ln x ＋2x ，得f ′(x )＝1 x ＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ， 所以x ∈(1,2)． 答案 (1,2) 3．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析 由题意，得y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0解集为R ，所以Δ＝4－12m ≤0，解得m ≥13. 答案 ???? ?? 13，＋∞ 4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.由f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2， 由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 答案 2 5．已知函数f (x )＝x 3 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数， 则实数m 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0得2≤m ≤4. 答案 [2,4] 6．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈??????－π2，π2，则满足f (x 0)＞f ? ???? π3的x 0的取 值范围为________． 解析 f (x )是偶函数，且由f ′(x )＝2x ＋sin x ≥0? ????0≤x ≤π2，知f (x )在??? ?? ?0，π2上单调递增，所以由f (x 0)＞f ? ????π3，得f (|x 0|)＞f ? ?? ?? π3，从而π3＜|x 0|≤π2， 解得－ π2≤x 0＜－π3或π3＜x ≤π 2 . 答案 ??????－π 2 ，－π3∪? ????π3，π2 7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值， 函数的单调性、极值与最值问题
3 函数的单调性与极值最值
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