第二章-随机变量的分布及数字特征

第二章 随机变量及其数字特征

一、教学要求

1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；

2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；

3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；

4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；

5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点

本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。

§2.1 随机变量及其分布

一、

随机变量

1．引入随机变量的必要性

1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。

注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X 来表示，这个数X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。

2．引例

先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为

()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345??

?

???

Ω=?

???

???

?

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

我们记取出的黑球数为 X ，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量．

但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．

X 的取值情况可由下表给出：

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此

变量 X 是样本空间Ω上的函数：

()()X X ωω=∈Ω

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

(){}{}22X X ωω===：表示取出2个黑球这一事件；

{}2X ≥表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

3．定义

1）描述性定义：定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z 等表示。

2）严格定义：设(,,)P Ω?为一概率空间，(),X X ωω=∈Ω是定义在Ω上的实值函数，若对任一实数x ，{:()}X x ωω≤∈?，则称X 为随机变量。 4.随机变量的例子

例2 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y ：该时间间隔内通过的汽车数．

则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．

{}100Y <表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

{}50100Y <≤表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件

例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z ：该生物的寿命．

则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实

数．{}1500Z ≤表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件． 二、分布函数及其性质 1.分布函数的概念

定义 设(,,)P Ω?为一概率空间，X 为定义在其上的随机变量,对任意实数x ,称 ()()F x P X x =≤

为随机变量X 的分布函数,且称X 服从()F x ,记为X ~()F x .有时也可用()X F x 表明是X 的分布函数. 2.例子

例4 向半径为r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X 的分布函数()F x ,并求P(X>23

r ). 解 事件“X x ≤”表示所抛之点落在半径为(0)x x r ≤≤的圆内，故由几何概率知

222()()().x x F x P X x r r ππ=≤==从而22r 225

P(X> )=1-P(X )=1-().3339

r ≤=

3.分布函数的性质

定理：任一分布函数()F x 都有如下三条基本性质:

（1）单调性: ()F x 是定义在整个实数轴(,)-∞+∞上的单调非减函数，即对任意的12x x <，有12()()F x F x ≤；

（2）规范性:()F -∞=lim ()0x F x →-∞

=；

()F +∞=lim ()1x F x →+∞

=。

（3）右连续性:()F x 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有 0

0lim ()()x x F x F x +→=，

即 00(0)()F x F x +=。

证明 略。

注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：

()()()P a X b F b F a <≤=-，()()()P X a F a F a ==--， ()1()P X b F b ≥=--等。

三、离散随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念

若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。

讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X 的统计规律必须且只须知道X 的所有可能取值以及X 取每一个可能值的概率。

2．分布列 设X 是一个离散随机变量，如果X 的所有可能取值是12,,n x x x L L ，则称X 取

i x 的概率

()(),1,2,,i i i p p x P X x i n ====L L 为X 的概率分布列或简称为分布列，记为{}~i X p 。

分布列也可用下列形式表示：

1212()

()()n n x x x p x p x p x ??

???

L L

L L 或

3.分布列的基本性质

(1)非负性：()0,1,2,;i p x i ≥=L (2)正则性：

1

() 1.i

i p x +∞

==∑

注 1）离散随机变量的分布函数为：()()i i

x x

F x p x ≤=

∑。

2）设离散型随机变量X 的分布函数为 ()F x ，k x 为其间断点，k =1, 2, …, 则X

的分布律为 {}()()0,1,2,k k k k p P X x F x F x k ===--=L 4.例子

例5 设离散随机变量X 的分布列为

1

230.250.50.25-?? ???

， 试求(0.5),(1.5 2.5)P X P X ≤<≤，并写出X 的分布函数。 解 略。

例6从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：

X ：取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布列． 解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．并且

{}()41

5

10

5610k C P X k k C -===L ，，，

具体写出，即可得 X 的分布列：

例7设随机变量 X 的分布列为

{}()112,4n

P X n c n c ??

=== ?

??

L ，，试求常数．

解：由分布列的性质，得

{}111

1411414

n

n n P X n c c ∞

∞

==??

====? ???-∑∑，所以3c =．

四、连续随机变量及其密度函数 1.连续型随机变量的概念

定义 设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数()p x ，使得对任意ｘ，有

()()x

F x p t dt -∞

=

?

，

则称X 为连续随机变量，称()p x 为X 的概率密度函数，简称为密度函数。 2.密度函数的基本性质 （１） 非负性：()0p x ≥； （２） 正则性：

()1p x dx +∞

-∞

=?

；

反过来，若已知一个函数 ()p x 满足上述性质(1)和(2),则()p x 一定是某连续型随机变量X 的概率密度函数．

另外，对连续型随机变量X 的分布，还具有如下性质： （1）,,(),()()()()b

a

a b R a b P a X b F b F a p x dx ?∈≤<≤=-=?

。

更一般的，对一般的区间B ，有

()().B

P X B p x dx ∈=?

（2）连续型随机变量X 的分布函数 ()F x 是连续的,但反之不真；

（3）连续型随机变量X 取任一确定值的概率为0；即对于任意实数c ，()0P X c ==； 事实上，0,0()()()c

c h

h P X c P c h X c p x dx -?>≤=≤-<≤=?.

令0,

()0,P(X=c)=0c

c h

h p x dx +

-→→?

即得。

注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；

概率为1的事件也不一定是必然事件。 (4) 若()P x 在0x 处连续，则有0

0()

()x x F x p x ='=

3．例子

例8设202

~()230Kx x X p x Kx

x ?≤

=≤≤???

其它

，求:(1)常数K ；(2)X 的分布函数；(3)5

(1).2

P X <≤

解 (1)由性质

2

3

2

2

()1,1p x dx Kx dx Kxdx +∞

-∞

=+=?

??得。解之得6.31

K =

26316

3102~()230x x X p x x

x ?≤

=≤≤???

其它

。 (2)X 的分布函数为

2

63102

266313102

002()23

13x x

x t dt

x F x t dt tdt x x

??? 323123431310002()231

3x x x F x x x x

2

1

()p x dx ??

= ???

?L

。

§2.2 随机变量的数字特征

概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是： (1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；

(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等；

(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。 数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。

一、随机变量的数学期望 1．引例

解：假设做了n 次游戏，123124n n n —得元次数，—得元次数，—得元次数，

123123,124n n n n n n n ++=?+?+?则获得：。每次平均得：

123312124124.n n n n n n

n n n n

?+?+?=?+?+?当n 很大时，

12312317

124124.6666

p p p ≈?+?+?=?+?+?=

2.离散型随机变量的数学期望

1）定义

设离散随机变量X 的分布列为

()(),1,2,,i i i p p x P X x i n ====L L 如果

1

||()i

i

i x p x +∞

=<+∞∑，

则称 1

()()i

i

i E X x p x +∞

==

∑

为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数1

||()

i

i

i x p x +∞

=∑不收敛，则称X 的数学期望不存在。

注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。 2）例子

例9 设ξ服从几何分布，L k-1

P(

ξ=k)=(1-p)p,(k =1,2,),求.E ξ 解：k 1

k 1k 1

k 1

E k(1p)

p p k(1p).∞

∞

--==ξ=

-=-∑∑

由于''

k 1

k 2

k 1k 1x 1kx x ,1x (1x)

∞

∞-==????=== ? ?--????∑∑故 k 1

2k 1

11

k(1p)

,E p p

∞

-=-=

∴ξ=∑ 例10 设X 取2(1)k k

k x k =- (k =1,2,…)对应的概率为1

2

k x k p =，证明E (X )不存在。

证明 1

02k x k p =≥且11112k x k k k p ∞∞

====∑∑。但级数

111211

2k k k x k k k k x p k k

∞

∞

∞

====?=∑

∑∑发散

所以E (X )不存在，但级数

111

21(1)(1)ln 22k k k

k

k x k k k k x p k k ∞

∞

∞

===-?=-??==-∑∑∑(交错级数满足Leibniz 条件)(收敛) 要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。

2． 连续型随机变量的数学期望

1） 定义

设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),如果

||()x p x dx +∞

-∞

<+∞?

，

则称 ()()E X xp x dx +∞

-∞

=

?

为X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若||()x p x dx +∞

-∞

?

不收敛，

则称X 的数学期望不存在。

2）例子 例11 设随机变量X 服从21

()(1)

p x x π=+

(-∞

试讨论E (X )。此分布称为

Cauchy 分布。 解

202201()2ln(1)|,(1)(1)x x x f x dx dx dx x x x πππ

+∞

+∞

+∞+∞

-∞

-∞

?===+=+∞++?

?

? 即

()x f x dx +∞

-∞

?

不绝对收敛，因此数学期望E (X )不存在。

设X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，求()E X 。 例12设随机变量X 的密度函数为：

,

01()2,12

0,x x x x x ?<

=-≤

其它 求数学期望EX 。 解：

1

2

1

2

()0(2)01773236

EX x x dx x dx x xdx x x dx x dx

?∞

∞

-∞

-∞

=

=?+?+?-+?=

+-=?????

例13 设X 为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明： .)()(1

∑∞

=≥=

k k X P X E

证明：由于 .)()(1

∑∞

===

k k X kP X E 而

ΛΛ

Λ+=++=+=++=+=+===

=≥∑∑∑∞=∞

=∞=)3()3()2()3()2()1()

()(11

X P X P X P X P X P X P j X P k X P k k

j k

).()(1X E k X kP k ===∑∞

=

例14 设连续型随机变量X 的分布函数为),(x F 且数学期望存在，证明

.)()](1[)(0

??∞

-+∞--=dx x F dx x F X E

证明：?????

+∞

∞

-+∞∞

-+∞

∞

---=+==

00

0))(1()()()()()(x F xd x xdF x xdF x xdF x xdF X E

.))(1(|))(1()(|)(0

0??

∞

∞

-∞∞

+∞--+---=dx x F x F x dx x F x xF

由均值存在得

,)(||?

∞

∞

-∞

.

)(0)(||))(1(0)

(0)(||)(0??∞

-∞

-∞→→≤-≤∞→→≤-≤B

A

B x dF x B F B A x dF x A AF 当当

以此代入EX 的计算式即得.)()](1[)(0

??∞

-+∞--=dx x F dx x F X E

二、随机变量函数的分布及数学期望

1.随机变量函数的分布

1）离散型随机变量函数的分布列 设X 一个随机变量，分布列为 k k p x X P X ==)(~, k ＝1, 2, …

则当Y ＝g (X )的所有取值为j y (j ＝1, 2, …)时，随机变量Y 有如下分布列：

()j j P Y y q ==, j ＝1, 2, …

其中j q 是所有满足()i j g x y =的i x 对应的X 的概率()i i P X x p ==的和，即

()()()i j

j i g x y P Y y P X x ===

=∑

例15 设离散型随机变量X 有如下分布列，试求随机变量2

(3)1Y X =-+的分布列。

解Y 的所有可能取值为1，5，17

2(1)((3)11)(3)0.1P Y P X P X ==-+====，

2(5)((3)15)(1)(5)0.50.150.65P Y P X P X P X ==-+===+==+=， 2(17)((3)117)(7)0.25P Y P X P X ==-+====。

故Y 的分布列为

2）连续型随机变量函数的分布 (1)一般方法

设连续型随机变量X 的概率密度函数为()X p x ，(-∞

Y ()F ()()(())()g x y

y P Y y P g X y p x dx ≤=≤=≤=

?

。

从而Y 的概率密度函数()Y P y 为

()

().Y Y dF y p y dy

=

例16 设随机变量2,01,

~()0,X x x X p x <

求Y =3X +5的概率密度。

解 先求Y =3X +5的分布函数()Y F y 。

5

35

()()(35)()()3

y Y X y F y P Y y P X y P X p x dx --∞-=≤=+≤=≤=?

20,

5,1(5),58,9

1,

8.y y y y

=-<

2

(5),58,9

()()0,Y Y y y d p y F y dy ?-<

其它.

例17 设X ~U (-1,1),求2Y X =的分布函数与概率密度。

解()2111()2

X x p x y g x x ?-<

===???Q

其它

()()22()()Y X x y

F y P Y y P X y p x dx ≤∴

=≤=≤=

?

当y <0时，()0Y F y = ；当y ≥1时()1Y F y =； 当0≤y <1

时1

()2Y F y dx =

=

01()'()0Y Y y p y F y <<==?

其它

。

(2）公式法

一般地, 若)(),(~x g y x p X X =是严格单调可导函数，则

()~()[()]|()|Y X Y g X p y p h y h y '==

其中h (y )为y ＝g (x )的反函数。

注：1、只有当g (x )是x 的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y 的密度函数；

2、注意定义域的选择。

例18 设X ～U (0,1)，求Y=aX+b 的概率密度。(a ≠0) 解 Y=ax+b 关于x 严格单调，反函数为()y b

h y a

-=， 故1

()[()]|()|(

)Y X X y b p y p h y h y p a a

-'== ，而 101()0X x p x <

?其它，所以 1

01()0

Y y b

a a p y -?<

=???

其它

。 补充定理：

若g(x)在不相叠的区间12,,I I L 上逐段严格单调，其反函数分别为12(),(),h y h y L 均为连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

''

1122()(())()(())()Y X X p y p h y h y p h y h y =++L

例19若)1,0(~N X ，计算2

Y X =的密度函数。

解：2

()y g x x ==分段单调，在(,0)-∞

中反函数1()x h y ==而在[0,)+∞中反函数

为2()x h y ==

Y 的密度函数为

122()(||,0.

()0,0.

y Y Y p y y e y p y y ??--=+=>=≤ 即)1(~2

χY 。

2.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望.那么应该如何计算呢？ 定理 设()Y g X =( g 为连续函数 ) ⑴ 设X 为离散型随机变量，其分布律为

{},(1,2,3,)k k P X x p k ===L

若级数

1

()k

k

k g x p

∞

=∑绝对收敛,

则g (X ) 的数学期望为1

()(())()k

k

k E Y E g X g x p

∞

===

∑。

⑵ 设X 为连续型随机变量，其概率密度为()p x ,若

()()g x p x dx +∞

-∞

?绝对收敛，则g (X ) 的

数学期望为()(())()()E Y E g X g x p x dx +∞

-∞

==

?

注：该公式的重要性在于:当我们求E [g (X )]时,不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。 例20 设随机变量),(~p n B X ，2X

Y e

=，求E (Y ).

解 ),(~p n B X ，分布列为 (),0,1,2,k k n k

n P X k C p q k n -===L

22220

()()()().n

n

X

k

k k

n k

k

k n k n n

n k k E Y E e

e C p q

C pe q pe q --====?=??=+∑∑ 其中p+q =1

例21设随机变量X 的概率密度为2

0()0

x

xe x p x -?>?=?

??其它

，求 E ( 1 / X )。

解：2200111(

)()2

x x E p x dx xe dx e dx X x x +∞+∞+∞---∞==?==???

三、数学期望的性质

性质1.若C 是常数，则E(C)=C.

性质2.对任意的常数a ，E(aX)=aE(X)． 性质3.对任意的两个函数1()g x ，2()g x ，有

1212(()())(())(())E g X g X E g X E g X ±=±。

四、随机变量的方差与标准差 1.方差与标准差的定义 1）引例

甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm ，公差为0.2mm ，即直径在9.8mm 到10.2mm 的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)

甲 9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2 乙 9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0

易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm ，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。

为衡量一个随机变量X 关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X 的绝对离差，记作E |X-EX|，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。

2）定义 若随机变量2

{[()]}E X E X -的数学期望存在，则称2

{[]}E X EX -为随机变量X 的方差，记为D(X)Var(X)或。

2212(())(),()()()(())(),i i i x E X p x D X Var X E X EX x E X p x dx +∞

=+∞

-∞

?-?

==-=??-?∑?在离散场合；在连续场合。

X 的标准差，记为()X σ或X σ。 注：在实际计算中，通常使用如下公式

[]

{

}[]

{

}

[][]2

2

22

22

2()()2()()()2()()()()().

D X

E X E X E X XE X E X E X E X E X E X E X E X =-=-+=-?+=-

3）例子

例22 已知随机变量X 的分布列如下，求D (X )。

-2-1012

X .1/16

2/16

3/16

2/16

8/16??

???

: 解 数学期望E (X )=7/8，

222222123285()(2)(1)01216161616162

E X =-?

+-?+?+?+?=，

2225716049111

()()()()286464

D X

E X EX -=-=

-==

。 例23 设随机变量110

~()101

x x X p x x x +-≤≤?=?-<≤?，求D (X )。

解 0

1

1

()(1)(1)0E X x x dx x x dx -=

++-=?

?，

1

2

2

21

1()(1)(1)6

E X x x dx x x dx -=++-=

??， 221()()()6

D X

E X EX =-=

。 2.方差的基本性质

性质1 ()0D c =,其中c 为常数;

性质2 2

()(),,D aX b a D X a b +=是常数。

性质3（方差最小性）X 为随机变量，方差存在，则对任意不等于EX 的常数C,都有

22()()().D X E X EX E X C =-<-

证明 由数学期望的性质，有

22

2222

22()[()()][()2()()()]()()2()()()(),

E X C E X EX EX C E X EX EX C X EX EX C E X EX E EX C EX C E X EX DX E EX C DX EX C -=-+-=-+--+-=-+-+--=+-=+-

由于C EX ≠，所以2()0,EX C ->故2

().DX E X C <- 五、随机变量的矩和切比雪夫不等式

1．原点矩与中心矩

1）若()k

E X 存在，则称()k k A E X =为随机变量X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩(k =1,2,…)，

而||k

E X 称为X 的k 阶绝对原点矩；

2）若k

E{[X-E(X)]}存在，则称k k B =E{[X-E(X)]}为随机变量X 的k 阶中心矩

(k =1,2,…)，而k

E{|X-E(X)|}称为X 的k 阶绝对中心矩。 注：一阶原点矩就是数学期望；X 的二阶中心矩就是X 的方差。 例24(

)()2

~0n

X N E X σ设随机变量，，试求．

解

：令X

Y σ

=

=

，()~01Y N 则，．所以，

()()(

)2

2

y n n n n n n

n

Y E X E Y y p y dy y e

dy σσ+∞+∞

-

-∞

-∞

===

??。

()0n n E X =(1)当为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以．

(2)n 当为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以

2

2

y n n n

EX y e

dy +∞

-

=

?

1

1

1

2

2

2

2,,222

y t y dy dt t dt ---====令：则

11220

2

n n n n

t

EX t

e dt -+∞--=

?

2

1

1

12

2

2

1212

2()()22n n n n

n n

n t t x

n n t

e dt t x e dx ++∞∞

----++??===Γ= ?????,其中 ()()1r r r Γ-Γ+=Γ利用函数的性质：，得

(

)

()2222

2112133222222131121!!2222n

n

n

n

n n n

n

n

n n n n n n E X n n n σ-----????=Γ=?Γ ? ?

????

--??=???Γ==- ???L

2.矩不等式

定理1（马尔可夫不等式）设X 的k 阶矩存在，即||,k

E X <+∞则对任意的0ε>，有

||(||).k

k

E X P X εε

≥≤

证明：仅对连续型随机变量的情形证之。

设X 是连续型随机变量，其密度函数为p(x),则

{||}

{||}

||1

1

(||)()()||()||.k

k

k k

k

k

X X X P X p x dx p x dx x p x dx E X εεεε

ε

ε

+∞

≥≥-∞

≥=≤≤

=

?

?

?

定理2（切比雪夫不等式） 设随机变量X 的数学期望和方差都存在，则对任意的常数0ε>，有

2

()

(|()|)Var X P X E X εε-≥≤，

或

2

()

(|()|)1Var X P X E X εε-<≥-

。

证明 令Y X EX =-，利用马尔可夫不等式即得。

推论 若随机变量X 的方差存在，则()0Var X =的充要条件是X 几乎处处为某个常数，即

()1P X a ==。

证明 充分性： ()1P X a ==，也就是???

?

??1~a X ，从而

2221,1,EX a a EX a a =?==?=故 22()0.DX EX EX =-=

必要性：

11

11

()(||0)({||})(||),n n P X EX P X EX P X EX P X EX n n ∞

∞

==≠=->=-≥≤-≥∑U

由切比雪夫不等式，有

2

1(||)0,1DX

P X EX n n -≥≤=??

???

故()0,P X EX ≠=从而() 1.P X EX ==

§2.3 常用概率分布

本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布正态分布、均匀分布、指数分布、Γ-分布、2

χ-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 一、离散型随机变量 1. 退化分布

若随机变量X 以概率1取某个常数a ，即????

??1~a X ，则称X 服从a 处的退化分布。

2．0－1分布．

若随机变量X 的分布列为： P (X=k )=1(1)

k

k

p p --， k=0，1，(0

则称X 服从以p 为参数的0-1分布(或两点分布) ，记为X~B (1,p )。

若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为12{,}ωωΩ=,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量

1210X ωω?=?

?当发生时，

当发生时。

即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p 的值不同而已。 易知,(1)EX p DX p p ==-。 3．超几何分布

若随机变量X 的概率分布为

{}k n k M N M

n

N

C C P X k C --==(k=0, 1, …, min(n , M )).

则称X 服从参数为M,N,n 的超几何分布。

记作 X ～H (n,M,N ). 由(1)(1)

(1)M

N M

N x x x -++=+知

00

() 1.k n k n

n

n

M N M

N n n

k k N N C C C P X k C C --======∑∑ 设有N 个产品，其中M 个不合格品。若从中不放回地随机抽取n 个，则其中含有的不合格

品数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X 服从参数为M 、N 和n 的超几何分布。

2()()

,.(1)

nM nM N M N n EX DX N N N --=

=- 4．二项分布

i ）定义

若随机变量X 的分布列为

(),0,1,...,,k k n k

n P X k C p q k n -===

其中p+q =1，则称X 服从以n ，p 为参数的二项分布，记为~(,)X B n p 。 可以证明：

()0,1,2,,()() 1.

--====≥====+=∑∑0

0,L k k n k

n n n

k

k n k

n

n

k k P X k C p q k n,

P X k C

p q

p q

-k k n k n C p q 正好是二项式()n p q +展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n =1时

1()k k P X k p q -== (k =0,1)即为0-1分布。

ii ）二项分布的概率背景

进行n 重Bernoulli 试验，设在每次试验中()()

1,P A p P A p q ==-=，令X ：在这n 次试验中事件A 发生的次数．则()~.X B n p ， iii ）二项分布的分布形态

若()~X B n p ，，则

{}{}

()()1111P X k n p k

q p P X k kq

=+-=+

=-=-

由此可知，二项分布的分布{}P X k =先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得{}P X k =达到最大值的0k 称为该二项分布的最可能次数。可以证明：

()()01k n p +=+????如果不是整数则；

n 1p ， ()()()+=++-如果是整数则或0n 1p ，k n 1p n 1p 1.

iv) 二项分布是超几何分布的极限分布

设随机变量X 服从超几何分布H(n,M,N),则当N →∞时，X 近似的服从二项分布B(n,p),即下面的近似等式成立:

.k n k k k n k M N M

n n

N

C C C p q C ---≈（*） 其中,1.M N M p q p N N

-=

=-= (1)()[()1]

!()!(1)(1)!

(1)()[()1](1)(1)

k n k

M N M n N

k n M M k N M N M n k C C k n k N N N n C n M M k N M N M n k C N N N n ---+----+?-=

--+-+?----+=?

--+L L L L L L 证明：

11()()11(1)(1)

11

()(),

11(1)(1)

k n k n M M k N M N M n k N N N N N N C n N N

k n k p p q q N N C n N N

------?-=?

-------?-=?---L L L L L L

其中,1.M N M p q p N N

-==-=当N →∞时，得 lim .k n k

k k n k M N M n n N N

C C C p q C ---→∞= 所以，当N 充分大时，近似等式（*）成立。 v)例子

例25 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击

最可能命中几次？其相应的概率是多少？

解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：X 表示300次射击命中目标的次数。则由题意()~3000.44X B ，．由于

()+?=30010.44132.44，

它不是整数因此，最可能射击的命中次数为 .==0k [132.44]132其相应的概率为

{}1321321683001320.440.560.04636.P X C ==??=

例26 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。

解 设X=k 表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X 可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k 次发生，k 个顾问贡献出正确意见）,X~B (7,0.6)。 因此X 的分布列为

77()0.60.4,0,1,2,...,7k k k P X k C k -===，所求概率为

7

774

(4)(4)(5)(6)(7)(0.6)(0.4)0.7102.

k k k k P X P X P X P x P X C -=≥==+=+=+===∑VI)二项分布的数学期望与方差

11

1

!

()()!()!

!!

(1)!()!(1)![(1)(1)]!n n

n

k k

n k

k n k

n

k k k n

n

k n k k n k

k k n E X k p X k k C p q

k p q k n k n n k p q n p k p q k n k k n k --===---===?==?=?

?-=?

?=???------∑∑∑∑∑

1

1

1

1

(1)(1)

1111

11

()n

n t k k k n k k t n t

n n n k t np C

p

q

n p C p q

n p p q np -=------------===??==?=??+=∑∑ [][]222

2222()()()(1)()(1)()()(1)()D X E X EX E X X X EX E X X E X EX n n p np np np np npq

=-=-+-=-+-=-+-=-= 其中

[][][]0

2

2(2)(2)22

2

202

2

22

22!

(1)(1)(1)

!()!

(2)!

(1)(2)!(2)(2)!(2)!

(1)!(2)!

(1)(1)()n

n

k k

n k

k n k

n

k k n

k n k k n t n t t n t

t n t

n t n n E X X k k C p q

k k p q k n k n n n p p q k n k n n n p p q t n t n n p

C

p q n n p p q --==----=---=----=--=?-=---=-?-----=-?--=-?=-+∑∑∑∑∑2

(1)n n p =-

5．泊松分布

1）定义 如果随机变量X 的分布列为 (),0,1,...!

k

P X k e k k λλ-==

=，

其中参数0λ>，则称这个分布为泊松分布，记为~()X P λ。 易知：

()0,0,1,2,;!

k

P X k e k k λλ-==

≥=L

() 1.!!k

k

k k k P X k e

e

e e k k λ

λ

λλλλ∞

∞

∞

---

=======?=∑∑∑

2）泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1平方米上的砂眼数等。

3）二项分布的极限分布

泊松(Poisson)定理 设λ>0，n 是正整数，若lim 0,n n np λ→∞

=>，则有

lim (1)

,0,1,2,.!

k

k k n k

n

n

n n C p p e k k λλ--→+∞

-=

=L

即当随机变量X ~B (n , p )，(n ＝0,1,2,…)， n 很大，p 很小且np 适中(0.110np ≤≤时较好)时，记λ=np ，则

()(1)

,0,1,2,...,!

k

k

k n k

n

P X k C p p e k n k λλ--==-≈

=

对称的，若n 很大而q=1-p 很小且nq 适中时，有

()

()(),0,1,2,...,()!

n k k k n k

n k n k

n n k nq n

n

nq P X k C p q

C

q

p

e k n n k -------===≈=- 例27 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概

随机变量的数字特征试题答案

随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26

7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10

2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy

随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<=--其他,05,)()5(y e y y ?，则 _______________)(=XY E 。 二、选择题

四、随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量及其分布知识点汇总

随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 （一）、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样

知识点二 条件概率与事件的独立性 （一）、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功

随机变量及其分布函数

随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ，

00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：

随机变量的数字特征试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D

第四章 随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）

A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-

随机变量及其分布考点总结

第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

第三章 随机变量的数字特征答案

第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?

设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX

随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

“随机变量及其分布”简介

“随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2．2 二项分布及其应用约4课时

2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2．4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）

随机变量及其分布知识点总结

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.

随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

随机变量的数字特征归纳

第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a0，- <μ<+ ) 则令得 ∴ E(ξ)=μ . 3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则. (2) 随机变量的函数的数学期望设)(x g y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量) (X g Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数) , (Y X g Z=，有类似的公式： (){} ? ? ? ? ?= = = ? ∑ ∞ ∞ ． ； （连续型） 离散型 － d) ( ) ( ) ( ) ( x x f x g x X x g X g Y k k k P E E

随机变量分布及数字特征

第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天