一、等差数列选择题
1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15
B .20
C .25
D .30
2.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72
B .90
C .36
D .45
3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤
B .6斤
C .9斤
D .12斤
4.定义
12n
n
p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前
n 项的“均倒数”为
12n ,又2n n a b =,则1223
910
111
b b b b b b +++
=( ) A .
8
17 B .
1021
C .
1123 D .
919
5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列
D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列
6.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+,*n N ∈,则
存在数列{}n b 和{}n c 使得( )
A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列
C .·
n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·
n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 7.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且
713n n S n T n -=,则5
5
a b =( ) A .
34
15
B .
2310
C .
317
D .
62
27
8.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则129
10
a a a a ++???+=
( ) A .
278
B .
52
C .3
D .4
9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8
B .10
C .12
D .14
10.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .
47
B .
1629
C .
815
D .
45
11.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019
B .4040
C .2020
D .4038
12.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21S
B .20S
C .19S
D .18S
13.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60
B .11
C .50
D .55
14.在数列{}n a 中,11a =,且11n
n n
a a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .
2
1
1n n -+ B .2
1
2n n -+
C .22
1
n n -+
D .2
2
2
n n -+
15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >
D .70S <,且80S <
16.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18
B .19
C .20
D .21
17.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若
p m n q <<<且()
*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )
A .22p p S p a =?
B .p q m n a a a a >
C .1111p q m n
a a a a +<+ D .1111p q m n
S S S S +>+ 18.已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈,则{}n
a 的通项公式为( )
A .2n a n =
B .21n a n =-
C .32n a n =-
D .1,1
2,2
n n a n n =?=?
≥?
19.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人
所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .
54
钱 B .
43
钱 C .
23
钱 D .
53
钱 20.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则12
15
a b =( ) A .
3
2
B .
7059
C .
7159
D .85
二、多选题
21.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >
B .130S >,140S <,则78a a >
C .若915S S =,则n S 中的最大值是12S
D .若2
n S n n a =-+,则0a =
22.设数列{}n a 满足11
02
a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .
21
12
a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312
a <<
D .
20203
14
a << 23.已知数列{}n a 满足0n a >,
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
24.若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2
25.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =
C .135********a a a a a +++
+=
D .
222
122019
20202019
a a a a a +++=
26.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( ) A .2490a a += B .数列{}n S 中最大值的项是25S C .公差0d >
D .数列
{}n
a 也是等差数列
27.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =
C .135********a a a a a +++
+= D .222
2123202020202021a a a a a a ++++=
28.数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ??
?
???是等差数列 B .数列1n a ???
???
的前n 项和2
n S n = C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D .数列{}n a 为递减数列
29.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )
A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);
B .2n n a a d +-=(d 为常数,
*n N ∈);
C .(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++(*n N ∈).
30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22
B .d =-2
C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值
D .当S n >0时,n 的最大值为21
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=,
所以()51154
55254202
S a d a d ?=+=+=?= 故选:B 2.B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】
由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,
∴2
444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,
∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,
∴99(229)
902
S ?+?=
=,
故选:B 【点睛】
思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2
k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=的应用. 3.C 【分析】
根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,
根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】
本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 4.D 【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n
=,则:2
2n S n =, 当1n =时,112a S ==,
当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-,
且14122a =?-=,据此可得 42n a n =-,
故212
n
n a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??, 据此有:
1223910
11
11111111233517191.21891919b b b b b b +++
????????=
-+-++- ? ? ???????
????
=?= 故选:D 5.D 【分析】
根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】
由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,
根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;
当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;
当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 6.D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+,
∴当1n =时,有110S a a ==≠;
当2n ≥时,有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?,
又当1n =时,0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式,
1()2n n a a bn b -∴=-+?,
令n b a b bn =+-,1
2n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,
故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??,0b ≠,所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列,也不是等比数
列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:
由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解,考查学生的计算能
力. 7.D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由71
3n n S n T n
-=, ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?.
故选:D 8.A 【分析】
根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】
因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,
所以
()1129510101992727
88
49a a a a a d a a d d a d ++???+====++. 故选:A 9.C 【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】 {a n }为等差数列,
S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =?=. 故选:C 10.D 【分析】
设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】
设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知202019
2042322
S d ?=?+=, 解得45
d =
. 故该女子织布每天增加4
5
尺. 故选:D 11.B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选:B 12.B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392
a d =-. 又10a >,所以0d <,因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ??=
+-=-=-- ??
?, 所以20S 最大. 故选:B. 13.D 【分析】
根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】
因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =, 所以()
1111161111552
a a S a +===.
故选:D. 14.D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出212
2
n n n a -+=,进而求出n a .
【详解】 解:11n
n n
a a na +=
+, ()11n n n a na a ++=∴,
化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:
111
n n
n a a +-=, 即2111
1a a -=,32112a a -=,43
113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:
213243111111+a a a a a a --+-+ (111)
123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)
2
n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又
1
1
1a =也满足上式,
212()2
n n n n z a -+∴=∈, 22
()2
n a n z n n ∴=
∈-+.
故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 15.A 【分析】
根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】
依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +?=
>
()()1881884
02
a a S a a +?=
=+<
故选:A . 16.B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥,且11a =,
∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,
通项公式为()12121n a n n =+-=-,
10210119a ∴=?-=,
故选:B. 17.D 【分析】
利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项,由于()
()1221222p p
p p p p a a S
p a a pa ++=
=+≠,故选项A 错误;
对于B 选项,由于m p q n -=-,则
()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ?-?=+-?+--?????????
()()()()()2
2m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--?+--=----????????
()()()2
220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;
对于C 选项,由于
1111
p q m n m n p q p q p q m n m n
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+???,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则
()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,
由于222222p q m n p q pq m n mn +=+?++=++,故2222p q m n +>+.
()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,
故()()22221122
p q m n p q p q m n m n
S S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.
()()()()()2
21111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d
--+---?????=+?+=++????????
()()()22
1121124mn m n mn p q mna a d d
+---<+
+()()()22
1121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,
由此
1111
p q m n p q p q m n m n
S S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18.B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,
当1n =时,111a S ==,上式也成立,
()
*21n a n n N ∴=-∈,
故选:B. 【点睛】
易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即
11,1,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结
果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 19.C 【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +, 则根据题意有(2)()()(2)5
(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=??-+-=++++?
,
解得1
16a d =???=-??
,
所以戊所得为2
23
a d +=, 故选:C . 20.C 【分析】
可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】
因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且
3221
n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,
又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-, 故选:C .
二、多选题
21.AD 【分析】
对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,
所以2
4619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;
对于B ,因为130S >,140S <,所以
77713()
1302
a a a +=>,即70a >,
787814()
7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以
7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++
++=,所以12133()0a a +=,即
12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值
是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;
对于D ,若2
n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,
所以12120a a =?-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】
关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 22.ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122x
f x x x
-'=-
=--, 所以当01x <<时,0f x
,
即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2?? ???
为单调递增函数,
即()()102f f x f ??<<
???
,
即(
)131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=, 所以()1
12
f x << , 即
1
1(2)2
n a n <<≥, 所以
2112a <<,20201
12
a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,
1
12
n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用,属于难题. 23.BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n
a n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111
102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ?
???????,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如
()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.
24.ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立,当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:1
2+a n
-<恒成立,
由12+n 递减,且1
223n
<+≤,
所以2a -≤,即2a ≥-, 当n 为偶数时有:1
2a n
<-恒成立, 由12n -
第增,且31
222n ≤-<, 所以3
2
a <
, 综上可得:322
a -≤<, 故选:ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题. 25.ABD 【分析】
根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,
342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正
确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,
244534534()a a a a a a a a =-=-,,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,
312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;
由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,
故C 不正确;
2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题. 26.AB 【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项. 【详解】
依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+,
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,149
2
a d =-
,10a >,所以0d <,所以C 选项错误.
对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ?
?=+-=-
+-=- ??
?,令0n a ≥得5151
0,22n n -
≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确. 对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列
{}n
a 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误.
故选:AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 27.BCD 【分析】
根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】
对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;
对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得
135********a a a a a +++???+=,故C 正确;
对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2
121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222
123202*********a a a a a a +++???+=,故D 正确.
故选:BCD 【点睛】
关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 28.ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=,从而得到1n a ??
????
是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ,因为121
n
n n a a a +=
+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n n
a a +-= 所以1n a ??
????
是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确.
对选项B ,由A 知:
1
121
21n
n n a
数列1n a ??????
的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确.
对选项C ,因为1
21n n a =-,所以121
n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为1
21
n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题. 29.AC 【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列. 【详解】
A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,
B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;
C 选项中()
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差
数列,故正确;
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2
n S An Bn =+,所以{}n a 不
为等差数列.故错误. 故选:AC 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 30.BC 【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】
由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①
由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2
739a a a =,即()()()2
111628a d a d a d +=++,化简得
110a d =-,②
由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;
由()()2
2121441201221224n S n n n n n n ??=+-?-=-=--+ ??? *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;
由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.