x =
1 1
2 一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共
5 小 题 ， 每 题 3 分 ， 共 15 分 ）
1. lim x n 存在是数列
{x n }有界的
(
)
n →∞
A. 必要而非充分条件;
B. 充分而非必要条件;
C. 充要条件;
D. 既非充分又非必要条件.
2. 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f ' (0) 存在，则 g (x )
=
f (x ) ( )
x
A. 在 x=0 处左极限不存在 ;
B. 有跳跃间断点 x=0 ;
C. 有可去间断点 x=0 ;
D. 在 x=0 处右极限不存在.
f " (x ) 3. 设 f(x)有二阶连续导数，且 lim
x →0
x
= 1,则
( )
A.
(0, f (0)) 是曲线 y=f(x)的拐点;
B. C. f (0) 是 f(x)的极大值;
D.
(0, f (0)) 不是曲线 y=f(x)的拐点;
f (0) 是 f(x)的极小值.
4 若⎰ f (x )dx = F (x ) + c ，则⎰ e -x f (e -x )dx =
(
)
A. F (e x ) + c ;
B; - x
- F (e x ) + c ; F (e - x )
C.
F (e ) + c ;
D.
x 3 -1
+ c . x
5. 设函数 f(x)连续，且 ⎰
f (t )dt = x ，则 f(7)=
(
)
1 A. 1 ;
B.
;
C.
2
1
1 ;
D.
.
12
12
二、填空题（本大题共 7 小题，每题 3 分，共 21 分）
1
1. 已知当 x → 0 时， (1 + ax 2
) 3 - 1 与cos x - 1是等价无穷小，则 a =
.
f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )
2. 设 f(x)在 x= x 0 处可导,则lim
h →0
= .
h
3. 设 y= (1 + sin x ) x + e 5
,则 dy
= .
2 ⋅ 3x
- 5 ⋅ 2 x
4. 不定积分⎰ 3x
dx = .
+∞ x
5. 广义积分 ⎰0 1 + x 2 dx =
. 6. ⎰-1
x cos x + x 2
x 2 + 1
dx = . 7. 设 ⎰0
f (x )dx = 1, 且 f (2) = 1 , f 2
(2) = 0 ，则 ⎰0 x f " (2x )dx = .
三、计算题（本大题共 6 小题，每题 8 分，共 48 分）
2
- '
1. 求lim( x →∞ x + 3 x + 6
x -1
)
2
1
dy d 2 y 2. 求由方程 x - y + sin y = 0 所确定的隐函数 y=f(x)的一阶和二阶导数 ,
.
2 1 + sin x - e x
3. 求lim .
dx dx 2
x →0 1 - x 2
- 1
4. 求
⎰ 5. 求⎰ tan 2 x sec 4 xdx . dx
2
6. 求 I= ⎰
e 2x cos xdx
.
四
、
应
用
题
（
6 分
）
曲线小 xy = 4, y = 1, y = 2, x = 0 围成一平面图形,求此平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体 积.
五 、 证 明 题 （ 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 10 分 ）
x
(1) 证明：:当 x>0 时，
1 + x
< ln(1 + x ) < x .
(2) 设函数 f(x)在[－1,1]上连续，在（－1，1）内可导,,且 f(－1)=f(1).证明在（－1，1）内至少存在一点，使 f '
() = 2f () .
(综合题)
一、 选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
1. B ;
2. C ;
3. A ;
4. B ;
5.D .
二、填空题（本大题共 9 小题，每题 3 分，共 27 分）
3
(2) ) x 1.
- ;
2. 2 f '
(x ) ;
3.
-dx ; 4.
2x - 3 + c ;
2
1
ln 2 - ln 3
5.
; 6.
2
2 +
; 7. 0
.
2
三、计算题（本大题共 6 小题，每题 8 分，共 48 分）
1. 解：原式= lim(1 + x →∞ 1 x + 6
- 3
x -1 ) 2
- 3
=…= e 2
dy 2 d 2 y - 4 sin y
2. 解：
=
，
2 =
3
dx 2 - cos y dx
(2 - cos y )
1
(1 + 3
x ) x
