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2018年高考数学一轮复习专题20两角和与差的正弦、余弦和正切公式押题专练文!

2018年高考数学一轮复习专题20两角和与差的正弦、余弦和正切公式押题专练文!
2018年高考数学一轮复习专题20两角和与差的正弦、余弦和正切公式押题专练文!

专题21 简单的三角恒等变换

1.计算cos42°cos18°-cos48sin18°的结果等于( ) A.12 B.33 C.

22 D.32

解析:原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin(48°-18°)=sin30°=12。

答案:A

2.已知sin ? ????π2+α=1

3

,则cos(π+2α)的值为( )

A .-79 B.7

9

C.29 D .-23

答案:B

3.已知cos ? ????π4-x =3

5

,则sin2x =( )

A.1825

B.7

25 C .-725 D .-1625

解析:因为sin2x =cos ? ????π2-2x =cos2? ????π4-x =2cos 2? ????π

4-x -1,所以sin2x =2×? ??

??352-1

=1825-1=-7

25。 答案:C

4.已知α∈? ????π,32π,且cos α=-45,则tan ? ??

??π4-α等于( )

A .7 B.1

7

C .-1

7

D .-7

解析:因为α∈? ????π,32π,且cos α=-45, 所以sin α<0,得sin α=-35,所以tan α=3

4。

所以tan ? ????π4-α=

1-tan α1+tan α

=1-

341+34=17。

答案:B

5.已知tan ? ????α+π4=-12,且π2<α<π,则sin2α-2cos 2

αsin ? ????α-π4等于( ) A.

255 B .-35

10

C .-255

D .-

31010

答案:C

6.已知tan α,tan β是方程x 2

+33x +4=0的两根,若α,β∈? ??

??-π2,π2,则α+β=

( )

A.π3

B.π3或-23π C .-π3或23π D .-23

π

解析:由题意得tan α+tan β=-33, tan αtan β=4,

所以tan α<0,tan β<0,

又α,β∈? ????-π2,π2,故α,β∈? ??

??-π2,0,

所以-π<α+β<0。

又tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-33

1-4=3。

所以α+β=-2π

3。

答案:D

7.计算:3-tan15°

1+3tan15°

=________。

解析:3-tan15°1+3tan15°=tan60°-tan15°

1+tan60°tan15°=tan45°=1。

答案:1

8. 计算:sin50° 1+3tan10° -cos20°

cos80°1-cos20°

=__________。

答案: 2

9.已知sin ? ????π4-x =5

13,0<x <π4,则cos2x cos ? ??

?

?π4+x =__________。

解析:因为x ∈?

????0,π4,

所以π4-x ∈? ????0,π4。 又因为sin ?

??

??π4-x =513, 所以cos ? ????π4-x =12

13

又cos2x =cos ??????π2-2? ????π4-x =sin2? ????π4-x =2sin ?

????π4-x cos ? ??

??π4-x

=2×513×1213=120169

cos ? ????π4+x =cos ??????π2-? ????π4-x

=sin ? ??

??π4-x

=513

。 所以原式=120169513=24

13。

答案:2413

10.已知α∈? ??

??π2,π,sin α=55。 (1)求sin ? ??

??π4+α的值;

(2)求cos ?

??

?

?5π6-2

α的值。

所以cos ?

????5π6-2α=cos 5π6cos2α+sin 5π6sin2α=? ????-32×35+12×? ??

??-45=-4+3310。

11.已知0<α<π2<β<π,tan α2=12,cos(β-α)=2

10。

(1)求sin α的值。 (2)求β的值。

解析:(1)因为tan α2=1

2

所以sin α=sin ? ????2·α2=2sin α2cos α2=2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=2tan α21+tan 2α2=2×

121+? ????122=45。

(2)因为0<α<π2,sin α=4

5,

所以cos α=3

5。

又0<α<π

2<β<π,

所以0<β-α<π。 由cos(β-α)=

210,得0<β-α<π2。 所以sin(β-α)=

9810=72

10

, 所以sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α =

7210×35+210×45=25250=2

2

。 由π2<β<π,得β=3

4π。 ?

?

???或求cos β=-22,得β=34π。

12.已知函数f (x )=cos ? ????x -π3-sin ? ??

??π2-x 。

(1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)若α∈? ????0,π2,且f ? ????α+π6=35,求f (2α)的值。

解析:(1)f (x )=12cos x +3

2sin x -cos x

32sin x -1

2

cos x

=sin ?

????x -π6。

cos2α=2cos 2

α-1=2×? ????452-1=725,

∴f (2α)=sin ? ????2α-π6

=32sin2α-1

2cos2α =

32×2425-12×725 =

243-7

50

。 13.已知α∈? ????π2,π,且sin α2+cos α2=62. (1)求cos α的值;

(2)若sin(α-β)=-35,β∈? ????π2,π,求cos β的值.

解:(1)因为sin α2+cos α2=6

2,两边同时平方,得

sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-3

2.

(2)因为π2<α<π,π

2

<β<π,

所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π

2.

又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=4

5

.

cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-

32×45+12×? ????-35=-43+3

10

.

14.已知函数f(x)=1-2sin ?

????2x -π4cos x .

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)设α是第四象限的角,且tan α=-4

3

,求f(α)的值.

又sin 2

α+cos 2

α=1,且α是第四象限角, ∴cos 2

α=925,则cos α=35,sin α=-45

.

故f(α)=2(cos α-sin α)=2? ????35+45=14

5

.

正弦余弦的诱导公式

正、余弦函数的图象和性质检测题 总分150分 一、选择题(每小题5分,共50分,请将正确答案填在题后的括号内) 1.函数)3 2sin(2π +=x y 的图象 ( ) A .关于原点对称 B .关于点(-6 π,0)对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x =6 π对称 2.函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( ) A .]3,0[π B .] 127,12[ππ C .]6 5,3[ππ D .],65[ππ 3.设a 为常数,且π20,1≤≤>x a ,则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为( ) A .12+a B .12-a C .12--a D .2 a 4.函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 ( ) A .2 π-=x B .4 π-=x C .8 π = x D .π4 5=x 5.若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象(部分)如图所示,则?ω和的取值是 ( ) A .3,1π?ω== B .3 ,1π ?ω-== C .6,21π?ω== D .6 ,21π ?ω-== 6.下列函数中,以π为周期的偶函数是 ( ) A .|sin |x y = B .||sin x y = C .)32sin(π + =x y D .)2 sin(π +=x y 7.如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=-8 π 对称,那么α的值为 ( ) A .2 B .-2 C .1 D .-1 8.函数y=2cos 2x +1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) A . 2 π B .π C .π2 D .π4 9.已知函数1)2 sin()(--=π πx x f ,则下列命题正确的是 ( ) A .)(x f 是周期为1的奇函数 B .)(x f 是周期为2的偶函数 C .)(x f 是周期为1的非奇非偶函数 D .)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 10.函数x x y cot cos +-=的定义域是 ( ) A .]23,[ππππ+ +k k B .]2 3 2,2[ππππ++k k C .2 2]232,2(π πππππ+=++k x k k 或 D .]232,2(ππππ++k k 二、填空题(每小题5分,共25分,答案填在横线上) 11.已知函数)0(sin 21>+=A A x y π 的最小正周期为3π,则A= . 12.在0≤x ≤ 2 π 条件下,则y =cos 2x -sin x cos x -3sin 2x 的最大值为 13.已知方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解,那么a 的取值范围是 . 14.函数y = 2 cos 1 cos 3++x x 的值域是__________ ______________. 15.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π,且当] 2 ,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)3 5( π f 的值为 三、解答题(本大题共75分,16—19题每题12分,20题13分,21题14分) 16.已知函数)(32 5 cos 35cos sin 5)(2 R x x x x x f ∈+ -?= (1)求)(x f 的最小正周期;(2)求)(x f 的单调区间; (3)求)(x f 图象的对称轴,对称中心. 1 0 y x 3 π - 3 2π

正余弦函数的定义与诱导公式

美博教育一对一讲义 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课 题 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 学习目标与分析 1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式 学习重点 1.正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号;会利用单位圆求三角函数值; 2.掌握诱导公式,包括推导、记忆、应用(求值、化简等); 学习方法 理解记忆法 学习内容与过程 教师分析与批改 1、单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆。 单位长:可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数,记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α. 通常,用x 表示自变量,用x 表示角的大小,用y 表示函数值,因此 定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ,值域为[-1,1]。 设点P (a,b )是角α终边上除原点之外的任意一点,记22r a b =+ 则定义sin ,cos .b a r r αα==更具有一般性。 3、三角函数值的符号 根据定义,三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。sin α在一、二象限为正,三、四象限为负;cos α在一、四象限为正,二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。 4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角 ,2,4666 α α α ππ+ + 等与单位圆的交点,说明:(1)终边没变; (2)交点没变;(3)交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变,余弦函数值没变。即 sin(4)sin(2)sin ,cos(4)cos(2)cos .666666 αααααα ππππ+=+=+=+= 从而说明终边相同的角的正弦函数值相等,终边相同的角的余弦函数值相等。 即sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈ 说明:对于任意一个角x ,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值 x y P(a,b) α O

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题

两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)=cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)=tan α±tan β 1tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan 2α=2tan α 1-tan 2α . 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1tan_αtan_β). (2)cos 2α= 1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2 . (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α= 2sin ? ?? ?? α±π4. 4.函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α+φ),其中tan φ=b a 一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立; ②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ; ④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②③④ 2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 ( ) A .21+ B .12- C .2 D . 2

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β(C (α-β)) ②cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C (α+β)) ③sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S (α-β)) ④sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S (α+β)) ⑤tan(α-β)=tan α-tan β 1+tan αtan β(T (α-β)) ⑥tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β(T (α+β)) (2)公式变形 ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α=2sin_αcos_α, ②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α, ③tan 2α= 2tan α 1-tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α=1+cos 2α2,sin 2 α=1-cos 2α2 ; ②1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin )4(π α±. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(√) (3)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.(×) (4)公式tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β 可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意

三角函数诱导公式及推导

三角函数诱导公式及推 导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数诱导公式:所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 常用公式:公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=- sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)=cotα 公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2+α)=-tanα cot(π/2-α)=tanα 推算公式:3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系: sin(3π/2+α)=-cosα sin(3π/2-α)=-cosα

正弦余弦公式总结

正弦余弦公式总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b

二倍角正弦、余弦、正切公式教案

二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇

α 1tan tan 二、提出问题:若β = α 让学生板演得下述二倍角公式:

一、例题: 例一、(公式巩固性练习)求值: 1.sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2.=-π 18 cos 22 224cos = π 3.=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4.=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1.5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=

2.=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3. =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4.=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。 解:sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲:a =θ+sin 1,条件乙:a =θ +θ2 cos 2sin , 那么甲是乙的什么条件? 解:= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时,甲 乙;当a > 0时,乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、(P43 例一) 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α,求sin2,cos2,tan2的值。 解:∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -

三角函数诱导公式记忆方法(打印版)

三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 二、 (一)基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (二)同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数; 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。)。由此,可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 (一)常用的诱导公式 1、公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα,k∈z cos(2kπ+α)=cosα,k∈z tan(2kπ+α)=tanα,k∈z cot(2kπ+α)=cotα,k∈z sec(2kπ+α)=secα,k∈z csc(2kπ+α)=cscα,k∈z 2、公式二:α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sec (—α) = secα csc (—α) =—cscα 4、公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα 5、公式五:利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα

正弦、余弦的诱导公式经典练习题

正弦、余弦的诱导公式 基础练习 1.求下列三角函数值: (1)sin (-120°); (2)cos (-240°); (3)tan (-135°); (4))4π7sin(-; (5))6π11cos(- (6))3 π4tan(-. 2.求下列三角函数值: (1)sin (-2460°); (2)cos840°; (3)tan (-2025°) (4))3π17sin(-; (5))3 π50cos(-; (6))6π415tan(-. 3.将下列各值化为锐角的三角函数值: (1)sin4321°; (2))π9368cos(- ; (3))π7117sin(; (4)cos2001°. 4.下列各式的值等于-sin A 的是( ). A .sin (-A ) B .sin (k ·360°-A ),k ∈Z C .sin (k ·360°+A ),k ∈Z D .-sin (-A ) 5.如果+=180°,那么下列等式中成立的是( ). A .sin =-sin B .= C .sin =sin D .cos (+)=1 6.函数式)1-πcos()1-πsin(21-化简的结果是( ) . A .sin1-cos1 B .sin1+cos1 C .±(sin1-cos1) D .cos1-sin1 7.已知31)πsin(= +x ,求) π(cos 1)-πsin(2x x ++的值. 8.若(-4,3)是角 终边上一点,则)π(sin )2π-tan( ) π3cos(2αα-?-a 的值为_______. 综合练习 1.求下列三角函数值: (1))π6 65cos(- ; (2)sin (-1590°); (3)cos (-1260°); (4)π331sin ; (5)sin (-542°); (6))π724cos(-. 2.设A 、B 、C 是某三角形的三个内角,给出下列四个命题: (1)sin (A +B )=sin C ; (2)cos (B +C )=cos A ; (3)tan (A +C )=tan B ; (4)A +B +C =. 其中正确的命题是( ). A .(1)(2) B .(2)(3) C .(3)(4) D .(1)(4) 3.是第三象限的角,则下列各式中其值恒正的是( ). A .sin -cos (-) B .-tan -cos (+) C .tan (-2)+sin (-) D .-tan (+)+sin 4.)4 π3tan(6π25cos 3π4sin -??的值是( ). A .43- B .43 C .43- D .43

半角的正弦余弦正切公式

半角的正弦、余弦和正切 学习目标: 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程; 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点: 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点,灵活用公式. 学习难点:半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取. 知识链接: 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ; cos 2α= = = ; tan 2α= . 一、预习案: 问题1:若7cos 25α=,且α为锐角,则sin 2 α= , cos 2α = ,tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中,以α代2α,2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中,以α代2α,2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式:sin 2 α= (1) cos 2α= (2) tan 2α = = = (3) 问题2:半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题?

问题3:你能根据上面的公式解答下列问题吗? 1、求值:(1)sin15 (2)cos15 (3)tan 8π 二、学习案: 例1:已知sin θ=45,且5π2<θ<3π,求cos θ2和tan θ2 的值. 跟踪训练:已知sin φcos φ=60169,且π4<φ<π2 ,求sin φ,cos φ的值. 例2:化简: 1. (1+sin α+cos α)? ????sin α2-cos α22+2cos α (180°<α<360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练: 化简: 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A 组 1.若cos α=-35,α∈(π2 ,π),则tan α=________. 解析:cos α=-35,α∈(π2,π),所以sin α=45,∴tan α=sinαcosα=-43 . 答案:-43 2.(2009年高考北京卷)若sin θ=-45 ,tan θ>0,则cos θ=________. 解析:由sin θ=-45<0,tan θ>0知,θ是第三象限角,故cos θ=-35 . 答案:-35 3.若sin(π6+α)=35,则cos(π3 -α)=________. 解析:cos(π3-α)=cos[π2-(π6+α)]=sin(π6+α)=35.答案:35 4.(2010年合肥质检)已知sin x =2cos x ,则5sinx -cosx 2sinx +cosx =______. 解析:∵sin x =2cos x ,∴tan x =2,∴5sinx -cosx 2sinx +cosx =5tanx -12tanx +1=95 . 答案:95 5.(原创题)若cos2θ+cos θ=0,则sin2θ+sin θ=________. 解析:由cos2θ+cos θ=0,得2cos 2θ-1+cos θ=0,所以cos θ=-1或cos θ=12 ,当cos θ=-1时,有sin θ=0,当cos θ=12时,有sin θ=±32 .于是sin2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或3或- 3.答案:0或3或- 3 6.已知sin(π-α)cos(-8π-α)=60169,且α∈(π4,π2 ),求cos α,sin α的值. 解:由题意,得2sin αcos α=120169 .①又∵sin 2α+cos 2α=1,② ①+②得:(sin α+cos α)2=289169,②-①得:(sin α-cos α)2=49169 . 又∵α∈(π4,π2 ),∴sin α>cos α>0,即sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, ∴sin α+cos α=1713.③sin α-cos α=713 ,④ ③+④得:sin α=1213.③-④得:cos α=513 . B 组 1.已知sin x =2cos x ,则sin 2x +1=________. 解析:由已知,得tan x =2,所以sin 2x +1=2sin 2x +cos 2x =2sin2x +cos2x sin2x +cos2x =2tan2x +1tan2x +1=95 .答案:95 2.(2010年南京调研)cos 10π3 =________. 解析:cos 10π3=cos 4π3=-cos π3=-12.答案:-12 3.(2010年西安调研)已知sin α=35,且α∈(π2,π),那么sin2αcos2α 的值等于________.

二倍角的正弦余弦和正切公式教案

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)教案 珠海市田家炳中学:温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用(顺向、逆向、变形运用)二倍角公式求值、化简、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力; 3.揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力;通过综合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法:研讨式教学,多媒体教学; 六、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式, ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±;()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±. (二) 复习练习: (三)公式推导: 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中β看成α即可), ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-; 思考:把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ?

正弦函数和和余弦函数的定义与诱导公式题目与答案

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 正弦函数和余弦函数的定义 【要点链接】 1.单位圆的定义: 注意两点:以原点为圆心,以单位长为半径. 2.任意角的正弦函数和余弦函数的定义: 对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合: ①终边与单位圆交于点),(v u P ,过P 作PM 与x 轴垂直,垂足为M , 那么v =αsin ,u =αcos ;线段MP 为角α的正弦线,线段OM 为角α的余弦线. ②可设终边上不同于原点的任意一点为),(y x P ,r OP =, 那么r y = αsin ,r x =αcos . 注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广,可直接应用. 3.周期与最小正周期: 记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为π2,可直接用. 会判断一个数是否是一个函数的周期. 【随堂练习】 一、选择题 1.单位圆是指( ) A .半径为1的圆 B .圆心为坐标原点且半径为1的圆 C .半径为整数的圆 D .圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2.若sin cos 0αα>且cos 0α<,则α的终边所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知角α的终边过点(1,2)P -,则cos α的值为( ) A .25 B . C .552 D .5 -4.设0a <,角α的终边经过点(3,4)P a a -,那么sin 2cos αα+的值等于( ) A .52 B .-52 C .51 D .-5 1 二、填空题 5.0 sin(60)-=_______. 6.若角α的终边在直线2y x =上,且sin 0α<,那么cos α=_______. 7.角α的终边上有一点(,5)P m ,且)0(,13 cos ≠=m m α,则m =______. 三、解答题 8.已知单位圆上一点()P a ,设以射线OP 为终边的角(02)θθπ<<,求角θ 的正弦值,并作出角θ的正弦线. 9.已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零), 求2sin cos αα+的值.

最新3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教案

马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科: 数学 年级: 高一 授课时间: 一课时 主备人:朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能: 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程,了解它们的内在联系,并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法: 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观: 树立辩证思维的能力,培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示[3分钟] 1. 引入新课:一、复习准备: 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -. 2.学习目标展示[2分钟] 1,会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2,灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导[30分钟] 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -. 导入部分: 激发学生学习兴趣,使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解

三角函数诱导公式大全

三角函数诱导公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。

正弦 余弦 正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-. (二)公式推导: ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=; ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-; 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-; 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-. ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--. 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±

αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系. 2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆),能灵活地将公式变形并运用. 3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释: (1)公式成立的条件是:在公式22,S C αα中,角α可以为任意角,但公式2T α中,只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立; (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键. 如:2 cos 2 sin 2sin α α α=; 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2.和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中,当T C S ,,时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:

正弦余弦换算公式

三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) s in(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

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