第八讲几何中的计数问题（二）
我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.
一、数长方形
例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？
分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：
4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.
解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.
小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：
（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）
例2 如右图数一数图中长方形的个数.
解：AB边上分成的线段有：
5+4+3+2+1=15.
BC边上分成的线段有：
3+2+1=6.
所以共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.
二、数正方形
例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）
分析图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：
2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：
1×1=1（个）.
所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.
图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.
所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.
图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：
4×4=16（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；
边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；
所以，正方形的总数为：
1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.
图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：
5×5=25（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；
边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；
边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.
所有正方形个数为：
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.
小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例 4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.
分析为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：
6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：
5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：
4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：
3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：
2×1=2（个）.
所以，正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（个）.
小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1显然例4是结论的特殊情况.
例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.
分析这个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：14+6=20（个）.
我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，
可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.
例6 如右图，数一数图中三角形的个数.
分析这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
W①上=1+2+3+4=10（个）.
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：
W①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：
W②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.
Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：
W③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.
Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：
W④上=1（个）.
所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.
Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：
W①下=1+2+3+4=10
W②上=1+2+3=6
W③上=1+2=3
W④上=1
所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：
W①下=1+2+3=6
W②下=1
W③下=0
W④下=0
则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）
所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：
20+7=27（个）.
小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.
例7 页图数一数图中有多少个三角形.
解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：
Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：
（1）W①上=8+7+6+5+4=30
（2）W②上=7+6+5+4=22
（3）W③上=6+5+4=15
（4）W④上=5+4=9
（5）W⑤上=4
∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：
（1）W①下=3+4+5+6+7=25
（2）W②下=2+3+4+5=14
（3）W③下=1+2+3=6
（4）W④下=1
尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46（个）.
∴所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有
80+46=126（个）.
四、数综合图形
前面我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，
能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了.
例7 页图，数一数图中一共有多少个三角形.
分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？
解：根据图中三角形的形状和大小分为六类：
Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；
Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；
Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；
Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；
Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；
Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个.
所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5=35（个）.
例8 图，数一数图中一共有多少个三角形？
分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：
第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.
第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.
解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：
①由一个三角形构成的有8个.
②由两个三角形构成的三角形有5个.
③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.
这样在一个小矩形内有17个三角形.
Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.
Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.
所以整个图形共有三角形个数是：
（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）.
第十二讲几何计数 漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。 分割田地大概有 3 条横线、 4 条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况， 比如不能有拖拉机，不能有牛耕。 后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的 个数.可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的.真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了. 三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧. 例题1下列图形中各有多少个三角形? 「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无 目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举, 并注意寻找规律?那么，本题应该按照怎 样的顺序去枚举呢? 下图中有多少个三角形? 例题2 ?右图中共有多少个三角形?
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法. 应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现 其中的规律吗？ 练习2:.请数出这个图形中有多少个三角形. 下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解 决问题的规律和方法? 例题3.下列图形中，分别有多少个正方形? 「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏. 围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？ 例题4.在右图中(下列各小题中，长方形均包括正方形) (1 )一共有多少个长方形？ (2)包含“★”的长方形共多少个？ (3)包含“☆”的长方形共多少个？ (4)两个五角星都包含的长方形共多少个？ (5)至少包含一个五角星的长方形共多少个？ (6)两个五角星都不包含的长方形共多少个？
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多
第一讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2 5×（5-1）÷2=10 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段： （4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条） ②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的 三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 图中共有多少个三角形？ 例（3）数一数图中长方形的个数 分析：长边线段有：6×5÷2=15 宽边线段有： 4×3÷2=6 共有长方形：15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。
小学四年级奥数几何知识经典例题详解：面积的计算 这篇关于《小学四年级奥数几何知识经典例题详解：面积的计算》，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！ 1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米？ 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米） 练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？ 练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？ 2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）
练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？ 练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。 3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大。 【思路导航】根据题意，因为一面利用墙，所以两条长加上一条宽等于16米，而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6（米）。因此，占地面积是6×4=24（平方米）（16-4）÷2×4=24（平方米）练习（1）下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？ 练习（2）用56米长的木栏围成一个长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积？ 4、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如下图），面积比原来的正方形减少181平方分米，原正方形的边长是多少？ 【思路导航】把阴影的部分剪下来，并把剪下的两个小正方形拼合起来（如下图），再补上长，长和宽分别是8分米、5分米的小长
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， 那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。 练习1、1 四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？ 练习1、2五（1）班有40名学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？ 练习2、1某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 练习2、2一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？ 练习3、1在1-200的全部自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ 练习3、2在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的数有多少个？ 练习4、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？
1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？ 2、有40名运动员，其中25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有多少人？ 4、30名学生中，8人学法语，12人学西班牙语，3人既学法语又学西班牙语，问有多少名学生两种语言都不学？ 5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 6、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 7、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？ 思考题： 有30名运动员，其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？
2014年四年级数学思维训练：几何图形剪拼 1 ?如图，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出 尽量多的方法.（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相 2.观察图，ABCDEF 是正六边形，O 是它的中心，画出线段 PQ 后，就把正六边形 ABCDEF 分成了两个形状、大小都相同的五边形.能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、 大小都相同的图形？能否画出几条线段， 把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边 3 .如图，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞.现在要求用一条经过大正方形中 心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？ 4 .请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形. 6 .如图，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星? 请在图中表示出来 . 5.请把图沿格线分成形状、 大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“O”.
7 .图1是由五个相同大小的小正方形拼成的，图 2是一个正方形和一个等腰直角三角 形拼成的?请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形. 8?如图，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形. (1) 如果要求两种小正方形一共有 6个，应该怎么分？ (2) 如果要求两种小正方形一共有 7个，应该怎么分？ 9 ?如图，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要 求如下： (1) 如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ (2) 如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ 11?请在图中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分, 个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的) 12 ?把图沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法 . 10 .如图是由若干个小正方形组成的图形, 你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗? (如果两 團 1
小学常见奥数专题28个 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭
曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
四年级奥数第一讲---数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。 如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 （２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、
四年级奥数几何知识------面积的计算 1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米？ 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。 （90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米） 练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？ 练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？ 2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。（36÷3）×（54÷9）=108（平方米） 练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？ 练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？ 练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。 3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大。 【思路导航】根据题意，因为一面利用墙，所以两条长加上一条宽等于16米，而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6（米）。因此，占地面积是6×4=24（平方米） （16-4）÷2×4=24（平方米） 练习（1）下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？
小学四年奥数大全 小学四年级奥数题及答案：速算与巧算 1、9＋99＋999＋9999＋99999= 2、199999＋19999＋1999＋199＋19= 3、（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988) 4、389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 5、（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
1、对任意一个自然数进行变换：如果这个数是奇数，则加上99；如果这个数是偶数，则除以2。现在对300连续作这种变换，能否经过若干次变换出现100？为什么？ 2、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。那么每支钢笔的进货价是多少元？
1、黑板上有5和7两个数。现在规定操作：将黑板上的任意两个数相加的和写在黑板上。问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？为什么？ 2、河堤上有一排树共100棵，从左往右数第78棵起往右都是一班种的，从右往左数第67棵起往左都是三班种的，其余都是二班种的，那么二班种了多少棵？
果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵．求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？
1、在□中填入适当的数字，使乘法竖式成立。 2、在□中填入适当的数字，使除法竖式成立。
1、天天带了一些苹果和梨到敬老院慰问。每次从篮里取出2个梨和4个苹果送给老人，最后当梨正好分完时，还剩下27个苹果。这时他才想起原来苹果是梨的3倍多3个。原有苹果、梨各多少个？ 2、40名同学在做3道数学题时，有25人做对第一题，有28人做对第二题，有31人做对第三题。那么至少有多少人做对了三道题？
第9单元总复习 第3课时图形与几何 【教学内容】：教材第110页第3题，“练习二十一”第9～11题。【教学目标】： 1.进一步理解角的含义、种类以及它们之间的关系，会正确地测量角的度数，会画已知度数的角。 2.进一步理解平行与垂直的含义，会画垂线。 3.进一步认识平行四边形和梯形，掌握长方形、正方形、平行四边形和梯形之间的联系和区别。 【重点难点】： 重点：掌握关于图形的知识。 难点：学生空间观念的培养。 【教学过程】： 一、复习整理 1.在本册教材中，我们学习了哪些关于空间与图形的知识？ （1）组织学生翻阅教材中第3、5单元的内容，在小组中相互交流（2）以小组为单位，共同将所学过的知识进行归纳、整理。 （3）各小组汇报各自整理的知识要点。 用投影仪展示各小组整理的结果，并选派代表汇报。 （4）评议各小组的汇报情况。 2.教师引导学生归纳整理。
（1）直线、射线、线段。 直线AB射线AB线段AB （2）角。 记作：∠1 （3）垂直与平行。 垂直平行 （4）平行四边形和梯形。 平行四边形梯形等腰梯形直角梯形 二、练习指导 1.把下面各角的度数分别填在适当的圈里。 15° 38° 91° 89° 178° 63° 115° 138° 19° 179° 128° 75°
锐角钝角 2.已知∠1=75，求∠2、∠3和∠4的度数。 3.用一副三角尺画出下面度数的角。你会画吗？ 15° 75° 105° 150° 4.教材第110页第3题。 小组中议一议，在适当的空格内填上“√”，再说一说几种图形之间的联系和区别。指名汇报，集体订正，教师进行归纳总结。 三、实践应用 1.教材“练习二十一”第9题。 180°角的两边有什么特点？ 360°角怎样画呢？ 让学生独立完成画角练习，再交换用量角器测量角的大小，检查所画角是否正确。 2.教材“练习二十一”第10题。 让学生在小组中合作完成，并相互交流方法。 3.教材“练习二十一”第11题。 先说一说四种图形各自的特点，再填一填。 四、课堂小结 学习图形与几何，要善于观察、动手操作。
奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题 模块一：计算模块 1、速算与巧算 2、分数小数四则混合运算及繁分数运算 3、循环小数化分数与混合运算 4、等差及等比数列 5、计算公式综合 6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳 7、比较与估算 8、定义新运算 9、解方程 模块二：数论模块 1、质数与合数 2、因数与倍数 3、数的整除特征及整除性质 4、位值原理 5、余数的性质 6、同余问题 7、中国剩余定理（逐级满足法） 8、完全平方数 9、奇偶分析 10、不定方程 11、进制问题 12、最值问题 模块三：几何模块 （一）直线型 1、长度与角度 2、格点与割补 3、三角形等积变换与一半模型 4、勾股定理与弦图 5、五大模型 （二）曲线型 1、圆与扇形的周长与面积 2、图形旋转扫过的面积问题 （三）立体几何 1、立体图形的面积与体积 2、平面图形旋转成的立体图形问题 3、平面展开图 4、液体浸物问题 模块四：行程模块 1、简单相遇与追及问题 2、环形跑道问题 3、流水行船问题
4、火车过桥问题 5、电梯问题 6、发车间隔问题 7、接送问题 8、时钟问题 9、多人相遇与追及问题 10、多次相遇追及问题 11、方程与比例法解行程问题 模块五：应用题模块 1、列方程解应用题 2、分数、百分数应用题 3、比例应用题 4、工程问题 5、浓度问题 6、经济问题 7、牛吃草问题 模块六：计数模块 1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法 2、分类枚举之整体法、对应法、排除法 3、加乘原理 4、排列组合 5、容斥原理 6、抽屉原理 7、归纳与递推 8、几何计数 9、数论计数 模块七：杂题 1、从简单情况入手 2、对应与转化思想 3、从反面与从特殊情况入手思想 4、染色与覆盖 5、游戏与对策 6、体育比赛问题 7、逻辑推理问题 8、数字谜 9、数独
四年级奥数专题页码问题 知识导航 页码问题常见的主要有三种题型： 一、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页； 二、已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次； 三、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页。 为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数字个数。组成所有不大 于n位的数需要的数字个数之间的关系列表如下: 不大于该数位所需数字个数 个数所需数字个数 一位数9 9 9 二位数90 180 189 三位数900 2700 2889 四位数9000 36000 38889 五位数90000 450000 488889 精典例题 例1：一本书共204页，需多少个数字编页码？ 思路点拨 1--9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9（个）；10--99页每页上的页码是两位数，共需数字：2×90=180（个）；100--204页每页上的页码是三位数，共需数字（204-100+1）×3=315（个）。 模仿练习 一本《快乐数学》共250页，则需要多少个数字编页码？
例2：印刷厂编印一本辞典的页码，共用了2211个数字。问：这本书共有多少页？ 思路点拨 因为189<2211<2889，所以这本书有几百页。由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数字（2211-189）个，所以三位数的页数有（2211-189）÷3=674（页）；因为不到三位数的页数有99页，所以这本书共有…… 模仿练习 用了2925个数字编排出一本小说的页码，这本书共有多少页？ 例3：一本书共有400页，编上页码：1，2，3，4，…，399，400，数字2在这本书的页码中一共出现了多少次？ 思路点拨 分类处理，个位上每十个数字出现一次2，即共有400÷10=40次；十位上每十个数字出现一次2，即共有400÷10=40次；百位上出现了100次。 模仿练习 一本书有500页，数字0在页码中共出现了多少次？ 例4：有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。孙老师说小明计算错了，你知道为什么吗？ 思路点拨 48页书的所有页码数之和为：1+2+ …+48=1176；按照小明的计算，中间缺的这一张上的页码之和为1176-1131=45……
2015年小学奥数计数专题——几何计数 1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？ 5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?
7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形? 9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形? 12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?
13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16．数一数下列图形中各有多少条线段. 17．数出下图中总共有多少个角. 18．数一数下图中总共有多少个角？ 19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？
几何图形剪拼 例题 1. 将下面两个图形分别分成四块相同的图形： 2. 将右面图形分成四块相同的图形，要求每一块都包含A 、B 、C 、D ； 3. 在俄罗斯方块的游戏中出现的七种图形如下，它们都是由4个单位小方格组成的连通图形。 1）如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形，那么可以用的图形有哪几种； 2 ）如果用其中的4 种不同的图形拼成一个面积是 16的正方形，那么可以选择哪几种图形； 4. 如图所示，有一个的正方形，现在要把它分割8个小正方形， 1）要形成2种面积不同的小正方形，如何分割； 2）要形成3种面积不同的小正方形，如何分割； 5. 用四块直角三角板（形状如图）拼成一个外沿是正方形，里面有一个正方形孔的图形； 6. 右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形，现在要把它剪成4块 形状大小均相同的图形，应该如何剪？ 7. 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，把它剪成两块再拼成一个正方形； 8. 将右图分成两块，然后拼成一个5 6的长方形。请在原图上标明分割线，并画 出长方形的拼合图； 9. 右图的纸片是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成，请把它分成三部分， 并可以重新拼成一个正方形； D C A A B B C D A D C A B C D B （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （1）
几何图形剪拼课后练习 1.将一个任意形状的三角形分成四块相同的图形； 2.把一张长方形纸片剪一刀（不能折叠），分成两部分，使这两部分既能拼成 平行四边形，又能拼成三角形，还能拼成梯形，在下面的图中画一直线表示 剪切，并画出拼法； 3.把一个长24厘米，宽15厘米的长方形剪成形状大小 相同的两块图形，重新拼成一个长20厘米，宽18厘 米的长方形； 4.梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60 ，将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块； 5.将右图分割成相同的两块，然后拼成一个正方形； 6.将一个正方形按要求分成四块图形，并重新形成两个正方形； 1）四块图形相同，两个新正方形面积相同 2）四块图形可以不同，两个新正方形，一个是另一个面积的8倍；
容斥问题（一） 容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分 类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。 例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的 有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数有多少（2）两种报纸都没订阅的有多少人 例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人 例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个 例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅 练习与思考 1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部 分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米 2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人 3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名 4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人 5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加 6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验 7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人 8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生 9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个 10．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件
几何计数 知识结构 一、公式计算法 几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。 图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。 （1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是 （n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1 （2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是 （1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m） （3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是 n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12 上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。 二、对应法 将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式． 重难点 （1）分类数图形。 （2）对应法数图形。 例题精讲 Page 1 of 9
一、分类数图形 【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共 用了多少根小棍？ 【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 【例 2】图中有______个正方形． 【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。 Page 2 of 9
数学思维训练：几何图形剪拼 1．如图，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 2．观察图，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF 分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？ 3．如图，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？ 4．请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形． 5．请把图沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”． 6．如图，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来．
7．图1是由五个相同大小的小正方形拼成的，图2是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的．请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形． 8．如图，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形． （1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？ （2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？ 9．如图，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下： （1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ （2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？ 10．如图是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？ 11．请在图中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 12．把图沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法． 13．将图分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法．
几何计数 知识框架图几何计 数8计数综合7-7 教学目标 .掌握计数常用方法；1熟记一些计数公式及其推导方法；2. .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．3本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并 渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些条直线最多将平面分成处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n12个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2)(nn?n??????223……2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形 也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层， 共用了多少根小棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4
平均数问题 把几个数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。 两种基本方法： 1、直接求法：利用公式“总数量÷总份数=平均数”求出平均数，这是由“均分”思想产生的方法。 2、基数求法：利用公式“基数＋各数与基数的差的总和÷总份数=平均数”求出平均数，这是由“补差”思想产生的方法。 1、工路队前4天平均每天筑路80米，增加工人后，第5天筑路100米，求工程队这5天平均每天筑路多少米？ 分析：（1）先求出5天筑路的总长度80×4＋100=420（米），再求出工程队这5天平均每天筑路的平均数。（2）从“补差”的角度考虑。由于前4天筑路的平均数小于第5天的筑路米数，所以把前4天的平均数80米看做是基数，然后把第5天多筑的（100－80）米平均分成“5份”，用4份补进到前4天的平均数中去，留1份在第5天，从而求出这5天平均每天筑路的平均数。 解法一（米） 解法二（米） 答：工程队这5天平均每天筑路84米。 2、笑笑上学期期末考试成绩：语文80分，音乐88分，体育84分，美术78分，数学成绩比五科平均成绩高6分，笑笑数学得了多少分？(补差法) 分析：本题关键是求出五科平均分，依题意，我们可以先求出语文、音乐、体育、美术这四科的平均分是 82.5 （分），根据条件“数学成绩比五科平均成绩高6分”知，前四科的平均分低于五科平均分，要把前四科的平均分提高到五科的平均分，从“补差”的角度思考，需要把数学成绩比五科平均成绩高的6分补到前四科的每科平均分中去，平均每科补1.5（分），所以，五科平均分是 84 （分），那么数学成绩就是 90（分）。 解：（1）语文、音乐、体育、美术四科平均分： 82.5 （2）五科平均分： 84 （3）数学成绩： 90 答：笑笑数学得了90分。 3、淘气在期末考试中语文、外语和自然的平均分是81分，数学成绩公布后，四门成绩的平均分提高了2分。淘气数学考多少分？