《解析几何》教学大纲
课程名称：解析几何
课程编号：0640901
课程类别：学科基础课程
适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）
总学时数： 54
学分： 3
一、课程性质和教学目标
1．课程性质：解析几何是数学与应用数学专业必修基础课程，解析几何、高等代数、数学分析是大学数学类专业的“前三高”基础课。本课程与高等几何(II)一起，构成高等几何课程。本课程以空间解析几何为其主体内容。在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。
2．教学目标：在内容和方法上深化中学平面解析几何的知识，通过向量来建立坐标系，用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。通过学习，要求学生能够以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程，能够利用代数的方法判定平面与平面，空间直线与空间直线及空间直线与平面的位置关系。能够利用平面直线及平面曲线建立柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面的方程。
二、教学要求和教学内容
第一章向量与坐标（12学时）
【教学要求】
1．掌握向量的概念及向量的加法，减法，数量乘向量；
2．了解向量的线性关系与分解及向量在轴上的射影；
3．熟练掌握两个向量的数量积、向量积及三向量的混合积；
4．熟练掌握有关向量的运算公式与方法；
5．掌握用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系，以向量及坐标系为工具建立几何对象的方程。
【教学内容】
讲授内容
第一节向量的概念
第二节向量的加法
第三节数量乘向量
第四节向量的线性关系与分解。
第五节标架与坐标
第六节向量在轴上的射影
第七节两向量的数量积
第八节两向量的向量积
第九节三向量的混合积
第二章轨迹与方程（4学时）
【教学要求】
1．了解以向量及坐标系为工具建立平面与空间曲线方程；
2．熟练掌握母线平行于坐标轴的柱面方程。
【教学内容】
●讲授内容
第一节平面曲线与方程
第二节曲线与方程
第三节母线平行于坐标轴的柱面方程
第四节空间曲线方程
第三章平面与空间直线（12学时）
【教学要求】
1．掌握平面的各种方程形式；
2．熟练掌握利用代数的方法判定平面与点、平面与平面、空间两直线、空间直线与平面及空间直线与点的位置关系；
3．掌握利用平面束解决相关问题；
【教学内容】
●讲授内容
第一节平面方程
第二节平面与点的相关位置
第三节两平面的相关位置
第四节空间直线方程
第五节直线与平面的相关位置
第六节空间两直线的相关位置
第七节空间直线与点的相关位置
第八节平面束
第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面方程（12学时）
【教学要求】
1．掌握柱面，锥面，旋转曲面的定义及方程形式；
2．掌握有关二次曲面的方程与图形；
【教学内容】
●讲授内容
第一节柱面
第二节锥面
第三节旋转曲面
第四节椭球面
第五节双曲面
第六节抛物面
第七节单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第五章二次曲线的一般理论（14学时）
【教学要求】
1．理解二次曲线与直线的相关位置，掌握二次曲线的切线；
2．熟练掌握二次曲线的中心、渐进线、直径与共轭直径、主直径与主方向；
3．熟练掌握二次曲线的方程化简与分类，会应用不变量化简方程。
【教学内容】
●讲授内容
第一节二次曲线与直线的相关位置
第二节二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
第三节二次曲线的切线
第四节二次曲线的直径
第五节二次曲线的主直径和主方向
第六节二次曲线的方程化简与分类
第七节应用不变量化简二次曲线的方程
三、先修课程
1．先修课程：无
2．后继课程：高等代数、高等几何
四、教学方法与成绩考核
教学方法是以教师讲授为主，注重知识点之间的比较，运用类比方法，适当补充一些
例题，适当配合一些习题课, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。
成绩考核是综合平时作业及上课表现的成绩（10%），期中考试（20%）和期末考试（闭卷）成绩（70%）为学生的总成绩。
五、推荐教材与主要参考资料
1．推荐教材
《解析几何》吕林根，许子道编高等教育出版社2006年第四版。
2．参考资料
[1] 《解析几何》周友成编高等教育出版社 1992年。
[2] 《解析几何》朱鼎勋编上海科技出版社1989年第一版。
[3] 《空间解析几何引论》吴大任编高等教育出版社1989年第二版。
[4] 《解析几何题解分析》丰宁欣等编江苏科技出版社1990年第二版。
[5] 《空间解析几何习题试析》陈绍菱，傅若男编北京师大出版社1984年第二版。
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第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
4.1 已知铜氨络合物各级不稳定常数为 K 不稳1=7.8×10-3 K 不稳2=1.4×10-3 K 不稳3=3.3×10-4 K 不稳4=7.4×10-5 （1）计算各级稳定常数K 1~K 4和各级累积常数β1~β4； （2）若铜氨络合物水溶液中Cu(NH 3)2+4的浓度为Cu(NH 3)2+ 3的10倍，问溶液中[NH 3]是多少？ （3）若铜氨络合物溶液中c (NH 3)=1.0×10-2mol 〃L -1，c (Cu 2+)=1.0×10-4 mol 〃L -1（忽略Cu 2+ ，NH 3的副反应）， 计算Cu 2+ 与各级铜氨络合物的浓度。此时溶液中Cu(Ⅱ)的主要存在型体是什么？ 答案： （1）K 不1 K 不2 K 不3 K 不4 7.8×10-3 1.4×10-3 3.3×10-3 7.4×10-5 14 1 K K = 不 23 1 K K = 不 32 1 K K = 不 41 1K K = 不 1.4×104 3.0×103 7.1×102 1.3×102 11K β= 212K K β= 3213K K K β= 43214K K K K β= 1.4×104 4.2×107 3.0×1010 3.9×1012 （2） ()[]()[] []10NH NH Cu NH Cu 3 4 23 3243==++ K []12 4 3 L mol 10 7.710NH --??==K （3） ()()14123L mol 100.1Cu L mol 100.1NH ----??=??=c c ()() []4 4 333 322 31302][NH ]NH [NH ]NH [1Cu Cu ]Cu [βββ βc x c ++++= ?=+ 12810674424 109.3100.1100.3100.1102.4100.1104.1100.11100.1???+???+???+???+?= -----194 4L mol 104.110 3.7100.1---??=??= ()[]()[]174 4 13 1 23 L mol 109.110 0.110 3.7 NH Cu NH Cu ---+ ??=???=?=βx c ()[]()[]1644 22 32 223L mol 108.5100.1103.7NH Cu NH Cu ---+??=???=?=βx c ()[]()[]1544 33 33 23 3L mol 101.4100.1103.7NH Cu NH Cu ---+??=???=?=βx c ()[]()[]1544 44 34 24 3L mol 103.5100.1103.7NH Cu NH Cu ---+ ??=???=?=βx c
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
2011北京大学高等代数与解析几何考研题 1.判断是非,并陈述理由(40分,每题各4分) (1)A 是一个秩为5的矩阵,A 的3、4行线性无关,1、3列也线性无关,那么A 的行列式的一个2阶子式A(3,4;1,3)不等于0 (2)Ax=0的解唯一,则Ax=b 的解也唯一 (3) (4)非零线性变换A,在某组基上的矩阵的对角线上元素均不为0,则A 必有非0特征根 (5)线性变换σ及其共轭转置*σ,证明ker *σσ=ker σ (6) (7)13阶线性空间必有10阶不变子空间. (8)对任意的n,存在多项式p(x)在有理数域上不可约. (9)对角线上元素均不相等的上三角矩阵必可对角化 (10)A 是域F 上的矩阵,且A 可逆,则必存在F 中的数011,,,n a a a -,使得1210121 n n A a I a A a A a A ---=++++ 2.给出4阶矩阵A = 110 0010200120 001?? ? ? ? ?-?? (1)求矩阵的最小多项式. (2)求15A (3)求A 的Jordan 标准型 (4)定义 []1,n i i i i Q A a A a Q =??=∈???? ∑，求这个线性空间的维数。 3.二次型()222 123123122331,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++ (1)求()123,,T f x x x X AX =的矩阵A,特征值,特征向量 (2)A=CDC'要求求C 为正交矩阵D 为对角矩阵，求C 、D 。 (3)在单位球2221231x x x ++=上求二次型()123,,f x x x 的最大最小值 4.同构空间的维数: 设域F 上线性空间W,U,V.他们分别是r,s,t 维的. σ为W 到U 上的线性映射,f 属于Hom(W,U) 证明(1)dimHom(W,U)=rs (2)设* σ为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射.则存在单射σ,使 ()()*f w fw σσ=, 其中w W ∈
考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）
考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。 1． 在直角坐标系中，求直线???=++=-+1 20 2:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。 其中B 是常数 解： 可以验证点1212,0, ,,0,5555l π????∈? ? ????? ，从而l π? 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+?? =-??=? ，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为 点' :P (,,)x y z '1331031 x k z k PP x z π+--⊥? =?-+= 30P x By z π∈?++= 整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程310 30 x z x By z -+=??++=? 由于 11 31 ≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线 从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是310 30 x z x By z -+=??++=? 2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：022 2 =+++λλxy y x . 对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解： 记T ?? ?=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换* *x x T y y ????=??????????是一个正交变换 在这个变换下，曲线方程变为2 2 **(1)(1)x y λλλ++-=-
1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 2) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即 y x = 3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 4) 0λ=时，曲线方程为22 **0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0) 5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =， 即y x =- 7) 1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a - （1）.求A ; (2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。 解： (1) 若1n =，11||A a b =- 若2n =，111221212122 ||()()a b a b A a a b b a b a b --= =---- 若2n >，111213 121 22 232111211 2 3 ||n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b -----------= -------L L M M O M M K O L 112 111213121 22 232121212111 1 0n n n n n R R n R R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a -----------------------= =-------L L M M O M M K O L (2)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
3.1 从手册中查出下列各酸的酸度常数p K a ，分别计算它们的K a 及与其相应的共轭碱的K b 值。 34224+43+ 3.2 （1）计算pH=5.0时，H 3PO 4的摩尔分数3210。（2）假定H 3PO 4各种形式总浓度是0.050 mol 〃L -1 ， 问此时H 3PO 4、H 2PO 4-、HPO 42-、PO 43-的浓度各为多少？ 答案：（1）123 112122 a a a 03 2 a a a a a a [H ][H ][H ]K K K x K K K K K K +++ = +++ 10 69.2137.1416.1200.1531.1221.716.2100.31010101010--------?=+++= 3 16 .1200 .15337.1416.1216.1223 16 .1237 .141104.110 10 )994.0(0.1)1010(10102.610 10 ---------?===+= ?==x x x （2）c =0.050mol 〃L -1 1 53431 24 2141241 11034L mol 102.7]PO H [L mol )0497.0(050.0]PO H [L mol 101.3]HPO [L mol 105.1]PO [---- ------??=?=?=?=??=?=??=?=x c x c x c x c 3.3 某溶液中含有HAc 、NaAc 和Na 2C 2O 4，其浓度分别为0.80、0.29和1.0×10-4 mol 〃L -1 。计算此溶液 中C 2O 42-的平衡浓度。 答案：溶液的酸度由HAc-Ac -所决定 ()() 4.76 4.32a HAc 0.80 [H ]10100.29 Ac c K c +---= = ?= 22 a 224 0a 4 4.2951 4.32 4.29 [C O ][H ]1.01010 5.210mol L 1010cK cx K -+------== +??==??+ 写出下列物质水溶液的质子条件： （1）NH 3；（2）NH 4Cl ；（3）Na 2CO 3；（4）KH 2PO 4；（5）NaAc+H 3BO 3。 答案：（1）NH 3 [NH 4+]+[H +]=[OH -] （2）NH 4Cl [H +]=[NH 3]+[OH -] （3）Na 2CO 3 [H +]+[HCO -3]+2[H 2CO 3]=[OH -]
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
北京大学定量分析化学简明教程习题 第四章 络合滴定法 1．已知铜氨络合物各级不稳定常数为： K 不稳1＝7.8?10-3 K 不稳2＝1.4?10-3 K 不稳3＝3.3?10-4 K 不稳4＝7.4?10-5 (1) 计算各级稳定常数K1－K4和各积累常数β1-β4； (2) 若铜氨络合物水溶液中Cu(NH 3)42+的浓度为Cu(NH 3)32+的10倍，问溶液中[NH 3]是多少？ (3) 若铜氨络合物溶液的C NH3=1.010-2M ，C Cu2+=1.0?10-4M,（忽略Cu 2+，NH 3的副反应）。计算Cu 2+与各级铜氨络合物的浓度。此时溶液中以那种形体为最主要？ 解：(1) 稳定常数 K 1＝45-4 101.4104.711 ??＝＝不稳K K 2=34-3 103.0103.311 ??＝＝不稳K K 3=23-2 107.1101.411 ??＝＝不稳K K 4＝＝＝ 不稳3-1107.811 ?K 1.3?102 各级累积常数 β1＝K 1=1.4?104 β2＝K 1K 2＝1.4?3.0?107＝4.2?107 β3＝K 1K 2K 3＝1.4?3.0?7.1?109=3.0?1010 β4＝K 1K 2K 3K 4=1.4?3.0?7.1?1.3?1011＝3.9?1012 (2) β3=332233]][[])([NH Cu NH Cu ++,β4=432243]][[])([NH Cu NH Cu +-
] )([]][[]][[])([2333 3243224334++++=NH Cu NH Cu NH Cu NH Cu ββ =][1])([])([3233243NH NH Cu NH Cu ? ++ [NH 3]=4 3233243])([])([ββ?++NH Cu NH Cu =10?1210 10 9.3100.3?? =0.077(ml/l) (3) Φ0=4 3433323231][][][][11NH NH NH NH ββββ++++ ＝812610472410 9.3100.3102.4104.111----?+?+?+?+ ＝4 43109.3100.3102.41?+?+? ＝ 4103.71? ＝1.4?10-5 Φ1＝4 343332323131][][][][1][NH NH NH NH NH βββββ++++ ＝ 3104.74102.1 ＝1.910-3 Φ2＝43433323231232] [][][][1][NH NH NH NH NH βββββ++++ ＝43 10 3.7102.4?? ＝0.058 Φ3＝434333232313 33] [][][][1][NH NH NH NH NH βββββ++++
北京大学数学考研题目 1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业 2 2 2 202220 0Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是. 1223112220...1,...2, (1) n n n n n x x x x x x x x x n ++++++=?? +++=????+++=+?二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。 121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。证明：多项式在有理数域上不可约。 20000120231001011A ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。（1）求A; (2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。 20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
1984年 数学各专业 132110: :231003 6 3 x y l z x y z π--==- ++-=一、（分）求直线与平面的交点。 10,,,,a b c a b b c c a ???二、（分）设向量不共面。试证：向量不共面。 15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。 {}{}{}{}23231 231 251,,.2,,V R V T V V T T T T T T T T T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。（）设在线性变换：下，试求在，，中的变换公式；（）求的逆变换在，，中的公式； （3）求在中的公式。 2 220.20 24(2)2 177,.42 20A B A B A B A B =-?? ?=--= ? ?-? ? 五、（分）(1)证明：实矩阵是正定的充要条件为：可找到一个可逆的实对称矩阵,使给定求实对称矩阵，使20(1)((2),n m n m A n m B m n E AB E BA E n E m A B AB BA ??-=-六、（分）设为矩阵，为矩阵。求证：为阶单位矩阵，为阶单位矩阵). 证明：如果为同阶方阵，则与总有相同的特征值（不考虑重数）.
北京大学定量分析化学简明教程习题-
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北京大学定量分析化学简明教程习题 第四章 络合滴定法 1．已知铜氨络合物各级不稳定常数为： K 不稳1＝7.8?10-3 K 不稳2＝1.4?10-3 K 不稳3＝3.3?10-4 K 不稳4＝7.4?10-5 (1) 计算各级稳定常数K1－K4和各积累常数β1-β4； (2) 若铜氨络合物水溶液中Cu(NH 3)42+的浓度为Cu(NH 3)32+的10倍，问溶液中[NH 3]是多少？ (3) 若铜氨络合物溶液的C NH3=1.010-2M ，C Cu2+=1.0?10-4M,（忽略Cu 2+，NH 3的副反应）。计算Cu 2+与各级铜氨络合物的浓度。此时溶液中以那种形体为最主要？ 解：(1) 稳定常数 K 1＝45-4 101.4104.711 ??＝＝不稳K K 2=34-3 103.0103.311 ??＝＝不稳K K 3=23-2 107.1101.411 ??＝＝不稳K K 4＝＝＝ 不稳3-1107.811 ?K 1.3?102 各级累积常数 β1＝K 1=1.4?104 β2＝K 1K 2＝1.4?3.0?107＝4.2?107 β3＝K 1K 2K 3＝1.4?3.0?7.1?109=3.0?1010 β4＝K 1K 2K 3K 4=1.4?3.0?7.1?1.3?1011＝3.9?1012 (2) β3=332233]][[])([NH Cu NH Cu ++,β4=432243]][[])([NH Cu NH Cu +- ]][[])([3 22++NH Cu NH Cu β